Uzupeªniaj¡ce laboratorium z algebry liniowej Zadanie domowe nr 2
Wygeneruj stuwyrazowy wektor ε niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie N(0, 1).
Wygeneruj macierz A rozmiaru 100 × 30, której ka»dy wiersz jest niezale»n¡ realizacj¡
wektora losowego o rozkªadzie N30(0, Σ). Macierz Σ niech b¦dzie tej postaci, »e pierwsze k wspóªrz¦dnych wektora losowego o tej macierzy kowariancji to nieskorelowane zmienne losowe i kolejne 30 − k wspóªrz¦dnych to równie» nieskorelowane zmienne losowe, jednak skorelowane z pierwszymi k wspóªrz¦dnymi (ka»da z jedn¡ dowoln¡), przy czym wspóªczynnik korelacji jest równy ρ > 0. Ponadto niech wariancje wszystkich wspóªrz¦dnych wektora losowego o macierzy kowariancji Σ wynosz¡ 1. Dokªadn¡ posta¢ macierzy Σ w zale»no±ci od k zaproponuj sam (i przedstaw w raporcie, mo»esz j¡ równie» zilustrowa¢).
Wyznacz macierz X rozmiaru 100 × 31 tej postaci, »e jej pierwsz¡ kolumn¦ wypeªniaj¡
jedynki, a kolejne kolumny to kolumny macierzy A.
Wyznacz wektor Y zgodnie z równaniem Y = Xβ + ε, gdzie β = (1, 1, . . . , 1)0 ∈ R31. Nast¦pnie wyznacz estymator ˆβ metody najmniejszych kwadratów wektora β w modelu Y = Xβ + ε za pomoc¡ ka»dej z dwóch metod:
rozkªad QR macierzy X (nie korzystaj¡c z funkcji solve),
rozkªad SVD macierzy X.
Oblicz dªugo±¢ (w normie euklidesowej) wektora X0X ˆβ − X0Y. Na tej podstawie oce« jako±¢
numerycznego odwracania macierzy za pomoc¡ poznanych metod i wariantów ich zastosowa«.
Obliczenia przeprowad¹ dla ρ ∈ {0.3, 0.6, 0.9} i k ∈ {10, 20, 30}. Wyniki zaprezentuj w przej- rzystej postaci. Przedstaw wnioski. Wple¢ w tekst kod wszystkich operacji w R. Nie zapomnij o tym, by na pocz¡tku ustali¢ nasionko dzi¦ki temu b¦dzie mo»na powtórzy¢ Twoje symulacje.
