1. Niech r(M ) oznacza rz ad macierzy M . Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A i B (o

(1)

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 1

Egzamin (pierwszy termin) 02-02-2006

Uwaga: ka˙zdy podpunkt ma warto´s´c 10 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

1. Niech r(M ) oznacza rz ad macierzy M . Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A i B (o

_,

wymiarych takich, ˙ze odpowiednie dzia lania s a wykonalne) prawdziwe s

_,

a nier´owno´sci:

_,

(a) r(AB) ≤ min{r(A), r(B)},

(b) r(A + B) ≤ r(A) + r(B).

2. Niech V

n

b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a wielomian´ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej

_,

n. Niech przekszta lcenie liniowe f : V

_n

→ V

n

dane b edzie wzorem f (w) = w + w

_, ⁰

. (a) Znajd´z macierz przekszta lcenia f w bazie {x

^j

+ (x

^j

)

⁰

}

ⁿj=0

.

(b) Oblicz ψ

i

(f

⁻¹

(x

ⁿ

)) dla 0 ≤ i ≤ n, gdzie {ψ

j

}

ⁿj=0

jest baz a sprz

_,

e˙zon

_,

a z baz

_,

a

_,

pot egow

_,

a

_,

{x

^j

}

ⁿj=0

.

(c) Wyka˙z, ˙ze funkcjona ly liniowe ϕ

i

(w) = (f (w))(x

i

), 0 ≤ i ≤ n, tworz a baz

,

e prze-

_,

strzeni sprz erzonej V

_, _n^∗

wtedy i tylko wtedy gdy punkty x

i

s a parami r´o˙zne.

_,

3. Niech V b edzie pewn

_,

a przestrzeni

_,

a liniow

_,

a funkcji f : IR

_,

→ IR, a V

0

= {f ∈ V : f(0) = 0, f(1) = f(2)}

jej podprzestrzeni a.

_,

(a) Niech V

1

= span {f

1

, f

2

}, gdzie f

1

, f

2

∈ V . Wyka˙z, ˙ze je´sli f

₁

(0)(f

₂

(2) − f

2

(1)) 6= f

2

(0)(f

₁

(2) − f

1

(1)) to V = V

0

⊕ V

1

i dimV = dimV

0

+ 2.

(b) Znajd´z dowoln a baz

_,

e przestrzeni ilorazowej V /V

_, 0

w przypadku gdy V jest prze- strzeni a wielomian´ow stopnia co najwy˙zej n.

_,

4. Niech macierz A wymiaru n × n dana b edzie wzorem

_,

A =







3 2 2 . . . 2 2 2 3 2 . . . 2 2 2 2 3 . . . 2 2 ... ... ... ... ...

2 2 2 . . . 3 2 2 2 2 . . . 2 3







.

(a) Oblicz wyznacznik det(A

⁻²

) w zale˙zno´sci od n.

(b) Dla n = 4, znajd´z czynniki P, L, U rozk ladu P A = LU , gdzie P jest macierz a

_,

permutacji, L macierz a tr´ojk

_,

atn

_,

a doln

_,

a z jedynkami na przek

_,

atnej i elementami o

_,

module nie wi ekszymi od jedno´sci, a U macierz

_,

a tr´ojk

_,

atn

_,

a g´orn

_,

a.

_,

(c) Dla n = 3, oblicz uwarunkowanie macierzy A w normie pierwszej k · k

¹