Uzupeªniaj¡ce laboratorium z algebry liniowej Zadanie domowe nr 1
Wygeneruj stuwyrazowy wektor ε niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie N(0, 1).
Wygeneruj macierz X rozmiaru 100 × 10, której ka»dy wiersz jest niezale»n¡ realizacj¡
wektora losowego o rozkªadzie N10(0, Σ). Macierz Σ niech b¦dzie tej postaci, »e pierwsze pi¦¢
wspóªrz¦dnych wektora losowego o tej macierzy kowariancji to nieskorelowane zmienne losowe i kolejne pi¦¢ wspóªrz¦dnych to równie» nieskorelowane zmienne losowe, jednak skorelowane z pierwszymi pi¦cioma wspóªrz¦dnymi (ka»da z jedn¡ dowoln¡), przy czym wspóªczynnik ko- relacji jest równy ρ > 0. Ponadto niech wariancje wszystkich wspóªrz¦dnych wektora losowego o macierzy kowariancji Σ wynosz¡ 1. Dokªadn¡ posta¢ macierzy Σ speªniaj¡cej powy»sze wa- runki zaproponuj sam (i przedstaw w raporcie, mo»esz j¡ równie» zilustrowa¢).
Nast¦pnie wyznacz wektor Y zgodnie z równaniem Y = β01+Xβ+ε, gdzie 1 = (1, 1, . . . , 1)0 ∈ R100, β0 = 1 i β = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)0.
Dokonaj estymacji metod¡ najmniejszych kwadratów modeli z wyrazem wolnym, w któ- rych wektorem zawieraj¡cym realizacje zmiennej obja±nianej jest Y , za± zmienne obja±nia- j¡ce znajduj¡ si¦ w k pocz¡tkowych kolumnach macierzy X. Obliczenia przeprowad¹ dla ρ ∈ {0.3, 0.6, 0.9} i k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Na tej podstawie przeanalizuj, jak zmienia si¦
suma kwadratów reszt (poprzez wyznaczenie jej samej oraz wspóªczynnika determinacji) w za- le»no±ci od ρ i k. Pami¦taj: do oblicze« zawsze u»ywaj tej samej realizacji wektora ε, zmieniaj¡c tylko macierz X w zale»no±ci od przyj¦tych warto±ci ρ i wª¡czaj¡c do poszczególnych modeli odpowiedni¡ liczb¦ jej kolumn.
Wyniki zaprezentuj w przejrzystej postaci. Przedstaw wnioski. Wple¢ w tekst kod wszystkich operacji w R. Nie zapomnij o tym, by na pocz¡tku ustali¢ nasionko dzi¦ki temu b¦dzie mo»na powtórzy¢ Twoje symulacje.
