5. prosince Tento text je neúplný, Aktuální verzi tohoto textu lze najít na tomto odkazu:

(1)

David Krejˇciˇr´ık

http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/

5. prosince 2020

Jednosemestráln´ı pˇrednáˇska Matematika 3 pˇrednáˇsená autorem na FJFI ˇCVUT na podzim 2020.

Tento text je ne´upln´y,

postupnˇe zúplˇnovaný a opravovaný autorem kaˇzdý týden bˇehem semestru.

Aktu´aln´ı verzi tohoto textu lze naj´ıt na tomto odkazu:

http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/other/la.pdf

(2)

Obsah David Krejˇciˇr´ık

Obsah

0 Uvod´ 1

1 Vektorov´y prostor 3

1.1 Definice . . . 3

1.2 Vlastnosti . . . 4

1.3 Pˇr´ıklady . . . 6

1.4 Podprostory . . . 7

1.5 Souˇcet podprostor˚u . . . 9

1.6 Direktn´ı souˇcet podprostor˚u . . . 10

1.7 Cviˇcen´ı . . . 14

2 Vektory 17 2.1 Soubor versus mnoˇzina . . . . 17

2.2 Line´arn´ı obal . . . 17

2.3 Prostory koneˇcn´e a nekoneˇcn´e dimenze . . . 18

2.4 Line´arn´ı nez´avislost . . . 19

2.5 Steinitzova vˇeta . . . 21

2.6 B´aze . . . 23

2.7 Dimenze . . . 26

2.8 Dimenze a podprostory . . . 27

2.9 Cviˇcen´ı . . . 31

3 Line´arn´ı zobrazen´ı 33 3.1 Definice a pˇr´ıklady . . . 33

3.2 Operace se zobrazen´ımi . . . 35

3.3 J´adro a injektivita . . . 36

3.4 Obor hodnot a surjektivita . . . 38

3.5 Dimenze prostor˚u a bijektivita . . . 41

3.6 Invertibilita . . . 44

3.7 Cviˇcen´ı . . . 48

4 Metrika 50 4.1 Skal´arn´ı souˇcin . . . 50

4.2 Norma . . . 51

4.3 Ortogonalita . . . 51

4.4 Nerovnosti . . . 52

4.5 Ortonorm´aln´ı b´aze . . . 54

4.6 Ortogon´aln´ı projekce . . . 57

4.7 Line´arn´ı funkcion´aly . . . 59

4.8 Sdruˇzen´e zobrazen´ı . . . 60

4.9 Cviˇcen´ı . . . 64

5 Matice 66 5.1 Tabulkov´a definice . . . 66

5.2 Matice line´arn´ıho zobrazen´ı . . . 66

5.3 Operace s maticemi . . . 68

5.4 Matice vektoru . . . 69

5.5 Izomorfismus . . . 70

(3)

5.6 Hodnost matice . . . 73

5.7 Transpozice . . . 75

5.8 Sdruˇzen´ı . . . 76

5.9 Cviˇcen´ı . . . 79

6 Determinanty 81 6.1 Inverzn´ı matice . . . 81

6.2 Dvojdimenzion´aln´ı Cramerovo pravidlo . . . 82

6.3 Definice . . . 83

6.4 Prohazov´an´ı ˇr´adk˚u . . . 84

6.5 Rozklad podle ˇr´adk˚u . . . 87

6.6 Lineárn´ı závislost ˇrádk˚u . . . 89

6.7 Rozklad podle sloupc˚u . . . 90

6.8 Kritéria pro invertibilitu a lineárn´ı nezávislost . . . 92

6.9 Obecn´e Cramerovo pravidlo . . . 93

6.10 Determinant souˇcinu je souˇcin determinant˚u . . . 93

6.11 Zmˇena b´aze . . . 95

6.12 Invarianty . . . 97

6.13 Cviˇcen´ı . . . 99

7 Spektrum 101 7.1 Motivace 1: Diferenci´aln´ı rovnice . . . 101

7.2 Motivace 2: Invariantn´ı podprostory . . . 103

7.3 Definice . . . 104

7.4 Pˇr´ıklady vlastn´ıch hodnot a vektor˚u . . . 105

7.5 Line´arn´ı nez´avislost vlastn´ıch vektor˚u . . . 106

7.6 Existence spektra . . . 107

7.7 Jednoduch´e matice . . . 109

7.8 Spektrum jednoduch´ych matic . . . 112

7.9 Diagonalizovatelnost . . . 115

7.10 Samosdruˇzenost . . . 118

7.11 Spektr´aln´ı teor´em . . . 120

7.12 Polynom oper´atoru . . . 120

7.13 Exponenci´ala oper´atoru . . . 121

7.14 Cviˇcen´ı . . . 127

8 Formy 129 8.1 Sesquiline´arn´ı a kvadratick´e formy . . . 129

8.2 Symetrick´e formy . . . 130

8.3 Vˇeta o reprezentaci . . . 133

8.4 Matice formy . . . 135

8.5 Cviˇcen´ı . . . 138

A Pravidla zkouˇsky 140

(4)

Motto David Krejˇciˇr´ık

Linear algebra abstracts the two basic operations with vectors: the addition of vectors, and their multiplication by numbers (scalars). It is astonishing that on such slender foundations an elaborate structure can be built, with romanesque, gothique and baroque aspects. It is even more astounding that linear algebra has not only the right theorems but also the right language for many mathematical topics, including applications of mathematics.

Peter D. Lax, Linear algebra and its applications, [9, p. 1]

(5)

0 Uvod ´

N´azev pˇredmˇetu je sloˇzen ze dvou slov [2, 1]:

• algebra poch´az´ı z arabského slova al-dˇzabr (nespisovnˇe al-dˇzebr ), jeˇz p˚uvodnˇe zna- menalo lékaˇrský chirurgický úkon za úˇcelem nápravy zlomených ˇci vymknutých kost´ı.

V pˇreneseném významu tedy “obnoven´ı”, “náprava”, “sjednocen´ı rozbitých ˇcást´ı”.

V matematickém významu bylo slovo pouˇzito v názvu práce perského matematika Muhammada al-Chwárizm´ıho z 9. stolet´ı po Kristu (820 AD) o ˇreˇsen´ı (lineárn´ıch a kvadratických) rovnic.

• lineárn´ıpocház´ı z latinského slova linearis, jeˇz znamená “tvoˇreno pˇr´ımkami”. V pˇre- neseném významu tedy nˇeco “pˇr´ımého”, “rovného”.

V dneˇsn´ım významu “algebra” zahrnuje celou ˇradu rozliˇcných matematických discipl´ın.

Odvˇetv´ı “lineárn´ı algebra” se zabývá prostory, jejich prvky (ˇcleny) a zobrazen´ımi (transfor- macemi) mezi nimi, schematicky:

• prostor, • prvek, • zobrazen´ı,

jeˇz jsou charakterizovány lineárnost´ı; vˇse se tedy v podstatˇe redukuje na sˇc´ıtán´ı prvk˚u a jejich násoben´ı ˇc´ısly. Je fascinuj´ıc´ı, ˇze takovéto jednoduché úkony vedou k nesm´ırnˇe propra- cované abstraktn´ı teorii, jeˇz poskytuje elegantn´ı sjednocuj´ıc´ı aparát pro mnoˇzstv´ı problém˚u v matematice, fyzice a dalˇs´ıch vˇedn´ıch oborech. Vˇzdyt’ kvantová mechanika, coˇz je nejlepˇs´ı fyzikáln´ı teorie, kterou má lidstvo v souˇcasnosti k dispozici, nen´ı matematicky vlastnˇe nic jiného neˇz lineárn´ı algebra na nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ıch prostorech. V této pˇrednáˇsce se vˇsak budeme výhradnˇe zabývat koneˇcnˇe dimenzionáln´ımi prostory.

Mlhavˇe výˇse nazvané pˇredmˇety zájmu lineárn´ı algebry se pˇresnˇeji nazývaj´ı:

• vektorov´y prostor, • vektor, • line´arn´ı zobrazen´ı.

Tyto objekty znáte z kaˇzdodenn´ıho ˇzivota. Mnoho fyzikáln´ıch veliˇcin lze charakterizovat pouze jejich velikost´ı (tzv. skaláry, napˇr. hmotnost, ˇcas, teplota) a tedy popsat pouze jedn´ım ˇc´ıslem. Jiné vˇsak maj´ı i smˇer (napˇr. poloha, rychlost, s´ıla) a tyto pak popisujeme v´ıce ˇc´ısly, jejichˇz poˇcet je urˇcen dimenz´ı prostoru; to jsou vektory. V klasické mechanice se za vektorový prostor obvykle bere tˇr´ırozmˇerný eukleidovský prostor R³, v nˇemˇz lze vektor v ∈ R³ (napˇr.

rychlost) tedy charakterizovat tˇremi re´aln´ymi ˇc´ısly v₁, v₂, v₃. Zapisujeme v =



 v1

v₂ v3





a ˇc´ısl˚um v1, v2, v3 ˇr´ıkáme sloˇzky vektoru v. Obecná lineárn´ı transformace tohoto vektoru v na jiný vektor w (napˇr. pˇri pootoˇcen´ı souˇradné soustavy) bude m´ıt tvar



 w1

w₂ w3



=





a11v1+ a12v2+ a13v3

a₂₁v₁+ a₂₂v₂+ a₂₃v₃ a31v1+ a32v2+ a33v3



=:





a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33





| {z }

A



 v1

v₂ v3



, (0.1)

kde aij, i, j = 1, 2, 3, jsou libovolná reálná ˇc´ısla. Tabulce A se ˇr´ıká matice (jedná se tud´ıˇz o ja- kousi reprezentaci zobrazen´ı, jeˇz pˇriˇrazuje starému vektoru v nový vektor w) a posledn´ı rovnost v (0.1) je vlastnˇe definice pro násoben´ı matice s vektorem. Lineárn´ı transformaci (0.1) lze tedy elegantnˇe zapsat ve tvaru

w = Av .

(6)

2 0. ´Uvod David Krejˇciˇr´ık

Zobecnˇen´ı:

⋄ Dimenze. V pˇr´ırodˇe se setkáváme i s prostory jiné dimenze (niˇzˇs´ı i vyˇsˇs´ı) neˇz tˇri.

Napˇr´ıklad i v klasické mechanice je zvykem popisovat stav jedné ˇcástice polohou a rychlost´ı coby jedn´ım vektorem v ˇsestirozmˇerném (fázovém) prostoru R³ × R³. Obecnˇeji, stav N ˇcástic ve fázovém prostoru je reprezentován vektorem o 2N sloˇzkách.

V teorii relativity je stav popsán v ˇctyˇrrozmˇerném ˇcasoprostoru. Budeme tedy uvaˇzovat vektorové prostory libovolné dimenze (pˇr´ıleˇzitostnˇe dokonce dimenze nekoneˇcné).

⋄ ˇC´ıselné tˇeleso.Kromˇe nutnosti uvaˇzovat libovolnˇe dimenzionáln´ı vektorové prostory se ukazuje jako uˇziteˇcné zobecnˇen´ı vz´ıt za sloˇzky vektoru prvky libovolného ˇc´ıselného tˇelesa (napˇr´ıklad komplexn´ı ˇc´ısla v kvantové mechanice). Lze tedy uvaˇzovat vekto- rové prostory nad libovolným ˇc´ıselným tˇelesem. V této pˇrednáˇsce se vˇsak výhradnˇe zamˇeˇr´ıme na vektorové prostory nad ˇc´ısly reálnými ˇci komplexn´ımi.

⋄ R˚uzné prostory.Dalˇs´ım zobecnˇen´ım je moˇznost uvaˇzovat lineárn´ı transformace mezi dvˇema prostory odliˇsných dimenz´ı, coˇz vede k matic´ım obdéln´ıkového tvaru m´ısto ˇctvercového.

Pˇredmˇetem lineárn´ı algebry – a tedy úkolem této pˇrednáˇsky – je zavést takovouto obecnou matematickou abstrakci a studovat vlastnosti lineárn´ıch zobrazen´ı. Seznám´ıte se s robustn´ım aparátem a jeho metodami, který vám poskytne sjednocuj´ıc´ı strukturu pro aplikace na konkrétn´ı problémy v oborech, které studujete.

Literatura

Hlavn´ım zdrojem této pˇrednáˇsky je zcela výjimeˇcná uˇcebnice amerického autora Sheldona Axlera Linear algebra done right. ˇCerpám z druhého vydán´ı z roku 2004 [3], avˇsak existuje uˇz i tˇret´ı, barevné vydán´ı z roku 2014 [4]. Velká ˇcást mé pˇrednáˇsky je pouhý (a neumˇelý) pˇreklad vybraných parti´ı z [3] do ˇceˇstiny. Posluchaˇcovi doporuˇcuji k nahlédnut´ı volnˇe pˇr´ıstupnou zkrácenou verzi tˇret´ıho vydán´ı [5].

Cásteˇcnˇe ˇcerpám rovnˇeˇz z Halmosovy knihy Finite-dimensional vector spaces [6] a z Kopáˇc-ˇ kových skript Matematika pro fyziky II [8]. Druhou zmiˇnovanou referenci sleduji zvláˇstˇe pˇri zaveden´ı pojmu determinantu, který Axler povaˇzuje v rámci modern´ıho pojet´ı lineárn´ı algebry za pˇrekonaný, a zavád´ı ho tud´ıˇz aˇz úplnˇe na konci, jiným zp˚usobem.

Obrázek na prvn´ı stránce je absorpˇcn´ı spektrum Slunce. Bˇehem pˇrednáˇsky se seznám´ıte se spektrem lineárn´ıho zobrazen´ı. Oba tyto pojmy spolu úzce souvis´ı, a to skrze kvantovou teorii hmoty.

(7)

1 Vektorov´ y prostor

V této pˇrednáˇsce se budeme výhradnˇe zabývat vektorovými prostory nad reálnými ˇc´ısly R nebo komplexn´ımi ˇc´ısly C. Pˇripomeˇnme, ˇze komplexn´ı ˇc´ısla lze identifikovat s mnoˇzinou

C:= {a + bi : a, b ∈ R} , kde i := √

−1

je symbol, jenˇz se nazývá imaginárn´ı jednotka. Reálným ˇc´ısl˚um a, b se ˇr´ıká reálná a ima- ginárn´ı ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla a + bi. Nebudeme pˇripom´ınat, jak se formálnˇe zavád´ı sˇc´ıtán´ı a násoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel; poznamenejme jen, ˇze na komplexn´ı ˇc´ısla m˚uˇzeme formálnˇe aplikovat obvyklou aritmetiku, kterou dobˇre známe z reálných ˇc´ısel, pokud budeme konzis- tentnˇe uˇz´ıvat vzorce i² = −1.

Abychom mohli efektivnˇe uvádˇet definice a dokazovat vˇety, které plat´ı jak pro reálná, tak komplexn´ı ˇc´ısla, zavedeme toto sjednocuj´ıc´ı znaˇcen´ı:

K := R nebo C.

Prvky ˇc´ıselného tˇelesa K, tedy ˇc´ısla (nˇekdy téˇz nazývané skaláry), budeme obvykle znaˇcit ˇreckými p´ısmeny.

1.1 Definice

Vektorový prostor je, zhruba ˇreˇceno, mnoˇzina objekt˚u, jeˇz m˚uˇzeme navzájem sˇc´ıtat a rovnˇeˇz násobit ˇc´ısly tak, ˇze výsledky tˇechto operac´ı jsou opˇet prvky této mnoˇziny. Formáln´ı definice zn´ı takto:

Definice 1.1. Vektorový prostor je mnoˇzina V prvk˚u nazývané vektory, která splˇnuje násle- duj´ıc´ı axiomy:

(A) Existuje zobrazen´ı (souˇcet vektor˚u) V × V → V : {(u, v) 7→ u + v} splˇnuj´ıc´ı:

(1) ∀u, v ∈ V, u + v = v + u; (komutativita)

(2) ∀u, v, w ∈ V, u + (v + w) = (u + v) + w; (asociativita) (3) ∃0 ∈ V, ∀u ∈ V, u + 0 = u; (nulov´y vektor, poˇc´atek)

(4) ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V, u + (−u) = 0. (opaˇcn´y vektor)

(B) Existuje zobrazen´ı (n´asoben´ı vektor˚u ˇc´ısly) K × V → V : {(α, u) 7→ αu} splˇnuj´ıc´ı:

(1) ∀α, β ∈ K, u ∈ V, α(βu) = (αβ)u; (asociativita)

(2) ∀u ∈ V, 1u = u. (identita)

(C) Tato zobrazen´ı jsou vzájemnˇe provázána skrze distributivitu:

(1) ∀α ∈ K, u, v ∈ V, α(u + v) = αu + αv; (distributivita 1) (2) ∀α, β ∈ K, u ∈ V, (α + β)u = αu + βu. (distributivita 2) Vektorové prostory budeme obvykle znaˇcit velkými psac´ımi p´ısmeny a jejich prvky (vektory) malými latinskými p´ısmeny.

Operace násoben´ı vektor˚u ˇc´ısly závis´ı na volbˇe ˇc´ıselného tˇelesa K. Budeme-li tedy cht´ıt pˇresn´ı, ˇrekneme, ˇze V je vektorový prostor nad tˇelesem K. Vektorový prostor nad R se

(8)

4 1. Vektorov´y prostor David Krejˇciˇr´ık

nazývá reálný vektorový prostor a vektorový prostor nad C se nazývá komplexn´ı vektorový prostor.

1.2 Vlastnosti

Nyn´ı se budeme vˇenovat základn´ım vlastnostem vektorových prostor˚u, které plynou z De- finice 1.1. Abychom se vyhnuli neustálému opakován´ı tvrzen´ı typu “necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K”, dohodnˇeme se pro zbytek pˇrednáˇsky, ˇze symbol V bude znaˇcit libovolný vektorový prostor nad tˇelesem K, tedy:

V := libovoln´y vektorov´y prostor nad K.

Vˇsimnˇete si, ˇze stejný symbol 0, který standardnˇe pouˇz´ıváme pro ˇc´ıselnou nulu, v Definici 1.1 oznaˇcuje nulový vektor. Toto maten´ı studenta by nikdy nemˇelo vést k jeho popleten´ı, a to d´ıky následuj´ıc´ım tvrzen´ım, jeˇz uˇz´ıván´ı stejného znaˇcen´ı ospravedlˇnuj´ı:

Tvrzen´ı 1.1 (Ned˚uleˇzitost schismatu nulov´eho symbolu).

(i) ∀v ∈ V, 0v = 0. (vlevo ˇc´ıseln´a nula, vpravo nulov´y vektor)

(ii) ∀α ∈ K, α0 = 0. (vlevo i vpravo nulov´y vektor)

D˚ukaz. Vˇsimnˇete si, ˇze obˇe tvrzen´ı vypov´ıdaj´ı nˇeco o násoben´ı vektor˚u ˇc´ısly a nulovém vektoru (neutráln´ı prvek v˚uˇci souˇctu). Ponˇevadˇz jediná ˇcást Definice 1.1, jeˇz spojuje sˇc´ıtán´ı vektor˚u a jejich násoben´ı ˇc´ısly, je axiom (C), bude v d˚ukazu tˇreba vyuˇz´ıt právˇe distributivn´ı vlastnosti.

ad (i). Pro libovoln´y vektor v ∈ V m´ame

0v = (0 + 0)v = 0v + 0v ,

kde prvn´ı rovnost je element´arn´ı identita mezi ˇc´ısly a druh´a rovnost plyne z axiomu (C2).

K oboum stranám této rovnice pˇriˇcteme −0v (tedy opaˇcný vektor k 0v) a uˇzit´ım axiomu (A4) dostaneme

0 = 0v , coˇz je rovnost, kterou jsme chtˇeli dok´azat.

ad (ii). Pro libovoln´e ˇc´ıslo α ∈ K m´ame

α0 = α(0 + 0) = α0 + α0 ,

kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá axiom (A3), zat´ımco druhá rovnost plyne z axiomu (C1). K oboum stranám této rovnice pˇriˇcteme −α0 (tedy opaˇcný vektor k α0) a uˇzit´ım axiomu (A4) dostaneme

0 = α0 ,

coˇz je rovnost, kterou jsme chtˇeli dok´azat. ( ˇCtvereˇcek znamen´a konec d˚ukazu.)

Prvn´ı tvrzen´ı (i) lze chápat jako konstrukci nulového vektoru: dostaneme ho tak, ˇze libovolný vektor pˇrenásob´ıme ˇc´ıslem nula.

(9)

Axiom (A3) vyˇzaduje, aby ve vektorovém prostoru existoval alespoˇn jeden poˇcátek (nu- lový vektor). Dalˇs´ı tvrzen´ı upˇresˇnuje, ˇze takovýto poˇcátek je právˇe jeden (význam kvanti- fikátoru ∃!).

Tvrzen´ı 1.2 (Jedineˇcnost nulov´eho vektoru). ∃!0 ∈ V, ∀u ∈ V, u + 0 = u.

D˚ukaz. Tento typ tvrzen´ı se nejlépe dokazuje sporem. Necht’ ve vektorovém prostoru V existuj´ı dva r˚uzné nulové vektory 0 6= 0^′. Pak

0^′ = 0^′+ 0 = 0 ,

kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá nulovosti vektoru 0 a druhá rovnost vyuˇz´ıvá nulovosti vektoru 0^′. Tedy 0 = 0^′, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem, ˇze nulové vektory 0 a 0^′ jsou r˚uzné.

Obdobnˇe, axiom (A4) vyˇzaduje, aby pro kaˇzdý prvek vektorového prostoru existoval alespoˇn jeden inverzn´ı prvek. Dalˇs´ı tvrzen´ı upˇresˇnuje, ˇze takovýto prvek je právˇe jeden.

Tvrzen´ı 1.3 (Jedineˇcnost opaˇcn´eho vektoru). ∀u ∈ V, ∃! − u ∈ V, u + (−u) = 0.

D˚ukaz. Necht’ u ∈ V je libovolný. Pˇredpokládejme, ˇze existuj´ı dva r˚uzné opaˇcné vektory v 6= v^′ splˇnuj´ıc´ı u + v = 0 a u + v^′ = 0. Pak

v = v + 0 = v + (u + v^′) = (v + u) + v^′ = 0 + v^′ = v^′,

kde jsme nav´ıc vyuˇzili asociativitu a komutativitu. Tedy v = v^′, coˇz je ve sporu s pˇredpo- kladem, ˇze opaˇcn´e vektory v a v^′ jsou r˚uzn´e.

Uˇz v Definici 1.1 jsme si oznaˇcili opaˇcný vektor k u intuitivn´ım znaˇcen´ım −u. Toto znaˇcen´ı je obhájeno následuj´ıc´ım tvrzen´ım.

Tvrzen´ı 1.4 (Konstrukce opaˇcn´eho vektoru). ∀u ∈ V, −u = (−1)u.

D˚ukaz. Pro libovoln´y vektor u ∈ V m´ame

u + (−1)u = 1u + (−1)u = [1 + (−1)]u = 0u = 0 ,

kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá axiomu (B2), druhá rovnost je distributivita (C2), tˇret´ı rovnost je elementárn´ı a ˇctvrtá rovnost je Tvrzen´ı 1.1(i). Výsledná rovnost ˇr´ıká, ˇze výsledkem souˇctu vektor˚u u a (−1)u je nulový vektor, tedy (−1)u mus´ı být roven opaˇcnému vektoru −u, coˇz jsme chtˇeli dokázat.

V n´asleduj´ıc´ım budeme zkracovat u + (−v) =: u − v.

(10)

1.3 Pˇ r´ıklady

Nyn´ı nastal ˇcas si pˇredstavit nˇekolik charakteristick´ych pˇr´ıklad˚u vektorov´ych prostor˚u.

Pˇr´ıklad 1.1 (Nulový prostor). Nejjednoduˇsˇs´ı vektorový prostor obsahuje pouze jeden prvek, a to nulový vektor. Jinými slovy, mnoˇzina {0} je vektorový prostor, který splˇnuje triviáln´ı pravidla pro sˇc´ıtán´ı vektor˚u a násoben´ı ˇc´ısly:

0 + 0 = 0 a α0 = 0 ,

kde α ∈ K. Tento prostor nen´ı samozˇrejmˇe nijak zaj´ımavý, avˇsak dejme mu jméno, nulový prostor. (Diamant

znamen´a konec pˇr´ıkladu.) ♦

Pˇr´ıklad 1.2 ( ˇC´ıselné tˇeleso). Samotné ˇc´ıselné tˇeleso K se stane vektorovým prostorem, pokud definujeme sˇc´ıtán´ı jeho prvk˚u a násoben´ı ˇc´ısly z K obvyklými operacemi pro sˇc´ıtán´ı a násoben´ı ˇc´ısel. Speciálnˇe C je pak komplexn´ı vektorový prostor a R je reálný vektorový prostor.

M˚uˇzeme rovnˇeˇz uvaˇzovat C coby reálný vektorový prostor (máme tedy na mysli nestandardn´ı volbu V := C a K := R), pokud definujeme sˇc´ıtán´ı komplexn´ıch ˇc´ısel jako obvykle a násoben´ı komplexn´ıho ˇc´ısla reálným ˇc´ıslem jako obvykle, avˇsak tento pˇr´ıklad se liˇs´ı od C coby komplexn´ıho vektorového prostoru. Naopak R nelze uvaˇzovat jako komplexn´ı vektorový prostor (protoˇze pˇrenásoben´ım reálného ˇc´ısla komplexn´ım ˇc´ıslem

obecnˇe dostaneme nere´aln´e ˇc´ıslo). ♦

Pˇr´ıklad 1.3(Souˇradnicový prostor). Necht’ Kⁿs n ∈ N^∗:= N\{0} (v naˇs´ı konvenci pˇrirozená ˇc´ısla obsahuj´ı nulu) je mnoˇzina tvoˇrená uspoˇrádánými n-ticemi ˇc´ısel z tˇelesa K. Prvek x ∈ Kⁿ budeme zapisovat v podobˇe sloupce

x =





 x1

x2

... xn





 ,

kde xi ∈ K, i = 1, . . . , n. ˇC´ısla xi nazýváme sloˇzky vektoru v. Sˇc´ıtán´ı prvk˚u x, y ∈ Kⁿ a násoben´ı ˇc´ısly α ∈ K definujeme po sloˇzkách:

x + y :=





 x1+ y1

x2+ y2

... xn+ yn







, αx :=





 αx1

αx2

... αxn





 .

S takto definovanými operacemi se Kⁿstane vektorovým prostorem (nad tˇelesem K), jenˇz budeme nazývat n- dimenzionáln´ı souˇradnicový prostor (nad K). Cⁿ budeme nazývat n-dimenzionáln´ı komplexn´ı souˇradnicový prostor a Rⁿ budeme nazývat n-dimenzionáln´ı reálný souˇradnicový prostor (Rⁿ je také nˇekdy zvykem nazývat n-dimenzionáln´ı eukleidovský prostor). Nulový vektor 0 ∈ Kⁿa opaˇcný vektor −x k vektoru x ∈ Kⁿ splˇnuj´ı

0 =





 0 0 ... 0







, −x :=







−x1

−x2

...

−xn





 .

V n-dimenzionáln´ım reálném souˇradnicovém prostoru Rⁿ s n = 1, 2, 3 a v 1-dimenzionáln´ım komplexn´ım prostoru C¹ = C m˚uˇzeme vektory reprezentovat pomoc´ı ˇsipek. Sˇc´ıtán´ı vektor˚u a jejich násoben´ı ˇc´ısly má

pak kr´asnou geometrickou interpretaci. ♦

(11)

Pˇr´ıklad 1.4(Prostor polynom˚u). Necht’ m ∈ N. Funkce p : K → K se nazývá polynom, pokud existuj´ı ˇc´ısla α0, . . . , αm∈ K taková, ˇze

p(x) = α0+ α1x + · · · + αmx^m.

Pokud αm 6= 0, p se nazývá polynom stupnˇe m. Souˇcet dvou polynom˚u p a q a pˇrenásoben´ı ˇc´ıslem α ∈ K definujeme, jak je pro funkce obvyklé:

(p + q)(x) := p(x) + q(x) , (αp)(x) := αp(x) ,

pro vˇsechna x ∈ K. S takto definovanými operacemi se mnoˇzina vˇsech takovýchto polynom˚u, kterou budeme znaˇcit Pm, stane vektorovým prostorem nad K. Nulový vektor v Pm je polynom, jenˇz je identicky roven nule (t.j. vˇsechna ˇc´ısla α0, . . . , αm jsou rovna nule),

0(x) = 0

pro vˇsechna x ∈ K, a opaˇcn´y polynom −p k polynomu p ∈ Pmje d´an vztahem (−p)(x) = −p(x)

pro vˇsechna x ∈ K. (Vˇsimnˇete si, ˇze P⁰= K s obvyklými operacemi sˇc´ıtán´ı a násoben´ı mezi ˇc´ısly.)

Kromˇe vektorového prostoru Pm, jenˇz je charakterizován t´ım, ˇze obsahuje polynomy nejvýˇse stupnˇe m, budeme pˇr´ıleˇzitostnˇe rovnˇeˇz uvaˇzovat prostor vˇsech polynom˚u na K. Oznaˇcme takovýto prostor symbolem P∞. Zˇrejmˇe plat´ı

P_∞= [∞ m=0

P_m.

♦

Pˇr´ıklad 1.5 (Prostor kvantové ˇcástice). V nerelativistické kvantové mechanice je fyzikáln´ı stav ˇcástice (napˇr´ıklad elektronu) popsán bodem v prostoru mˇeˇritelných funkc´ı, jeˇz jsou kvadraticky integrabiln´ı (Lebe- sgue˚uv prostor):

L²(R³) :=

ψ : R³→ C : Z

R³

|ψ(x)|²dx < ∞

.

S obvyklými operacemi sˇc´ıtán´ı dvou funkc´ı a jejich násoben´ı ˇc´ısly lze ovˇeˇrit, ˇze se skuteˇcnˇe jedná o vektorový

prostor. ♦

1.4 Podprostory

Z geometrie v´ıte, ˇze kromˇe celého prostoru R³ a jeho bod˚u (vektory) je zaj´ımavé uvaˇzovat dalˇs´ı lineárn´ı objekty jako pˇr´ımky a roviny. Následuj´ıc´ı definice zobecˇnuje tyto pojmy na abstraktn´ı vektorové prostory (vˇcetnˇe libovolné dimenze).

Definice 1.2. Podprostor vektorového prostoru V je podmnoˇzina U ⊂ V, jeˇz je sama o sobˇe vektorovým prostorem (se stejnými operacemi sˇc´ıtán´ı vektor˚u a násoben´ı ˇc´ısly jako ve V).

Znaˇc´ıme U ⊂⊂ V.

Upozornˇen´ı: Pokud chceme chápat podprostory jako zobecnˇené pˇr´ımky a roviny, mus´ıme m´ıt na pamˇeti, ˇze tyto jsou v definici výˇse vyˇzadovány procházet poˇcátkem (ponˇevadˇz 0 ∈ U coby d˚usledek toho, ˇze U je sám o sobˇe vektorový prostor).

Definice 1.2 je elegantn´ı, avˇsak nehod´ı se pro konkrétn´ı ovˇeˇrován´ı, zda daná podmnoˇzina U

(12)

ve V je podprostorem ve V, ponˇevadˇz jej´ı ovˇeˇren´ı vyˇzaduje kontrolu vˇsech axiom˚u Defi- nice 1.1. Následuj´ıc´ı vˇeta poskytuje vhodné kriterium, jak urˇcit, zda daná podmnoˇzina V je podprostorem V, protoˇze ve skuteˇcnosti staˇc´ı ovˇeˇrit jen tˇri vˇeci; zbytek plne z toho, ˇze U je podmnoˇzinou ve V.

Vˇeta 1.1. Necht’ U ⊂ V. Plat´ı tato ekvivalence:

U⊂⊂ V ⇐⇒







(i) 0 ∈ U ; (obsahuje poˇc´atek)

(ii) ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U ; (uzavˇrenost v˚uˇci souˇctu) (iii) ∀α ∈ K, u ∈ U, αu ∈ U . (uzavˇrenost v˚uˇci n´asoben´ı) (Logick´a spojka mezi vlastnostmi (i), (ii), (iii) je “a” (konjunkce).)

D˚ukaz. Implikace ⇒ je zˇrejmá: pokud je U podprostor, je podle Definice 1.2 sám o sobˇe vektorovým prostorem, tud´ıˇz mus´ı speciálnˇe splˇnovat body (i)–(iii), viz Definice 1.1.

Opaˇcná implikace ⇐ nám ˇr´ıká, ˇze staˇc´ı ovˇeˇrit pouze vlastnosti (i)–(iii), abychom si byli jisti, ˇze U je podprostorem. Jinými slovy, mus´ıme dokázat, ˇze body (i)–(iii) implikuj´ı vˇsechny axiomy (A), (B) a (C) Definice 1.1. Bod (ii) zaruˇcuje, ˇze sˇc´ıtán´ı vektor˚u v U je dobˇre definováno a bod (iii) zaruˇcuje, ˇze násoben´ı vektor˚u z U ˇc´ısly z K je dobˇre definováno. D´ıky tomu axiomy (A1), (A2), (B) a (C) nen´ı tˇreba ovˇeˇrovat, ponˇevadˇz plat´ı na vˇetˇs´ı mnoˇzinˇe V.

Bod (i) zaruˇcuje, ˇze nulový vektor leˇz´ı v U, tud´ıˇz i axiom (A3) plat´ı (opˇet z d˚uvodu jeho platnosti na vˇetˇs´ı mnoˇzinˇe V). Zbývá ovˇeˇrit axiom (A4). Necht’ u ∈ U ⊂ V. Pak existuje

−u ∈ V takov´y, ˇze u − u = 0 coby identita ve V. Avˇsak podle Tvrzen´ı 1.4 plat´ı −u = (−1)u, kde prav´a strana leˇz´ı v U d´ıky bodu (iii). Tedy −u ∈ U a rovnost u − u = 0 plat´ı coby identita ve U.

Uˇzit´ım Vˇety 1.1 snadno ovˇeˇr´ıme n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklady.

Pˇr´ıklad 1.6 (Nulový a celý prostor). Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem podprostoru libovolného vektorového prostoru V je nulový prostor {0} a celý prostor V.

Prázdná mnoˇzina ∅ nen´ı podprostor, ponˇevadˇz podprostor je vektorový prostor a vektorový prostor mus´ı

obsahovat alespoˇn jeden prvek, a to poˇc´atek 0. ♦

Pˇr´ıklad 1.7 (Pˇr´ımky, roviny atd.). Podprostory ˇc´ıselného prostoru R jsou nulový prostor {0} a celý prostor R. Podprostory dvojdimezionáln´ıho eukleidovského prostoru R²jsou nulový prostor {0}, celý prostor R² a vˇsechny pˇr´ımky procházej´ıc´ı poˇcátkem. Podprostory trojdimezionáln´ıho eukleidovského prostoru R³ jsou nulový prostor {0}, celý prostor R³, vˇsechny pˇr´ımky procházej´ıc´ı poˇcátkem a vˇsechny roviny procházej´ıc´ı poˇcátkem.

Obecnˇeji, necht’ m, n ∈ N^∗ s m ≤ n. Pak

{x ∈ Kⁿ: x1= x2= · · · = xm= 0}

je podprostorem Kⁿ. ♦

(13)

Pˇr´ıklad 1.8(Sudé a liché polynomy). Mnoˇziny (symbol ± znamená bud’ plus nebo minus) P^±

m:= {p ∈ Pm: ∀x ∈ K, p(x) = ±p(−x)} (1.1)

jsou podprostory vektorov´eho prostoru polynom˚u Pm. Vˇsimnˇete si, ˇze podprostor P⁺_mje tvoˇren polynomy p⁺, jeˇz obsahuj´ı pouze sud´e mocniny x,

p⁺(x) = α0+ α2x²+ · · · + α2⌊^m₂⌋x^2⌊^m²^⌋, a podprostor P⁻_mje tvoˇren polynomy p⁻, jeˇz obsahuj´ı pouze lich´e mocniny x,

p⁻(x) = α1x + α3x³+ · · · + α2⌊^m+1₂ ⌋−1x^2⌊^m+1² ^⌋−1,

kde ⌊β⌋ := max{n ∈ Z : n ≤ β} znaˇc´ı doln´ı celou ˇcást reálného ˇc´ısla β. Ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe K := R jsou polynomy v podprostoru P⁺_m sudé funkce na R a polynomy v podprostoru P⁻_mjsou liché funkce na R. ♦

Pˇr´ıklad 1.9. Uvaˇzujme podmnoˇzinu prostoru stav˚u kvantové ˇcástice (viz Pˇr´ıklad 1.5), jeˇz je charakteri- zována stavy, pro nˇeˇz i prvn´ı derivace jsou kvadraticky integrabiln´ı (Sobolev˚uv prostor):

W^1,2(R³) :=

ψ ∈ L²(R³) : ∇ψ ∈ L²(R³) .

Lze ovˇeˇrit, ˇze skuteˇcnˇe plat´ı W^1,2(R³) ⊂⊂ L²(R³). V kvantov´e mechanice lze W^1,2(R³) interpretovat coby

prostor fyzik´aln´ıch stav˚u s koneˇcnou (kinetickou) energi´ı. ♦

1.5 Souˇ cet podprostor˚ u

Jedna moˇznost, jak utvoˇrit ze dvou daných mnoˇzin U1 a U2 dalˇs´ı mnoˇzinu, je vz´ıt jejich sjednocen´ı U := U1∪U². Pokud U1 a U2 jsou podprostory nˇejakého vektorového prostoru V, jen “málokdy” se vˇsak stane, ˇze jejich sjednocen´ı U bude opˇet podprostor (pˇresný význam uvozovek zde je, ˇze jeden z podprostor˚u mus´ı být podmnoˇzinou toho druhého, aby se tak stalo). Z tohoto d˚uvodu je pro podprostory zaj´ımavˇejˇs´ı jiná operace.

Definice 1.3. Necht’ U₁, U₂ ⊂ V. Souˇcet mnoˇzin U1 a U₂ je mnoˇzina U₁ + U2 := {u¹+ u2 : u1 ∈ U¹, u2 ∈ U²} .

Mˇeli byste si ovˇeˇrit, ˇze pokud nav´ıc U1, U2 ⊂⊂ V, pak takto definovan´a mnoˇzina U¹+ U2 je skuteˇcnˇe podprostorem V.

Souˇcet dvou podprostor˚u v teorii vektorových prostor˚u je operace analogická operaci sjednocen´ı mnoˇzin v teorii mnoˇzin v tomto smyslu: Nejmenˇs´ı podprostor obsahuj´ıc´ı dva dané podprostory je právˇe jejich souˇcet. (Analogicky, nejmenˇs´ı mnoˇzina obsahuj´ıc´ı dvˇe dané mnoˇziny je jejich sjednocen´ı.) Schematicky:

souˇcet podprostor˚u ←→ sjednocen´ı mnoˇzin.

Pod´ıvejme se nyn´ı na p´ar pˇr´ıklad˚u.

(14)

Pˇr´ıklad 1.10. Necht’

U₁:=n_x

00

∈ K³: x ∈ Ko

a U₂:=n₀

y 0

∈ K³: y ∈ Ko . Pak

U₁+ U2=n_x

y 0

∈ K³: x, y ∈ Ko .

V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1 a U2 geometricky interpretovat jako souˇradnicové osy x a y v xyz-kartézském souˇradnicovém systému na R³. Souˇcet U1+ U2má pak geometrický význam roviny xy. ♦

U₁:=n_x

00

∈ K³: x ∈ Ko

a U₂:=n_y

y 0

∈ K³: y ∈ Ko . I v tomto pˇr´ıpadˇe dostaneme stejný výsledek jako v pˇredeˇslém pˇr´ıkladu,

U₁+ U2=n_x

y 0

∈ K³: x, y ∈ Ko .

V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1 geometricky interpretovat jako souˇradnicovou osu x, U2jako souˇradnicovou osu y pootoˇcenou o 45^◦ v xy-rovinˇe a souˇcet U1+ U2 má opˇet geometrický význam roviny xy. ♦

1.6 Direktn´ı souˇ cet podprostor˚ u

Uvaˇzujme nyn´ı speciáln´ı pˇr´ıpad podprostor˚u U₁ a U₂ vektorového prostoru V, jejichˇz souˇcet dá celý prostor V, tedy V = U1 + U2. Pak kaˇzdý prvek v ∈ V m˚uˇzeme napsat ve tvaru v = u1+ u2, kde u1 ∈ U¹ a u2 ∈ U², tedy

∀v ∈ V, ∃ u¹ ∈ U¹, u2 ∈ U², v = u1+ u2.

Zvláˇstˇe d˚uleˇzitá situace nastává, kdyˇz tento rozklad je urˇcen jednoznaˇcnˇe.

Definice 1.4. Necht’ U₁, U₂ ⊂⊂ V. ˇRekneme, ˇze V je direktn´ım souˇctem podprostor˚u U₁ a U2, pokud

∀v ∈ V, ∃! u¹ ∈ U¹, u2 ∈ U², v = u1+ u2. Zapisujeme V = U1⊕ U².

Pod´ıvejme se nyn´ı na p´ar charakteristick´ych pˇr´ıklad˚u.

U₁:=n_x

y 0

∈ K³: x, y ∈ Ko

a U₂:=n₀

0 z

∈ K³: z ∈ Ko . Pak

K³= U1⊕ U².

V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1geometricky interpretovat jako xy-rovinu a U2jako souˇradnicovou osu z. ♦

(15)

U₁:=n_x

00

∈ K³: x ∈ Ko

, U2:=n₀

y 0

∈ K³: y ∈ Ko

, U3:=n₀

0z

∈ K³: z ∈ Ko . Pak

K³= U1⊕ U²⊕ U³.

V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1, U2 a U3 geometricky interpretovat jako souˇradnicov´e osy. ♦

Pˇr´ıklad 1.14. Necht’ P^±_mjsou podprostory vektorov´eho prostoru polynom˚u Pmdefinovan´e v (1.1). Pak P_m= P⁺_m⊕ P⁻m.

V reálném pˇr´ıpadˇe K := R je toto dobˇre známý rozklad funkce na R jako souˇcet jej´ı sudé a liché ˇcásti. ♦

Pˇr´ıklad 1.15. Nyn´ı uved’me pˇr´ıklad pro pochopen´ı rozd´ılu mezi souˇctem a direktn´ım souˇctem podprostor˚u.

Necht’

U₁:=nx y 0

∈ K³: x ∈ Ko

, U2:=n₀

0z

∈ K³: y ∈ Ko

, U3:=n₀

yy

∈ K³: z ∈ Ko . Zˇrejmˇe plat´ı

K³= U1+ U2+ U3, ponˇevadˇz libovoln´y vektor_x

yz

∈ K³ m˚uˇzeme zapsat ve tvaru

_x

yz

= _x

y 0

| {z }

∈U1

+ ₀

0 z

|{z }

∈U2

+ ₀

00

| {z}

∈U3

.

Avˇsak

K³6= U¹⊕ U²⊕ U³, ponˇevadˇz napˇr´ıklad vektor₀

00

m˚uˇze b´yt naps´an jako souˇcet vektor˚u z U1, U2 a U3v´ıce zp˚usoby:

₀

00

=











∈U1

z}|{₀

10

+

∈U2

z}|{₀

01

+

∈U3

z }| {

₀

−1

,

₀

00

|{z}

∈U1

+ ₀

00

|{z}

∈U2

+ ₀

00

|{z}

∈U3

.

Ponˇevadˇz rozklad nen´ı jednoznaˇcn´y, nem˚uˇze se jednat o direktn´ı souˇcet. ♦

V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe jsme ukázali, ˇze nˇejaký vektorový prostor nen´ı direktn´ım souˇctem jistých podprostor˚u t´ım, ˇze jsme ukázali, ˇze nulový vektor 0 nemá jednoznaˇcný rozklad do odpov´ıdaj´ıc´ıch vektor˚u. Definice 1.4 vyˇzaduje, aby kaˇzdý vektor mˇel jednoznaˇcný rozklad.

Mˇejme nyn´ı podprostory, jejichˇz souˇcet se rovná celému vektorovému prostoru. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze ve skuteˇcnosti staˇc´ı prozkoumat, zda pouze nulový vektor 0 má jedno- znaˇcný rozklad, abychom rozhodli, zda se jedná o direktn´ı souˇcet.

(16)

Vˇeta 1.2. Necht’ U₁ a U₂ jsou podprostory vektorov´eho prostoru V. Plat´ı tato ekvivalence:

V= U1 ⊕ U² ⇐⇒

((i) V= U₁+ U₂;

(ii) ∀u1 ∈ U1, u₂ ∈ U2, 0 = u₁+ u₂ =⇒ u1 = u₂ = 0 .

D˚ukaz. Dok´aˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı.

⇒ Necht’ V = U¹ ⊕ U². Pak (i) V = U1+ U2, coˇz plyne pˇr´ımo z toho, jak jsou souˇcet a direktn´ı souˇcet podprostor˚u definov´any. Vlastnost (ii) plyne z toho, ˇze m´ame rozklad

|{z}0

∈V

= 0

|{z}

∈U1

+ 0

|{z}

∈U2

a ten mus´ı b´yt jednoznaˇcn´y z definice direktn´ıho souˇctu.

⇐ Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze plat´ı (i) a (ii). Necht’ v ∈ V. Z (i) plyne, ˇze existuj´ı u¹ ∈ U¹ a u₂∈ U2 takové, ˇze m˚uˇzeme psát

v = u1+ u2. (1.2)

Máme za úkol dokázat, ˇze tento rozklad je jednoznaˇcný. Jak obvyklé v tˇechto pˇr´ıpadech, budeme postupovat sporem. Pˇredpokládejme tedy, ˇze existuj´ı jeˇstˇe jiné vektory u^′₁ ∈ U¹ a u^′₂ ∈ U² takové, ˇze u^′₁ 6= u¹ nebo u^′₂ 6= u², pˇriˇcemˇz máme alternativn´ı rozklad

v = u^′₁+ u^′₂. (1.3)

Odeˇcten´ım (1.2) a (1.3) dostaneme

|{z}0

∈V

= u1− u^′1

| {z }

∈U1

+ u2− u^′2

| {z }

∈U2

.

Uˇzit´ım vlastnosti (ii) dostaneme u1− u^′1 = 0 a u2− u^′2 = 0, tedy u1 = u^′₁ a u2 = u^′₂, coˇz je spor s pˇredpokladem v´yˇse, ˇze u^′₁ 6= u¹ nebo u^′₂ 6= u².

Na závˇer si pˇredstav´ıme jeˇstˇe jedno velice uˇziteˇcné kritérium.

Vˇeta 1.3. Necht’ U1 a U2 jsou podprostory vektorov´eho prostoru V. Plat´ı tato ekvivalence:

V= U₁⊕ U2 ⇐⇒

((i) V= U1+ U2; (ii) U₁∩ U2 = {0} .

D˚ukaz. Opˇet dok´aˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı.

⇒ Jako v d˚ukazu Vˇety 1.2 je zˇrejm´e, ˇze direktn´ı souˇcet implikuje souˇcet, tedy (i). Z´aroveˇn, pokud u ∈ U¹∩ U², pak

|{z}0

∈V

= u

|{z}

∈U1

+ (−u)

| {z }

∈U²

.

(17)

D´ıky jednoznaˇcnému rozkladu nulového vektoru mus´ı platit u = 0. Z libovolnosti vektoru u dostáváme vlastnost (ii).

⇐ Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze plat´ı (i) a (ii). Uˇzit´ım Vˇety 1.2 staˇc´ı ukázat, ˇze nulový vektor má jednoznaˇcný rozklad. Piˇsme tedy

|{z}0

∈V

= u₁

|{z}

∈U¹

+ u₂

|{z}

∈U²

. (1.4)

Z této rovnice plyne, ˇze u1 = −u² ∈ U². Tedy u1 ∈ U¹∩ U². Z vlastnosti (ii) vˇsak dostáváme u1 = 0. Z tohoto výsledku a rovnice (1.4) pak dostáváme rovnˇeˇz u2 = 0.

Uˇz jsme se zm´ınili, ˇze souˇcet podprostor˚u je operace analogick´a sjednocen´ı mnoˇzin. Obdobnˇe (viz pˇredchoz´ı Vˇetu 1.3) direktn´ı souˇcet podprostor˚u je operace analogick´a disjunktn´ımu sjednocen´ı mnoˇzin. Schematicky:

direktn´ı souˇcet podprostor˚u ←→ disjunktn´ı sjednocen´ı mnoˇzin.

Zádné dva podprostory vektorového prostoru nemohou být ´ˇ uplnˇe disjunktn´ı, ponˇevadˇz oba mus´ı obsahovat nulový vektor. Tedy ˇcistá disjunktnost je v pˇr´ıpadˇe podprostor˚u zamˇenˇena za poˇzadavek, aby jejich pr˚unik byl nulový prostor.

(18)

1.7 Cviˇ cen´ı

1. Ukaˇzte, ˇze plat´ı

∀v ∈ V, −(−v) = v . 2. Ukaˇzte, ˇze plat´ı

∀α ∈ K, v ∈ V, αv = 0 =⇒ (α = 0 ∨ v = 0) . 3. Pro jak´e hodnoty α, β ∈ R je mnoˇzina

(^xx¹²) ∈ K⁴ : x2 = αx1+ β podprostorem v R²? Interpretujte geometricky.

[Tehdy a jen tehdy, pokud β = 0. Hint: Pouˇzijte Vˇetu 1.1.]

4. Pro jak´e hodnoty α ∈ K je mnoˇzina

_x₁

x2

x³ x4

∈ K⁴ : x3 = 5x4+ α

podprostorem v K⁴?

[Tehdy a jen tehdy, pokud α = 0.]

5. Ukaˇzte, ˇze mnoˇzina

{p ∈ P^∞: p(3) = 0}

je podprostorem v P_∞.

6. Necht’ m ∈ N^∗. Je mnoˇzina (sjednocen´ı nulov´eho polynomu a vˇsech polynom˚u stupnˇe pr´avˇe m)

{0} ∪ {p : K → K : p(x) = α⁰ + α1x + · · · + α^mx^m, α1, . . . , αm ∈ K, α^m 6= 0}

podprostorem v Pm?

[Ne. (Nen´ı uzavˇren´a v˚uˇci souˇctu.)]

7. Kter´e z n´asleduj´ıc´ıch podmnoˇzin prostoru K³ jsou podprostory prostoru K³? (a) n_x₁

x² x3

∈ K³ : x1+ 2x2+ 3x3 = 0o

; (b) n_x1

x² x³

∈ K³ : x1+ 2x2+ 3x3 = 4o

; (c) n_x1

x2

x³

∈ K³ : x1x2x3 = 0o

; (d) n_x₁

x2

x3

∈ K³ : x1 = 5x3

o . Interpretujte geometricky pro K = R.

[(a), (d) jsou podprostory; (b), (c) nejsou.]

8. Je R² podprostorem C?

[Ne. (Nen´ı to ani podmnoˇzina.)]

(19)

9. Plat´ı n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı?

(a)

(^xx¹2) ∈ R² : x₂ = 0

⊂⊂ R²; (b) {z ∈ C : z ∈ R} ⊂⊂ C.

Interpretujte geometricky.

[(a) plat´ı; (b) neplat´ı. Obr´azky vˇsak vypadaj´ı stejnˇe.]

10. Která z následuj´ıc´ıch tvrzen´ı jsou pravdivá?

(a) n_a

bc

∈ R³ : a³ = b³o

⊂⊂ R³; (b) n_a

bc

∈ C³ : a³ = b³o

⊂⊂ C³. Jak´a je geometrick´a interpretace mnoˇziny v (a)?

[(a) plat´ı (a³ = b³ ⇒ a = b pro reálná ˇc´ısla); (b) neplat´ı (máme napˇr´ıklad (eî2π/3)³ = 1³), ˇcehoˇz lze vyuˇz´ıt pro neplatnost uzavˇrenosti v˚uˇci souˇctu.]

11. Dejte pˇr´ıklad neprázdné mnoˇziny U ⊂ R², jeˇz je uzavˇrená vzhledem ke sˇc´ıtán´ı (t.j.

∀u, v ∈ U, u + v ∈ U) a vzat´ı opaˇcn´eho vektoru (t.j. ∀u ∈ U, −u ∈ U), avˇsak U nen´ı podprostorem v R².

[Napˇr´ıklad U := Z² nebo U := {(^x0¹) : x1 ∈ {−1, 0, 1}}.]

12. Dejte pˇr´ıklad neprázdné mnoˇziny U ⊂ R², jeˇz je uzavˇrená vzhledem k násoben´ı ˇc´ısly, avˇsak U nen´ı podprostorem v R².

[Napˇr´ıklad U := R × {0} nebo U := {(^x^x¹²) : x1x2 ≥ 0.]

13. Ukaˇzte, ˇze pr˚unik podprostor˚u ve V je podprostor ve V, tedy:

U₁, . . . , Un ⊂⊂ V =⇒

\n j=1

U_k ⊂⊂ V .

14. Ukaˇzte, ˇze sjednocen´ı dvou podprostor˚u ve V je podprostor ve V tehdy a jen tehdy, pokud jeden z podprostor˚u je podmnoˇzinou toho druh´eho. Jin´ymi slovy, mˇejme podprostory U1, U2 ⊂⊂ V; potom plat´ı ekvivalence

U₁∪ U² ⊂⊂ V ⇐⇒ (U1 ⊂ U² ∨ U² ⊂ U¹) . 15. Necht’ U ⊂⊂ V. Co je U + U?

[U + U = U.]

16. Je operace sˇc´ıtán´ı podprostor˚u komutativn´ı? Je asociativn´ı? Jinými slovy, plat´ı násle- duj´ıc´ı tvrzen´ı?

∀U¹, U2, U3 ⊂⊂ V, (a) U1+ U2 = U2+ U1;

(b) (U1+ U2) + U3 = U1+ (U2+ U3) . [Plat´ı.]

(20)

17. Má operace sˇc´ıtán´ı podprostor˚u nulový prvek? Tedy plat´ı

∃N ⊂⊂ V, ∀U ⊂⊂ V, N+ U = U ? [Ano, a to nulov´y podprostor N := {0}.]

18. Které podprostory obsahuj´ı opaˇcné prvky v˚uˇci sˇc´ıtán´ı? Tedy pro které podprostory U plat´ı

∃ − U ⊂⊂ V, U+ (−U) = N ?

[Pouze nulov´e podprostory U = N = {0}. Hint: Nezbytnˇe −U = U a pouˇzijte Cviˇcen´ı 15.]

19. Dokaˇzte, nebo dejte protipˇr´ıklad:

∀U¹, U2, W ⊂⊂ V, U₁+ W = U2+ W =⇒ U₁ = U2. [Protipˇr´ıklad:

U₁ :=

(^x0) ∈ R² : x ∈ R

, U2 :=

(^xx) ∈ R² : x ∈ R

, W := ₀

y

∈ R² : y ∈ R , coˇz d´av´a U₁+ W = U₂+ W = R².]

20. Uvaˇzujme podprostor

U:= {p ∈ P^∞ : p(x) := αx²+ βx⁵, α, β ∈ K} ⊂⊂ P^∞. Najdˇete podprostor W v P∞ takov´y, ˇze m´ame rozklad

P_∞= U ⊕ W . [W := P∞\ U.]

21. Dokaˇzte, nebo dejte protipˇr´ıklad:

∀U1, U₂, W ⊂⊂ V, U₁ ⊕ W = U2⊕ W =⇒ U₁ = U₂. [Tvrzen´ı plat´ı. Hint: Vyuˇzijte Vˇety 1.3.]

(21)

2 Vektory

Nyn´ı, co jsme popsali prostory, kterými se budeme zabývat, se zamˇeˇr´ıme na jejich prvky a vztahy mezi nimi. Budeme implicitnˇe pˇredpokládat, ˇze ˇc´ıslo m znaˇc´ıc´ı poˇcet vektor˚u je striktnˇe kladné celé ˇc´ıslo, tedy:

m ∈ N^∗.

2.1 Soubor versus mnoˇ zina

Necht’ v₁, . . . , v_m ∈ V. Ze vˇseho nejdˇr´ıve si mus´ıme uvˇedomit d˚uleˇzitý rozd´ıl mezi mnoˇzinou vektor˚u {v¹, . . . , vm} ⊂ V a souborem (uspoˇrádanou m-tic´ı) vektor˚u (v1, . . . , vm) ∈ V^m. Kromˇe formáln´ıho pozorován´ı, ˇze se jedná o r˚uzné objekty, rozd´ıl spoˇc´ıvá ve dvou vˇecech.

V souboru je poˇrad´ı vektor˚u d˚uleˇzit´e a vektory se mohou opakovat. Naopak pro mnoˇziny je poˇrad´ı prvk˚u a jejich opakov´an´ı irelevantn´ı. Obecnˇe tedy mˇejme na pamˇeti schematickou nerovnost

{v¹, . . . , vm} 6= (v¹, . . . , vm) .

Mnoˇzinu {v1, . . . , v_m} jste zvykl´ı nazývat mnoˇzinou o m prvc´ıch. Mnoˇzinˇe, jeˇz neobsahuje ˇzádný prvek, se ˇr´ıká prázdná mnoˇzina a znaˇc´ı se {} nebo ∅. Obdobnˇe je zvykem uspoˇrádanou m-tici vektor˚u (v1, . . . , vm) nazývat souborem vektor˚u délky m. Rovnˇeˇz bude uˇziteˇcné si oznaˇcit soubor délky nula symbolem () a nazývat ho intuitivnˇe prázdným souborem.

2.2 Line´ arn´ı obal

Ze vˇseho nejdˇr´ıve dejme jméno vektoru utvoˇrenému ze souboru daných vektor˚u.

Definice 2.1. Line´arn´ı kombinace souboru vektor˚u (v1, . . . , vm) ∈ V^m je vektor tvaru α1v1 + · · · + α^mvm,

kde α1, . . . , αm ∈ K.

C´ısla αˇ 1, . . . , αm vystupuj´ıc´ı v Definici 2.1 nazýváme koeficienty lineárn´ı kombinace. Jsou- li vˇsechna tato ˇc´ısla rovna nule (tedy α1 = · · · = α^m = 0), pak tuto lineárn´ı kombinaci nazýváme triviáln´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe (t.j. kdyˇz existuje 1 ≤ i ≤ m takové, ˇze αⁱ 6= 0) budeme ˇr´ıkat, ˇze lineárn´ı kombinace je netriviáln´ı. Triviáln´ı lineárn´ı kombinace libovolných vektor˚u je zˇrejmˇe rovna nulovému vektoru.

Jak uˇz bývá v matematice zvykem, pˇriˇrad´ıme název i mnoˇzinˇe vˇsech lineárn´ıch kombinac´ı daných vektor˚u.

Definice 2.2. Line´arn´ı obal souboru vektor˚u (v1, . . . , vm) ∈ V^m je mnoˇzina span(v1, . . . , vm) := {α¹v1+ · · · + α^mvm : α1, . . . , αm∈ K} .

Pro konzistenci rovnˇeˇz definujeme, ˇze obal prázdného souboru vektor˚u je nulový prostor, tedy span() := {0}.