Graduacja. Modele Markowa i analiza przeżycia w ubezpieczeniach Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Semestr zimowy r. akad.

(1)

Graduacja

Rafał M. Łochowski

Modele Markowa i analiza prze˙zycia w ubezpieczeniach

Szkoła Gł ´owna Handlowa w Warszawie Semestr zimowy r. akad. 2021/2022

5.01.2022

Rafał M. Łochowski 5.01.2022 1 / 29

(2)

Graduacja - co to takiego?

Najog ólniej ujmujac,_, graduacja to zbi ór modeli oraz metod, za pomoca_, kt órych dopasowujemy obserwowane prawdopodobie ństwa zmian stan ów do tych modeli.

W naszych rozwa˙zaniach bedziemy zajmowali si_, e graduacj_, a funkcji_, prze˙zycia w ubezpieczeniach ˙zyciowych i modeli Markowa w ubezpieczeniach czasowej niezdolno´sci do pracy.

Podobnie jak dotychczas, nasza analiz_, e oprzemy na intensywno´sciach_, przej´scia ze stanu ’˙zywy’ do stanu ’zmarły’ lub ze stan ´ow:

s₁=’ ˙zywy, zdolny do pracy’,

s₂=’ ˙zywy, czasowo niezdolny do pracy’ , s3=’zmarły’,

do pozostałych stan ów, kt óre bedziemy modelować za pomoc_, a wieku x_, i innych obserwowanych zmiennych obja´sniajacych._,

(3)

Graduacja funkcji prze˙zycia

Dotychczas funkcje prze˙zycia S_, (x)i intensywno´s´c wymieraniaµ_x w wieku x modelowali´smy na podstawie tablic trwania ˙zycia

w spos ´ob nieparametryczny. Rozpatrywali´smy te˙z kilka modeli parametrycznych długo´sci trwania ˙zycia:

model de Moivre’a (1725) z wiekiem granicznymω, w kt ´orym µ_x = ¹

ω−x;

model Gompertza (1825), w kt ´orym

µ_x =B·c^x; (1)

model Makehama (1860) - uog ´olnienie modelu Gompertza, w kt ´orym

µ_x =A+B·c^x. (2)

(4)

Graduacja funkcji prze˙zycia, c.d.

Model de Moivre’a mo˙ze by´c stosowany jedynie jako ilustracja poje´c_, zwiazanych z analiz_, a prze˙zycia i nie nadaje si_, e do modelowania_, długo´sci trwania ludzkiego ˙zycia.

Prosty model Gompertza mo˙ze by´c stosowany jako przybli˙zenie nate˙zenia wymierania w przedziałach wieku x_, ∈ [60,90], lecz w

przypadku x <60 zwykle niedoszacowuje a dla x>90 przeszacowuje intensywno´s´c wymierania.

Model Makehama mo˙ze być stosowany jako przybli˙zenie nate˙zenia_, wymierania r ównie˙z dla warto´sci x nieco mniejszych od 60 jednak dla x >90 r ównie˙z przeszacowuje intensywno´sć wymierania.

(5)

Graduacja funkcji prze˙zycia, c.d.

Dalsze zaproponowane modyfikacje i uog ´olnienia prawa Gompertza były nastepuj_, ace:_,

model Perksa (1932), w kt ´orymµ_x = ^e^α+β^x

1+e^α+β^x; model Bearda (1959), w kt ´orymµ_x = ^e^α+β^x

1+e^α+ρ+β^x;

model Makehama-Perksa (1932), w kt órymµ_x =ê^ε⁺ê^α+β^x

1+e^α+β^x ; model Makehama-Bearda (1932), w kt órymµ_x = ê^ε⁺ê^α+β^x

1+e^α+ρ+β^x. Prawa te (poza modelem Gompertza) sie r ´o˙zni_, a od modeli_, parametrycznych stosowanych w analizie prze˙zycia na podstawie danych medycznych, gdzie rozkład trwania ˙zycia dopasowuje sie do_, rozkładu wykładniczego, Weibulla, log-normalnego i innych (dostepnych_, np. w bibliotecesurvivalw pakiecie R).

(6)

Graduacja funkcji prze˙zycia, c.d.

W celu estymacji i por ´ownania zaprezentowanych modeli i innych (stosowanych w analizie prze˙zycia na podstawie danych medycznych) w artykule S. J. Richardsa A handbook of parametric survival models for actuarial use (Scandinavian Actuarial Journal, 2012, 4, 233-257) wyestymowano i por ´ownano 16 modeli.

Estymacja parametr ów modelu polegała na konstrukcji i maksymalizacji (logarytmu) funkcji wiarygodno´sci. Je˙zeli w momencie t_i obserwujemy osobe, kt óra w momencie 0 była w wieku x_, i, to wkład takiej osoby do funkcji wiarygodno´sci (czyli łacznej g_, esto´sci trwania ˙zycia n os ób z_, obserwowanej grupy) wynosi

t_ip_x_iµ^d_xⁱ

i+t_i,

gdzie di =1 je˙zeli w momencie tiosoba nie ˙zyje, di =0 je˙zeli w momencie ti osoba ˙zyje.

(7)

Funkcja wiarygodno´sci

Przy zało˙zeniu niezale˙zno´sci trwania ˙zycia os ´ob w grupie, funkcja wiarygodno´sci ma posta´c

L=

n

∏

i=1 t_ip_x_iµ^d_xⁱ

i+t_i.

Korzystajac z zale˙zno´sci_, _tp_x =e⁻^H^x⁽^t⁾, gdzie H_x(t) =´_t

0µ_x₊_sds, otrzymujemy

lnL= −

n i

∑

=1

H_x_i(t_i) +

n i

∑

=1

d_iln µ_x_i₊_t_i.

Dla 16 modeli, przy zastosowaniu kryterium Akaike i statystyki chi-kwadrat, najlepsze (= najmniejsze) warto´sci tych statystyk

otrzymano dla modelu Makehama-Bearda (po podziale grupy wg płci).

(8)

Modelowanie intensywno´sci przej´scia w ubez- pieczeniach czasowej niezdolno´sci do pracy

Analiza przydatnych zmiennych obja´sniajacych wykazała, ˙ze_, na intensywno´sci przej´scia s₂→s₁maja wpływ dwie zmienne:_, wiek ubezpieczonego x oraz czas przebywania w stanie s2(czyli w stanie ’˙zywy, czasowo niezdolny do pracy’), z;

podobnie, zmienne x oraz z maja wpływ na intensywno´sci_, przej´scia s₂→s₃;

intensywno´sci przej´scia s1→s2mo˙zna modelowa´c jedynie za pomoca zmiennej x ._,

Potrzeba uwzglednienia zmiennej z (czasu przebywania w stanie ’˙zywy,_, czasowo niezdolny do pracy’) sprawia, ˙ze proces X_t =

’stan ubezpieczonego po czasie t od momentu wykupu bezpieczenia’

nie jest procesem Markowa.

(9)

Modelowanie intensywno´sci przej´scia w ubez- pieczeniach czasowej niezdolno´sci do pracy

Zanim przejdziemy do matematycznego modelu dla procesu X_t, podamy formuły na intensywno´sci przej´s´c s2→s1, s2→s3oraz s₁→s₂.

Formuły te bed_, a zale˙zeć od długo´sci_, okresu odroczenia, po kt órym ubezpieczyciel zaczyna wypłacać ubezpieczenie.

Typowe okresy odroczenia to 4 tygodnie lub 13 tygodni od nabycia czasowej niezdolno´sci do pracy. Inne okresy to 1 tydzie ´n lub 26 tygodni od nabycia czasowej niezdolno´sci do pracy.

(10)

Intensywno´sci przej´scia w ubezpieczeniu z okresem odroczenia wynosz acym 1 tydzie ´n

_,

W ksia˙zce Habermana i Pitacco Actuarial models for disability_, insurance (Taylor and Francis, 1998) podano nastepuj_, ac_, a formuł_, e na_, intensywno´sci przej´scia s₂→s₁(powrotu ze stanu czasowej

niezdolno´sci do pracy) w ubezpieczeniu czasowej niezdolno´sci do pracy z okresem odroczenia wynoszacym 1 tydzie ´n:_,

ρx,z = exp β0+ β1x+ β2z+ β3

√z+ β4xz+ β5x√

z , (3) gdzie x to wiek ubezpieczonego w latach, z to czas przebywania

w stanie czasowej niezdolno´sci do pracy w tygodniach.

Intensywno´sć w r ównaniu (3) mierzona jest wodwrotno ´sciach roku, czyli dla niedługiego odcinka czasudt roku, prawdopodobie ństwo przej´scia s2→s1na tym odcinku wyniesieρx,zdt.

(11)

Estymacja intensywno´sci przej´scia

W praktyce szacowanie wsp ółczynnik ówβ1, . . . , β5mo˙zna otrzymać za pomoca podziału danych na kilkaset podgrup, w zale˙zno´sci od wieku i_, czasu przebywania w stanie czasowej niezdolno´sci do pracy. Nale˙zy r ównie˙z zidentyfikować r ó˙zne polisy wystawione dla tej samej osoby (i uwzglednić tylko jedn_, a)._,

W ksia˙zce Habermana i Pitacco wiek x dzielony jest na 8 kategorii:_, 20−29, 30−34, 35−39, 40−44, 45−49, 50−54, 55−59, 60−65 lat, a czas przebywania w stanie czasowej niezdolno´sci do pracy na 37 kategorii: 30 tygodniowych kategorii z∈ [0,1)(w tygodniach),

z∈ [1,2), z∈ [2,3),. . ., z∈ [29,30), nastepnie na kategorie_, z∈ [30,39), z∈ [39,52)(w tygodniach), a nastepnie na 5 kategorii_, z∈ [1,2), z∈ [2,3), z∈ [3,4), z∈ [4,5), z>5 (w latach).

Intensywno´s´c przej´scia s₂→s₁w ka˙zdej z podgrup przyjmuje sie za_, stała._,

(12)

Estymacja intensywno´sci przej´scia

Je˙zeli obserwujemy osobe w wieku 35 lat, kt óra była niezdolna do pracy_, przez 3 pełne tygodnie i wyzdrowiała w 4. tygodniu, to prawdopodobie ństwo warunkowe takiego zdarzenia (pomijajac prawdopodobie ń-_, stwo ´smierci i przyjmujac stał_, a intensywno´sć w ka˙zdej z podgrup)_, bedzie wynosiło_,

exp (−ρ35,0− ρ35,1− ρ35,2) (1− exp (−ρ35,3)) .

Je˙zeli obserwujemy osobe w wieku 40 lat, kt ´ora była niezdolna do pracy_, przez rok i 3 tygodnie, a w 4. tygodniu wyzdrowiała, to prawdopodobie ´nstwo warunkowe takiego zdarzenia (pomijajac_,

prawdopodobie ´nstwo ´smierci) bedzie wynosiło_,

exp (−ρ40,0− . . . − ρ40,29− ρ40,30·9− ρ40,39·13− ρ41,1 rok·3)

× (1− exp (−ρ41,1 rok)) .

(13)

Estymacja intensywno´sci przej´scia

Piszac dla ka˙zdej z zaobserwowanych os ób analogiczne prawdopodo-_, bie ństwa, mno˙zac je (zakładamy niezale˙zno´sć obserwacji) i korzystaj_, ac_, z formuły (3) otrzymujemy funkcje zale˙zn_, a od wsp ółczynnik ów_,

β1, . . . , β5. Warto´sciˆβ1, . . . , ˆβ5maksymalizujace otrzyman_, a funkcj_, e to_, estymatory najwiekszej wiarygodno ´sci wsp ´_, ołczynnik ´owβ1, . . . , β5. Uwaga. Do obliczenia np.ρ35,3(a nastepnie funkcji wiarygodno´sci) za_, pomoca formuły (3) stosujemy x_, =35, z =3,5 (bierzemy ´srodek przedziału z∈ [3,4)), a do obliczenia np.ρ41,1 rokza pomoca formuły_, (3) bierzemy x=41, z=52+26 (gdy˙z rok ma 52 tygodnie, a za z przyjmujemy ´srodek przedziału z ∈ [1 rok,2 lata)w tygodniach).

Jeszcze bardziej poprawne byłoby wziecie za z ´srednich ze wszystkich_, obserwacji (dla kt ´orych obserwujemy z∈ [3,4)i z∈ [1 rok,2 lata) odpowiednio). W ksia˙zce Habermana i Pitacco zaproponowano nieco_, inna metod_, e (opart_, a na uog ´olnionych modelach liniowych)._,

(14)

Intensywno´sci przej´scia w ubezpieczeniu z okresem odroczenia wynosz acym 1 tydzie ´n

_,

Haberman i Pitacco podaja nast_, epj_, ace oszacowania wsp ´ołczynnik ´ow_, β1, . . . , β5, otrzymane na podstawie danych CMI (Continuous Mortality Investigation Bureau) w Wielkiej Brytanii (dane pochodzace z lat_, 1975-1978):

wsp ´ołczynnik estymata wsp ´ołczynnika bład standardowy_,

β0 6,0006 0,1567

β1 −0,04076 0,003469

β2 0,05844 0,01050

β3 −1,1546 0,1033

β4 −0,0008759 0,0002436

β5 0,007937 0,002261

(15)

Intensywno´sci przej´scia s

₂

→ s

₁

w ubezpieczeniu z dłu˙zszym okresem odroczenia

Biuro CMI zaproponowało nastepuj_, ac_, a formuł_, e na intensywno´sci_, przej´scia s2→s1(powrotu ze stanu czasowej niezdolno´sci do pracy) w ubezpieczeniu czasowej niezdolno´sci do pracy z okresem odroczenia wynoszacym 4, 13 lub 26 tygodni:_,

ρx,z= exp β0+ β1x+ β2z+ β3(z−z₁)₊+ β4(z−z₂)₊+ β5x(z−z₁)₊ , (4) gdzie 0<z1<z2oraz

(z−z0)₊=z−z0gdy z≥z0, (z−z0)₊=0 gdy z<z0. Podobnie jak wcze´sniej, intensywno´sć w r ównaniu (4) mierzona jest w odwrotno´sciach tygodnia, czyli dla niedługiego odcinka czasudt tygodni, prawdopodobie ństwo przej´scia s₂→s₁na tym odcinku wyniesieρx,zdt.

(16)

Intensywno´sci przej´scia s

₂

→ s

₃

Dla wszystkich rodzaj ów ubezpiecze ń (z r ó˙znymi okresami odroczenia) podano nastepuj_, ac_, a formuł_, e na intensywno´sci przej´scia s_, 2→s3

(´smierci w czasie stanu czasowej niezdolno´sci do pracy):

νx,z = exp γ0+ γ1x+ γ2z+ γ3(z−z₁)₊+ γ4(z−z₂)₊ . (5) Je˙zeli ubezpieczony w momencie t jest w stanie s₂, to przy zało˙zeniu stałych intensywno´sciρx,z iνx,z na niedługim odcinku czasu[t,t+ ∆t] prawdopodobie ´nstwo powrotu do stanu s₁i prawdopodobie ´nstwo

´smierci w czasie miedzy t a t_, + ∆t wyniosa odpowiednio_, ˆ t+∆t

t

e^−(ρ^x^,^z^+ν^x^,^z⁾⁽^s⁻^t⁾ρx,zds=

1−e^−(ρ^x^,^z^+ν^x^,^z^)∆^t

ρx,z

ρ_x_,_z+ νx,z

, ˆ t+∆t

t

e^−(ρ^x^,^z^+ν^x^,^z⁾⁽^s⁻^t⁾νx,zds=

1−e^−(ρ^x^,^z^+ν^x^,^z^)∆^t

νx,z

ρx,z+ νx,z

.

(17)

Estymacja intensywno´sci przej´scia

Podobnie jak wcze´sniej, szacowanie wsp ółczynnik ówβ1, . . . , β5, γ1, . . . , γ4mo˙zna otrzymać za pomoca podziału danych na kilkaset_, podgrup, w zale˙zno´sci od wieku i czasu przebywania w stanie czasowej niezdolno´sci do pracy. Intensywno´sć przej´scia s₂→s₁i s₂→s₃w ka˙zdej z podgrup przyjmuje sie za stał_, a._,

Je˙zeli np. obserwujemy osobe w wieku 35 lat, kt ´ora była niezdolna do_, pracy przez 3 tygodnie i w 4. tygodniu wr ´ociła do zdrowia, to

prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia (uwzgledniaj_, ac_,

prawdopodobie ´nstwo ´smierci i przyjmujac stał_, a intensywno´s´c w ka˙zdej_, z podgrup) bedzie wynosiło_,

exp (−ρ35,0− ρ35,1− ρ35,2) (1− exp (−ρ35,3)) ρ₃₅_,₃ ρ35,3+ ν35,3

.

(18)

Estymacja intensywno´sci przej´scia

Piszac dla ka˙zdej z zaobserwowanych os ób analogiczne prawdopodo-_, bie ństwa, mno˙zac je (zakładamy niezale˙zno´sć obserwacji) i korzystaj_, ac_, z formuł (4), (5) otrzymujemy funkcje zale˙zn_, a od wsp ółczynnik ów_, β1, . . . , β5,γ1, . . . , γ4.

Uwaga. Do obliczenia np.ρ35,3,ν35,3stosujemy analogiczna_, konwencje jak na slajdzie 13._,

Warto´sciβˆ1, . . . , ˆβ5,ˆγ1, . . . ,ˆγ4maksymalizujace otrzyman_, a funkcj_, e to_, estymatory najwiekszej wiarygodno ´sci wsp ´_, ołczynnik ´owβ1, . . . , β5, γ1, . . . , γ4.

W ksia˙zce Habermana i Pitacco zaproponowano nieco inn_, a metod_, e_, (oparta na uog ´olnionych modelach liniowych)._,

(19)

Intensywno´sci przej´scia s

₂

→ s

₁

w ubezpieczeniu z okresem odroczenia 4 tygodnie

Haberman i Pitacco podaja nast_, epj_, ace oszacowania wsp ´ołczynnik ´ow_, β1, . . . , β5oraz z1i z2otrzymane na podstawie danych CMI:

Okres odroczenia 4 tygodnie

β0 0,5617 0,3252

β1 −0,01394 0,002991

β2 0,3141 0,04870

β3 −0,3390 0,05062

β4 0,04254 0,005140

β5 −0,0007846 0,0001754

z1 6,5 −

z₂ 45,5 −

(20)

Intensywno´sci przej´scia s

₂

→ s

₁

w ubezpieczeniu z okresem odroczenia 13 tygodni

Okres odroczenia 13 tygodni

β0 −3,042 1,343

β1 −0,02661 0,005914

β₂ 0,3303 0,08234

β3 −0,3806 0,08492

β4 0,5058 0,007395

β₅ −0,0003316 0,0001379

z₁ 16,5 −

z2 45,5 −

(21)

Intensywno´sci przej´scia s

₂

→ s

₁

w ubezpieczeniu z okresem odroczenia 26 tygodni

β0 0,4341 4,074?

β1 −0,05949 0,007825

β₂ 0,08571 0,1415

β3 −0,1636 0,1511

β4 0,06749 0,01830

β₅ 0 (nieistotny) −

z₁ 29,5 −

z2 45,5 −

(22)

Intensywno´sci przej´scia s

₂

→ s

₃

Warto´sci wsp ´ołczynnik ´ow w formule

νx,z = exp γ0+ γ1x+ γ2z+ γ3(z−z1)₊+ γ4(z−z2)₊ (niezale˙znie od typu ubezpieczenia) wyestymowano jako nastepuj_, ace:_,

γ0 −3,549 0,4249

γ₁ 0,02125 0,007474

γ2 0,04156 0,1829

γ3 −0,05297 0,01898

γ₄ 0,01467 0,002844

z₁ 14,5 −

z2 182 −

(23)

Intensywno´sci przej´scia s

₁

→ s

₂

W ksia˙zce Habermana i Pitacco intensywno´sci przej´scia s_, ₁→s₂sa_, modelowane za pomoca formuły_,

σx = exp δ0+ δ1x+ δ2x² . (6) Zauwa˙zmy, ˙ze formuła (6) jest innym uog ólnieniem prawa Gompertza (1) ni˙z prawo Makehama (2). Warto´sci wsp ółczynnik ów w formule (6) zale˙za od okresu odroczenia._,

Okres odroczenia 1 tydzie ´n

δ0 1,7110 0,2146

δ1 −0,1192 0,01025

δ2 0,001145 0,0001165

(24)

Intensywno´sci przej´scia s

₁

→ s

₂

Okres odroczenia 4 tygodnie

δ0 3,2944 0,5002

δ1 −0,2089 0,02354

δ2 0,002137 0,0002671

δ0 5,0594 1,0915

δ1 −0,2855 0,04939

δ2 0,002763 0,0005414

(25)

Intensywno´sci przej´scia s

₁

→ s

₂

δ0 6,4587 1,3735

δ1 −0,3750 0,06103

δ2 0,003833 0,0006532

(26)

Procesy semi-Markowa

Jak ju˙z wspomniano, potrzeba uwzglednienia zmiennej z (czasu_, przebywania w stanie ’˙zywy, czasowo niezdolny do pracy’) w modelu ubezpieczenia czasowej niezdolno´sci do pracy sprawia, ˙ze proces

X_t=’stan ubezpieczonego po czasie t od momentu wykupu bezpieczenia’

nie jest procesem Markowa, gdy˙z intensywno´s´c przechodzenia ze stanu ˙zywy, czasowo niezdolny do pracy’ do stanu ˙zywy, zdolny do pracy’ w momencie t nie zale˙zy tylko od czasu t.

Dlatego proces Xt, t ≥0, nazywa sie_, procesem semi-Markowa.

(27)

Procesy semi-Markowa, c.d.

W przypadku modelu ubezpieczenia czasowej niezdolno´sci do pracy łatwo jest jednak zamieni´c proces Xt na proces Markowa, dodajac dodatkowa wsp ´ołrz_, edn_, a - czas R_, t przebywania w aktualnym stanie, od momentu poprzedniej zmiany stanu (lub od momentu 0 je˙zeli do momentu t nie nastapiła zmiana stanu)._,

Otrzymamy tu jednak proces(Xt,Rt)oniesko ´nczonej (a nawet nieprzeliczalnej) rodzinie stan ´ow(si,r), i=1,2,3, r ≥0.

Dla bardzo małychdt >0 mamy

π₍_s₂_,_r_),(_s₁_,d_t₎(t,t+ dt) = ρx+t,rdt, π₍_s₂_,_r_),(_s₃_,d_t₎(t,t+ dt) = νx+t,rdt, π₍_s₁_,_r_),(_s₂_,d_t₎(t,t+ dt) = σx+tdt.

Bedziemy r ´ownie˙z zakłada´c, ˙ze_,

π₍_s₁_,_r_),(_s₃_,d_t₎(t,t+ dt) = µ_x₊_tdt.

(28)

Procesy semi-Markowa - prawdopodobie ´nstwa przej´scia

Mo˙zna wykaza´c, ˙ze prawdopodobie ´nstwo warunkowe P₂₂(t,u;r) :=

P (^X^v =s2dla wszystkich v ∈ [t,u]|Xt =s2oraz Rt =r)mo˙zna obliczy´c za pomoca formuły_,

P22(t,u;r) = exp

− ˆ u

t

ρx+v,r+v−t+ νx+v,r+v−tdv

a prawdopodobie ństwo warunkowe P₁₁(t,u) := P (^Xu=s₁|X_t =s₁) spełnia nastepuj_, ace r ównanie całkowo-r ó˙zniczkowe_,

d

duP11(t,u) = ˆ u

t

P11(t,v)σx+vP22(v,u;0)ρx+u,u−vdv

−P₁₁(t,u) [σx+u+ µ_x₊_u] .

(29)

Procesy semi-Markowa - prawdopodobie ´nstwa przej´scia, c.d.

Ostatni moment przed momentem u>t ≥0, w kt ´orym semi-proces X_v, v ≥0, znajdował sie w stanie s_, 1pod warunkiem, ˙ze w momencie t, X_t =s₁a w momencie u, X_u=s₂, ma w punkcie v ∈ [t,u]gesto´s´c:_,

P11(t,v)σx+vP22(v,u;0) P (^X^u=s₂|X_t =s₁) Zatem

P₁₂(t,u) := P (^Xu=s₂|X_t =s₁) = ˆ _u

t

P₁₁(t,v)σx+vP₂₂(v,u;0)dv.