Jarosław BEDNARZ
EKSPERYMENTALNA ANALIZA MODALNA KŁADKI DLA PIESZYCH
Eksperymentalna Analiza Modalna pozwala na wyznaczenie częstotliwości drgań własnych, współczynników tłumienia modalnego oraz postaci drgań własnych dowolnej konstrukcji mechanicznej przy wykorzystaniu sterowanego wymuszenia.
W artykule przedstawiono sposób przeprowadzenia badań modalnych kładki dla pieszych. Głównym celem prowadzonych badań było wyznaczenie częstotliwości oraz postaci drgań własnych badanego obiektu. W artykule przedstawiono również sposób oceny jakości zarejestrowanych danych pomiarowych oraz ich analizy dla potrzeb estymacji parametrów modalnych badanej konstrukcji kładki.
WSTĘP
W artykule przedstawiono wyniki badań modalnych [1,2,3]
kładki dla pieszych, których głównym celem była identyfikacja czę- stotliwości i postaci drgań własnych badanego obiektu przy wymu- szeniu impulsowym. W trakcie prowadzonych badań wykonano dwa testy:
1. TEST A – badania modalne kładki z wykorzystaniem wymu- szenia impulsowego; badania przeprowadzone w dzień; w trakcie badań normalny ruch pieszych i pojazdów.
2. TEST B - badania modalne kładki z wykorzystaniem wymu- szenia impulsowego; badania przeprowadzone w nocy; w trak- cie badań brak ruchu pieszych i pojazdów.
Nazwy TEST A oraz TEST B są konsekwentnie stosowane przy opisie badań w dalszej części artykułu.
Zakres przeprowadzonych badan w obu testach obejmował:
1. eksperyment modalny z wykorzystaniem wymuszenia impul- sowego,
2. estymacje parametrów modelu modalnego badanego obiektu na podstawie wyników przeprowadzonego eksperymentu, 3. opracowanie wyników badań.
Rys. 1. Zdjęcie poglądowe kładki dla pieszych (źródło:
http://www.tsmi.republika.pl/zdj/kr.html)
W trakcie prowadzonych badań wykorzystano następująca aparaturę pomiarową:
1. 8-kanalowy analizator typu SCADAS Mobile,
4. komputer pomiarowy z oprogramowaniem LMS TestLAB.
Poniżej zestawiono najważniejsze cechy przeprowadzonych badan:
1. zastosowano wymuszenie impulsowe,
2. punkt przyłożenia siły wymuszającej znajdował się w pobliżu punktu mocowania liny numer jeden po lewej stronie kładki, 3. równocześnie z pomiarem sygnału siły wymuszającej mierzono
sygnały odpowiedzi na wymuszenie – przyspieszenia drgań, w każdym punkcie pomiarowym w kierunku Z,
4. na podstawie mierzonych sygnałów pomiarowych wyznaczono widmowe funkcje przejścia (WFP) między sygnałem wymusze- nia a sygnałami odpowiedzi,
5. wyznaczano WFP w postaci funkcji inertancji [m/s2/N], 6. w czasie estymacji przebiegów WFP przebiegi funkcji koheren-
cji zwyczajnej między sygnałem wymuszenia, a sygnałami od- powiedzi były monitorowane dla zapewnienia odpowiedniej ja- kości sygnałów pomiarowych,
7. zakres częstotliwości pomiaru ustalono na 0 Hz - 25 Hz, 8. rozdzielczość częstotliwościową pomiaru ustalono na 0.1 Hz, 9. estymowane przebiegi WFP były 10 razy uśredniane w dzie-
dzinie częstotliwości w celu kompensacji błędów losowych po- miaru.
1. TEST A – OPIS BADAŃ MODALNYCH KŁADKI
W czasie pomiaru badany obiekt był wymuszany z wykorzysta- niem wymuszenia impulsowego za pomocą młotka modalnego.W trakcie pomiaru na kładce odbywał się normalny ruch pieszych, na ulicy Opolskiej odbywał się normalny ruch samochodów (powo- dowało to dodatkowe wymuszenie eksploatacyjne drgań badanego obiektu).
W trakcie przeprowadzonego eksperymentu modalnego wyko- rzystano sieć punktów pomiarowych obejmująca 18 punktów. Przy- jęty rozkład punktów to 2 linie po obu stronach jezdni:
1. 9 punktów rozmieszonych wzdłuż lewej poręczy kładki – czuj- niki mocowane przy podstawie poręczy,
2. 9 punktów rozmieszonych wzdłuż prawej krawędzi kładki – czujniki mocowane przy podstawie poręczy,
Sieć punktów pomiarowych wykorzystana w trakcie TESTU A została przedstawiona na rysunku 2.
lewy:1 lewy:2
lewy:3 lewy:4
lewy:5 lewy:6
lewy:7 lewy:8
lewy:9
praw:1 praw:2
praw:3 praw:4
praw:5 praw:6
praw:7 praw:8
praw:9
Rys. 2. Siatka punktów pomiarowych wykorzystana w TEŚCIE A W czasie badań przeprowadzono 4 eksperymenty częściowe, w których czujniki były przestawiane w kolejne położenia. Czujnik referencyjny pozostawał w jednym miejscu przez wszystkie ekspe- rymenty częściowe.
2. TEST B – OPIS BADAŃ MODALNYCH KŁADKI
W czasie pomiaru badany obiekt był wymuszany z wykorzysta- niem wymuszenia impulsowego za pomocą młotka modalnego. W trakcie pomiaru na kładce nie było ruchu pieszych, na ulicy Opol- skiej nie było ruchu samochodów (pomiar wykonywany w godzinach nocnych).W trakcie przeprowadzonego eksperymentu modalnego wyko- rzystano siec punktów pomiarowych obejmująca 14 punktów. Przy- jęty rozkład punktów to 2 linie po obu stronach jezdni:
1. 7 punktów rozmieszonych wzdłuż lewej poręczy kładki – czuj- niki mocowane przy podstawie poręczy,
2. 7 punktów rozmieszonych wzdłuż prawej krawędzi kładki – czujniki mocowane przy podstawie poręczy,
Sieć punktów pomiarowych wykorzystana w trakcie TESTU A została przedstawiona na rysunku 3.
lewy:1 lewy:2
lewy:3 lewy:4
lewy:5 lewy:6
lewy:7
praw:1 praw:2
praw:3 praw:4
praw:5 praw:6
praw:7
Rys. 3. Siatka punktów pomiarowych wykorzystana w TEŚCIE B W czasie badan przeprowadzono 3 eksperymenty częściowe, w których czujniki były przestawiane w kolejne położenia. Czujnik referencyjny pozostawał w jednym miejscu przez wszystkie ekspe- rymenty częściowe.
3. TEST A – WYNIKI ESTYMACJI MODELU MODALNEGO KŁADKI
Estymację parametrów modalnych poprzedziła analiza jakości danych pomiarowych w oparciu o przebiegi zmierzone w punktach i kierunkach przyłożenia wymuszania we wszystkich przeprowadzo- nych testach częściowych. Na rysunku 4 pokazano przebiegi widm amplitudy siły wymuszającej. Przebiegi te pokazują, że amplituda siły wymuszającej była wystarczająco równomierna w rozważanym paśmie częstotliwości dla wszystkich przeprowadzonych testów.
0.00 Hz 25.00
-30.00 20.00
dB(N
2/Hz)
0.00 1.00
Amplitude
F PSD ref:1:-Z F PSD ref:1:-Z F PSD ref:1:-Z F PSD ref:1:-Z
Rys. 4. Widma amplitudy siły wymuszającej w kolejnych ekspery- mentach dla testu modalnego A
Na rysunku 5 przedstawiono przebieg wskaźnika SUM - unor- mowanej sumy amplitud WFP. Maksima lokalne tego przebiegu wskazują wartości częstotliwości drgań własnych, które zostały odwzorowane w zarejestrowanych przebiegach dla częstotliwości z zakresu 0 – 25 Hz.
0.00 Hz 25.00
-90.00 -40.00
dB
((m/s2)/N)
0.00 1.00
Amplitude
0.00Sum FRF SUM 25.00
Rys. 5. Wskaźnik SUM dla testu modalnego A
Na rysunku 6 pokazano charakterystyki punktowe (widmowe funkcje przejścia zarejestrowane w punkcie i kierunku wymuszenia) zmierzone we wszystkich eksperymentach częściowych. Ich zbliżo- ne przebiegi gwarantują podobieństwo warunków podczas kolej- nych testów.
0.00 Hz 25.00 0.00
0.04
Amplitude
2((m/s)/N)
0.00 1.00
Amplitude
F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z (1) F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z (2) F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z (3)
Rys. 6. Przebiegi amplitudy WFP w punkcie i kierunku przyłożenia wymuszenia dla eksperymentów częściowych
Estymacja parametrów była przeprowadzona przy pomocy oprogramowania VIOMA opracowanego w Katedrze Robotyki i Mechatroniki AGH [4] . Zastosowano algorytm LSCF. Przeprowa- dzono zbiór procedur estymacji, z których wyników wybrano najbar- dziej reprezentatywne postacie drgań przy pomocy autorskiej pro- cedury konsolidacji modelu modalnego będącej składnikiem opro- gramowania VIOMA.
Wyniki estymacji parametrów modelu modalnego na podstawie danych zarejestrowanych w teście modalnym A zestawiono w tabeli 1. Przykładowe rysunki zidentyfikowanych postaci drgań własnych przedstawiono na rysunku 7.
W czasie przeprowadzonych badań zidentyfikowano tę część postaci drgań, która została dobrze wymuszona i odwzorowana w wynikach przeprowadzonego eksperymentu.
Tab. 3. Zestawienie wyestymowanych wartości częstotliwości drgań własnych i współczynników tłumienia Lp. Częstotliwość drgań
własnych [Hz] Współczynnik tłumienia modalnego [-]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5.04 6.89 9.55 15.96 17.04 18.60 20.64 21.37 23.04 23.74 24.07
0.05 0.14 0.55 0.09 0.04 0.17 0.52 0.25 0.21 0.18 0.03
5.04 [Hz]
6.89[Hz]
Rys. 7. Przykładowe rysunki zidentyfikowanych postaci drgań wła- snych
4. TEST B – WYNIKI ESTYMACJI MODELU MODALNEGO KŁADKI
Estymację parametrów modalnych poprzedziła analiza jakości danych pomiarowych w oparciu o przebiegi zmierzone w punktach i kierunkach przyłożenia wymuszania we wszystkich przeprowadzo- nych testach częściowych. Na rysunku 8 pokazano przebiegi widm amplitudy siły wymuszającej. Przebiegi te pokazują, że amplituda siły wymuszającej była wystarczająco równomierna w rozważanym paśmie częstotliwości dla wszystkich przeprowadzonych testów.
0.00 Hz 26.00
-30.00 20.00
dB(N
2/Hz)
0.00 1.00
Amplitude
F PSD ref:1:-Z F PSD ref:1:-Z F PSD ref:1:-Z
Rys. 8. Widma amplitudy siły wymuszającej w kolejnych ekspery- mentach dla testu modalnego B
Na rysunku 9 przedstawiono przebieg wskaźnika SUM - unor- mowanej sumy amplitud WFP. Maksima lokalne tego przebiegu wskazują wartości częstotliwości drgań własnych, które zostały odwzorowane w zarejestrowanych przebiegach dla częstotliwości z zakresu 0 – 25 Hz.
0.00 Hz 26.00
-100.00 -40.00
dB
((m/s2)/N)
0.00 1.00
Amplitude
0.00 25.60
Sum FRF SUM
Rys. 9. Wskaźnik SUM dla testu modalnego B
Na rysunku 10 pokazano charakterystyki punktowe (widmowe funkcje przejścia zarejestrowane w punkcie i kierunku wymuszenia) zmierzone we wszystkich eksperymentach częściowych. Ich zbliżo- ne przebiegi gwarantują podobieństwo warunków podczas kolej- nych testów.
0.00 Hz 26.00
0.00 0.03
Amplitude
2((m/s)/N)
0.00 1.00
Amplitude
F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z (2) F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z (1) F FRF ref:1:+Z/ref:1:-Z
Rys. 10. Przebiegi amplitudy WFP w punkcie i kierunku przyłożenia wymuszenia dla eksperymentów częściowych
Estymacja parametrów była przeprowadzona przy pomocy
Mechatroniki AGH [4] . Zastosowano algorytm LSCF. Przeprowa- dzono zbiór procedur estymacji, z których wyników wybrano najbar- dziej reprezentatywne postacie drgań przy pomocy autorskiej pro- cedury konsolidacji modelu modalnego będącej składnikiem opro- gramowania VIOMA.
Wyniki estymacji parametrów modelu modalnego na podstawie danych zarejestrowanych od strony wzbudzenia zestawiono w tabeli 2. Przykładowe rysunki zidentyfikowanych postaci drgań własnych przedstawiono na rysunku 11.
W czasie przeprowadzonych badań zidentyfikowano tę część postaci drgań, która została dobrze wymuszona i odwzorowana w wynikach przeprowadzonego eksperymentu.
Tab. 2. Zestawienie wyestymowanych wartości częstotliwości drgań własnych i współczynników tłumienia Lp. Częstotliwość drgań
własnych [Hz] Współczynnik tłumienia modalnego [-]
1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 11 12 13 14 15 16
1.31 2.79 2.96 5.42 6.75 9.83 14.00 16.16 18.52 19.16 20.61 22.77 23.17 23.66 24.27 24.89
0.11 0.05 0.18 0.62 0.31 0.22 0.33 0.77 0.18 0.05 0.29 0.05 0.05 0.09 0.11 0.08 1.31 [Hz]
2.79 [Hz]
Rys. 11. Przykładowe rysunki zidentyfikowanych postaci drgań własnych
5. PORÓWNANIE WYNIKÓW ESTYMACJI MODELU MODALNEGO KŁADKI
W celu sprawdzenia wpływu ruchu samochodów oraz pieszych na wyniki estymacji parametrów modalnych kładki przeprowadzono analizę porównawczą postaci wyznaczonych na podstawie danych zarejestrowanych w testach A i B. Analizę przeprowadzono z wyko- rzystaniem współczynnika MAC, w analizie uwzględniono tylko te punkty, w których zarówno w jednym jak i drugim teście rejestrowa- no przebiegi WFP. Wyniki analizy w postaci wykresu przedstawiają- cego rozkład macierzy MAC przedstawiono na rysunku 12. Nume-
racja postaci na wykresie jest zgodna z numeracją postaci podaną w tabelach 1 i 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Nr postaci - TEST B Nr postaci - TEST A
MAC [%]
Rys. 12. Porównanie postaci drgań własnych wyznaczonych w testach A i B
PODSUMOWANIE
Na podstawie przeprowadzonych pomiarów i analiz można stwierdzić, że dla obiektów inżynierii lądowej (mosty, wiadukty…) można z powodzeniem stosować techniki eksperymentalnej analizy modalnej do identyfikacji ich parametrów oraz monitorowania ich stanu. Pomimo dużych rozmiarów badanej kładki udało się zasto- sować wymuszenie impulsowe z wykorzystaniem młotka modalnego do wzbudzenia jej drgań własnych. Zastosowanie wymuszenia impulsowego umożliwia z kolei estymację skalowanych postaci drgań własnych obiektu i zbudowanie na tej podstawie filtru modal- nego, który można wykorzystać w monitorowaniu stanu badanego obiektu. Jeszcze lepsze wyniki może dać zastosowanie zamiast młotka modalnego specjalnego bijaka do wymuszenia drgań wła- snych kładki. Przeprowadzone badania pokazują również, że istnie- ją pewne ograniczenia w zastosowaniu analizy modalnej w monito- rowaniu stanu konstrukcji tak dużych obiektów. Głównym proble- mem jest konieczność ograniczenia ruchu pieszych i pojazdów na badanej kładce oraz w jej najbliższej okolicy. Jak pokazują wyniki testu A zbyt duże natężenie ruchu stanowi znaczne zakłócenie przeprowadzanego testu impulsowego i w takim przypadku należa- łoby stosować algorytm OMAX (z ang. – Eksploatacyjna Analiza Modalna z Mierzalnymi Wejściami) [5] do estymacji parametrów modalnych badanego obiektu. Jednak w przypadku metody OMAX
nie można wyznaczyć skalowanych postaci drgań własnych. Dodat- kowym problemem jest stosowanie wymuszenia impulsowego – dla tak dużego obiektu występuje duże opóźnienie pomiędzy impulsem wymuszenia a pojawieniem się sygnału odpowiedzi w każdym punkcie pomiarowym. Należałoby się zastanowić nad poprawą jakości wymuszenia np. stosując bijak o dużej mocy, który umożliwi lepsze wymuszenie drgań własnych badanego obiektu.
BIBLIOGRAFIA
1. Haylen W., Lammens S., Sas P., Modal Analysis Theory and Practice, KU Leuven, 1997.
2. Kurowski P., Bednarz J.: Comparison of modal parameters determined in operational conditions by means of the OMA and OMAX method, Structural health monitoring 2008 : proceed- ings of the fourth European workshop: Cracow, Poland, July 2–4, 2008 Lancaster, Pennsylvania: DEStech Publications, Inc., 2008.
3. Bednarz J., Lisowski W., Operational Modal Analysis method in the study of a bridge dynamics, Autobusy, nr 6, str. 800-804, 2016.
4. Uhl T., Lisowski W., Kurowski P., In-operation modal analysis and its application, Wydawnictwo Katedry Robotyki i Mecha- troniki AGH, 2001.
5. Cauberghe B., Applied frequency – domain system identifica- tion in the field of experimental and operational modal analysis, Ph. D. Thesis, VUB, Brussel, 2004.
Experimental modal analysis of footbridge
Experimental Modal Analysis allows to determine natu- ral frequencies, modal damping ratios and mode shapes of any mechanical structure with application of controllable excitation. This paper presents a method of modal testing of footbridge. The main purpose of the researches was to de- termine the frequencies and mode shapes of the investigated object. In the paper a method for assessing the quality of the recorded measurement data and methods for its analysis for the estimation of modal parameters are also presented.
Autorzy:
dr inż. Jarosław Bednarz – AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica, Katedra Robotyki i Mechatroniki, al. Mic- kiewicza 30, 30-059 Kraków, e-mail: bednarz@agh.edu.pl
