Analiza numeryczna tulei podatnej z wykorzystaniem elementów kontaktowych MES

(1)

ZESZY TY N A U K O W E PO L IT EC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: T R A N SP O R T z. 41

2000 N r kol. 1491

Piotr FO LĘG A Andrzej W ILK

ANALIZA NUMERYCZNA TULEI PODATNEJ

Z WYKORZYSTANIEM ELEMENTÓW KONTAKTOWYCH MES

S treszczen ie. W pracy przeprow adzono analizę num eryczną tulei podatnej przekładni falowej za p o m o cą m etody elem entów skończonych (M ES) z w ykorzystaniem elem entów kontaktow ych.

NUMERICAL ANALYSIS OF FLEXSPLINE WITH GAP CONTACT ELEMENTS

Sum m ary. A pplication o f the Finite Elem ents M ethod (FEM ) in the num erical analysis o f the harm onic gear drive flexspline w ith gap contact elem ents has been presented in the paper.

1. W P R O W A D Z E N IE

Zębate przekładnie falow e w klasycznym w ykonaniu stanow ią prosty konstrukcyjnie m echanizm zębaty, na który składa się: kolo sztyw ne w ew nętrznie uzębione, tuleja podatna oraz odkształcający j ą generator. Sposób przekazyw ania m om entu poprzez cykliczne deform ow anie generatorem sprężystej tulei podatnej pow oduje pow staw anie w tym elem encie przekładni falowej złożonego stanu naprężeń, który decyduje o trw ałości całej przekładni.

W ażnym problem em dla konstruktora je s t w ięc optym alizacja kształtu i param etrów geom etrycznych tulei podatnej, która pow inna zapew nić m inim alizację naprężeń w przekrojach niebezpiecznych oraz rów nom ierny rozkład naprężeń w całej tulei.

W artykule zastosow ano do analizy num erycznej tulei podatnej przekładni falowej m etodę elem entów skończonych z w ykorzystaniem elem entów kontaktow ych M ES System u CO SM O S/M . W opracow aniu do wstępnej analizy w ym iarów geom etrycznych projektowanej tulei oraz w yznaczenia obciążenia pochodzącego od generatora pow stającego w strefie jego działania na pow ierzchnię w ew nętrzną tulei proponuje się zastosow anie param etrycznego płaskiego m odelu M ES z w ykorzystaniem elem entów kontaktow ych [1]. O bciążenie pochodzące od generatora w opracow anym m odelu M ES pow staje w w yniku je g o ruchu jako rezultat oddziaływ ania elem entów kontaktow ych pom iędzy tu le ją a generatorem . O pracow ano w tym celu m odel obliczeniow y tulei podatnej przedstaw iony na rysunku 1. U zyskane wyniki obliczeń porów nano z w ynikam i badań dośw iadczalnych otrzym anym i przez innych autorów [2,3].

(2)

42 P. Folęga, A. Wilk

Poniżej podane zo stan ą rów nież zależności analityczne służące do określenia w ielkości i charakteru rozkładu sił w zazębieniu i w strefie kontaktu z generatorem .

Rys. 1. M odel tulei podatnej Fig. 1. T he flexspline FEM m odel

2. W IE L K O Ś Ć I C H A R A K T E R R O Z K Ł A D U SIŁ W Z A Z Ę B IE N IU O R A Z W ST R E F IE K O N T A K T U Z G E N E R A T O R E M

Elem entem najbardziej obciążonym przekładni falowej je s t jej człon podatny, który ma postać cienkościennej walcow ej pow łoki ze z m ie n n ą zw iększoną w części uzębionej g ru b o śc ią p o łączoną z drugiej strony z w ałem w yjściow ym cienkościennym denkiem . N a tuleję p o d atn ą działa zm ienne oraz złożone obciążenie od generatora i sił m iędzyzębnych w strefie zazębienia oraz strefie kontaktu z generatorem . Jak w ynika z badań i analiz teoretycznych, koncentracja m aksym alnych naprężeń w ystępuje na granicy przejścia w ieńca

(3)

A naliza num eryczna tulei podatnej. 43

zębatego tulei w jej gładki płaszcz oraz w denku. Tw orząc m odel tulei m usim y określić obciążenia w zazębieniu i strefie kontaktu z generatorem , w funkcji przenoszonego m om entu.

Z agadnienie to m im o licznych prac teoretycznych i dośw iadczalnych [4,5,6,7] nie zostało do chw ili obecnej w pełni teoretycznie rozw iązane, dlatego problem ten w ym aga ciągłych badań i prac rozw ojow ych. P róbę rozw iązania tego zagadnienia podjęto w niniejszej pracy. Do określenia rozkładu obciążeń w obu strefach w ykorzystano w yniki badań dośw iadczalnych podane w [4] oraz zależności będące p ró b ą aproksym acji tych w yników opracow ane przez M.I. Iw anow a i A. I. Sorokina w [5], Przedstaw ione poniżej zależności d o ty c zą tulei podatnej odkształcanej generatorem krzyw kow ym , ew olw entow ego zarysu zębów o nom inalnym kącie zarysu a=20° oraz stosunku deform acji prom ieniow ej w 0 do m odułu m ieszczącego się w przedziale w ^m ^O .9 - 1.1.

N a podstaw ie w yników badań dośw iadczalnych obciążenia działające na tuleję podatną m ożna aproksym ow ać w sposób przedstaw iony na rysunku 2.

Rys. 2. R ozkład ob ciążen ia d ziałającego na tuleję p o d atn ą Fig. 2. T he flexspline load distribution

N a rysunku 2 kąty cp2 oraz cp3 określają w ielkość strefy obciążenia, a kąt cp, położenie tej strefy w zględem dużej osi generatora A A ’. O bciążenie prom ieniow e q r oraz styczne q, działające w zazębieniu w strefie działania sił m iędzyzębnych, pochodzące od przenoszonego m om entu, m o żn a opisać następującym i zależnościam i:

4

C A '

q , = q , m 1x - c o s — ^— ( t p - c p , )

2 • <p2 ( 1 )

q r =q„„ax • tg a • cos — — (cp - cp,) (2)

O bciążenie prom ieniow e q r m ożna w yznaczyć rów nież na podstaw ie w zoru

(4)

q r = q , - t g a , (3)

gdzie:

a , - nom inalny kąt zarysu na średnicy tocznej a , = 20° + 30°, q, mM - m aksym alne obciążenie styczne.

W ielkość m ak sy m aln ą obciążenia q traax zw iązaną z m om entem przenoszonym przez przekładnie M 2 m ożem y określić następującą zależnością:

»'♦»i ( a\

M 2 = 4 - J b - - - q lralx -cos

7 ^ — (<P-<Pi)

.2 • <p2

d(p ₍₄₎

gdzie:

b - szerokość w ieńca zębatego,

d - średnica podziałow a w ieńca zębatego, która po przekształceniach otrzym uje postać

71 • M ,

2■ cp2 - d 3 -b ⁽⁵⁾

O bciążenie prom ieniow e w zazębieniu q r je st przeciw nie zw rócone do reakcji prom ieniow ej generatora q (g oraz je st przez n ią równow ażone. M om ent, jak i tworzy obciążenie styczne w zazębieniu q , , rów now ażony je s t m om entem M 2 na w ale w yjściow ym . O bciążenie q, dąży do zm iany form y tulei podatnej (wyboczenia). S pow odow ane je s t to jego nierów nom iernym rozłożeniem na obw odzie tulei. Zjaw isku tem u przeciw działa norm alna reakcja generatora q rg. Z godnie z [5]:

jq,d<p (6⁾

R ozkładając następnie q, określone w zorem 1 w szereg otrzym am y

q , = q , o + I X c o s(k -((p -< p ,))

k-2.4.6...

(7)

W celu w yznaczenia q l0 należy zależność 7 scałkow ać w granicach od <p = cpt do

<p = 9 , + 27t, natom iast by określić ć j^ , m usim y w yrażenie 7 pom nożyć przez c o s (k -(< p -(p ,)), a następnie scałkow ać w granicach ja k w yżej. Po tych operacjach otrzym am y następujące w yrażenia:

4 - c p 2 _ q . o ₇₁

2

^q>™

_ _ 2 _ q.k — ’ qtmix

sin (a ~ k ) p 2 sin(a + k)tp2

a - k a + k

(8) (

9

⁾

(5)

A naliza num eryczna tulei podatnej.. 45

gdzie: a = —- —

2 - <p2

O trzym ane w yrażenie n a obciążenie q ,0 je s t rów now ażne m om entow i M 2, natom iast do zmiany kształtu tulei podatnej dąży składow a q lk obciążenia stycznego. D latego przy określaniu norm alnej reakcji generatora q Ig (wzór 6 ) należy brać pod uw agę tylko q lk. Stąd prom ieniow ą reakcję generatora m ożem y określić

q,g = J E q lk - c o s ( k -( (p -ę ,) > i(p = £ . sin(k ■ (cp - <p,)) + C ( 10)

k=2,4,6... k-2,4,6... K

gdzie: C = - £ ' s in (k ’ (y ~ <P,)) ( U )

k»2A6... k

W w zorze 11 kąt y odpow iada wartości kąta cp, przy której wyrażenie

— ■ sin(k ■ (q> — q>,)) z zależności [ 10] osiąga absolutne m inim um . k-2,4,6... k

Podsum uw ując pow yższe zależności m ożem y stwierdzić, że do obliczeń należy przyjąć następujące w yrażenia. D o określenia składow ej stycznej obciążenia w zazębieniu zależność 1, a do w yznaczenia składow ej norm alnej pochodzącej od sił m iędzyzębnych oraz generatora sumę w yrażeń 2 i 10 jako

qrc = q r + q , B 0 2)

W opracow anym płaskim param etrycznym m odelu tulei podatnej z w ykorzystaniem elem entów kontaktow ych M ES do określenia rozkładu i w ielkości obciążenia działającego na człon podatny w strefie działania sił m iędzyzębnych w ykorzystano zależności 1 i 2 . Obciążenie pochodzące od generatora (w m etodzie analitycznej zależności 10 i 11) otrzym yw ane s ą w w yniku ruchu generatora odkształcającego tuleję podatną. O bciążenie prom ieniow e w strefie kontaktu tulei podatnej z generatorem q rg pow staje w ięc ja k o rezultat oddziaływ ania elem entów kontaktow ych pom iędzy w ew nętrzną pow ierzchnią tulei a generatorem .

3. W Y N IK I O B L IC Z E Ń

W opracow aniu przeanalizow ano w pływ względnej deform acji prom ieniow ej w</m na wartości przem ieszczeń norm alnych „w ” i stycznych „v” tulei podatnej oraz wartości naprężeń m aksym alnych pow stających w tulei w w yniku oddziaływ ania generatora, bez obciążenia p ochodzącego od sił m iędzyzębnych. W obliczeniach w ykorzystano człon podatny przekładni falowej o następujących param etrach:

(6)

i == 146 - przełożenie,

z, = 292 - liczba zębów w ieńca tulei podatnej, m = 0 . 4 1 9 m m - m oduł,

df = 120 m m - średnica w ew nętrzna tulei, g = 1.0 5 m m - grubość ścianki tulei.

W yniki przeprow adzonych obliczeń przedstaw iono na rysunkach od 3 do 6 .

5.00E-01 4.00E-01 3.00E-01 2.00E-01 E 1.00E-01 J2 c 0.00E+00 8

-1.00E-01 1

t -2.00E-01 a

-3.00E-01 Q.

-4.00 E-01 -5.00E-01 Kolejne numery węzłów

Rys. 3. W ykres p rzem ieszczeń n o rm aln y ch i stycznych przy Wę/rn = 0.9

Fig. 3. T he diagram o f radial and tangential displacem ents for w</m = 0.9 ( M ^ ^ O )

5.00E-01 4.00E-01 3.00E-01 _

E 2.00E-01 £ 1.0QE-01 | O.OOE+OO § -1.00E-01 1 -2.00E-01 | -3.00E-01 Ł -i.OOE-01 -5.00E-01 Kolejne numery węzłów

Rys. 4. W ykres przem ieszczeń n o rm alnych i stycznych przy w j m = 1 (M non,=0) Fig. 4. T he diagram o f radial and tangential displacem ents for w ,/m = 1 (M m =0)

3 >

(7)

A naliza num eryczna tulei podatnej. 47

Rys. 5. W ykres p rzem ieszczeń n o rm aln y ch i stycznych przy w</m = 1 .1 (M wm=0) Fig. 5. The diagram o f radial and tangential displacem ents for v /J rn = 1 .1 (M TOm=0)

185

2 145

140 , ,---

0.9 0.95 1 1.05 1.1

wo/m

Rys. 6. W ykres nap rężeń m ak sy m a ln y c h a mlx=f(W(/m) (M „„,=0) Fig. 6. T he diagram o f m axim um stress o m„ = f(w (/m ) (M no„= 0)

O trzym ane w artości przem ieszczeń norm alnych „w ” oraz stycznych „v” (rys. 3,4,5) dla analizow anej tulei o d pow iadają jakościow o oraz ilościow o w ynikom badań dośw iadczalnych [2,3], R ów nież zm iany w artości naprężeń m aksym alnych w funkcji w zględnej deform acji prom ieniow ej W(/m (rys. 6 ) są zgodne z w ynikam i zam ieszczonym i w literaturze [3],

4. P O D SU M O W A N IE

P roblem określenia obciążenia działającego na tuleję p o d atn ą przekładni falowej generow anego w zazębieniu i strefie kontaktu z generatorem do chw ili obecnej nie je s t w pełni rozw iązany. P odane w literaturze analityczne zależności służące do w yznaczenia obciążeń działających na człon podatny zostały opracow ane na podstaw ie badań dośw iadczalnych i po przyjęciu licznych uproszczeń i założeń. W pracy podjęto próbę w yznaczenia o b ciążenia pochodzącego od generatora oddziałującego na człon podatny za pom ocą m etody elem entów skończonych z w ykorzystaniem elem entów kontaktow ych, które

(8)

określają strefę kontaktu tulei z generatorem . Przeprow adzone obliczenia z w ykorzystaniem opracow anego param etrycznego m odelu tulei podatnej potw ierdziły je g o przydatność do w yznaczenia tych obciążeń. Przedstaw ione na rysunkach 3,4,5,6 w yniki obliczeń num erycznych analizow anego członu podatnego porów nano z rezultatam i badań podanym i w literaturze [2,3]- Z godność w yników obliczeń z dośw iadczeniem potw ierdza przydatność proponow anej m etody obliczeń w analizie konstrukcji tulei podatnej przekładni falowej.

L iteratura

1. U ser G uide C osm os/M ., 1996.

2. Ren Z., Flasker J. : N um erical Stress A nalysis o f H arm onic G ear D rive Flexspline. Special M echanical G ears-M odelling, Product D evelopm ent and P rospects o f Application.

W arszaw a 1996.

3. O stapski W. : S tructural M odification o f Flexspline o f a H arm onic D rive G earing under a Service Load. M achine D ynam ics Problem s, vol. 20, 1998.

4. Finogeniew W ., Iw anow M.: W olnow yje zubczatyje pieriedaci. T ezisy dokladow w siesojuznow o sim pozjum a. N iekotoryje rezultaty kom pleksnych ekspierym ientow i issledow anij. 1973.

5. Iw anow M ., Sorokin A.: Rascziot nagruzki na kulaczkow yj gienierator i napriazenij rastiaZenija gibkow o kolesa w olnow oj pieriedaci. JW UZ M aszynostrojenije, nr 6 , 1980.

6. K ow alew N .: N iekotoryje w oprosy tieorii w olnow ych pieriedaci. M aszynow iedienije, nr 2, 1978.

7. Ivanow M. : H arm onic G ear Drive, M oscow 1981.

Recenzent: Prof. d r hab. inz. Jerzy Osinski

A bstract

A pplication o f the F inite Elem ents M ethod (FEM ) in the num erical analysis o f the harm onic gear drive flexspline w ith gap contact elem ents has been presented in the paper.

The presented approach to a stress analysis o f the flexspline can help the designer to determ ine accurately the m axim um stress on the flexspline, w hich can then be used for optim isation o f the flexspline construction. N um erical results o f the calculations (Fig.

3,4,5,6 ) have been com pared w ith results o f experim ents [2,3], T he num erical results coincide w ell w ith the experim ents results.