Analiza numeryczna wartości zapotrzebowania na moc mieszalnika walcowego w procesie mieszania pseudoplastycznej cieczy nienewtonowskiej

(1)

S eria: M E C H A N IK A z. 116 N r kol. 1231

A ndrzej A n to n i C Z A JK O W S K I

Instytut M atem aty k i U niw ersytetu Szczecińskiego K rzysztof W IE R Z C H O L S K I

K a te d ra T echniki C ieplnej Politechniki Szczecińskiej

A N A L IZ A N U M E R Y C Z N A W A R T O ŚC I Z A P O T R Z E B O W A N IA N A M O C M IE S Z A L N IK A W A L C O W E G O W P R O C E S IE M IE S Z A N IA P S E U D O P O L A S T Y C Z N E J C IE C Z Y N IE N E W T O N O W S K IE J Streszczenie. W pracy przedstaw iono analizę num eryczną bezw ym iarowych w artości zapo trzeb o w an ia na m oc m ieszalnika w alcow ego w procesie m ieszania cieczy nienew tonow skiej dla przyjętych różnych w artości indeksu przepływ u cieczy.

Z b a d a ń wynika, iż sp ad ek w artości indeksu przepływ u cieczy (tzn. w zrost zanieczyszczeń w cieczy) pow oduje sp ad ek w artości zap o trzeb o w an ia n a m oc m ieszalnika walcowego.

N U M E R IC A L A N A LY SIS O F T H E C Y L IN D R IC A L M IX E R P O W E R D E M A N D V A L U E S IN T H E M IX IN G -P R O C E S S O F T H E

P S E U D O P L A S T IC A L N O N -N E W T O N IA N F L U ID

Sum m ary. T h e num erical analysis o f th e dim ensionless values o f th e cylindrical m ixer p o w er d em an d in th e m ixing-process o f the non-N ew tonian fluid fo r the d ifferen t values o f the flow index has b e e n p re se n te d in th e p ap er. T h e decrease o f th e flow index value (i.e., the increase o f the fluid im purities) m eans the d e c re a se o f th e m ixer p ow er d em an d values.

H H C JIEH H H H A H A J I H 3 3 H A T E H H H MOHJ.HOCTH U ,H J IH H 3 P H l łE C K 0 r 0 M H K C E P A B IIPOIJ.ECCE C M E1H A H H B n C E B 2 0 I U I A C T H flH 0 H

HEH blOTOHOBCKOH 9 K H 2 K 0 C T H

Pe3 K ) M e . B p a ó o T e npeitCTaBJien mtciieHimit aHatiH3 6 e 3 p a 3 M e p H H X 3 H a u e n H f t m o i u,h o c t h n,HJXHHZtpHuecKoro M H K c e p a b npou,ecce C M e u i a H n a H e H b m - O H O B C K O i ł SCHitKOCTH ZtJIB pa3JIHiiHUX 3IiaiieHHH n o K a 3 a T e n f l H B H b i o T O H O B C K o r o noBezteHHti. Y M e H i u e H H e n o K a 3 a T e n n HettbioTOHOBCKo- r o n o B e z t e H H H (t o ecTb, B 0 3 B p a c T a H H e n p m v t e c H H b xtHitKOCTH) 03xa> r a e T y M e H i u e H H e 3HaueHHfi m o u i,h o c t h u,H3iHHitpHiiecKoro M H K c e p a .

(2)

104 A. A. Czajkow ski, K. W ierzcholski

1. W S T Ę P

W pracy analizuje się stacjonarny przepływ nienew tonow skiej izoterm icznej cieczy, który wywołany je s t ruch em cylindrycznego m ieszadła w m ieszalniku walcowym. Przyjm uje się lam inarny przepływ cieczy nieściśliwej o stałej gęstości i lepkości dynam icznej cieczy.

W rów naniu energii pom ija się siły m asow e i dysypację energii. D o w yznaczenia w artości zag łęb ien ia leja cieczy pow stałego w trakcie procesu m ieszania w yznacza się rozkład w artości p ręd k o ści cieczy o raz w artości n ap rężeń stycznych w ystępujących na w ałku m ieszającym . Pozw ala to sform ułow ać w zór na w artości zap o trzeb o w an ia na m oc m ieszalnika w alcow ego.

C iecze p odczas m ieszania charakteryzują się różnym stopniem w ystępow ania zanieczyszczeń, co m a wpływ na zm ienną w artość lepkości pozornej cieczy. W raz ze w zrostem zanieczyszczeń ciecz wykazuje nienew tonow skie w łasności. O dm ien n o ść cieczy nienew tonow skiej od new tonow skiej wyraża indeks przepływ u n. Indeks przepływ u z p rz e d z ia łu (0.5; 1) c h a ra k te ry z u je ciecz n ien ew to n o w sk ą o w łasn o ściach pseudoplastycznych. C elem pracy je st ustalenie wpływu pseudoplastycznych w łasności cieczy na bezw ym iarow e w artości zapotrzebow ania na m oc m ieszalnika w alcow ego.

2. M O D E L M A T E M A T Y C Z N Y R U C H U C IE C Z Y

P roces m ieszania w układzie w spółrzędnych walcowych (r,cp,z) je s t opisany trzem a rów naniam i p ę d u zapisanym i w zorem [2]:

K , -u*

P ^ = _{D i v h vr} T T , W

at

T T T

U z r <pz z z

gdzie p - to stała gęstość cieczy w [kg/m3], v - w ektor prędkości cieczy w [m/s], - to w sp ó łrzęd n e ten so ra n a p rę ż e ń w [Pa] dla i, j = r, p, z; p o n a d to r, p, z oznaczają o d p o w ied n io w spółrzędne prom ieniow ą, obw odow ą i po głębokości m ieszalnika w [m].

Z w iązki konstytutyw ne u zupełnione zależnościam i geom etrycznym i przyjm ują n astęp u jącą p o stać [3]:

(3)

- p + 2 u , T = T = L I --- + --- - -^{( 1} ^{d V r} ^{3 V v}

_ v.)

^JP (2a) J d<p r , r,p * ' * r { r d V d r _r

,

^»

T = T = L X

r z z r r " i i ^

+

^{8 V , '} , ^T * ^X = ^LI d V

---- 2^.+ l d £

dr _, 9 ^<PZ ^z<p r p

, r dtp ,

(2 b )

gdzie p to zm ienne ciśnienie w [Pa], Vr ,V ,VZ - to w spółrzędne w ek to ra prędkości cieczy v w [m/s] p o kierunku prom ieniowym , obwodowym i głębokości m ieszalnika, p p - to lepkość p o zo rn a cieczy w [Pa-s], którą definiuje się następującym w zorem [2],[3]:

P p (r .K ) 3 2" -1/« o (n )|0.5TjtjTitj| 2 dla k ,s = tp ,r ,z ; (3)

gdzie m Q - to w spółczynnik konsystencji cieczy w [Ns11 Im 2]. R ów nania (1) uzupełnia się rów naniem ciągłości o postaci [2]:

div v = 0 . (4)

P roces m ieszania odbyw a się w m ieszalniku walcowym (ry s.lA ). Poniew aż ruch cieczy wywołany je s t w yłącznie p o kierunku obwodowym przez ruch w ałka m ieszającego, a ciśnienie je s t zm ienne, stąd przyjm uje się następujące założenia upraszczające [2]:

y ę = w . r , ( r ) 30 , v z( r ) . 0 , p= p { r ) (5)

gdzie R w< r< R z; a R w, R z - to długości prom ieni w ałka m ieszającego i m ieszalnika w [m].

W prow adza się wielkości bezw ymiarowe [2]:

. . V .

R... Po co R,¡ T > P = P a + P0 P l ' > P o = P U 2 R w ( 6 >

gdzie P P1-V 1, r lt P j to bezw ym iarowe w artości lepkości pozornej cieczy, prędkości obw odowej, w spółrzędnej prom ieniow ej i ciśnienia; /j0, p Q, p a - charakterystyczne w artości lepkości po zo rn ej cieczy w [Pa-s], współczynnika przyrostu ciśnienia i ciśnienia atm osferycznego w [Pa], to - prędkość kątow a w ałka m ieszającego w [l/s]. P o w staw ieniu założeń (2)-(6) do w zoru (1) uzyskuje się następujący układ rów nań [2]:

(4)

¿Pi dr i

(7a)

dla lS r ^ D , D = R W/R Z, l< D < + < » , gdzie V1= V1( r 1) je st niew iadom ą bezw ym iarow ą funkcją pręd k o ści. Z a k ła d a się, że p rędkość cieczy n a w ałku je st rów na p rędkości w ałka, a p ręd k o ść cieczy n a ściance m ieszalnika je s t rów na zero. S tąd dla rów nania (7) przyjm uje się w aru n k i brzegow e w następującej postaci [2]:

K j i r , - ! ) - ! , Vl ( r l = D ) = 0 (8)

R ozw iązanie ró w n an ia (7) zak ła d a się w postaci szeregu [2]:

W = J . W

1A IB

R y s.l. Schem at m ieszalnika z cylindrycznym wałkiem mieszającym F ig .l. Cylindrical m ixer with the cylindrical stirrer

M e to d ą w spółczynników nieoznaczonych w yznaczono funkcje [2]:

D D 2 - 1

R H

x'. D

“ 4 In Z) 1 '

\ D 2 - 1 2 )

(9a)

(9b)

(9c)

0 ( r , , * ) = , * = 1 , 2 . (9 d >

D 1 - i r l i D 2 - 1

(5)

3. N A P R Ę Ż E N IA S T Y C Z N E W Y S T Ę P U JĄ C E W C IE C Z Y P O D C Z A S M IE S Z A N IA

W artości n a p rę ż e ń stycznych r w [Pa] n a głębokości przestrzeni m ieszania dla indeksu przepływ u 0 .5 < n < i są postaci [1],[3]:

*(Ą) = Moi”)“ ''

ST rt-1 ' V1 d V ^

-*• 1 1

/ i

(

10

⁾

dla l< r jS D ; 0 .5 < n < l. P o w prow adzeniu w zoru funkcji prędkości (9) do wyrffźenia (10) w artości n a p rę ż e ń stycznych t m ają postać:

T ( Ą ) = m0( n ) o " | H '( r 1) | " - 1 ( I T ( i'1) ) ( H )

W {rx) - - ^ - { 1 + 2 ( n - l ) P2(ln/-, + P2) + 2 ( n - l )2(ln2r1- l n ^ + P3)} ( l l a )

3 - 2 D o

?i ‘ — ;— > 2 D 2 - 1

InZ) 1 ~ InZ)

, ■ ---

D 2- 1 2 d2 - 1

(llb)

D la r j s l , tzn. dla w artości n a p rę ż e ń stycznych Tp występujących n a pow ierzchni w ałka m ieszającego, w zór (1 1) uzyskuje postać:

W,

W,j « IT(r, = l) = P,[l + 2 ( n - l ) P 3 + 2(n-l)2P3] .

(

12

)

(12a)

4. G Ł Ę B O K O Ś Ć L E JA C IE C Z Y W Y T W O R Z O N E G O W P R O C E S IE M IESZA N IA

Z obranych założeń (ry s.lA ) wynikają następujące związki [2]:

5l = Ś 1 , K = O H , K = m-g , d3)

Kt d r ' r z S

gdzie Kj., Kz to siły odśrodkow a i ciążenia w [N], g - przyśpieszenie ziem skie w [m/s~], m - m asa cieczy w [kg]. Z a d a n ą głębokość leja cieczy z-zh w [m] określa się następ u jąco [1]:

(6)

Z -Z = Ą Z - Z ) (“ )

* I g 1 *> ’

gdzie Zj-zh je s t je j w artością bezw ym iarową. Po w ykorzystaniu założeń (6) i (14) we w zorze (13) uzyskuje się rów nanie [1]:

— d r , = — d z l .

r , 1 2 1

D la ró w n an ia (15) przyjm uje się następujący w arunek brzegowy:

Z, = zAi dla r , = 1 . (15a)

P o w staw ieniu rozw iązania (9) do rów nania (15),w ykonaniu całkow ania o raz odpow iednich przek ształceń , a tak że nałożeniu w arunku brzegow ego (15a) na uzyskane rozw iązanie ogólne otrzym uje się bezw ym iarow ą zad an ą głębokość leja cieczy w postaci [1]:

r‘ V2 z, - z k =2 f — d r .

1 *' [ r2 2 (16)

dla 1 i r , s r2s i ) ; l< D < + ° ° ; zh^ z l ^ZHi .

5. Z A P O T R Z E B O W A N IE N A M O C JE D N O S T K O W Ą M IE S Z A L N IK A W A L C O W E G O

O b jęto ść cieczy tw orzącej lej określają wzory (ry s.lB ) [1]:

V t = _{K ( R 2}_{z - R 2}J ( . h - z h) , (17>

W

I i dz

o

r d r dip = 2tt J (z - z h) r d r , (17a)

gdzie h - Z j , to spro w ad zo n a wysokość leja cieczy w [m], k tó rą definiuje się następującym w zorem :

h ~ h - ~ 2 f

(18)

a h ,- z hi to jej w artość bezw ym iarow a. P o zestaw ieniu w zo ró w (ló ), (17) & (18) z uw zlędnieniem zw iązków (6) uzyskuje się:

(7)

D r‘ f/2/ \

. 4 r r (Ą ) , , . . .

1

" Za- a

7

^

7

i " ' i — — dr2dri - M n ) . U ~ A 1 1 2

(19)

Z ap o trz eb o w an ie na m oc jednostkow ą N w [W] m ieszalnika w alcow ego określa się w postaci iloczynu m o m en tu obrotow ego w ałka m ieszającego M w [J] i jeg o prędkości kątow ej u>. Ilustruje to wzór:

N ( z) = A/-o) , (20)

(20a) F = 2 n R wzh , u = 2 r r n0 .

gdzie F - to pow ierzchnia tarcia na w ałku w [m ], n0 - liczba obrotów w ałka na sekundę.

B ezw ym iarow e zapo trzeb o w an ie na m oc m ieszalnika w alcow ego N j, zw ane liczbą N ew tona, m a postać:

N n0 d„p3 jS

d.. » 2 R .

' ■ i - (21)

Po w staw ieniu w zorów (12)& (18)-(20) do w zoru (21) bezw ym iarowe zap o trzeb o w an ie na m oc m ieszalnika uzyskuje o stateczną postać:

2

N . = 2 Tc3

1

« e j 11 1

¹

rt2

Re;

2 f- G a A ( n ) (22)

gdzie A (n) o k reśla w zór (19), W j - w zór (12a), natom iast liczby R eynoldsa i G alileusza dla cieczy nienew tonow skiej są postaci:

R e. P « : ( o « J 2

rn0{n) Re, “ ‘"•Po m 0 («)

P2*!g (;0 G a .

Re¡

~G¿¡

(22a)

D la n = l w zór (22) uzyskuje znaną z literatury postać [1]:

47t3D2 f ■ TT2 « e

£)2-l «e, (1

2 f- G a ,

1 + -3 3£>2 - 1 _ 6£>4ln(£>) 2 ( D 2-!)2 (£>2-!)3

)

.

⁽²³⁾

(8)

LICZBA fO N C L D S A RE,

jjj LICZBA REYNOL0SA RE,

3B

Rys.3. Bezwymiarowe wartości zapotrzebowania na moc N j m ieszalnika z mieszadłem walcowym dla indeksu przepływu cieczy n = l; 41/45; 35/45; 29/45; 23/45 i liczby Galileusza Ga = 1000 i f = 5 dla D = 1.5 (rys.3A) i D = 3 (rys.3B) oraz m 0(n ) = p gd n' 1

Fig.3. D im ensionless values o f the m ixer power dem and N j with the cylindrical stirrer fo r the flow index n —1; 41/45; 35/45; 29/45; 23/45; an d the Galileo num ber Ga = 1000 & f —5 fo r

D = 1.5 (Fig.3A) a n d D = 3 (Fig.3B a nd fo r m g(n )= p 0 cJ1' 1

5 LICZBA REYNOLDSA

3A

2A 2B

R ys.2. Bezwymiarowe wartości zapotrzebowania na moc N j m ieszalnika z mieszadłem walcowym dla indeksu przepływu cieczy n —1; 41/45; 35/45; 29/45; 23/45 i liczby Galileusza Ga = 10 i f —5 dla D —1.5 (rys.2A) i D = 3 (rys.2B) oraz m g(n ) = p gcon'1

Fig.2. Dim ensionless values o f the m ixer power dem and N j with the cylindrical stirrer fo r the flow index n = l ; 41/45; 35/45; 29/45; 23/45; and the Galileo num ber Ga — 10 & f = 5 fo r D —1.5

(Fig.2A) a nd D = 3 (Fig.2B a nd fo r m g(n ) = p go n' 1

REYNOLDS NUMBER RE,

REYNOLDS IAJMSER RE, REYNOLDS NUMBER R E ,

REYNOLDS NUMBER Re,

LICZBA REYNOLDSA R e t

(9)

6. W N IO SK I

W niosek 1. S p ad ek w artości indeksu przepływ u pseudoplastycznej cieczy nienew to- nowskiej pow oduje sp ad ek w artości zapotrzebow ania na m oc m ieszalnika w alcow ego w po ró w n an iu z w artościam i zapotrzebow ania na m oc m ieszalnika, jak ie uzyskuje się dla przepływ u cieczy new tonow skiej.

W niosek 2. W zrost liczby G alileusza pow oduje w zrost w artości zap o trzeb o w an ia na m oc m ieszalnika w alcow ego. W zrost liczby G alileusza oznacza w zrost w artości gęstości cieczy lub sp ad ek w artości współczynnika konsystencji cieczy.

W niosek 1 zo stał potw ierdzony teoretycznie o raz dośw iadczalnie dla cieczy nienew tonow skiej [1].

L IT E R A T U R A

[1] B ra u e r H .: G ru n d lag en d e r E in p h asen und M eh rp h asen stro m u n g en , V erlag S au erlan d er, A a ra u 1971, s. 888-890.

[2] C zajkow ski A .A ., W ierzcholski K.: A nalytical Solutions o f Som e O rdinary N on-L inear D ifferen tial E q u atio n o f th e Second O rd e r D escribing the non-N ew tonian Fluid Flow in th e M ixing-Process, Proceedings o f "The 7-th In tern atio n al C o n feren ce "System - M odelling - C o n tro l - 7", Z a k o p a n e M ay 17-21, 1993, V o l.l pp.108-113.

[3] W ierzcholski K.: E lem enty m echaniki płynów (T eo ria i zadania) C zęść I, Politechnika Szczecińska, 1993 , s. 217-226.

R ecen zen t Prof, d r hab. inż. R yszard G ryboś W płynęło do R ed ak cji w grudniu 1993 r.

A b stra c t

P a p e r show s th e analysis o f the cylindrical m ixer pow er d em and. T h e fluid m otion is g e n e ra te d by the an g u lar m otion o f th e cylindrical stirrer (Fig. 1). T h e re is considered the lam inar, an d steady m otion o f isotherm ic, pseudoplastical an d incom pressible non-N ew tonian fluid w ith the constant density and fluid dynam ic viscosity. T h e p ressure d ep en d s on th e radial co m p o n en t r. T he body forces an d energy dissipation w ere om itted in th e energy e q u atio n . T h e p roblem is p resen ted in th e cylindrical coordinates (r, <p, z) w here V p V ^ , V z m ean the dim ensional com ponents o f the velocity v ecto r v in the radial, circum ferential, an d vertical direction (5). T h e dim ensionless functions o f the m ixer p o w er d em an d (22) w ere defined by the dim ensionless velocity functions (9), tan g en tial stresses functions (11& 12) and functions (16). T h e p a p e r show s th a t the d e crease o f th e flow index m eans th e d ecrease o f th e m ixer pow er d em an d (Fig.2& 3).