Wyższa matematyka : (z licznymi przykładami i rycinami). Cz. 2

P R O F E S O R Z W Y C Z A J N Y A K A D E M J I G Ó R N I C Z E J W K R A K O W I E

WYZSZA MATEMATYKA

(Z LICZNYMI P R Z Y K Ł A D A M I I RYCINAM I)

W D W Ó C H C Z Ę Ś C I A C H

C Z Ę Ś Ć D R U G A

W Y D A N O Z Z A S I Ł K U W A R U N K O W O Z W R O T N E G O W Y D Z I A Ł U N A U K I M I N I S T E R S T W A W. R. i O. P.

K R A K Ó W

S K Ł A D Y G Ł Ó W N E :

W K A S I E I M. M I A N O W S K I E G O W W A R S Z A W I E . N O W Y Ś W I A T 7 2 W K S I Ę G A R N I A C H G E B E T H N E R A I W O L F F A

W A R S Z A W A — K R A K Ó W — P O Z N A Ń - L U B L I N — Ł Ó D Ź — W I L N O — Z A K O P A N E

1923

Wszelkie prawa zastrzeżone.

p 8iB L !8 T £ K A H BtÓWHA £

mm

b r u k a r n ia U n iw e r s jte tn J a g ie llo ń s k ie g o pod zarządem J. F ilip o w sk ie g o .

R o z d z ia ł XIV. T eo r ja s z e r e g ó w n i e s k o ń c z o n y c h .

§ 79. Określenie sum y s ze reg u n ie sk o ń cz o n e g o .

P rzykład 1. U łam ek 2/s u' e j est rów ny żadnem u ułam kowi dziesiętnem u (skończonem u), ale możemy znaleźć przybliżenie dzie­

siętne (zob. W stęp) ułam ka 2/ s na każdą ilość m iejsc dziesiętnych, zależną od żądanego stopnia dokładności (str. 404). Je st bowiem 2/s == Vio “l- 6/io2 4 " •••■ 4~ Vio" + — — % o‘ 4 “ Rn- Liczba R„, którą

¡-i

, nazw iem y resztą, dąży do; zera, gdy n —> oo, je st bowiem sum a V io + Vt02 4" 4 - Vio” j ako sum a n pierw szych wyrazów postępu

, 2 2 . 2 /2 2 \

g e o m e t r y c z n e g o , r ó w n ą lic z b i e - — w ię c R n — 3 " ( 3 — 3 T 0"J

= —> 0, gdy n —» 00. Liczbę 2 8 rozdzieliliśm y tedy na sumę ó. 1U

o .dowolnej ilości składników , na szereg nieskończony; liczba 2/ , 2 00 6

jest więc sum ą szeregu nieskończonego - = = . 5 ——.

o ¡«i UJ

Będziemy7 się zajm ow ali szeregam i nieskończonym i, których sk ład n ik i należy określić t. zn. trzeba podać ogólne prawo tworzenia składników .

P rzyk ła d 2. Ale nie każdy szereg nieskończony będzie dla nas użytecznym . Np. szereg nieskończony, którego «-ty w yraz wy-

CC

nosi «. a więc szereg nieskończeni v 1 2 4 * 3 4 " ^ 4 ~ • ■ ■ — ^ S i- 1 nie ma żadnej sum y i nie określa żadnej liczby.

W przykładzie 1 liczbę 2/3 rozłożyliśmy, rozwinęliśm y na szereg nieskończony taki, że otrzym am y liczbę, tem bliższą liczby 2/a?

A . U o b o rs k i: W y ż s z a M a te m a ty k a . 8 2

— 4 9 2 —

im w ięcej weźmiemy pierw szych wyrazów szeregu. Celem właśnie teorji szeregów je s t podać ogólne wskazówki, pozw alające w ielkości, analitycznie określone, rozwinąć na szeregi nieskończone o tej własności, że rozw ażauą wielkość możemy aproksym ow ać tern lepiej, im więcej weźm iemy wyrazów szeregu.

P rzy k ła d 3. W yższa analiza (jak się przekonam y) pozwala nam obliczyć sina; z dowolną dokładnością, bo zezwala „rozsypać“

CC X ^

sina: na szereg nieskończony, a mianowicie je s t s i n a ; = ^ | — ^ -f~

-j- i j — yj - f - ... , gdzie x oznacza m iarę k ąta w radjanach. P rz e ­ konam y się również, że liczbę e możemy przedstaw ić przy pomocy szeregu nieskończonego: e = 1 -|- ^ +■ ^ -f- ~ - f - ... Im więcej weźmiemy wyrazów tego szeregu, tem dokładniej obliczym y liczbę e.

Poprzedni przykład pozwoli nam obliczyć fu n k cję sina’ z dowolną dokładnością.

Ścisła definicja. Weźmy pod uwagę ciąg nieskończony liczb rzeczyw istych (1) tt4, k t ó r e g o «-tym wyrazem jest w„.

P rzy pomocy niego tw orzym y nowy ciąg nieskończony (2) s,, s2, s3, s ,. .. ., przyczem s, = « „ ss = », - f « „ s3 — ut -J-m2 ua, ,

rt

s„ — «i -j- >h + m3 — • —1~ «» = -S u {.

i-i

I) Jeżeli ciąg (2) ma granicę (oznaczmy j ą przez s), to liczbę s zowieiny sum ą szeregu nieskończonego, k tóreg o » tym wyrazem

oo

je st u„. Znak 2 n, albo -j- n} -j- ... -f- u„ t(- ... m a właśnie ozna- czać liczbę s. Jeżeli więc zm ienna (s„) zdąża do określonej g ra ­ nicy s, wówczas szereg nieskończony o n tym w yrazie u„ zowiemy szeregiem zbieżnym . Liczby s,, s2: s„, zowiemy sum am i ezę- ściowemi szeregu, liczbę s„ zowiemy «-tą sumą częściową szeregu.

Nazwa „sum a szeregu nieskończonego“ pochodzi stąd, że dawniej gzereg nieskończony, zgodnie z pojęciem intuicyjuem , przedstawio- nem w przykładach 1, 2, 3, uważano za sumę o nieskończenie wielu sk ładnikach; ja k widać ze ścisłej definicji pogląd tak i je st dziś bez znaczenia. Obecnie bowiem sumę szeregu nieskończonego określam y, ja k o granicę, do której dąży M - t a sum a częściowa, gdy w skaźnik n rośnie nieograniczenie.

II) Jeżeli ciąg (2) nie ma granicy, to szereg o w yrazach (1)

CO

zowiemy rozbieżnym i w tedy sym bol 2 u t nie oznacza żadnej liczby, i-i

szereg sam je s t nieprzydatnym .

Weźmy sum ę częściową s„ i niech m oznacza liczbę naturalną taką, że m < n w tedy je s t: sn ===% + us + Ms + • • • • + + +

»m+2 + ••■ • + «» = s« + M»+i + »«+2 + • • • + “»• 'Załóżmy, że szereg o tych w yrazach je s t zbieżnym . Niechaj wskaźnik' n rośnie nie- ograniezenie; zbadajm y, czy suma: («m+1 -f- um+i -|~ h„+3 - f .... -f- «„) ma w tym przypadku granicę. Otóż ,s„ —> s, gdy n —> oo, a sum a sm, ja k o stała względem zm iennej n, zdąża do liczby sm; tedy sn - s m- * s — sm\ przeto sum a am+! + + + ••• + “ » ma g ra­

nicę, gdy n —>oo i równą liczbie s — sm, k tó rą oznaczmy przez I?m;

zowiemy j ą resztą szeregu nieskończonego. Podkreślam y, że reszta

OO

je s t również szeregiem nieskończonym i że je s t i?m = ¿5 ux. Jeżeli x—m-fl

więc szereg o w yrazach (1) je st zbieżn y m ,'to zbieżnym je s t także szereg o w yrazach um+,, Km+2,... czyli reszta szeregu nieskoń­

czonego zbieżnego je st też szeregiem nieskończonym zbieżnym . W szeregu nieskończonym zbieżnym możemy więc sk reślić do­

wolną ilość pierw szych wyrazów, a pozostanie dalej szereg zbieżny tak, że możemy nieściśle powiedzieć, że własność zbieżności, czy rozbieżności szeregu nie zależy od jego pierw szych wyrazów, lecz tkw i we w yrazach o w ysokich w skaźnikach. Z apytajm y o w arunki, które m ają spełniać w yrazy szeregu zbieżnego.

Otóż wiem y z tw ierdzenia Cauchyego (§ 23), że, jeżeli ciąg (2) ma granicę, to do każdej liczby £ > 0 istnieje tak a liczba n atu ­ ralna N, iż, gdy «i N i n j ^ N , to je s t js .— sm < e. N iech b ę­

dzie n )> ni i niech n = m -f- p. tedy p ^ l a zresztą je s t liczbą naturalną, dowolną i m am y:

(3) j Sn —— sm =^1«*+, + ,tt» f2 H - - £ ««+r < £> 1- W a ru n ek konieczny i w ystarczający zbieżności szeregu opiewa więc następująco: szereg nieskończony o n-tym wyrazie m„ jest wtedy i tylko wtedy zbieżnym, gdy do każdej liczby s > - 0 istnieje liczba naturalna N taka, że dla każdej liczby naturalnej m o własności i dla każdej liczby naturalnej p zachodzi nierówność -j- +

P

Sum a -f- uvią.2 -j- ... -f- u„,+J} = 2 nm+i zowie się resztą czę- ś-I

32*

— 4 9 4 —

śoiową szeregu. Od pewnego więc m iejsca reszty częściowe m ają być dowoluie małe, jeżeli szereg m a być zbieżnym.

Zauw ażm y dalej, że m ieliśm y równość i?„, = s — s,„ w p rzy ­ padku szeregu zbieżnego; otóż, gdy t n —>oo, to s„, —» s, więc s — sm —^ s — s = 0, przeto reszta R m dąży do zera, gdy m —» oo.

Polóżinv we wzorze (3) w artość « § = 1. to otrzym am y <[£

dla m ^ iY, co oznacza, że u„ —» 0, gdy m —> oo. W każdym więc zbieżnym szeregu ciąg (1) t. j. ciąg jego wyrazów ma granicę zero czyli ja k krótko mówić będziem y: « -ty w yraz zbieżnego szeregu nieskończonego dąży do zera, gdy n —> oó.

Jest to w arunkiem koniecznym , ale niew ystarczającym zbie­

żności, ja k poniżej w ykażem y. Stąd przez kontrapozycję (zob. W stęp) w ynika, że, jeżeli w yrazy pewnego szeregu nieskończonego nie dążą do zera, to szereg taki jest rozbieżnym.

P rzykła d I. W eźm y szereg nieskończony o M-tym w yrazie g dz' e « = 1, 3, 4 ...

Z badajm y, czy ten szereg jest zbieżny, to znaczy, czy ciąg jego sum częściowych m a granicę. Otóż jest: s1 — tą = (£)° = 1, si = Ą + >h = 1 + \ — f j ss = Mi + ut + !i3 = 1 + i + (i)* — h ogólnie: = m, -j- m* - f - .... - j - u„ = 1 -f- £ -f- (¿ )2 -j- ( | ) 3 - j - ... -(- (£)"_1.

Sum a częciowa s„ je st więc sum ą n pierw szych wyrazów postępu geom etrycznego, którego pierw szy w yraz rów na się liczbie 1, a iloraz je st rów ny więc: s„ — r = -— = 2 [1 — (•£)"].

2 1 z

Z tego widzimy, że sum a s„ ma granicę 2; im więcej tedy weź­

m iem y wyrazów szeregu, tern bardziej ich sum a zbliży się do liczby 2.

Możemy powiedzieć, że liczbę 2 rozw inęliśm y na szereg nie-

°° 1

skończony 2 = JE1 — [Nieściśle, a geom etrycznie znaczy to rzecz n—1 u

następującą: je ż e li np. w eźm iem y odcinek długości 2 metrów, to m ożem y go również uważać za „sum ę“ nieskończenie w ielu odcin­

ków 1 —{— ^ —[— —{— . ..]. Szereg o M-tym w yrazie. un — jest zbieżnym . Stąd ju ż w ynika, że jeg o M-ty w yraz dąży do zera, -gdy n —> oo, co potwierdza bezpośrednio wzór na w yraz un (§ 22).

P rzyk ła d I I . Metoda w yczerpyw ania A rchim edesa. Obliczmy pole leżące w pierw szej ćw iartce, ograniczone przez parabolę y - = 2 p x ( ^ > 0 ) , oś x i prostą x = x „ , gdzie 0 0 (zob. rys. 91,

str. BOI). Połóżm y y0 = \ 2 p x a. Niech p u n k t B ma współrzędne (,r0. y0). jego rzutem na oś x niech będzie pu n k t A.

Dla pomocy rozwiążemy naprzód zadanie następujące: jeżeli punkt -P(£, rj) leży na rozważanej paraboli, znaleść odciętą pu n­

ktu paraboli o rzędnej t?, = arj. Rozwiązanie je st łatw e: ma być

>fi = («'?)’ = , skąd & = “¿fp ■> a,e V2 = 2 P ^ bo Punlit V) a 2 . 2 p £

leży na paraboli, tedy f , == — ~ = a 2£. Otóż pole O/U? podzie­

lim y (nie na paski, j a k na str. 301, ale) na trójkąty. W tym celu łączym y punkty 0 i B odcinkiem (radzim y czytelnikow i w ykonać rysunek); powstając więc tró jk ą t OAB, którego powierzchnia wy-

X i/

nosi Przez S h l oznaczmy środek odcinka OB; współrzędne u

punktu S V1 będą K °, przez p u n k t S h l kreślim y równoległą ,2 ^’ 2^,

do osi x , ta równoległa przetnie parabolę w punkcie T Xi], którego

tł Xn

rzędna wynosi a więc według powyższego odcięta wynosi ^ (bo a = ^). Rozważmy tró jk ąty O T 1:1S u l , 2 )11S l l l B o wspólnej podstawie i rów nych wysokościach w ynoszących ~2 .D łu - gość S IilT ltl wynosi tyle. ile bezwzględna wartość różnicy odciętych

% X CC CC

punktów S liX i IZ',,,, a więc wynosi — T = r ■ W obec tego oba

At 4 •+

trójkąty' m ają powierzchnię łączną:

1 Ih , 1 ya = ^o>Jo 2 ' 4 ' 2 2 ‘ 4 ' 2 8 '

Niech dalej S2J, S 22 oznaczają środki odcinków OTxx wzgl.

T XXĘ \ przez nie kreślim y równoległe do osi x, które, przetną p a ra ­ bolę w punktach T i t , wzgl. T M ; punkty 6',, m ają — ja k łatwo się przekonać — współrzędne | w z g l . ( *łg”? ~ j r ] - W obec tego, kładąc powyżej raz a = £ , drugi raz a = § . otrzym ujem y w spółrzędne | dla punktu T 21, zaś dla punktu T ti współ-

/ 9 x 3 // \

rzędne jN Jł, j. Rozważmy zkolei cztery tró jk ąty 0 T t l S21i TixS ix 7 j,.

— 4 9 6

T u Ti2S 2i, T tiS ^ B ] one m ają pola równe, więc liczba = 2 lo 4

%;/o

32 daje łączną m iarę ich p ó l/

W ten sposób postępujem y dalej i przy pomocy indukcji zupełnej otrzym ujem y liczby:

x o !/o x o y o X0 y 0

2 - 32

X 0 //o

1 2 8 ’

x a y<¡

2~"—i ’

ja k o kolejne m iary pól trójkątów . Posunąw szy tedy opisaną kon­

strukcję dość daleko, otrzym ujem y, jak o m iarę pól trójkątów iiczbę

*0 yp i *0 yp i x o yp

2 2* 25

V Xq1/o

■ ^ 22’”“ 1 .«o y o l - L -1 _i_ 1 _1_ 1. _L

■ 2 S ' 9 4 ' 0 6 '

1 2 »

. 2 ar0

. X0 ?/0 1 ( i ) ”

[1

2 2" - 2

- # •

2

W granicy otrzym ujem y znany nam wzór:

N = 2 x0 ?/o

1 - ł

jeżeli iY oznacza szukaną m iarę pola. Je st więc:

N-- r if/0 22™—l

t. zn. liczba N je s t sum ą powyższego szeregu nieskończonego, którego w yrazy m ają widoczne znaczenie geom etryczne.

Przykład I I I . Niech będzie dany szereg o «-tym wyrazie

«„ ==g ( — l ) ”“ 1, gdzie n oznacza liczbę naturalną. Pierw sze wyrazy szeregu są następujące: 1, — 1. —[— 1 , — 1 ,... W idzim y, że n-ty w y­

raz tego szeregu nie dąży do zera, gdy n —>oo; stąd bezpośredni wniosek, że szereg ten je s t rozbieżnym . W y n ik a lo również i z tego, że sum y częściowe nie dążą do żadnej granicy, gdyż Si = l, s2= 0, s, = l i t. d. (na przem ian liczby 1 i 0). P rzytem m usim y zauw a­

żyć, że „dodaw anie nieskończenie wielu sk ładnik ów “, za co moż- naby nieściśle poczytyw ać szereg nieskończony, nie zawsze posiada własności assocjatyw nej lub kom utatyw nej. Jeżelibyśm y bowiem wy-

razy ostatniego szeregu odpowiednio sko jarzy li: ( 1— 1) — ( 1— 1) -f- -f-(l —1) ... to otrzym alibyśm y szereg zbieżny, ciąg sum częściowych ma bowiem postać: 0, 0, 0 ,. .. (zob. § 81).

P rzyk ła d I V . Z badajm y zbieżność t. z w. geom etrycznego sze­

regu o w-tym w yrazie u„ — a"~'1( n = 1, 2, 3 . .. ) . gdzie a oznacza dowolną liczbę, rzeczyw istą. M usimy tu rozróżnić kilk a przypadków w odniesieniu do wartości liczby a. W iemy z poprzedniego p rzy­

kładu że, gdy a = ± 1. to szereg jest rozbieżnym .

Rozbieżnym będzie też szereg, gdy a j > i. W przypadkach a 1 nie może więc b y ć mowy o zbieżności, gdyż ciąg a "-1 nie dąży do zera, gdy n —> oo. Pozostaje tedy do rozważenia przypadek:

a < 1. Otóż ja k wiadomo z teorji postępów geom etrycznych, jest:

Qtłl ]

s„ = 1 -j— cc —{- cc1 —J- ... — a"_I = — j . G dy więc «—>oo, wówczas

■ . a" — 1 1 1 ,

a ’1—>0 i p r z e t o —> — —— .--- ■. O kazaliśm y więc, źe

r a — 1 a — 1 1 — a

szereg geom etryczny o «-tym w yrazie un -cc” 1 jest wówczas ty lk o zbieżny, gdy bezw zględna wartość liczby a jest niniejszą od jedności, a nadto, że sum a takiego szeregu rów na się liczbie Stosując ten ogólny wzór do przykl. I., mamy a = więc

OO

y l i _ = —i— •—= 2.

! 1 — 4

+ n«nl

P rzykład V. W iem y, że, jeśli szereg je s t zbieżny, to —> 0, g d y n —>oo; je s t to w arunkiem koniecznym , ale, ja k rzekliśm y, n ie­

w ystarczającym dla zbieżności; istnieją bowiem szeregi, dla któ ry ch u ,—>0, gdy « —>oo, a mimo to są szeregami rozbieżnym i. Rozważmy bowiem szereg t. zw. harm oniczny, określony następująco u„ == —.

71

W idzim y, że, gdy n —> oo, to un = -4-0. Otóż udowodnim y, że szereg harm oniczny je s t rozbieżnym.

W tym celu zajm iem y się ciągiem sum częściowych szeregu.

Jeżeliby szereg harm oniczny był zbieżny, to ciąg jego sum częścio­

w ych m iałby granicę i byłby przeto ograniczony u góry (§ 20).

Otóż w ykażem y, że ciąg sum częściowych szeregu harm onicznego nie jest ograniczonym u góry.

— 4 9 8 —

W tym celu zajm iem y się sum am i s2, st , s8, s16, . . . w ogóle sumami s„, których w skaźnik m jest rów ny potędze 2 " liczby 2.

Otóż je s t = s2a — si = 1 ~i~i ~ł~ j -> 1 ~ł~j ~f~-j H r i

> 1+ l ;

> si + ł + ł + ł + ł = s* + l == s*+ ł > * + f + i = i + f ; «2* =

= S8 + ł + lV + 11r + ^ + l ^ + 3,i + t lB- + A > Ss + 8 . -jlgr = *8 -{- l - j - | - Dotychczasowe rachunki liczebne pozwą- łają na odgadnięcie zw iązku (4) s2~ ^ 1 -f- ¿ . v Aby związek (4)) l

u

u d o w o d n i ć d la w s z y s t k i c h w a rto ś c i n a t u r a l n y c h n. p o s łu ż y m y się i n d u k c j ą z u p e ł n ą . S t w i e r d z i m y w ię c k o le jn o , że

(I) związek (4) je st słuszny dla w artości n — \ \ rzeczyw iście otrzym ujem y s2 ^ 1 -j- co je s t praw dą, bo s2 — 1 -j-

(II) Jeżeli na chwilę przypuścim y, że związek (4) je st słuszny dla dowolnej liczby naturalnej n = p , to będzie też słusznym dla w artości n = p -f- 1.

P rzy puśćm y więc, że je s t ssj. ^ 1 —j- —; okażem y, że wtedy

¿j

je st SjP-i 1 . Rzeczywiście m am y: s 2h - i = s2/- -j- or~j~y -j- , 1 , , 1 ^ _ , 2-+» — 2' , 2P(2 — 1) ,

2 p- |- 2 ' " ' ^ 2 p + l 2 P+1 ~ S*1 ■:; 2 P+1 s2',_r

g ^ 1 + g -j- 2 = 1 - |- -, co właśnie m ieliśm y udowodnić.

Tem sam em na mocy zasady in d u k cji zupełnej udow odniliśm y związek (4), k tó ry w ykazuje, że sumy s2i> nie są ograniczone u góry, przeto ciąg sum częściowych nie posiada g ra n ic y ; innem i słowy:

szereg harm oniczny je s t rozbieżny.

Możemy jeszcze w inny sposób w ykazać, że szereg harm o­

niczny je st rozbieżny, a m ianowicie: Jest

ln(m - ¡ - 1) — ln(m) — f ~ <C —, J m t ni

gdy m )> 0. Stąd s„ = 1 -j- ^ -j- -■ -j- . . . -f- — )> (Zn 2 — Znl) -j-

¿ o m

- f - ( Z « 3 — Zn 2) — = Zn(jn-|-1) — In 1 = Z n(łn-j-l).

A że In x rośnie nieograniczenie, gdy x —> -j-o o , więc w yka­

zaliśm y, że sum y częściowe ś„ szeregu harm onicznego tw orzą zbiór nieograniczony u góry.

P rzykład VI. W eźm y pod uw agę dowolny ułam ek dziesiętny nieskończony (zob. W stęp), będziem y go rozważali za nieskończony

CC

szereg a0 p r z y czep a a0 oznacza dowulnę liczbę całą, nie-

i - l

ujem ną, zaś a1, a 2,... są to liczby całe, jednocyfrow e (0, 1, 2,... lub 9).

Aby zbadać zbieżność, tw orzym y ciąg sum częściowych; będzie

n u

*. = a 0 + otóż s» < a ° + Ma x ( c ,) = 9 dla ¿ = 1,

1 i«l

1 i _

0 i V 9 ^ 10" 1

2, . . al e ^ 10<= , 0 - ~ y ...= 1 ~ jy» < lf Przet0 -lest s» < 1

1- 1 - 1 0

czyli ciąg sum częściowych jest ograniczonym u góry.

Nadto s„+ , = s„ ^ S„, bo a, ^ Ó czyli ciąg sum czę­

ściowych nie jest m alejącym , wobec tego (str. 60) ciąg sum czę­

ściowych ma granicę, a więc ułamek dziesiętny, nieskończony można uważać za zbieżny szereg nieskończony.

Sum a s tego szeregu je s t właśnie liczbą (zob. W stęp), której ciągiem przybliżeń dziesiętnych przez niedom iar jest rozważany ułam ek dzies. nieskończony.

§ 80. Cechy zbieżności i rozbieżności w e d ł u g D’Alemberta i C au ch y’e g o .

Badanie zbieżności lub rozbieżności szeregu przez rozważanie jego reszty częściowej je st częstokroć bardzo mozolne, istnieją jed n ak tw ierdzenia, które z wyrazów szeregu pozwalają orzec, czy dany szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny. Te tw ierdzenia, podające w a­

ru n k i w ystarczające na zbieżność lub rozbieżność szeregu, zowiemy cechami zbieżności, czy rozbieżności- Poznam y cechy D ' A lem berta 1 Cauchy ego.

I) Cecha D’A lem berta *) stosuje się do szeregów o w yrazach-do­

datnich. Cecha zbieżności D ’A lem berta opiewa -.jeżeli wszystkie wyrazy szeregu o n-tym wyrazie u„są dodatnie i jeżeli istnieje liczba ijo własności 0 < y < l i niezależna od wskaźnika (») i jeżeli istnieje liczba natu-

’) J a n le R on d . D 'A lem b ert, m a tem a ty k fra n c u sk i, nr. 1 7 1 7 , urn. 1 7 8 3 .

— 5 0 0 —

raina AT taka, iż jest ¿ /a wszystkich liczb n j ^ N , to szereg jest zbieżny.

Cecha rozbieżności D ;A leniberta opiewa: jeżeli szereg o n-tym wyrazie u„ ma wszystkie w yrazy dodatnie i jeżeli istnieje liczba na­

turalna N taka, że jest —~ ^ 1 dla to szereg je st rozbieżny.

D o w ó d c e c h y z b i e ż n o ś c i D ’A l e m b e r t a . W edług za­

łożenia je st: < rj dla n N; przeto je s t Ui,+k <" t], M2ł& <( y,...

u„ Uy W.V+1

stąd (ponieważ je st ii.v> 0, ka+1> 0 ...) w ynika: |§.+1 O m O ,-, «.v-l2<C

< n u ,v+i ... i zarazem przez pomnożenie, nN+i Uy+1<j g h iy . ny+1 czyli m.v+s < r f '■ «,v, podobnie uN+s <C nf . Uy. .. Zgadujem y więc że je st:

nk < t f . Uy dla Icj^N . Zw iązek ten z łatw ością czytelnik udowodni przy pomocy indukcji zupełnej. W eźmy teraz dowolną resztę czę­

ściową szeregu, byle było m N. Ponieważ według założenia w szystkie w yrazy szeregu są dodatnie i ponieważ m jjs* N. więc też v i - \ - 1 ^ N, m -(- 2 ^ iV,. . . . m -J- p ^ N, i dla reszty częściowej szeregu otrzym ujem y' nierówność:

i «m+l “l“ »m+2 “ t- • • • - j - Um+p = W,n+1 + «m+2 4 ~ • • • “ I- n m+r <C

< (vm+i + v m+2 + • • • + v m+p) • % - v m+1 •

i — i] t f 1— V V gdyż je s t 0 « < ? /< ( 1, więc też 0 < j vf< j 1- O bierzm y liczbę e j> 0

£ . 7?iV ( 1 — 1l)

zresztą dowolnie; tedy jest — -A. i- j> 0, więc tnożna dobrać

‘ ' U y

i £. ??iV ( 1 — 1]} "

liczbę natu raln ą N 0 taką. że je st rf"+1 <C — —— dla m > N 0,

U y

gdyż je st 0 <j 7] < 1 (str. 70). Przeto je s t

V"‘+l ■ Y Z T jj • ^ g d y m-J- 1 > i V 0.

Jest więc

um+1 - f tC+i + ■ • • + um+p j < £, gdy im ^ M ax (Ar; Ar0).

I P > i co dowodzi, że szereg je s t zbieżnym.

Dowód cechy rozbieżności. Na m ocy zasady in d u k cji zupełnej w ykaże czyjelnik, że z założenia w ynika nierówność: un^ u x dla

n ^ m Ponieważ je s t i< *> 0. więc ciąg h2 j. nie ma g ra ­ nicy zero. gdy » —> 00. G dyby bowiem było —>0, to nierówność n„ U;, dałaby w gran icy 0 ^ mv, co je st sprzeczne ze założeniem.

Stąd zaś bezpośrednio w ynika, że szereg je s t rozbieżny.

P rzy k łą d 1■ Z badajm y zbieżność, szeregu o »-tym w yrazie u n = - ~ - Wz ór ten określa w yraz un dla wartości w = 2 ,3 .4 ,..,;

* . 1

niech ponadto będzie ui — 1. Z badajm y więc, czy sym bol: 1 —j— ^ , —{—

-j- ^ - f - .... -f- — + .... przedstaw ia liczbę, czy też nie.

W szystkie w yrazy tego szeregu są dodatnie; ponadto je st M-+: —±- = —1 --- , 1 (?* — 1)! - r 1 przeto widać, ze 1 • . « M —> 0 , gdya i

u„ ?i! (n — 1)! »! n u„ '

v —> 00, skąd w ynika, że istnieje liczba N taka, źe je st u , 1

■ 1 <C g dla n ~ ^ N \ cecha zbieżności D ’A lem berta (77 = ^) wy-

Ut, Ct

kazuje, że szereg je s t zbieżnym. Nieco później (§ 86) w ykażem y, że jego sum ą je st liczba e, znana nam z § 21.

P rzyk ła d I I . Podobnie zbieżnym je st szereg, którego »-tym w yrazem je s t »„ — ; w yrazy jego są dodatnie, nadto je st

<■"+1 (» + 2)! (w!)2 __ » -} -2 _ » - f l 4- l 'u„ ( ( » + i ) ! ) * '( h + 1)! ( n - f l )2 ( » 4 - l ) !

1 1

n 4 - 1 (n - f - 1)! ~^ ''

gdy ń —> 0 0 ; zresztą należy w dalszym ciągu rozumować, jak w poprzednim przykładzie.

I 7 , 7 7 77 VT- 1 , J • 1 . 3 . 5 . 7 . . . . ( 2 » — 1) P rzykła d I I I . Niech będzie un — — - 7 1Q )3-- (3?? — 2)’

1 ■ i i - i ?Ci4_i 2/7 4 " ! ^

w yrazy takiego szeregu są dodatnie, nadto je s t —r = - — ¡—- — Un Oli —f— I o gdy ;/ —> 0 0 ; tedy do liczby £ — 1 można dobrać liczbę N tak, iż

2 9 /i-j-l 2 1

będzie - X -- < - - 1- - dla n ^ N i mianowicie jest N == 1.

O o O

2 1 5 W olno w ięc p rzy jąć: ^ = g H~ g ~ •

— 5 0 2 —

P rzykła d I V . W eźm y pod uw agę szereg o /i-tym w yrazie

9 n - i

't łu — '- — ) gdzie a ozuacza dowolną liczbę. W yrazy są dodatnie, 71

1 • wn+i 2" n a n ( n \ " . 1 . nadto jest - J - = -— , i W ń r r = ^- — r r • niocy tw. 19

J un ( « -j- 1)“. 2”-1 ' -f- 1 / -

( n \ a

—-j—-j j —>1“ = 1, gdy 7i—>^{0 0}; wobec tego:

—> 2; stąd w ynika, że do każdej liczby s > 0, a więc dla liczby u„

£ = ^ istnieje liczba N taka, że dla w szystkich liczb n ^ N będzie w, czyli — 4 <C—~ ^ skąd 2 — — 1^ <C~~~~ •

ic„ U„

Jest w i ę c j > 1 d la n ^ N , co nam w ykazuje, że szereg je st

l l n

rozbieżny.

Utcaya. Należy podkreślić, że liczba y, o której mowa w ce­

sze, spełnia w arunek 0 <4 y < 1. a tńe O statnia nie­

równość nie w ystarcza, ja k tego dowodzi przykład szeregu harm o­

nicznego, dla którego je st ^ ± 1 = — w tym przypadku 7ln 71 —p 1

je st y— —> 1. Szereg jest, ja k wiemy, rozbieżny. Ale m ożna dać

71 X

przykład szeregu zbieżnego o własności —^ <[ 1 i z a ra z e m -—1- —> 1;

u„ un

przyjm ijm y bowiem u„ = -• ; szereg o tym »-tym w yrazie je s t rze- 71-

czywiście zbieżny, ja k to udow odnim y natychm iast.

. " ■ 1 1

W tym celu weźmy resztę częściową j _{771 -j- 1)2 1

1 1 ! L 1

+ (w 4 - 2)- ”1" • " + 4 . p y I “ {m Ą - l )2 + V' '

1 1 P"+ldcc

4 - ; ---i— ■ Otóż udowodnim y, że jest . , <T I — 4 Jest

(m 4 - p)- J J (» 4 - l ) s J „

. o RO f n+1d x ( » 4 - 1) — n 1 , .

bowiem na m ocy § 62: / —- = i— ---== , gdzie je s t

J n % S ł) “

n < |< C n -f- 1, stąd, gdy n oznacza liczbę dodatnią »* <C <C (« 4 ” l )2

. 1 ^ 1 . 1 . r + 'd x ^ 1

, wreszcie „ , > J J > y y y j , a w lęc j , S ^J *

oznacza liczbę dodatnią np. naturalną. Wobec tego jest

B .*■'].< ' M ± + + r dx = r +"d x = 1 -

’"'"i

J

J

J

J

1 - C -1 ^. m - f- p m Z tego widoczne, że szereg je s t zbieżnym.

■ » 1

Podobną własność m a szereg ogólniejszy gdzie y ozna­

cza liczbę stalą, rzeczyw istą; gdy je s t y j> 1, to szereg ten je s t zbieżny, gdy zaś je s t y ^ 1. to szereg jest rozbieżny. Dowód, że szereg jest zbieżny dla w ykładnika y > l przeprow adza się tak- samo, ja k dopiero co w ykazaliśm y zbieżność w przypadku y = 2 (przy pomocy całki określonej). G dy zaś y < j 1, to dla liczb natu­

ra ln y c h n na mocy własności potęg (§ 24) je s t n? < n. s k ą d ~ < ~ ~ czyii szereg ma w yrazy większe od wyrazów szeregu harm onicz­

nego, którego rozbieżność je s t ju ż nam znaną.

1 ; M«+1

Zauw ażm y, że gdy u„ — to —— = I ) < j 1 i —> 1.

M M„ \ « + 1/ «u

W idzim y tedy, że cecha D iA lem berta zbieżności daje jed y n ie wy­

starczające w arunki zbieżności.

Można podać szeregi, do których cecha D’A lem herta się nie stosuje. Jeden przykład dopiero co poznaliśmy, podamy obecnie przykład innego typu. Niech będzie dany szereg o w yrazach

« 2, = dla « = 1 , 2 . 3 , . . . . ; widzimy, że w yrazy na

Ł O

m iejscach parzystych inaczej należy tworzyć, niż w yrazy na miej- sach nieparzystych się znajdujące. Utwórzm y stosunki >

> 1.

i f 2 u + 1 _ 2 " _ | 2 y 1

(

pomocy sum częściowych się przekonam y. Je st bowiem:

~ ( l ) ] + 1 ~ & ) . - i 1 - / i ) " _l_ 1 1 " ( i ) ' _ 1

3 ' 1 — ■ J ' 2 ‘ 1 — i- 2 1

l r ® 2 ' Sn,'I r t == Ą . + W i “ » 9 + 0 = ., • O kazaliśm y tedy, że szereg jest zbieżny (i znaleźliśm y jeg o sumę), a on nie spełnia założenia:’a n i ce­

chy zbieżności ani cechy rozbieżności D Alemberta.

— 5 0 4 —

II, Cecba zbieżności C auchy’e g o *) opiewa: jeżeli szereg o n-tym wyrazie u„ m a wszystkie wyrazy nieujemne, jeżeli istnieje liczba ij o własności o < »; < 1 a jeżeli istnieje liczba naturalna N taka, że J^«n 1 de fest N, wtedy szereg rozważany jest zbieżnym,

Dowód. Ze założenia w ynika, że je s t 0 ^ < r f dla liczb n j ^ N . Jeżeli więc przyjm iem y, m jj& N , p jź s 1, to dla reszty czę­

ściowej otrzym ujem y:

| “ m+1 + “ m+2 + • • • • + Wm+p i = Mm+1 “f" “ «1+2 ■ ■ ■ ~f- Um+p <C . + + c +2 + • • • + ' = v m+J ( i + v + y* + ■ • • 4 - ' f ' 1) = v ”'+' ■

i _ .,y ł;-»+:

1 — ■>} 1 — g

można znaleźć liczbę N 0 taką, iż je s t ~— ^ e, jeżeli je s t n i Aj,.

Będzie więc ostatecznie: |« m+t -f- «m+2 -f- “m+p| < £■ o ile jest m ^ Max (N ,N 0), p ^ l , a to właśnie dowodzi, że dany szereg je s t zbieżny.

Cecha Ca uchy’ego dla rozbieżności opiewa: jeżeli szereg ma wszyst­

kie w yrazy nieujemne i jeżeli istnieje liczba naturalna N taka. że

fi

w yrazy u„ tego szeregu spełniają nierówność {/#„ > 1 dla liczb n > N , to szereg jest rozbieżnym.

Rzeczywiście otrzym ujem y na mocy założeń, że je st « „ ^ 1 _ dla liczb N , w skutek czego w arunek konieczny zbieżności, po­

legający na tem, że « „ —» 0, gdy n —> o o , nie może być spełniony, co nas przekonyw a o tem, że b ad any szereg je s t rozbieżny.

P rzykład V. Niech będzie dla w szystkich liczb natu raln y ch n:

■ j - ^

»„ = — . wtedy \Ui„ — — —> 0, g d y n —> ^{o o ,} przeto, gdy będzie n 3,

71 1 1 1

to ^ • < ; można więc przyjąć, że liczba g, o której

71 O ^

mowa w cesze Caueh\>’ego dla szeregów zbieżnych, je s t równa liczbie -J-. Szereg o «-tym w yrazie - - je s t więc zbieżnym .

71

P rzy k ła d VI. Rozpatrzm y szereg o «-tym w yrazie ii,, =

; ale je st Q < j g < j 1, więc do każdej liczby £ > 0

*)■ A ajfustyh C auchy, fra n cu sk i m a tem a ty k , ur. 1 7 8 9 , ani. 1857.

| ^ ^ j J; w yrazy m a dodatnie, nadto = (jT~T~[ j "1" (———j- j ==■

^ »

- p gdy « '-> oo; ale je s t 2 < e < 3, więc ^ | .

,(M

P rzeto istnieje liczba natu raln a N taka, że będzie : |ót„ — _<

v i. — i , o ile tylko będzie N : (przyjęliśm y e = ] — ^ > 0).

& * ■ ¿j C

>ł 1 1 1 1

S tąd: J/m„— < - — - czvli \łu „ < i- dla liczb n ^ N . co dowo-

e 2 e 2

dzi zbieżności szeregu.

H ożnaby się zapytać o stosunek cechy D ’A lem berta do cechy G auchv’ego. Oczywiście, że z góry je s t wykluczone, by d any sze­

reg był zbieżnym na mocy jedn ej cechy, a rozbieżnym na mocy drugiej.

Ale powstać może zagadnienie następujące: czy istnieją sze­

regi zbieżne na mocy jed n ej cechy i zarazem takie, że cecha druga nie rozstrzyga ani o zbieżności ani o rozbieżności, gzy też je st może tak, że każdy szereg, zbieżny na mocy jed n ej cechy, spełnia założenia i tlrugiej cechy zbieżności.

Otóż można w ykazać dwa następujące tw ierdzenia:

a) jeżeli szereg dany spełnia założenia cechy zbieżności D ’A lem ­ berta, to ton samem spełnia także założenia cechy zbieżności Cauchy’cgo\

b) istnieją szeregi, zbieżne na mocy cechy Cauchy’ego i zarazem nie spełniające założeń cechy zbieżności D ’Alemberta.

Stąd wniosek, że cecha Cauchy’ego jest ogólniejszą, jednakow oż stosowanie cechy D’A lem berta we wielu przypadkach prowadzi do rachunków prostszych, niż stosowanie cechy Cauchy’ego.

Dowód tw. (a). Ja k wierny z dowodu cechy zbieżności D ’A lem ­ berta, je s t u„ < r f . l~ dla liczb n > K

P rzeto I/ill < n . I / - — . Ale j e s t . i-A > 0 i nie zależy od wskaź-

\ c f • n

n

,, tedy, ja k w ykazaliśm y w § 22 (przykład ^{8 )} je s t: —» 1 ;

— 5 0 6 —

nadto je st 0 < i] < 1. w ięc można dobrać liczbę n tak w ielką, że

-FI

ności będzie w zupełności spełnione. Ściślej rozum uje się w sposób następujący: je st 0 < rj < 1, tedy j- > ], więc £ = — l j jest liczbą dodatnią; do niej możemy dobrać liczbę n aturaln ą IV0 tak,

i ^Tl

J / —^ — 1 < ; £ = — 1 j , o ile je s t n ^ N0 (liczba N

n

je s t tu stałą!). Stąd J /~ £ < 1 + £ + *)• gdy n > N 0. Jeżeli więc będzie h ^ M ax (i¥. iY0), to otrzym ujem y \ u n ^ - f - 1 j =

V 1 TJ 1

— 2 ~\~2 ' Oznaczam y = é~]~. 9 ; ponieważ je s t 0 < r\ < 1, tedy

° < 2 < l ’ W' ęC teŻ 2 < 2 J r 2 = rl' <' 1 CZyl‘ ° < V> < 1 ’ •’0Sl więc założenie cechy zbieżności w edług Cauchy’ego spełnione.

A by w ykazać tw. (b), zw róćm y się do p rzek ład u podanego na str. 503. t. zn. do szeregu o w yrazach % , = y„,?(2, w i e m y już, że je st zbieżnym, jednakow oż zbieżności jeg o nie można wy­

kazać n a mocy cechy D ’A lem berta, zaś cecha Cauchy'ego usług

2 2 ”

nam w tym przypadku nie odmówi; je st bowiem \u<,„ = J / ^ =

i 2n~ 1

= J / F . Fif2»-i = J / ^ F A l e dla liczb a o własności 0 < a -< 1

2 « - l 2ii _

je st (zob. § 24): f a < \ c c . Przeto j'w2„_, = | / ( i j < | / ( ! ) =

I /T 1 /3 "n 2 n—l

= 1 /3 • Połóżm y t] = J/ 4 , to y < g i je s t 0 <

i ) < l . Tw. (b) je s t więc udowodnione.

Bardzo często posługujem y się szeregam i, których zbieżność lub rozbieżność je s t nam znaną, by ocenić zbieżność lub rozbież-

nośó innych. To porów nyw anie szeregów opiera się na dwóch na­

stępujących tw ierdzeniach.

Tw. I. Jeżeli je st 0 ^ un ^ vn dla n ^ 1 i jeżeli szereg o n-tym wyrazie v„ jest zbieżnym, to szereg o n-tym wyrazie u„ jest również zbieżnym .

Tw. I I . Jeżeli jest 0 ^ un ^ v„ dla n j y z l i jeżeli szereg o n-tym wyrazie un je st rozbieżnym, to szereg o n-tym wyrazie v„ jest również rozbieżnytn.

Z tego porów nyw ania szeregów z szeregiem geom etrycznym w y n ik a ją właśnie cechy D ’A lem berta i Cauchy'ego, ja k łatw o się przekonać. Dowód obu tw ierdzeń zostaw iam y cz y teln ik o w ił), zw ra­

c a ją c się do przykładu.

P rzykład V II. Udowodnim y, że szereg r “n - + ¡T5 + " - zn- hi £ In o

szereg o »-tym w yrazie un = je s t rozbieżnym . W tym celu porównamy go z szeregiem harm onicznym , którego rozbieżność ju ż w ykazaliśm y. W § 26 w ykazaliśm y, że z nierów ności x j> 0 w ynika e* > 1 -f- x. skąd przez logarytm ow anie (wobec tego, że fu n k ­ c ja logarytm iczna je st fu n k c ją rosnącą) otrzym ujem y: x > ln{l - \- x ) 0 ile je st x > 0. T edy dla wartości naturalnych x — n otrzym u­

je m y : łn(n -j- 1)<Ć.m; ponieważ ln(n -f- 1) ^ ln2 > 0, tedy mam y 1 ( ¿ 7 1) ~> j - ■ Ale szereg harm oniczny je s t rozbieżnym , przeto wo­

bec tw. II. szereg o «-tym w yrazie u„— j est tem bardziej rozbieżnym .

§. 81 B ezw zględ n a, a warunkowa zbieżność.

Porzućmy7 założenie, że w szystkie w yrazy szeregu są nieu- je m n e (w zględnie jednego znaku lub zerem!), przypuśćm y więc, że szereg ma w yrazy znaków dowolnych, a więc np. po dwóch w yra­

zach dodatnich następuje jeden wyraz ujem ny: +

— i - f - • a^ ° P° każdym dodatnim następuje jed en wyraz

ł) J e ż e li sz e r e g o w y ra za c h n ie u je m n y c h j e s t rozb ieżn ym , to c ią g jo g o sum c z ę ś c io w y c h j e s t n ieo g ra n iczo n y m u góry. N a tem tw . n a le ż y się op rzeć przy d o­

w o d zie tw . II.

A . H o b o rsk i: W y ż s z a M a te m a ty k a . 3 3

u je m n y itd. Niech to będzie szereg: (Ij «, -{- ms - j - ___ t. zn. szeregr o /i-tym w yrazie Obok tego rozważm y szereg: (II) |mx] -j- ¡«¡j -f-

«j| -} - t. zn. szereg, którego w yrazam i są bezwzględne w ar­

tości wyrazów szeregu (I); je s t to więc szereg o «-tym w yrazie jmJ , tern samem je s t to szereg o w yrazach nieujem nych. Z apytajm y, czy między zbieżnością i rozbieżnością obu szeregów zachodzi j a ­ kiś związek. Ze stanow iska form alnego (t. zn. nie wchodząc w treść pojęć) możemy przypuścić cztery przypadki:

( 4 ) (B) (C) (D ) •

sz ereg I

i zarazem sz e r e g II.

z b ieżn y

z b ie ż n y

z b ieżn y

ro zb ieżn y

rozb ieżn y

zb ieżn y

rozb ieżn y

r o zb ieżn y

Że p rzypadek (A ) je s t możliwy, w ykazuje następujący p rz y ­ kład. N iech będzie «„ = (— 1)"+1 szereg o takich w yrazach je s t zbieżny, g dyż jego «-ta sum a częściowa s„ ■ _[1

( - * ) .

— (— i ) ”] — Szereg (II) t. zn. o w yrazach uĄ — — je s t zbiężńy | j a k to w ykazuje cecha C auchy’ego (zresztą zob. str. 494).

Że przypadek (B) je s t możliwym, w ykażem y na następ u ją­

cym przykładzie. N iech będzie u„ = ( —1)"+ 1 . ^ ; szereg o takich w y­

padkach je s t zbieżnym , j a k zaraz udow odnim y; on powstał z roz­

bieżnego szeregu harmonicznego, przez to, że naprzem ian w yrazy jego zaopatrzyliśm y znakam i -J- i — .

W eźm y resztę częściową: un+1 -f- um+, -j- um+s - f • • • + «»+,. =

i , , i . ■ i

m + p ' 1

w - j - 3 1

-f-

’ m - \ - p

W yrażenie w naw iasie napiszem y w dwa sposoby:

m -j-1 ( « ¿ + 2 w — 3 ) (m -f-4 m —{— 5

W e form ie (2), ja k i (3) naw iasy ujm ują różnice, k tó ry ch w ynikiem są ju ż liczby dodatnie, gdyż — ^ .5 ¿ p g >

tedy suma je8t większą od pierw szego w yrazu — --- ^-—,zaś sum a (3) je s t m niejszą o d —- - - .

—I— 1 M —¡—4 »i—I—1

1 1 ^ l 1 , 1 1

est więc. m Ą _j m j ~g pi-j- 1 » i+ 2 » i+ 3 w + 4 • • '4 "

+ ( - ! ) ’ - ■ : + < ; ‘

m + p « i + 1

W yrażenie w klam rze wzoru ( 1) jest więc na pewne liczbą dodatnią. W obec tego

- . . . + ( - i r > 1

‘u + i U-+2 ’+ ••• + «m+pi ^{1 1 |}

m + 1 » ¡ + 2 1 ' m + p

^ m + 1

<

a więc tę resztę częściową można uczynić dowolnie m ałą przy każdej natu raln ej w artości p ^ l , gdy się ty lk o liczbę m przyjm ie dość wielką.

Ściślej: do każdej liczby £ > 0 można podać liczbę n atu raln ą N tak, iż ^ ^ < ; e; jeżeli więc przyjm iem y m ^ ^{iY ,} to +

< | j r j r | < f ; P r z e t0 lM™+>4 - « - + * 4 - ■ • ■ + « + » < < ^ + | < 5 dla p ^ l . To dowodzi, źe badany szereg (I) je s t zbieżny.

Szereg (II) je s t tu szeregiem rozbieżnym , gdyż je st to szer.eg harm oniczny.

I przypadek (D ) je s t możliwy, ja k to w skazuje p rzy k ład n astęp u jący : niech będzie = o ile liczba n nie je s t potęgą liczby 2, a więc, o ile je s t ¹¹ + 2'; gdy zaś n = 2". to u„ — — ~ . Będzie to szereg 1 — 4 4 “ 4 — ł 4 " 1 4 ~ 4 4 “ 4 — I 4 " Udo wod­

nim y, że szereg ten je s t rozbieżnym , w ykazując, że sum y częściowe

3 3 *

— 5 1 0 —

sn o w skaźnikach n — 2'’ tw orzą ciąg (w ybrany) rosnący nieogra- niczenie.

W eźm y pod uwagę sum y s6) sia, . . . . J e s t: s8 = st -f- J -f- -(- 4 " 4 — 4 - Otóż za \ — ^ połóżmy zero,zam iast ■g-4 ‘ 4 połóżmy ^ 4 + =

= 4 . wtedv otrzym am y m niej, niż ss, więc S o > Si + 4; podobnie:

* , . = * 4 - $ - * 4 - A 4 - * 4 - A 4 - A 4 - ( * — * ) > *8 4 - * =

— s b 4 ~ ł > Ss + 4 > s i 4 ~ f ; s 32 = s,s . 4 - i V 4 - ■ • ■ 4 ~ '4tr 4 " CsSr—

— 4 s ) > s'0 4 - M = sie 4 - Ą > S10 4 - i > s< + f - Stąd zgadujem y,

„ 2 ----

że będzie (1) s2P > st -f- dla p ^ 3. Okażem y to na zasadzie, O

indukcji zupełnej. D la p = 3 je st nierów ność ( 1) praw dziw ą. Z a­

łóżmy, że je st praw dą dla dowolnej liczby natu ralnej p = g ^ 3 q — 2

t. zn. niech będzie (2)s5i > ,<ą + — dla y ^ 3. Otóż O

s

2,+1

^ s2'i i o^ 1 " 2 " ,<?23 g-^t-i 2 = 2g 1

Ale je s t (21 1) : (2«~> - 1) = 2 + J A - — . T edy =

1 ^ 1 • . , U ' , 9 - 2 4 1

— - g , więc 52q+1 > % “r ^ -|---- “r ^ i co 2 + ¡ j T - r z r

w ykazuje, że zw iązek (1) je st praw dziw ym też dla p — q -f- 1.

Związek ( 1) je s t więc słusznym , co dowodzi, że rozw ażany szereg je s t rozbieżnym. Szereg (II) w tym p rzy p ad k u je s t szeregiem h a r­

monicznym , a więc także rozbieżnym .

Jed y n ie przypadek (C) je s t niem ożliwym, gdyż udowodnim y tw ierdzenie: jeżeli szereg ( I I ) jest zbieżnym, to szereg (I) jest rów­

nież zbieżnym.

Rzeczywiście, załóżmy, że szereg (II) je s t zbieżnym ; tedy do każdej liczby e > 0 istnieje liczba N taka, że je st j -f- 4 " |“ «+il 4* ••• 4~.!« « + I = !««+iI + + ••• + |««+,[ < e, jeżeli je s t m > Ay p + 1. Ale na mocy tw ierdzenia o bezwzględnej w a r­

tości sum y (zob. W stęp) otrzym ujem y: - f um+i + ... + »„1+p[ +

^ u„+1 -f- ii,,,..» + ... <( £. o ile je s t m j ^ N , p j ^ 1 ; przeto szereg (I) je st zbieżnym ; tw ierdzenie więc w zupełności udowodnione.

Tw ierdzenie to uspraw iedliw ia następujące określenie: szereg (1) nazyw am y bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg (II) je s t zbież­

nym. Ono zarazem w yjaśnia, dlaczego zajm owaliśm y się szeregam i o w yrazach nieujem nych — nietylko dlatego to uczyniliśm y, że szeregi tego rodzaju są najprostszej postaci, ale także i z tego po­

wodu, że zbieżność szeregu (II) pociąga za sobą zbieżność szeregu (I).

Ponieważ są je d y n ie przypadki A, B, D możliwe, więc:

(u) na mocy zbieżności szeregu (I) nie możemy orzekać ani o zbieżności ani o rozbieżności szeregu (II) [przypadki A i B]\

(b) jednakow oż z rozbieżności szeregu (I) w ynika je d y n ie roz­

bieżność szeregu (II) [przypadek Z)];

(fi) ze zbieżności szeregu (II) w y n ik a zbieżność szeregu (I); [/!];

(d) z rozbieżności szeregu (II) nie można wnioskować ani o zbieżności ani o rozbieżności szeregu (I). [5 , Z)J.

Jeżeli szereg (I) je s t zbieżnym i zarazem szereg (II) je st roz­

bieżnym , to szereg (I) nazyw am y warunkowo zbieżnym. Szeregiem

oc i y -1

bezwzględnie zbieżnym je st szereg zas szereg t-i 2

oc

. je s t w arunkow o zbieżnym , gdyż je st zbieżnym , ja k

i - i

oc

w ykazaliśm y, zaś szereg j ) —. ja k o szereg harm oniczny, je st roz-

i-1

bieżnym.

Szeregi bezw zględnie zbieżne mają pewną a interesującą włas­

ność, której wysłow ienie wymaga pomocniczych wyjaśnień. W eźm y pod uwagę ciąg wyrazów szeregu: (1) us.... i ustaw m y j e w innym porządku: (2) u,, t>2. rs t, zn. każdy w yraz ukje st rów ny pewnem u wyrazowi v, i każdy w yraz y, je s t rów ny pew­

nem u wyrazowi u„; jeżeli je s t u k — v„ — vs, to wtedy oba zw iązki

£={=/«, i rj= ; są albo równocześnie słuszne albo równocześnie niesłuszne.

Np. Niech będą dane dw a ciągi: (1') i , — 5 (2') J, t. zn. każde dwa w yrazy: u2„ -i- ui,„ c’^gu ( ! ') będą w ciągu (2) w następstwie u2n, m2„_x. W racając do ogólnych rozważań nad zm ianą porządku w yrazów ciągu ( 1), możemy powiedzieć, że albo istnieje liczba natu raln a N taka, że dla liczb n N je s t u„ = v„ albo takiej liczby Ar nie ma; w pierw szym przypadku powiemy, że ciągi ( 1) i (2) różnią się porządkiem tylko skończonej ilości wyrazów,

— 5 1 2 —

w drugim przypadku, że różnią się porządkiem nieskończonej ilości wyrazów [jak np. ciągi ( 1') i (2')].

P ow staje zagadnienie następujące: dany niech będzie szereg

oo

zbieżny ^ u Ł; zm ieńm y porządek jego wyrazów tak, iż otrzym am y

<-1 oo

szereg otóż: (a) czy drug i szereg jest także zbieżnym ?

i - i

i (b) czy m a wtedy tę sam ą sumę, co poprzedni?

Bez dowodu wypowiemy następujące tw ierdzenia:

I) Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to p r z y Tcażdem tipo- rząbkow aniu swych wyrazów pozostaje zbieżnym i stale ma tę sama sumę.

II) Jeżeli dany szereg jest warunkowo zbieżnym, to

a) można jego w yrazy ta k uporządkować, że pozostaje zbieżnym , ale sumą jego może być wszelka naprzód dana liczba rzeczywista;

b) można go tak uporządkować, że staje się rozbieżnym.

W idzim y tedy, że szeregi w arunkow o zbieżne są zbieżne pod warunkiem odpowiedniego uporządkowania wyrazów ; stąd też pochodzi ich nazwa.

Powyższe tw ierdzenia w yjaśniają, czy i kiedy sum a szeregu nieskończonego zależy od porządku jeg o wyrazów. Z am iast dowodu dam y przykład. U dow odniliśm y w § 81 na str. 508, że szereg (1)

°° 1

■- 1 — - g - b i — ł - f - ■ • • = ( — 1)"+I - je st'z b ie ż n y m , a ponieważ szereg oo 1

.2 - , ja k o harm oniczny je st rozbieżnym , tedy szereg ( l ) rje s t zbie­

żnym (jedynie) warunkowo. P rzez pew ną zm ianę porządku w y ra­

zów w yprow adzim y stąd nowy szereg, również zbieżny, ale o innej sumie. A mianowicie uporządkujm y tak w yrazy, by po dwu w y­

razach dodatnich następował jeden w yraz ujem ny: ! - } - £ — \ -f- i + ^ + Ą — & + Podzielm y (licząc od początku) w yrazy na grupy, zaw ierające po trzy w yrazy. Łatw o spostrzec.

że M-ta g rupa zaw iera w yrazy 3 — ^ ( m — 1. 2,...). J e ­

żeli w yrazy tego nowego szeregu oznaczym y przez vh to będzie

. 1 1 1 .

t e d y : % .- i = j ’ \ ~ ~ ~ 2 » ’ je S t WIęC % “ 2 =

= w ^-3, »jn- i = ■=#. (n = 1, 2,...). Przeto w yraz np. w„

stanie się wyrazem u13, gdyż 17 = 4 . 5 — 3. Oznaczmy przez $„

sum y częściowe pierw szego szeregu, przez a„ sum y częściowe d ru ­ giego z szeregów. W ykażem y, że szereg dru g i także je st zbieżny.

W tym celu weźmiemy pod uw agę ciąg sum częściowych 3, 6, 9,...

wyrazów t. j. ciąg cr3, cr6, (T9, as„_3. o3„,... i udowodnim y, że ciąg ten je s t rosnącym i ograniczonym u góry. Otóż cr3n = <r3„_3 -f-

1 . 1 1 _ 8n — 3

+ 4m— 3 + 4« - 1 '2)i ~~ a3n~s + 2«(4m — 1 ) ( 4 m - 3 ) ’ a 6 J 8^?i 3

2 n ( 4 M - , i ) ~ ( 4 W - | > 0 ’ g d y j e ą t W = 1 ’ 2 ’ 3 ' - J e S t W i ę c

co w ykazuje, że ciąg je s t rosnącym .

Aby wykazaó, że ciąg a3, je st ograniczonym u góry,

8«^— 3 8^{m -} 2

zauw azm y, 4 . je s t : 2„ (4„ _ t) ,4„ _ 3j < 2 n {in _ 4) _ 3j =

2(4 w — 1) 1 ^ 1 1 .

— 2»(4?i — 1) (4)i — 3) ~ 4)i2 — 3» 4m8 — 4» ---77, ~ 77777.4n(n — ---y:, co je std o -1) izwolone, o ile n > 1; m am y tedy ct6 < (t3 - f

<5 2 O s + 4- | ~ 4 ) - + 4 (m )m ’ doda.H<> te nierów ności otrzym am y: ołn < a3

. 3 + 3 . 4 + "' + (m — 1 > /] - A le 1 . 2 1 2 . 3

r b + o + n + "• + f a b | ) „ = ( i - g) + ( § - § ) +

+ (^ - 1) + ' • ■ + ( ¿ 1 - J.)= 1 “ » < wobeo “ s ° +

-j- ^ dla « ^ 2 , co dowodzi, że badany ciąg je st ograniczonym u g ó ry ; na m ocy tw. ze str. 60 ma przeto granicę, którą ozna­

c z y m y przez a. W e ź m y teraz inne sum y częściow e tego szeregu:

< W i 1 a3n+a- Otóż jest: głn+1 = ff3„ + 4w 1 - > a -\- 0 = a, g d y

« - > oo; ff3n+s = ff3n+ _ ^ + _ Ł _ _ >. (;. W obec tych w yników jesteśm y pewni, że badany szereg je st zbieżny. Jeżeli oznaczym y lim s„ = s, to w yk a żem y teraz, że je st g={=s. Zauważm y, że osta-

*-*oo

tnim w yrazem sum y cr3„ je st liczba — — , weźm y w ięc sum ę s2n>

«W

— 5 1 4 —

obie sum y a9„ i s2n m ają identyczne w yrazy ujem ne; sum a as„ ma ostatni w yraz dodatni rów ny — --- kiedy sum a s2„ ma ostatni w yraz d o d a tn ią — — ma ich tedy m niej. Je st więc <7S„ — s.2„ =

¿71 J-

= S t r ° n a p r a w a <p 8 f t n i * i r ó w n o ś c i

ma x składników , gdzie 2w -\ - 2 x — 1 = 4 « — 1, sk ąd w ynika

n n

x = n ; przeto — < oZn — s2n < ~ . co otrzym ujem y, zastę-

4« — 1 ¿u -j— 1

pując każdy składnik sumy, ja k ą je s t różnica c3„ — s2n raz przez skład n ik najm niejszy j —- —- , drugi raz przez sk ład n ik najw iększy 2 "—jy j* D i a n —>00 otrzym ujem y z ostatniej n i e r ó w n o ś c i — co dowodzi, że je st ct=}=s. Zm iana porządku wyrazów zm ieniła więc sum ę szeregu! N ietrudnem też byłoby znaleźć tak ie uporządkow a­

nie wyrazów, by szereg w takiż sposób uzyskany, był rozbieżnym . P rzejdziem y obecnie do tw ierdzenia o szeregach przem iennych t. zn. o szeregach, których w yrazy są naprzem ian dodatnie i ujemne.

Tw. Jeżeli n -ty wyraz szeregu ma postać u„ — (— l )n+1 v„, gdzie je s t v„^> 0 , jeżeli ciąg liczb tą , v, , v3, . . . jest ciągiem nierosnącym

■i ma granice zero, to szereg jest zbieżnym.

Dowód. W eźm y pod uwagę częściową resztę: R mp — -j-

_ + , « m + 2 4 “ ^{Wm + 3} + M ">+4 4 " - 4 “ W» + J> — ( 1)”'+S ^{« m + J} 4~ ( _ « m + 2 + -

- • • 4 - ( ~ 1 )"+P+1 »-+, = ( - i r + 2fu„+1 - a„+2 + nra+s - t v n 4 - . . . Otóż w ykażem y, że naw ias obejm uje liczbę nieujem ną. W tym celu w yrażenie algebraiczne w naw iasie napiszm y pod postacią su m y : (u„,+1 — um+3) - f («„+3 — vm+4) - j - . .. Albo będzie to sum a róż­

nic, a m ianowicie, gdy p oznacza liczbę parzystą albo będzie to sum a różnic, powiększona o w yraz ostatni, co zachodzi, gdy p oznacza liczbę nieparzystą. W edług założenia je s t vm+1^ v m+2, vm+3^ um+4... 'r w pierw szym więc przypadku w yrażenie w klam rze, ja k o sum a różnic nieujem nych będzie liczbą nieujem ną; w drugim przypadku ostatni w yraz będzie dodatni, bo liczba będzie parzystą i tern samem w yrażenie w naw iasie je s t sum ą różnic nieujem nych po­

w iększoną o liczbę dodatnią (jak ą je s t ostatni wyraz), a więe w y­

rażenie w naw iasie je st liczbą dodatnią; wobec tego je s t i?„,. =

= | ( — i)-+ s . » « + * + • • ■ + ( — l ^ 1 = v„,+i - vn+2 + ...

O statnią sumę algebraiczną napiszem y też w nastę­

pujący sposób : vm+1 — (v„+2 — v„,+3) — (am+4 — 1;„+6) — . . . . Jeżeli owa sum a algebraiczna zaw ierała nieparzystą ilość wyrazów, to przyjm ie postać : u„,+1 — {0„,+2 — tfm+3) + («m+4 — flm+5) 7H ...+ (■ • •)}' nawias ozdobny obejm uje sumę różnic o w artościach nieujem tiych i wobec tego w ynika w yrażenie nie większe od liczby vm+l. Jeżeli zaś owa sum a algebraiczna zaw iera parzystą ilość wyrazów, to otrzy­

m am y w yraz vm+1 pom niejszony o różnice , v,n+i— vm+6...

i powiększony ostatni wyraz ( — l )p+1 ale skoro p ma oznaczać liczbę parzystą, to (— l )”4-1 je s t liczbą ujem ną, a więc ostatni w y ­ raz sum y je st liczbą ujem ną; w tym przypadku owa sum a obej­

m uje znów w yrażenie m niejsze od w yrazu a„l+, . Jest więc w każdym ra z ie : • Ale «„—»0, więc bew zględną w artość B m,P

możemy uczynić dowolnie małą, gdy liczbę ni obierzem y dość w ielką i dla każdej naturalnej wartości p. Ściślej: do każdej liczby e > 0 istnieje liczba M taka, że vm+l ■< s, gdy więc |i?mp] <C £ dla

p ~ ^ 1. Zbieżność szeregu naprzem iennego je st więc udowodnioną.

W szczególności, gdy to otrzym ujem y, że szereg 1 — — j f - j - . . . je s t zbieżny, o czem ju ż wiemy (str. 508).

Obecnie dam y dla przestrogi czytelnika p rz y k ła d J), posługujący się rozbieżnym szeregiem harm onicznym , przykład, d ający fałszywy w ynik. Otóż napiszem y :

00

1 — ł + $ — •£■ + ••• = — = ! + 4 + i + - — 2(‘2 + ł + i + - ) =

00 cc 00 oc

= V — 2 — V --- V " — = 0 , kiedy widoczne, że jest

n 2 n jm i n ¿ U n J

« —1 n-1 rc-1 n-1

1 — £ - j - £ — £ + > 1 _ | = i - N i e wolno tu było uważać znaku

CO

^ za znak określonej liczby, skoro szereg harm oniczny jest

Tl—1

rozbieżny. Niech więc czytelnik zawsze bada, czy szezeg jest.

zbieżny, czy nie, i o ile nie przekonał się, że szereg je s t zbieżny, niech go nie używ a w rozumowaniach.

P rzykład I. Podam y interesujący p rz y k ła d 2) obliczenia sum szeregów naprzem iennych.

*) B rom w ieh , A n In tro d u ctio n to th e th e o ry o f in fin ite se ries.

!) S c h lö in ilc h , Ü b u n g sb u c h .