Równania trygonometryczne 2
Przykład 1:
Rozwiąż równanie: cos x = cos2x Rozwiązanie:
Tu skorzystamy ze wzoru:
cos 2α = cos2 α –sin2 α = cos2 α – 1.
Zatem mamy, że cos x = 2cos2 α – 1.
Niech cos x = t, wówczas równanie jest postaci:
t = 2t2 - 1.
Po podstawieniu cos x = t otrzymaliśmy równanie kwadratowe:
2t2 - t - 1 = 0, którego pierwiastkami są 1 i -0.5.
Ponieważ wcześniej przyjęliśmy, że cos x = t, rozwiązanie naszego równania prowadzi do rozwiązania dwóch równań:
1) cos x = 1 dla t = 1, 2) cos x = -0.5 dla t = -0.5.
Pierwsze równanie daje serie rozwiązań postaci: x = 2kπ, gdzie k należy do liczb całkowitych.
Natomiast drugie równanie ma dwie serie rozwiązań:
x = 2π/3 + 2kπ oraz x = 4π/3 + 2kπ, gdzie k należy do liczb całkowitych.
