1Uwagiomierzeniu W 11:C M P K

M

P

K

W ^YKŁAD 11: C ^AŁKOWANIE

KOGNITYWISTYKAUAM, 2016–2017 JERZYPOGONOWSKI

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

Pocz ˛atki systematycznego rachunku ró˙zniczkowego i całkowego datuje si˛e na wiek XVII. Za twórców tego rachunku uwa˙za si˛e Izaaka Newtona (1642–1727) oraz Gottfrieda Wilhelma Leibniza (1646–1716). Warto jednak pami˛eta´c, ˙ze ju˙z Archimedes (-287 – -212) posługiwał si˛e metodami, które uczyniły go prekursorem tego rachunku. Rozwa˙zania dotycz ˛ace szeregów niesko´nczonych prowadzone były te˙z przez matematyków hinduskich, dwa stulecia przed Newtonem i Leibnizem.

Z poprzednich dwóch wykładów słuchacze mogli wynie´s´c rudymentarne wia- domo´sci dotycz ˛ace ró˙zniczkowania funkcji. Operacja całkowania, któr ˛a omówimy w propedeutycznym skrócie na dzisiejszym wykładzie jest operacj ˛a odwrotn ˛a do ró˙zniczkowania.

1 Uwagi o mierzeniu

Jak widzieli´smy w poprzednim wykładzie, pochodna funkcji ma prost ˛a interpre- tacj˛e geometryczn ˛a, zwi ˛azan ˛a ze styczn ˛a do krzywej. Całka (oznaczona, w prze- dziale [a, b]) funkcji f (x) tak˙ze ma prost ˛a interpretacj˛e geometryczn ˛a: jej warto´s´c liczbowa równa jest polu powierzchni ograniczonej osi ˛a odci˛etych, krzyw ˛a f (x) oraz prostymi o równaniach x = a i x = b. Oczywi´scie, aby w poprawny i pre- cyzyjny sposób mówi´c o polach figur ograniczonych dowolnymi krzywymi, trzeba dysponowa´c poj˛eciem miary. Podobnie rzeczy si˛e maj ˛a z takimi poj˛eciami, jak:

długo´s´c(dowolnej krzywej), pole (dowolnej powierzchni) oraz obj˛eto´s´c (dowolnej bryły). Słuchacze pami˛etaj ˛a ze szkoły, jak oblicza si˛e długo´s´c odcinka lub długo´s´c łamanej, zło˙zonej z odcinków. Pami˛etaj ˛a tak˙ze, w jaki sposób oblicza si˛e pola po- wierzchni, ograniczonych odcinkami oraz obj˛eto´s´c (i pole powierzchni) brył pro- stopadło´sciennych. Do elementarnego wykształcenia ogólnego nale˙zy tak˙ze zna- jomo´s´c wzorów dotycz ˛acych długo´sci, pól powierzchni oraz obj˛eto´sci pewnych wybranych tworów geometrycznych (okr ˛ag, koło, sto˙zek, walec). Sposobów uza-

sadnieniatych wzorów nie traktuje si˛e jednak z reguły jako nale˙z ˛acych do owego ogólnego wykształcenia. Uwa˙zamy, ˙ze nale˙zy co najmniej by´c ´swiadomym, ˙ze wzory te nie s ˛a przyjmowane w matematyce jako dogmaty, lecz ˙ze mo˙zna je uza- sadni´c na drodze dedukcyjnej, odwołuj ˛ac si˛e do poj˛e´c dotycz ˛acych funkcji, granic, metryki, miary (oraz, oczywi´scie do aksjomatów arytmetyki i teorii mnogo´sci).

W przypadku zbiorów sko´nczonych miara zwi ˛azana mo˙ze by´c bezpo´srednio z liczb ˛a elementówtakich zbiorów. Inaczej rzecz ma si˛e jednak z dowolnymi zbio- rami, w tym ze zbiorami niesko´nczonymi. Wprowadzone zostaje nowe poj˛ecie:

zbioru mierzalnego (w okre´slonym sensie, np. w mierze Jordana lub w mierze Lebesgue’a). Zbiory mierzalne s ˛a wtedy porz ˛adnymi zbiorami – takimi, którym mo˙zna wła´snie przypisa´c stosown ˛a wielko´s´c liczbow ˛a, b˛ed ˛ac ˛a ich miar ˛a. Gdy roz- wa˙zamy np. przestrzenie euklidesowe, to – intuicyjnie mówi ˛ac – „porz ˛adne” s ˛a m.in. przedziały, kostki, sko´nczone sumy przedziałów oraz kostek. Z pewnych wzgl˛edów (zwi ˛azanych z addytywno´sci ˛amiary) za „porz ˛adne” uwa˙zamy te˙z prze- liczalne sumy zbiorów „porz ˛adnych”. Dobrze okre´slona miara obejmuje, jako przy- padki szczególne, przypisywanie wielko´sci liczbowych obiektom matematycznym – charakteryzuj ˛a one długo´s´c, pole, obj˛eto´s´c, miar˛e k ˛ata, prawdopodobie´nstwo zdarze´n, itd.

Miara zatem rozumiana jest jako pewna funkcja, która wybranym (tym „po- rz ˛adnym”) podzbiorom ustalonej przestrzeni X przypisuje liczb˛e (np. rzeczywi- st ˛a dodatni ˛a lub ∞), charakteryzuj ˛ac ˛a wielko´s´c tych zbiorów. Dla oddania intuicji dotycz ˛acych mierzenia oraz dla zachowania zgodno´sci z innymi strukturami obec- nymi w przestrzeni X zakłada si˛e, ˙ze funkcja ta ma okre´slone własno´sci. Bez wda- wania si˛e w szczegółowe komentarze podamy dwie definicje: σ-ciała podzbiorów rozwa˙zanej przestrzeni X (formalny odpowiednik zbiorów „porz ˛adnych”, którym mo˙zna przypisa´c miar˛e) oraz funkcji miary, okre´slonej dla tych zbiorów.

Mówimy, ˙ze rodzina B podzbiorów zbioru X jest σ-ciałem zbiorów w X (lub:

σ-algebr ˛aw X), gdy:

1. ∅ ∈ B.

2. B jest domkni˛eta na operacj˛e dopełnienia (w X): je´sli A ∈ B, to X − A ∈ B.

3. B jest domkni˛eta na przeliczalne sumy: je´sli {Ai : i ∈ N} ⊆ B, to S

i∈N

A_i ∈ B.

Dla dowolnej rodziny A podzbiorów zbioru X istnieje najmniejsza (wzgl˛edem inkluzji) σ-algebra w X, do której nale˙z ˛a wszystkie zbiory z rodziny A: nazywamy j ˛a σ-algebr ˛a podzbiorówX generowan ˛a przez rodzin˛e A. Tak wi˛ec, σ-algebra ge- nerowana przez rodzin˛e A jest najmniejsz ˛a rodzin ˛a podzbiorów zbioru X, które

mo˙zna otrzyma´c z elementów rodziny A poprzez operacje: brania dopełnienia oraz brania przeliczalnych sum (a wi˛ec równie˙z przeliczalnych iloczynów).

Par˛e (X, B) zło˙zon ˛a ze zbioru X oraz σ-algebry jego podzbiorów B nazywamy przestrzeni ˛a mierzaln ˛a.

Niech (X, B) b˛edzie przestrzeni ˛a mierzaln ˛a. Mówimy, ˙ze funkcja µ jest miar ˛a w tej przestrzeni, gdy:

1. Dziedzin ˛a funkcji µ jest rodzina B.

2. Funkcja µ przyjmuje warto´sci rzeczywiste nieujemne lub warto´s´c ∞.

3. µ(∅) = 0.

4. Dla dowolnej rodziny {Ai : i ∈ N} ⊆ B zbiorów parami rozł ˛acznych (czyli takich, ˙ze Ai∩ A_j = ∅ dla i 6= j) zachodzi:

µ([

i∈N

A_i) =

∞

X

i=0

µ(A_i).

Przestrzeni ˛a z miar ˛anazywamy dowoln ˛a trójk˛e uporz ˛adkowan ˛a (X, B, µ), gdzie (X, B) jest przestrzeni ˛a mierzaln ˛a, a µ jest miar ˛a w tej przestrzeni.

PRZYKŁADY.

1. Niech A b˛edzie rodzin ˛a wszystkich przedziałów otwartych o ko´ncach wy- miernych zawartych w R. Wtedy σ-algebra generowana przez rodzin˛e A jest rodzin ˛a wszystkich tzw. borelowskich podzbiorów R.

2. Niech Ω b˛edzie przestrzeni ˛a zdarze´n elementarnych. Funkcja prawdopodo- bie´nstwa zdarze´n, rozumianych jako podzbiory zbioru Ω zostanie dobrze okre´slona, je´sli zdecydujemy, którym podzbiorom zbioru Ω chcemy przypi- sa´c ich prawdopodobie´nstwo, rozumiane jako liczba rzeczywista nale˙z ˛aca do przedziału domkni˛etego [0, 1], czyli gdy ustalimy przestrze´n B zdarze´n loso- wych. Zakłada si˛e przy tym, ˙ze funkcja ta jest miar ˛a w przestrzeni mierzalnej (Ω, B) oraz ˙ze jej warto´s´c na zbiorze Ω równa jest 1. W znanym słuchaczom ze szkoły przypadku, gdy Ω jest zbiorem sko´nczonym sprawa jest prosta – rodzin ˛a zdarze´n losowych jest po prostu rodzin ˛a ℘(Ω) wszystkich podzbio- rów zbioru Ω. W powa˙zniejszych zastosowaniach (które słuchacze poznaj ˛a na wykładach ze statystyki) prawdopodobie´nstwo jest funkcj ˛a miary, okre-

´slon ˛a w stosownie dobranej przestrzeni mierzalnej.

3. Je´sli (X, B, µ) jest przestrzeni ˛a z miar ˛a, to µ(∅) = 0, zgodnie z definicj ˛a.

Miar˛e równ ˛a 0 mog ˛a mie´c jednak tak˙ze niepuste podzbiory zbioru X: by- łyby to zatem zbiory „małe” w sensie rozwa˙zanej miary. Z kolei te zbiory, których dopełnienia maj ˛a miar˛e równ ˛a 0 traktowane mog ˛a by´c jako „du˙ze”

w sensie rozwa˙zanej miary. Uzyskujemy w ten sposób mo˙zliwo´s´c precyzyj- nego mówienia o tym, ˙ze dana własno´s´c zachodzi prawie wsz˛edzie (dla pra- wie wszystkichrozwa˙zanych obiektów – czyli dla wszystkich, oprócz zbioru o mierze 0).

4. Niech (X, B, µ) b˛edzie przestrzeni ˛a z miar ˛a. Mówimy, ˙ze miara µ jest zu- pełna, je´sli ka˙zdy podzbiór zbioru miary 0 jest mierzalny: dla dowolnego A ∈ B, je´sli µ(A) = 0 oraz B ⊆ A, to B ∈ B. Mówi ˛ac metaforycznie, je´sli (X, B, µ) jest przestrzeni ˛a z miar ˛a zupełn ˛a, to zaniedbywalnie małe zbiory nie kryj ˛a w swoich wn˛etrzach zbiorów-potworów, którym nie mo˙zna w tej przestrzeni przypisa´c miary.

Miara to zatem nowy rodzaj struktury, dot ˛ad nie omawiany w tych wykła- dach. Odwołuj ˛ac si˛e jedynie do wiadomo´sci z edukacji szkolnej czasem trudno jest u´swiadomi´c sobie, ˙ze posługujemy si˛e tyloma ró˙znego rodzaju strukturami: alge- braiczn ˛a (np. działania arytmetyczne), porz ˛adkow ˛a (m.in. kresy górne i dolne zbio- rów uporz ˛adkowanych), topologiczn ˛a (np. poj˛ecia: zbie˙zno´sci, granicy, metryki), do których dochodz ˛a jeszcze struktury ró˙zniczkowe (np. poj˛ecie pochodnej) oraz struktury zwi ˛azane z miar ˛a (np. całka). W przypadku przestrzeni R liczb rzeczy- wistych (oraz produktów tej przestrzeni) wszystkie te typy struktur spełniaj ˛a okre-

´slone warunki zgodno´sci, np.: porz ˛adek zgodny jest z operacjami arytmetycznymi, bezwzgl˛edna warto´s´c wykorzystywana jest w definicji metryki oraz pochodnej, itp.

S ˛adzimy, ˙ze rzecz ˛a niezwykle frapuj ˛ac ˛a dla studentów kognitywistyki jest to, ˙ze umysł potrafi bada´c tak ró˙zne struktury nakładane na uniwersa obiektów matema- tycznych. Zach˛ecamy ewentualnie zainteresowanych tym słuchaczy do poczytania o dziejach matematyki, o drogach wiod ˛acych do ustanowienia wy˙zej wspomnia- nych rodzajów struktur.

2 Całka nieoznaczona

W niniejszym usługowym kursie ograniczymy si˛e do podania definicji całki (nie- oznaczonej i oznaczonej) oraz kilku – do´s´c oczywistych – wzorów. Jak słuchacze pami˛etaj ˛a, ró˙zniczkowanie dowolnych funkcji polegało na stosowaniu kilku pro- stych przepisów. W przypadku całkowania sytuacja jest nieco inna. Obliczanie całek w ogólno´sci nie jest łatwe, wymagana jest przy tym zarówno pewna pomy- słowo´s´c, jak i korzystanie z procedur specjalnie do tego przeznaczonych. S ˛adzimy,

˙ze studentom kognitywistyki wystarczy rozumienie samego poj˛ecia całki, wraz z przykładami ilustruj ˛acymi zastosowania całek.

2.1 Definicja

Niech funkcja f b˛edzie okre´slona w przedziale (a, b). Funkcj ˛a pierwotn ˛afunkcji f nazywamy ka˙zd ˛a funkcj˛e F okre´slon ˛a w przedziale (a, b) i ró˙zniczkowaln ˛a w ka˙zdym punkcie przedziału (a, b), która dla wszystkich x ∈ (a, b) spełnia warunek:

F⁰(x) = f (x).

Je´sli dla funkcji f istnieje jej funkcja pierwotna w (a, b), to mówimy, ˙ze f jest całkowalna w (a, b). Gdy chcemy rozwa˙za´c całkowalno´s´c funkcji w przedziale domkni˛etym, to w punktach ko´ncowych takiego przedziału rozwa˙zamy pochodne jednostronne funkcji pierwotnej.

Wprost z definicji wynika, ˙ze funkcja pierwotna funkcji f całkowalnej w (a, b) jest okre´slona z dokładno´sci ˛a do stałej:

1. Je´sli F jest funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f , to F +c tak˙ze jest funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f , dla dowolnej C ∈ R.

2. Je´sli F i G s ˛a funkcjami pierwotnymi funkcji f , to istnieje C ∈ R taka, ˙ze F = G + C.

Całk ˛a nieoznaczon ˛afunkcji f nazywamy rodzin˛e wszystkich funkcji pierwot- nych funkcji f . Powszechnie przyj˛etym oznaczeniem dla całki nieoznaczonej funk- cji f jestR f (x)dx. Tak wi˛ec, je´sli F⁰(x) = f (x), toR F⁰(x)dx = F (x) + C.

Słuchacze zechc ˛a traktowa´c wyst˛epuj ˛acy tu symbol dx jako swoisty znak in- terpunkcyjny, wskazuj ˛acy wzgl˛edem jakiej zmiennej odbywa si˛e całkowanie.

Powszechnie przyj˛etym zwyczajem jest tak˙ze opuszczanie stałej C przy zapisie całki nieoznaczonej, o ile nie prowadzi to do nieporozumie´n.

Wprost ze znanych ju˙z wzorów na pochodne funkcji otrzymujemy wzory do- tycz ˛ace niektórych całek nieoznaczonych:

PRZYKŁADY.

1. R x^αdx = ^x_α+1^α+1, dla α 6= −1, x > 0 (je´sli α ∈ N, to wzór zachodzi dla x 6= 0)

2. R _dx

x = ln |x|, dla x 6= 0 3. R e^xdx = e^x

4. R a^xdx = _{ln a}^ax , gdzie a > 0, a 6= 1

5. R sin xdx = − cos x 6. R cos xdx = sin x 7. R ₁

cos²xdx = tg x, dla x 6= n · π + ^π₂, n ∈ Z 8. R ₁

sin²xdx = − ctg x, dla x 6= n · π, n ∈ Z 2.2 Wybrane własno´sci

WYBRANEWŁASNO ´SCI.

1. Ka˙zda funkcja ci ˛agła w [a, b] ma w [a, b] całk˛e nieoznaczon ˛a.

2. Ka˙zda funkcja ci ˛agła w (a, b) ma w (a, b) całk˛e nieoznaczon ˛a.

3. Działania arytmetyczne. Je´sli funkcje f i g s ˛a całkowalne w przedziale I (otwartym lub domkni˛etym), a c ∈ R, to całkowalne w I s ˛a równie˙z funkcje f + g, f − g, c · f oraz zachodz ˛a wzory:

(a) R (f (x) + g(x))dx = R f (x)dx + R g(x)dx (b) R (f (x) − g(x))dx = R f (x)dx − R g(x)dx (c) R c · f (x)dx = c · R f (x)dx.

4. Całkowanie przez cz˛e´sci. Je´sli funkcje f i g maj ˛a ci ˛agłe pochodne f⁰ i g⁰ w przedziale I (otwartym lub domkni˛etym), to:

Z

f (x) · g⁰(x)dx = f (x) · g(x) − Z

f⁰(x) · g(x)dx.

5. Całkowanie przez podstawienie. Załó˙zmy, ˙ze f jest ci ˛agła w przedziale (a, b), a g ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a w przedziale (c, d), przy czym a < g(t) < b dla t ∈ (c, d). Wtedy dla t ∈ (c, d):

Z

f (x)dx = Z

f (g(t)) · g⁰(t)dt.

6. Załó˙zmy, ˙ze g ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a w przedziale (a, b) oraz g(t) 6= 0 dla t ∈ (a, b). Wtedy dla t ∈ (a, b):

Z g⁰(t)

g(t)dt = ln |g(t)|.

Zauwa˙zmy, ˙ze ten (u˙zyteczny w zastosowaniach) wzór wynika z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie (wystarczy przyj ˛a´c f (x) = ¹_x w zało˙ze- niach tego twierdzenia).

PRZYKŁADY.

1. Rozwa˙zmy całk˛eR x·e^xdx. Skorzystamy z metody całkowania przez cz˛e´sci, przyjmuj ˛ac: f (x) = x oraz g(x) = e^x. Poniewa˙z (e^x)⁰= e^x, wi˛ec:

Z

x · e^xdx = x · e^x− Z

(x)⁰· e^xdx = x · e^x− e^x = (x − 1) · e^x.

2. Rozwa˙zmy całk˛e R 3^4·x−1dx. Dokonujemy podstawienia: t = 4 · x − 1.

Wtedy x = ^t+1₄ = g(t), czyli g⁰(t) = ¹₄. Korzystamy z wzoru na obliczanie całki przez podstawienie:

Z

3^4·x−1dx = Z

3^t·1 4dt = 1

4 · Z

3^tdt = 1 4 · 3^t

ln 3 = 1

4 ·4 · x − 1 ln 3 . 3. Rozwa˙zmy całk˛eR ₁

sin xdx dla x 6= n · π, n ∈ Z. Wykorzystajmy najpierw znane fakty trygonometryczne:

1 sin x = 1

2 · sinx 2 · cosx

2 =

1 2 ·_cos¹_{2 x}

2

tg ^x₂ . Pami˛etamy, ˙ze:

(tg x 2)⁰= 1

2 · 1 cos^{2 x}₂. Otrzymujemy zatem:

Z 1

sin xdx =

Z (tg ^x₂)⁰

tg ^x₂ dx = ln |tg x 2|, w ka˙zdym z przedziałów (n · π, (n + 1) · π), n ∈ Z.

Opracowano wiele dalszych metod obliczania całek nieoznaczonych, m.in.:

wzory rekurencyjne, rozkład (funkcji wymiernych) na ułamki proste, wzory na obliczanie całek zło˙zonych funkcji niewymiernych oraz trygonometrycznych, itd.

3 Całka oznaczona

Powiedzieli´smy we wst˛epie, ˙ze całka funkcji f (x) w przedziale [a, b] ma zwi ˛azek z polem powierzchni ograniczonej osi ˛a odci˛etych, krzyw ˛a f (x) oraz prostymi o równaniach x = a i x = b. Rozwa˙zmy najpierw dwa proste przypadki.

1. Niech wykresem funkcji f (x) w przedziale [a, b] b˛edzie prosta o równaniu y = m · x + n. Wtedy obszar ograniczony odcinkiem [a, b], krzyw ˛a y = m · x + n oraz prostymi o równaniach x = a i x = b jest trapezem. Pole tego obszaru dane jest zatem wzorem:

1

2 · (m · (a + b) + n) · (b − a).

Jaki jest zwi ˛azek tego pola z całk ˛a nieoznaczon ˛a F (x) = R (m · x + n)dx?

Po pierwsze: F (x) = ¹₂ · m · x²+ n · x + C, gdzie C jest stał ˛a całkowania.

Po drugie:

(a) F (a) = ¹₂ · m · a²+ n · a + C (b) F (b) = ¹₂ · m · b²+ n · b + C

Wreszcie, po trzecie: F (b) − F (a) = ¹₂· (m · (a + b) + n) · (b − a), co wyka- zujemy prostym rachunkiem. Tak wi˛ec, rozwa˙zane pole jest równe ró˙znicy warto´sci funkcji pierwotnej dla funkcji f (x) = m·x+n, branych na ko´ncach przedziału [a, b].

2. Niech f (x) b˛edzie funkcj ˛a łaman ˛a w przedziale [a, b]. Wtedy obszar ogra- niczony krzyw ˛a f (x), odcinkiem [a, b] oraz prostymi o równaniach x = a i x = b jest sum ˛a trapezów. Je´sli bowiem punkty xi ∈ [a, b] s ˛a takie, ˙ze a = x0< x1 < x2 < . . . < xn= b, ˙ze funkcja f (x) jest liniowa w ka˙zdym z przedziałów [x_i−1, x_i], dla 0 < i 6 n, to – na mocy oblicze´n wykonanych w poprzednim punkcie – dla dowolnej funkcji F (x) pierwotnej dla f (x) pole tego obszaru jest równe:

n

X

i=1

(F (xi) − F (xi−1)) = F (xn) − F (x0) = F (b) − F (a).

A zatem równie˙z w tym przypadku rozwa˙zane pole jest równe ró˙znicy war- to´sci funkcji pierwotnej dla funkcji f (x), branych na ko´ncach przedziału [a, b].

Te przykłady mog ˛a słu˙zy´c za punkt wyj´scia do nast˛epuj ˛acej definicji.

Niech F b˛edzie funkcj ˛a pierwotn ˛a dla funkcji f ci ˛agłej w przedziale [a, b].

Całk ˛a oznaczon ˛az funkcji f w przedziale [a, b] nazywamy liczb˛e:

Zb a

f (x)dx = F (b) − F (a).

Liczby a oraz b nazywamy wtedy, odpowiednio, doln ˛a oraz górn ˛a granic ˛a całko- wania. Powszechnie u˙zywa si˛e równie˙z skrótu: [F (x)]^b_a= F (b) − F (a).

Dociekliwi słuchacze mog ˛a (a wła´sciwie nawet powinni) zapyta´c: czy w przy- padku dowolnej funkcji f (x) okre´slonej w przedziale [a, b] pole obszaru ograni- czonego odcinkiem [a, b], krzyw ˛a f (x) oraz prostymi o równaniach x = a i x = b równe jest F (b) − F (a), gdzie F jest funkcj ˛a pierwotn ˛a dla funkcji f ? Odpowie- dzi na to pytanie dostarczaj ˛a ró˙zne propozycje zdefiniowania wielko´sci

b

R

a

f (x)dx tak, aby była ona równa F (b) − F (a) oraz istotnie odpowiadała ona mierze roz- wa˙zanego obszaru. Drugi z rozwa˙zanych wy˙zej przykładów powinien podsun ˛a´c słuchaczom pomysł, aby miar˛e rozwa˙zanego obszaru oblicza´c (przybli˙za´c) jako sum˛e miar jakich´s prostszych jego obszarów składowych. Owe obszary składowe powinny by´c przy tym stosownie małe, aby suma ich miar była dowolnie bliska mierze całego rozwa˙zanego obszaru. Czujemy zatem, ˙ze za chwil˛e pojawi si˛e ja- kie´s przej´scie graniczne: miara całego obszaru b˛edzie okre´slana jako granica sum obszarów składowych.

Zauwa˙zmy te˙z, ˙ze obszar pod dowoln ˛a krzyw ˛a f (x) w przedziale [a, b] mo˙ze by´c przybli˙zany sumami obszarów prostok ˛atnych na dwa sposoby:

1. Mo˙zemy dzieli´c przedział [a, b] (czyli dziedzin˛e funkcji), otrzymuj ˛ac prosto- k ˛atne pionowe paski, których suma przybli˙za rozwa˙zany obszar. Ten pomysł prowadzi do całki Riemanna.

2. Mo˙zemy dzieli´c przedział [f (a), f (b)] (czyli przeciwdziedzin˛e funkcji), otrzy- muj ˛ac inne prostok ˛atne paski, których suma przybli˙za rozwa˙zany obszar.

Ten pomysł prowadzi do całki Lebesgue’a.

Za chwil˛e podamy konstrukcj˛e całki Riemanna. Przedtem jednak wyliczymy, bez podawania dowodów, niektóre wa˙zne własno´sci całki oznaczonej.

3.1 Wybrane własno´sci

Dowody poni˙zej sformułowanych twierdze´n znajd ˛a zainteresowani słuchacze np.

w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004, Tom I, cz˛e´s´c 2, strony 166–177.

WYBRANEWŁASNO ´SCI.

1. Własno´sci arytmetyczne. Załó˙zmy, ˙ze f i g s ˛a funkcjami ci ˛agłymi w prze- dziale [a, b]. Wtedy:

(a)

b

R

a

(f (x) + g(x))dx =

b

R

a

f (x)dx +

b

R

a

g(x)dx.

(b)

b

R

a

c · f (x)dx = c ·

b

R

a

f (x)dx.

(c) Je´sli f (x)6 g(x) dla x ∈ [a, b], to

b

R

a

f (x)dx 6

b

R

a

g(x)dx.

(d) Je´sli f (x)> 0 dla x ∈ [a, b], to

b

R

a

f (x)dx > 0.

(e) |

b

R

a

f (x)dx| 6

b

R

a

|f (x)|dx

(f) Je´sli 0 < h 6 b − a, to istnieje t ∈ (0, 1) taka, ˙ze:

a+h

R

a

f (x)dx = h · f (a + t · h).

W konsekwencji: |

b

R

a

f (x)dx| 6 (b − a) · max

a6x6b|f (x)|.

(g) Je´sli F (x) =

x

R

a

f (t)dt dla x ∈ [a, b], to F⁰(x) = f (x) w [a, b].

W konsekwencji, je´sli F ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a F⁰w [a, b], to

x

R

a

F⁰(x)dx = F (x) − F (a).

2. Całkowanie przez cz˛e´sci. Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g maj ˛a ci ˛agłe pochodne f⁰ i g⁰w przedziale [a, b]. Wtedy:

b

Z

a

f (x) · g⁰(x)dx = [f (x) · g(x)]^b_a−

b

Z

a

f⁰(x) · g(x)dx,

gdzie [f (x) · g(x)]^b_a= f (b) · g(b) − f (a) · g(a).

3. Całkowanie przez podstawienie. Załó˙zmy, ˙ze f jest ci ˛agła w [a, b] oraz ˙ze g ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a g⁰w [c, d], przy czym a 6 g(t) 6 b dla t ∈ [c, d] oraz g(c) = a, g(d) = b. Wtedy:

b

Z

a

f (x)dx =

d

Z

c

f (g(t)) · g⁰(t)dt.

4. Pierwsze twierdzenie o warto´sci ´sredniej. Załó˙zmy, ˙ze f i g s ˛a funkcjami ci ˛agłymi w przedziale [a, b] oraz ˙ze g ma stały znak w [a, b]. Istnieje wtedy liczba t ∈ [a, b] taka, ˙ze:

b

Z

a

f (x) · g(x)dx = f (t) ·

b

Z

a

g(x)dx.

5. Drugie twierdzenie o warto´sci ´sredniej.Załó˙zmy, ˙ze f i g s ˛a funkcjami ci ˛a- głymi w przedziale [a, b] oraz ˙ze g jest monotoniczna i ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a w [a, b]. Istnieje wtedy liczba t ∈ [a, b] taka, ˙ze:

b

Z

a

f (x) · g(x)dx = g(a) ·

t

Z

a

f (x)dx + g(b) ·

b

Z

t

f (x)dx.

Podane wy˙zej własno´sci wykorzystywane s ˛a przy obliczaniu całek oznaczo- nych.

3.2 Całka Riemanna: definicja

Niech a = x0 < x₁ < x₂ < . . . < x_n = b. Ka˙zdy taki ci ˛ag nazywamy po- działemodcinka [a, b]. Poszczególne przedziały [xi, xi+1] (0 6 i < n) nazywamy wtedy podprzedziałami tego podziału. ´Srednic ˛atakiego podziału nazywamy liczb˛e

06i<nmax(x_i+1− x_i). ´Srednic˛e podziału Π oznaczamy przez δ(Π). Normalnym ci ˛a- giem podziałów (odcinka [a, b]) nazywamy ka˙zdy taki ci ˛ag Π_m podziałów tego odcinka, których ´srednica d ˛a˙zy do zera, czyli taki, i˙z:

m→∞lim δ(Π_m) = 0.

Niech f b˛edzie funkcj ˛a ograniczon ˛a w przedziale [a, b] i niech Π b˛edzie po- działem tego przedziału, wyznaczonym przez punkty:

a = x₀< x₁ < x₂ < . . . < x_n= b.

Ponadto, niech ti ∈ [x_i−1, x_i] dla wszystkich 1 6 i 6 n. Niech T b˛edzie zbiorem wszystkich tych punktów po´srednich ti. Sum ˛a Riemannafunkcji f dla podziału Π przy wyborze punktów po´srednich w zbiorze T nazywamy liczb˛e:

R(Π) =

n

X

i=1

f (ti) · (xi− x_i−1).

Słuchacze nie powinni mie´c trudno´sci z interpretacj ˛a geometryczn ˛a sum Riemanna.

Zachodzi nast˛epuj ˛acy fakt, który wi ˛a˙ze sumy Riemanna z podan ˛a wcze´sniej definicj ˛a całki oznaczonej:

TWIERDZENIE. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest ci ˛agła w przedziale[a, b]. Wtedy:

1. Dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdego podziału Π odcinka [a, b]: je´sli δ(Π) < δ, to |R(Π) −

b

R

a

f (x)dx| < ε.

2. Dla ka˙zdego normalnego ci ˛agu(Πm) podziałów odcinka [a, b] zachodzi rów- no´s´c:

m→∞lim R(Π_m) =

b

Z

a

f (x)dx.

DOWÓD1. Niech ε > 0. Pami˛etamy, ˙ze funkcja ci ˛agła w przedziale domkni˛etym jest w nim jednostajnie ci ˛agła. Tak wi˛ec, istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze: je´sli |x − y| < δ, to |f (x) − f (y)| < _2·(b−a)^ε . Niech Π:

a = x₀ < x₁ < x₂< . . . < x_n= b

b˛edzie dowolnym podziałem przedziału [a, b] o ´srednicy δ(Π) < δ. Gdy punkty t_i oraz x nale˙z ˛a do przedziału [xi−1, x_i], to oczywi´scie spełniony jest warunek

|t_i− x| < δ. W konsekwencji, mamy wtedy: |f (ti) − f (x)| < _2·(b−a)^ε . Tak wi˛ec, mamy kolejno:

1. |R(Π) −

b

R

a

f (x)dx| =

2. |

n

P

i=1

f (t_i) · (x_i− x_i−1) −

n

P

i=1 xi

R

xi−1

f (x)dx| =

3. |

n

P

i=1

(

xi

R

xi−1

f (ti)dx −

xi

R

xi−1

f (x)dx)| =

4. |

n

P

i=1 xi

R

xi−1

(f (ti) − f (x))dx| 6

5.

n

P

i=1 xi

R

xi−1

|(f (t_i) − f (x))|dx 6

6.

n

P

i=1 xi

R

xi−1

ε

2·(b−a)dx = 7. _2·(b−a)^ε ·

n

P

i=1 xi

R

xi−1

dx =

8. _2·(b−a)^ε ·

n

P

i=1

(xi− x_i−1) = 9. _2·(b−a)^ε · (x_n− x₀) = 10. _2·(b−a)^ε · (b − a) = 11. ₂^ε.

12. Poniewa˙z ^ε₂ < ε, wi˛ec mamy ostatecznie: |R(Π) −

b

R

a

f (x)dx| < ε.

DOWÓD 2. Niech (Πm) b˛edzie normalnym ci ˛agiem podziałów przedziału [a, b].

Oznacza to, ˙ze:

m→∞lim δ(Π_m) = 0.

Na mocy pierwszej cz˛e´sci twierdzenia, dla ε > 0 mo˙zemy znale´z´c δ > 0 tak, aby dla δ(Π_m) < δ zachodziła nierówno´s´c:

|R(Π_m) −

b

Z

a

f (x)dx| < ε.

Wybierzmy indeks N taki, aby δ(Π_m) < δ dla m > N . Wtedy:

|R(Π_m) −

b

Z

a

f (x)dx| < ε

dla wszystkich m > N . To oznacza, ˙ze:

m→∞lim R(Πm) =

b

Z

a

f (x)dx.

Udowodnione przed chwil ˛a twierdzenie uzasadnia poprawno´s´c nast˛epuj ˛acej definicji.

Załó˙zmy, ˙ze f jest funkcj ˛a ograniczon ˛a w przedziale [a, b]. Mówimy, ˙ze f jest funkcj ˛a całkowaln ˛a w sensie Riemannaw [a, b], gdy dla ka˙zdego normalnego ci ˛agu podziałów (Πm) przedziału [a, b] oraz przy dowolnym wyborze punktów po´sred- nich z podprzedziałów tego przedziału ci ˛ag sum Riemanna (R(Πm)) jest zbie˙zny.

Granic˛e lim

m→∞R(Π_m) nazywamy wtedy całk ˛a Riemannaz funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy przez

b

R

a

f (x)dx.

UWAGI.

1. Dla funkcji ci ˛agłych całka Riemanna jest równa całce oznaczonej.

2. Istniej ˛a funkcje ograniczone nieci ˛agłe (a nawet nie posiadaj ˛ace funkcji pier- wotnej), które s ˛a całkowalne w sensie Riemanna. Taka jest np. funkcja f okre´slona w przedziale [0, 1] nast˛epuj ˛aco: f (x) = 1 dla x ∈ [0,¹₂), f (x) = 0 dla x ∈ [¹₂, 1]. Mo˙zna wykaza´c (zob. np. Musielak, Musielak 2004, Tom I, cz˛e´s´c 2, str. 189), ˙ze dla ka˙zdego normalnego ci ˛agu podziałów odcinka [0, 1]

ci ˛ag jego sum Riemanna jest zbie˙zny do ¹₂.

3. Istniej ˛a jednak tak˙ze funkcje ograniczone, które nie s ˛a całkowalne w sen- sie Riemanna – taka jest np. funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

4. Zdefiniujmy jeszcze: mi = inf

xi−16x6xi

f (x) oraz M_i = sup

xi−16x6xi

f (x). U˙zy- wamy nast˛epuj ˛acych terminów:

(a) R(Π) =

n

P

i=1

m_i· (x_i− x_i−1): suma dolna dla podziału Π (b) R(Π) =

n

P

i=1

Mi· (x_i− x_i−1): suma górna dla podziału Π.

Tego typu sumy słu˙zy´c mog ˛a do zdefiniowania tzw. dolnych i górnych całek Darbouxfunkcji f w przedziale [a, b]:

(a) Całka dolna Darboux:

b

R

a

f (x)dx = sup

Π

R(Π).

(b) Całka górna Darboux:

b

R

a

f (x)dx = inf

Π R(Π).

Dowodzi si˛e, ˙ze funkcja ograniczona w [a, b] jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jej dolna całka Darboux równa jest jej górnej całce Darboux.

Całka Riemanna jest przyjaznym obiektem matematycznym, je´sli chodzi np.

o jej walory dydaktyczne. Pewnych jej mankamentów teoretycznych (np. doty- cz ˛acych przej´s´c granicznych) mo˙zna pozby´c si˛e, przechodz ˛ac do ogólniejszego poj˛ecia całki. Ze smutkiem stwierdzamy, ˙ze ograniczone ramy czasowe tego usłu- gowego kursu nie pozwalaj ˛a nam na omówienie tej problematyki.

3.3 Zastosowania geometryczne

W podanych ni˙zej przykładach ograniczamy si˛e do funkcji jednej zmiennej.

PRZYKŁADY.

1. Długo´s´c łuku krzywej. Je˙zeli funkcja f ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a w przedziale [a, b], to długo´s´c łuku krzywej Lo równaniu y = f (x), gdzie x ∈ [a, b], wynosi:

|L| =

b

Z

a

p1 + (f⁰(x))²dx.

2. Pole powierzchni figury płaskiej. Je˙zeli funkcje f i g s ˛a ci ˛agłe w przedziale [a, b] i spełniaj ˛a w nim warunek g(x) 6 f (x), to pole obszaru P , ograni- czonego krzywymi y = f (x), y = g(x) oraz prostymi x = a i x = b, jest równe:

|P | =

b

Z

a

(f (x) − g(x))dx.

3. Pole powierzchni bryły obrotowej. Je˙zeli funkcja f ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a w przedziale [a, b], to pole powierzchni bryły obrotowej S, powstałej przez ob- rót wokół osi odci˛etych wykresu funkcji y = f (x), dla x ∈ [a, b], wynosi:

|S| = 2 · π ·

b

Z

a

f (x) ·p

1 + (f⁰(x))²dx.

4. Obj˛eto´s´c bryły obrotowej. Je˙zeli funkcja f jest ci ˛agła w przedziale [a, b], to obj˛eto´s´c bryły obrotowej V powstałej przez obrót wokół osi odci˛etych wykresu funkcji y = f (x), dla x ∈ [a, b], wynosi:

|V | = π ·

b

Z

a

f²(x)dx.

Dodajmy jeszcze, ˙ze w przypadku parametrycznego opisu krzywych (na płasz- czy´znie lub w przestrzeni) tak˙ze mo˙zemy wykorzysta´c stosowne wzory na oblicza- nie długo´sci takich krzywych. Dla przykładu, je´sli krzywa płaska C jest okre´slona

równaniami parametrycznymi x = x(t) oraz y = y(t), przy czym funkcje x(t) oraz y(t) maj ˛a ci ˛agłe pochodne w [a, b], to długo´s´c C podaje wzór:

|C| =

b

Z

a

p(x⁰(t))²+ (y⁰(t))².

Przy podanych zało˙zeniach mo˙zna udowodni´c, ˙ze C jest prostowalna (rektyfiko- walna), co oznacza – mówi ˛ac intuicyjnie – ˙ze ci ˛ag długo´sci łamanych coraz do- kładniej przybli˙zaj ˛acych C jest ograniczony z góry.

Wyprowadzenie wszystkich powy˙zej podanych wzorów znajd ˛a zainteresowani słuchacze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004, Tom I, cz˛e´s´c 2, strony 199–214. Jak by´c mo˙ze domy´slaj ˛a si˛e słuchacze, we wszystkich tych przypadkach wychodzimy od stosownego ci ˛agu normalnego podziałów, wyznaczamy sumy Rie- manna i otrzymujemy podane wzory poprzez przej´scia graniczne.

3.4 Zastosowania fizyczne i ekonomiczne

W podanych ni˙zej przykładach ograniczamy si˛e do funkcji jednej zmiennej.

PRZYKŁADY.

1. Droga w ruchu o zmiennej pr˛edko´sci. Je´sli punkt materialny porusza si˛e ru- chem prostoliniowym ze zmienn ˛a w czasie pr˛edko´sci ˛a v(t), to droga s prze- byta przez ten punkt w przedziale czasowym [t1, t2] wyra˙za si˛e wzorem:

s =

t2

Z

t1

v(t)dt.

2. Praca. Je˙zeli równolegle do osi odci˛etych działa zmienna siła F , to praca wykonana przez t˛e sił˛e na drodze od punktu a do punktu b wyra˙za si˛e wzo- rem:

W =

b

Z

a

F (x)dx.

3. Energia. Je˙zeli u oraz i oznaczaj ˛a odpowiednio warto´sci chwilowe napi˛ecia i nat˛e˙zenia pr ˛adu zmiennego, to całkowita energia pobrana w czasie t ze

´zródła tego pr ˛adu wynosi:

E =

t

Z

0

u(t) · i(t)dt.

4. ´Srodek masy. Podamy informacje, jak ustala´c ´srodek masy dla pewnych obiektów jedno- dwu- oraz trójwymiarowych.

Załó˙zmy, ˙ze pr˛et o ko´ncach w punktach a i b ma mas˛e m oraz ˙ze funkcja g˛esto´sci masyρ jest nieujemn ˛a funkcj ˛a całkowaln ˛a w sensie Riemanna tak ˛a,

˙ze dla ka˙zdego przedziału [c, d] ⊆ [a, b] masa cz˛e´sci pr˛eta na odcinku [c, d]

jest równa

d

R

c

ρ(x)dx. ´Srodek masypr˛eta to punkt t ∈ [a, b] taki, ˙ze:

t =

b

R

a

x · ρ(x)dx

b

R

a

ρ(x)dx .

Je´sli g˛esto´s´c pr˛eta jest stała (czyli pr˛et jest jednorodny), to:

t = 1 b − a

b

Z

a

xdx = a + b 2 .

Je´sli natomiast g˛esto´s´c pr˛eta wyra˙za si˛e funkcj ˛a ρ(x) = _x¹ (im dalej od po- cz ˛atku tym mniejsza g˛esto´s´c) oraz np. a = 1, b = 2, to korzystaj ˛ac z powy˙z- szego wzoru otrzymujemy, i˙z ´srodek masy pr˛eta równy jest w tym przypadku t = _{ln 2}¹ .

Podobnie okre´slamy ´srodek masy dla obszaru P ograniczonego krzywymi y = f (x) i y = −f (x) oraz prostymi o równaniach x = a i x = b (a wi˛ec obszaru o osi symetrii zawieraj ˛acej przedział [a, b], przy zało˙zeniu, ˙ze masa jest rozło˙zona w sposób jednorodny w tym obszarze):

t =

b

R

a

x · f (x)dx Rb

a

f (x)dx .

Wreszcie, ´srodek masy bryły jednorodnej V , otrzymanej przez obrót obszaru P dookoła osi odci˛etych, dla a 6 x 6 b, gdzie na osi symetrii obszaru P

rozkładamy mas˛e o g˛esto´sci π · f²(x), okre´slamy wzorem:

t =

b

R

a

x · f²(x)dx

b

R

a

f (x)dx .

5. Moment bezwładno´sci. Podamy informacje, jak ustala´c moment bezwładno-

´sci dla pewnych obiektów jedno- dwu- oraz trójwymiarowych, poruszaj ˛a- cych si˛e ruchem obrotowym.

Jak by´c mo˙ze pami˛etaj ˛a słuchacze z edukacji szkolnej, momentem bezwład- no´scipunktu materialnego o masie m wzgl˛edem osi obrotu ` jest iloczyn kwadratu odległo´sci tego punktu od osi ` przez mas˛e tego punktu. Za mo- ment bezwładno´sci sko´nczonego układu punktów materialnych wzgl˛edem osi obrotu ` uwa˙zamy sum˛e momentów bezwładno´sci wzgl˛edem osi obrotu

` wszystkich punktów tego układu. Gdy rozwa˙zamy obiekty z ci ˛agłym roz- kładem masy, zamiast sumowania wykorzystujemy całkowanie.

Słuchacze pami˛etaj ˛a te˙z zapewne, ˙ze moment bezwładno´sci w ruchu obro- towym spełnia podobn ˛a rol˛e jak masa w ruchu prostoliniowym. Je´sli I jest momentem bezwładno´sci w obrocie dookoła pewnej osi z pr˛edko´sci ˛a k ˛a- tow ˛a ω, to energia kinetyczna tak obracaj ˛acego si˛e ciała wyra˙za si˛e wzorem:

E = ¹₂ · I · ω².

Załó˙zmy, ˙ze pr˛et o ko´ncach w punktach a i b ma mas˛e m oraz ˙ze ρ jest nieujemn ˛a całkowaln ˛a w sensie Riemanna funkcj ˛a g˛esto´sci masy rozło˙zonej na tym pr˛ecie. Wtedy moment bezwładno´sci I tego pr˛eta wzgl˛edem prostej

` okre´slamy wzorem:

I =

b

Z

a

x²· ρ(x)dx.

W szczególno´sci, gdy pr˛et o masie m jest jednorodny (czyli ρ jest stała:

ρ = _(b−a)^m ), to otrzymujemy:

I = Rb a

x²· ρdx = ρ ·^b3−a₃ ³ = _(b−a)^m ·^(b−a)·(a2₃^+a·b+b2) = ^{m·(a2+a·b+b}₃ ²⁾. Gdy o´s obrotu przechodzi przez ´srodek pr˛eta (odcinka [a, b]), czyli dla a =

−r, b = r, otrzymujemy (znany ze szkoły?) wzór: I = ¹₃ · r²· m.

Podajmy jeszcze moment bezwładno´sci dla tarczy kołowej o promieniu r oraz masie m: I = ¹₂ · r²· m.

Wreszcie, moment bezwładno´sci jednorodnej bryły obrotowej V o całko- witej masie m otrzymanej przez obrót zbioru punktów (x, y), dla których 0 6 y 6 f (x), a 6 x 6 b, gdzie f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a całkowaln ˛a w sensie Riemanna w przedziale [a, b] wyra˙za si˛e wzorem:

I = 1 2 · m ·

b

R

a

f⁴(x)dx

b

R

a

f²(x)dx .

W szczególno´sci, moment bezwładno´sci jednorodnej kuli o promieniu r i masie m obracaj ˛acej si˛e wzgl˛edem swojej ´srednicy (w tym przypadku ob- racana krzywa ma posta´c f (x) = √

r²− x², a = −r, b = r) dany jest wzorem:

I = 1 2 · m ·

Rr

−r

(r²− x²)²dx

r

R

−r

(r²− x²)dx

= 2

5· r²· m.

Wyprowadzenie wszystkich tych wzorów dotycz ˛acych momentów bezwład- no´sci (a tak˙ze podanych wy˙zej wzorów dotycz ˛acych ´srodka masy) znajd ˛a za- interesowani słuchacze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004, Tom I, cz˛e´s´c 2, strony 214–222. Jak by´c mo˙ze domy´slaj ˛a si˛e słuchacze, we wszyst- kich tych przypadkach wychodzimy od stosownego ci ˛agu normalnego po- działów, wyznaczamy sumy Riemanna i otrzymujemy podane wzory po- przez przej´scia graniczne.

6. Zapas towaru. Załó˙zmy, ˙ze funkcja całkowalna f (t) okre´sla intensywno´s´c napływu towaru do magazynu w zale˙zno´sci od czasu t ∈ [0, T ]. Wtedy wiel- ko´s´c zgromadzonego po upływie czasu T w magazynie towaru jest równa

T

R

0

f (t)dt. Wielko´s´c zapasów zgromadzonych od chwili t₁do chwili t₂(gdzie 0 < t₁< t₂< T ) równa jest

t2

R

t1

f (t)dt. Wreszcie, ´srednia wielko´s´c zapasów zgromadzonych w okresie od t1do t2jest równa:

1 t2− t₁

t2

Z

t1

f (t)dt.

7. Realny zysk. Zysk z(t) otrzymany z eksploatacji jakiego´s urz ˛adzenia (np. gi- lotyny) obliczamy odejmuj ˛ac od dochodu D(t) z eksploatacji koszty K(t) utrzymania tego urz ˛adzenia: z(t) = D(t) − K(t). Przedziałem opłacalno-

´sci urz ˛adzenianazywamy przedział czasowy [0, T ], gdzie T jest najwi˛eksz ˛a liczb ˛a t, dla której z(t)> 0. Realny zysk uzyskany z eksploatacji urz ˛adzenia w czasie od t1do t2 (gdzie 0 < t1< t₂ < T ) jest równy:

Z =

t2

Z

t1

z(t)dt.

8. Kapitał. Niech K(t) oznacza zasób kapitału w chwili t. Wtedy oczywi-

´scie K⁰(t) oznacza pr˛edko´s´c wzrostu kapitału. Przyrost kapitału w chwili t jest równy warto´sci strumienia inwestycji netto I(t) w chwili t. Tak wi˛ec:

K⁰(t) = I(t). Otrzymujemy zatem: K(t) =R I(t)dt. Wielko´s´c kapitału w przedziale czasowym [t1, t2] równa jest:

t2

Z

t1

I(t)dt = K(t2) − K(t1).

9. Modele wzrostu. W makroekonomii proponuje si˛e ró˙zne modele matema- tyczne, opisuj ˛ace zale˙zno´sci mi˛edzy takimi czynnikami, jak np. dochód na- rodowy, konsumpcja, kapitał, produkcja, stan technologii, itd. To, na ile mo- dele te trafnie oddaj ˛a zale˙zno´sci ekonomiczne zale˙zy m.in. od przyjmo- wanych zało˙ze´n na temat gospodarowania. Wzrost gospodarczy opisywano m.in. modelami: Harroda-Domara, Solowa-Swana, Ramseya. Jest do´s´c oczy- wiste, ˙ze matematyczne aspekty takich rozwa˙za´n uwzgl˛ednia´c musz ˛a po- j˛ecia zwi ˛azane z rachunkiem ró˙zniczkowym i całkowym (a tak˙ze z, m.in.:

rachunkiem wariacyjnym, teori ˛a równa´n ró˙zniczkowych, algebr ˛a liniow ˛a, programowaniem, itd.). Rozwa˙zmy – w charakterze dydaktycznego przy- kładu – (nieco ju˙z dzi´s przestarzały) model wzrostu Harroda-Domara (zob.

np. Ostrowski 2004, str. 145–146). Przyjmuje si˛e w nim nast˛epuj ˛ace zało˙ze- nia (tu r oraz s s ˛a stosownie dobranymi parametrami):

(a) Dochód D(t) w chwili t jest proporcjonalny do zaanga˙zowanego w tej chwili kapitału K(t), czyli: D(t) = r · K(t).

(b) W ka˙zdym momencie t na inwestycje I(t) przeznacza si˛e stał ˛a cz˛e´s´c kapitału: I(t) = s · D(t).

(c) Inwestycje w chwili t to przyrost kapitału w tej chwili, czyli: I(t) = K⁰(t).

Na mocy tych zało˙ze´n mamy kolejno (słuchacze zechc ˛a zwróci´c uwag˛e na zastosowanie szczególnego przypadku całkowania przez podstawienie, omó- wionego wcze´sniej w niniejszym wykładzie):

(a) I(t) = r · s · K(t) (b) I⁰(t) = r · s · K⁰(t) (c) I⁰(t) = r · s · I(t) (d) ^I_I(t)^0(t) = r · s (e) R I⁰(t)

I(t)dt =R r · sdt

(f) ln |I(t)| = r · s · t + C1, gdzie C1jest stał ˛a całkowania (g) I(t) = C2· e^r·s·t, gdzie C2= e^C1.

4 Zach˛eta do refleksji

1. Czy całkowanie jest procesem algorytmicznym?

2. Jak obliczamy pole powierzchni „zakrzywionej”?

3. Jak obliczamy obj˛eto´s´c bryły ograniczonej takim „zakrzywionymi” powierzch- niami?

4. Jak obliczamy długo´s´c krzywej na takiej „zakrzywionej” powierzchni?

5 Podsumowanie

To, co nale˙zy zapami˛eta´c z niniejszego wykładu:

1. Całka nieoznaczona: definicja, całkowanie przez cz˛e´sci i przez podstawienie.

2. Całka oznaczona: definicja i interpretacja geometryczna.

3. Całka Riemanna: definicja i interpretacja geometryczna.

6 Wybrane pozycje bibliograficzne

Musielak, H., Musielak, J. 2004. Analiza matematyczna. Wydawnictwo Naukowe UAM, Pozna´n.

Ostrowski, A. 2004. Matematyka z przykładami zastosowa´n w naukach ekono- micznych. Wydawnictwo Uniwersytetu Opolskiego, Opole.

7 Dodatek

W niniejszym dodatku w sposób brutalnie zwi˛ezły podajemy garstk˛e informacji uzupełniaj ˛acych dotychczasowe skromne wprowadzenie w podstawy analizy ma- tematycznej. Celem tego dodatku nie jest wi˛ec dokładne przedstawienie podanych tre´sci, ale raczej wskazanie słuchaczom, ˙ze w przypadku powa˙zniejszych zastoso- wa´n matematyki (w tym przypadku: analizy matematycznej) w naukach kognityw- nych trzeba wyj´s´c poza całkiem elementarne wiadomo´sci zawarte w dzisiejszym wykładzie.

7.1 Całkowanie ci ˛agów i szeregów funkcyjnych

Wa˙zne – zarówno ze wzgl˛edów teoretycznych, jak i praktycznych – jest to, jakie warunki zgodno´sci zachodz ˛a mi˛edzy operacj ˛a całkowania a operacjami tworzenia granicy ci ˛agu funkcyjnego oraz sumy szeregu funkcyjnego. Podamy jedynie sfor- mułowania dwóch twierdze´n dotycz ˛acych tych zagadnie´n:

1. Je´sli ci ˛ag (fn) funkcji ci ˛agłych w przedziale [a, b] jest zbie˙zny jednostajnie w przedziale [a, b], to:

n→∞lim

b

Z

a

f_n(x)dx =

b

Z

a

n→∞lim f_n(x)dx.

2. Je´sli szereg

∞

P

n=0

fn(x) funkcji fn ci ˛agłych w przedziale [a, b] jest zbie˙zny jednostajnie w przedziale [a, b], to:

∞

X

n=0 b

Z

a

f_n(x)dx =

b

Z

a

∞

X

n=0

f_n(x)dx.

Zało˙zenie jednostajnej zbie˙zno´sci jest w obu przypadkach istotne. Student nauk kognitywnych mo˙ze zapyta´c: a dlaczego powy˙zej podane fakty miałyby by´c dla mnie interesuj ˛ace? Ograniczymy si˛e w odpowiedzi do stwierdzenia, ˙ze niezwykle cz˛esto korzysta si˛e z reprezentacji zło˙zonych funkcji rzeczywistych przez odpo- wiadaj ˛ace im szeregi funkcyjne. Jest to istotne np. w aproksymacji pól ograniczo- nych skomplikowanymi krzywymi poprzez sumy pól okre´slonych dla stosownych ci ˛agów prostszych funkcji.

7.2 Całki niewła´sciwe

Dotychczas rozwa˙zali´smy przypadki, gdy zarówno całka funkcji ci ˛agłej, jak i całka Riemanna definiowane były dla ograniczonych przedziałów dziedziny funkcji oraz funkcji ograniczonych. Dociekliwy student nauk kognitywnych mo˙ze zapyta´c: a co z pozostałymi przypadkami – gdy b ˛ad´z rozwa˙zana funkcja jest nieograniczona b ˛ad´z jej dziedzina jest nieograniczona? W takich przypadkach okre´slamy ró˙zne rodzaje całek niewła´sciwych (te rozwa˙zane dotychczas nazywaj ˛ac całkami wła´sci- wymi). Podamy jedynie niezb˛edne definicje, dla zaspokojenia ciekawo´sci takich dociekliwych słuchaczy.

1. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona, ci ˛agła oraz nieograniczona w prze- dziale (a, b]. Je´sli istnieje sko´nczona granica:

ε→0lim

b

Z

a+ε

f (x)dx,

to nazywamy j ˛a całk ˛a niewła´sciw ˛a pierwszego rodzajuz funkcji f w prze- dziale (a, b] i oznaczamy przez

b

R

a

f (x)dx.

2. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona, ci ˛agła oraz nieograniczona w prze- dziale [a, b). Je´sli istnieje sko´nczona granica:

ε→0lim

b−ε

Z

a

f (x)dx,

to nazywamy j ˛a całk ˛a niewła´sciw ˛a pierwszego rodzajuz funkcji f w prze- dziale [a, b) i oznaczamy przez

b

R

a

f (x)dx.

3. Gdy granice, o których mowa w powy˙zszych punktach s ˛a równe +∞ lub

−∞, to mówimy, ˙ze całka

b

R

a

f (x)dx jest rozbie˙zna do, odpowiednio, +∞

lub −∞.

Gdy oba ko´nce przedziału [a, b] s ˛a punktami nieograniczono´sci funkcji f ci ˛agłej w (a, b), to wybieraj ˛ac punkt c ∈ (a, b) mo˙zemy sprowadzi´c ten przypadek do wy˙zej omówionych (pomijamy pewne szczegóły). Podobnie post˛epujemy, gdy funkcja f ma sko´nczon ˛a liczb˛e punktów nieograniczono-

´sci w (a, b) (pozostawiamy szczegóły refleksji słuchaczy).

4. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona i ci ˛agła w przedziale [a, ∞). Je´sli ist- nieje sko´nczona granica:

b→∞lim

b

Z

a

f (x)dx,

to nazywamy j ˛a całk ˛a niewła´sciw ˛a drugiego rodzajuz funkcji f w przedziale [a, ∞) i oznaczamy przez

∞

R

a

f (x)dx.

5. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona i ci ˛agła w przedziale (−∞, b]. Je´sli istnieje sko´nczona granica:

a→−∞lim

b

Z

a

f (x)dx,

to nazywamy j ˛a całk ˛a niewła´sciw ˛a drugiego rodzajuz funkcji f w przedziale (−∞, b] i oznaczamy przez

b

R

−∞

f (x)dx.

6. Gdy granice, o których mowa w dwóch powy˙zszych punktach s ˛a równe +∞

lub −∞, to mówimy, ˙ze całka

∞

R

a

f (x)dx (lub całka

b

R

−∞

f (x)dx) jest roz- bie˙znado, odpowiednio, +∞ lub −∞.

7. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona i ci ˛agła w (−∞, +∞) oraz niech c ∈ R. Je´sli obie całki niewła´sciwe

c

R

−∞

f (x)dx oraz

∞

R

c

f (x)dx istniej ˛a i s ˛a sko´nczone, to liczb˛e:

∞

Z

−∞

f (x)dx =

c

Z

−∞

f (x)dx +

∞

Z

c

f (x)dx

nazywamy całk ˛a niewła´sciw ˛a drugiego rodzajuz funkcji f w (−∞, +∞).

W takim przypadku mówimy, ˙ze całka

∞

R

−∞

f (x)dx jest zbie˙zna. Je´sli nato- miast jedna z całek

c

R

−∞

f (x)dx oraz

∞

R

c

f (x)dx nie jest sko´nczona lub oby- dwie s ˛a równe +∞ (b ˛ad´z −∞), to mówimy, ˙ze całka

∞

R

−∞

f (x)dx jest roz- bie˙zna.

8. Uwa˙zni słuchacze domy´slaj ˛a si˛e ju˙z, ˙ze pozostaje do rozwa˙zenia przypadek funkcji, które w przedziałach [a, ∞) lub (−∞, b] lub (−∞, +∞) s ˛a ci ˛a- głe oprócz pewnej sko´nczonej liczby punktów wewn ˛atrz tych przedziałów.

Taki przypadek (tzw. całki niewła´sciwe trzeciego rodzaju) sprowadzamy do trzech omówionych przed chwil ˛a w oczywisty sposób, rozwa˙zaj ˛ac całki z funkcji ci ˛agłych okre´slonych na przedziałach mi˛edzy owymi punktami nie- ci ˛agło´sci.

Dociekliwi słuchacze mogli zauwa˙zy´c, ˙ze całki niewła´sciwe pierwszego i dru- giego rodzaju s ˛a „jako´s podobne” do szeregów niesko´nczonych. Jest tak istotnie – dowodzi si˛e warunków koniecznych i wystarczaj ˛acych zbie˙zno´sci tego typu całek, które s ˛a podobne do odno´snych warunków formułowanych dla szeregów niesko´n- czonych (tzw. kryterium całkowe zbie˙zno´sci szeregów).

Słuchacze spotkaj ˛a si˛e z całkami niewła´sciwymi np. w wykładach ze staty- styki. W tym miejscu zach˛ecamy słuchaczy do refleksji nad – intuicyjnie mówi ˛ac – oswajaniem niesko´nczono´sci pojawiaj ˛acej si˛e przy omawianiu całek niewła´sci- wych poprzez stosownie dobrane przej´scia graniczne.

7.3 Jeszcze o poj˛eciu miary: miara Lebesgue’a

Jak wspomniano we wst˛epie do niniejszego wykładu, poj˛ecie miary wi ˛a˙zemy z pewnymi szczególnymi rodzinami zbiorów: σ-algebrami. Funkcj˛e miary definiu- jemy dopiero wtedy, gdy wybrana została ju˙z taka rodzina, czyli gdy podejmiemy decyzj˛e, które zbiory uwa˙zamy za mierzalne. Przykładem rodziny zbiorów mie- rzalnych w R jest rodzina B(R) wszystkich zbiorów borelowskich w R, wspo- mniana na pocz ˛atku tego wykładu. Na marginesie dodajmy, ˙ze zbiory borelow- skie okre´sla´c mo˙zemy nie tylko w R lub Rⁿ, ale równie˙z w nieco szerszej klasie przestrzeni. W przypadku R zbiory borelowskie generowane były przez przedziały otwarte. W przypadku Rⁿw naturalny sposób okre´slamy przedziały n-wymiarowe, jako produkty kartezja´nskie „zwykłych” przedziałów w R.

Przypu´s´cmy, ˙ze naszym celem jest okre´slenie zbiorów mierzalnych w R (lub w Rⁿ) w taki sposób, aby klasa ta była mo˙zliwie jak najobszerniejsza oraz ˙zeby zdefi- niowana dla tych zbiorów miara pokrywała si˛e z warto´sciami, które charakteryzuj ˛a długo´s´c, pole powierzchni oraz obj˛eto´s´c w znanych ze szkoły, dobrze oswojonych przypadkach. Dobrym rozwi ˛azaniem tego problemu jest tzw. miara Lebesgue’a.

Nie przedstawimy jej konstrukcji w sposób dokładny, ograniczaj ˛ac si˛e jedynie do przekazania słuchaczom pewnych intuicji.

W przestrzeni mierzalnej (R, B(R)) mo˙zna okre´sli´c miar˛e µ na ró˙zne spo- soby. Wyró˙znionym sposobem jest przyj˛ecie, ˙ze µ((a, b]) = b − a (wtedy równie˙z µ((a, b)) = µ([a, b]) = µ([a, b)) = b − a). Nazwijmy t˛e miar˛e miar ˛a borelow-

sk ˛a. Mo˙zna tego typu miar˛e okre´sli´c oczywi´scie równie˙z w dowolnej przestrzeni (Rⁿ, B(Rⁿ)).

Dla dowolnego zbioru A ⊆ R jego zewn˛etrzna miara Lebesgue’a λ^∗(A) zdefi- niowana jest nast˛epuj ˛aco:

λ^∗(A) = inf{

∞

X

k=1

µ(I_k) : (I_k)_k∈N+ jest ci ˛agiem przedziałów takim, ˙ze A ⊆

∞

[

k=1

I_k}.

Słuchacze nie powinni mie´c trudno´sci z interpretacj ˛a geometryczn ˛a tej konstruk- cji: zewn˛etrzna miara Lebesgue’a zbioru A to kres dolny sum miar borelowskich rodzin przedziałów takich, ˙ze suma (teoriomnogo´sciowa) ka˙zdej takiej rodziny po- krywa całkowicie (zawiera) zbiór A. Tak wi˛ec, „przybli˙zamy” wielko´s´c zbioru A przez pokrycia tego zbioru przedziałami (dla których mamy ju˙z dobrze okre´slon ˛a miar˛e borelowsk ˛a). Suma takiej rodziny przedziałów mo˙ze nie pokrywa´c si˛e ze zbiorem A, chcemy wi˛ec zagwarantowa´c jeszcze, ˙ze sumaryczna miara takiej ro- dziny ró˙zni si˛e dowolnie mało od wielko´sci, któr ˛a chcemy przypisa´c zbiorowi A jako jego miar˛e.

Okre´slamy rodzin˛e L zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a nast˛epuj ˛aco.

A ∈ L wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru X ⊆ R:

λ^∗(A) > λ^∗(A ∩ X) + λ^∗(A ∩ (R − X)).

Intuicyjny sens tego warunku postarajmy si˛e wyrazi´c nast˛epuj ˛aco. A ∈ L wtedy i tylko wtedy, gdy jakkolwiek podzielimy zbiór A na dwa rozł ˛aczne podzbiory, to suma ich zewn˛etrznych miar Lebesque’a nie przekroczy zewn˛etrznej miary Lebes- gue’a całego zbioru A. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze warunek ten gwarantuje to wła´snie, czego po˙z ˛adali´smy: zewn˛etrzna miara Lebesgue’a zbioru A ∈ L wystarczaj ˛aco dobrze charakteryzuje „wielko´s´c” zbioru A, intuicyjnie mówi ˛ac.

Dowodzi si˛e, ˙ze L jest σ-algebr ˛a, a zatem (R, L) jest przestrzeni ˛a mierzaln ˛a.

Dla zbiorów A ∈ L okre´slamy ich miar˛e Lebesgue’a λ(A) w sposób nast˛epuj ˛acy:

λ(A) = λ^∗(A).

Łatwo sprawdzi´c, ˙ze λ istotnie jest miar ˛a w przestrzeni (R, L). Wyliczmy, bez podawania szczegółów, niektóre własno´sci tej miary:

1. Wprost z definicji miary Lebesgue’a wynika, ˙ze wszystkie zbiory borelow- skie s ˛a mierzalne w sensie Lebesgue’a. Dla A ∈ B(R) zachodzi równo´s´c:

µ(A) = λ(A). Oznacza to, mi˛edzy innymi, ˙ze warto´sci miary Lebesgue’a pokrywaj ˛a si˛e z warto´sciami, które charakteryzuj ˛a długo´s´c, pole powierzchni oraz obj˛eto´s´c w znanych ze szkoły, dobrze oswojonych przypadkach.

2. Miara borelowska jest niezmiennicza ze wzgl˛edu na przesuni˛ecia. Nie jest jednak miar ˛a zupełn ˛a. Miara Lebesgue’a jest niezmiennicza ze wzgl˛edu na przesuni˛ecia, a ponadto jest miar ˛a zupełn ˛a.

3. Niech N b˛edzie rodzin ˛a wszystkich podzbiorów R, których miara Lebes- gue’a wynosi 0. Dowodzi si˛e, ˙ze: ka˙zdy zbiór mierzalny w sensie Lebes- gue’a jest sum ˛a zbioru borelowskiego i zbioru miary 0 Lebesgue’a. Inaczej mówi ˛ac: zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a ró˙zni ˛a si˛e „zaniedbywalnie mało” od zbiorów borelowskich.

4. Ka˙zdy sko´nczony lub przeliczalny podzbiór zbioru R ma miar˛e Lebesgue’a równ ˛a 0. W szczególno´sci, λ(Q) = 0, czyli zbiór wszystkich liczb wymier- nych ma miar˛e Lebesgue’a równ ˛a 0. Słuchacze zechc ˛a zauwa˙zy´c, ˙ze wyra´z- nie jest w tym przypadku widoczna ró˙znica mi˛edzy pewnymi własno´sciami topologicznymi (zbiór Q jest g˛esty w R, czyli „du˙zy” topologicznie), a wła- sno´sciami miarowymi (zbiór Q jest „mały” w sensie miary Lebesgue’a).

5. Przy zało˙zeniu aksjomatu wyboru w teorii mnogo´sci mo˙zna udowodni´c, ˙ze istniej ˛a zbiory liczb rzeczywistych, które nie s ˛a mierzalne w sensie Lebes- gue’a. W twierdzeniu Banacha-Tarskiego (o paradoksalnym rozkładzie kuli w przestrzeni trójwymiarowej) wykorzystuje si˛e wła´snie tego typu zbiory.

Zbiory Vitalego, o których wspominali´smy w jednym z poprzednich wykła- dów nie s ˛a mierzalne w sensie Lebesgue’a. Je´sli rozwa˙zamy teori˛e mnogo´sci Zermelo-Fraenkla bez aksjomatu wyboru, to nie mo˙zna w niej udowodni´c istnienia zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a.

Miar˛e Lebesgue’a okre´sli´c mo˙zna oczywi´scie tak˙ze w ka˙zdej z przestrzeni (Rⁿ, B(Rⁿ)) (a nawet dla bardziej ogólnych przestrzeni).

Miara Lebesgue’a jest obecnie najbardziej powszechnie u˙zywan ˛a miar ˛a. Uwa-

˙zamy, ˙ze studenci nauk kognitywnych powinni o niej usłysze´c, aby nie byli bez- bronni intelektualnie studiuj ˛ac ró˙znorakie modele proponowane w naukach kogni- tywnych, wykorzystuj ˛ace t˛e miar˛e.

7.4 Całka Lebesgue’a

Mo˙zemy pozby´c si˛e pewnych mankamentów całkowania w sensie Riemanna prze- chodz ˛ac do ogólniejszego poj˛ecia całki, wykorzystuj ˛acego omówion ˛a przed chwil ˛a miar˛e Lebesgue’a.

Słuchacze pami˛etaj ˛a, ˙ze w przypadku całki Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] mierzyli´smy dziedzin˛e tej funkcji – brali´smy pod uwag˛e podziały przedziału [a, b], warto´sci funkcji f w punktach po´srednich i całka Riemanna okre´slona była

jako granica sum Riemanna. Intuicyjnie mówi ˛ac, całka ta rozumiana zatem była jako granica sum miar prostok ˛atnych pionowych pasków pokrywaj ˛acych obszar pod wykresem funkcji f w przedziale [a, b].

Obecnie post ˛apimy w inny sposób. Intuicyjnie mówi ˛ac, b˛edziemy przybli˙za´c miar˛e omawianego obszaru przez innego rodzaju prostok ˛atne paski powstaj ˛ace przez podział przeciwdziedziny funkcji f . Dla uproszczenia, przyjmiemy, ˙ze prze- ciwdziedzina rozwa˙zanej funkcji zawarta jest w przedziale [0, b]. Dzielimy ten przedział na rozł ˛aczne podprzedziały o ko´ncach:

0 = a0 < a1< a2 < . . . < an= b.

Wybieramy punkty po´srednie ti ∈ [a_i, ai+1] dla 0 6 i < n. Rozwa˙zmy teraz przeciwobrazy przedziałów Ai= (ai, ai+1], czyli zbiory: f⁻¹[(ai, ai+1]]. Obszary A_i × [0, c_i] s ˛a parami rozł ˛aczne. Ich suma teoriomnogo´sciowa przybli˙za obszar pod wykresem funkcji f . Miara ka˙zdego takiego obszaru jest równa iloczynowi ci

przez miar˛e zbioru Ai, zale˙zy ona zatem od tego, jak ˛a funkcj˛e miary we´zmiemy pod uwag˛e. W konstrukcji całki Lebesgue’a bierzemy pod uwag˛e, jak domy´slaj ˛a si˛e słuchacze, miar˛e Lebesgue’a.

Rozwa˙zmy przestrze´n (R, L, λ). Mówimy, ˙ze funkcja f : R → R jest funkcj ˛a mierzaln ˛a(w sensie Lebesgue’a), gdy przeciwobraz ka˙zdego przedziału niewła´sci- wego (c, ∞) jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, czyli gdy f⁻¹[(c, ∞)] ∈ L. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze ten warunek jest równowa˙zny ˙z ˛adaniu, aby przeciwobraz ka˙zdego zbioru borelowskiego był mierzalny w sensie Lebesgue’a. Dowodzi si˛e równie˙z, ˙ze zbiór funkcji mierzalnych jest domkni˛ety na podstawowe operacje al- gebraiczne oraz ró˙znego rodzaju granice punktowe ci ˛agów funkcyjnych.

Zakładamy, ˙ze słuchacze pami˛etaj ˛a definicj˛e funkcji charakterystycznej χ_X zbioru X (zob. wykład trzeci), czyli funkcji okre´slonej warunkami: χX(x) = 1, gdy x ∈ X oraz χX(x) = 0, gdy x /∈ X.

Funkcj˛e f : R → R nazywamy funkcj ˛a prost ˛a, gdy:

1. jej przeciwdziedzina jest zbiorem sko´nczonym (czyli gdy f przyjmuje tylko sko´nczenie wiele warto´sci) oraz

2. dla ka˙zdej liczby cib˛ed ˛acej warto´sci ˛a funkcji f przeciwobraz Ai = f⁻¹(c_i) jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, czyli gdy f⁻¹(ci) ∈ L.

Tak wi˛ec, ka˙zd ˛a funkcj˛e prost ˛a f mo˙zna przedstawi´c jako kombinacj˛e liniow ˛a funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a:

f (x) =X

ci· χ_Ai(x),

gdzie sumowanie bierzemy po (sko´nczonym) zbiorze wszystkich warto´sci cifunk- cji f , gdzie A_i = f⁻¹(c_i) oraz A_i ∈ L.

Wygodne b˛edzie zastosowanie nast˛epuj ˛acych oznacze´n. Je´sli f jest funkcj ˛a okre´slon ˛a na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a (o warto´sciach w R∪{−∞, +∞}) to mo˙zemy zapisa´c t˛e funkcj˛e w postaci f = f⁺− f⁻, gdzie:

1. f⁺(x) = f (x) gdy f (x) > 0, za´s f⁺(x) = 0 w przeciwnym przypadku;

2. f⁻(x) = −f (x) gdy f (x) < 0, za´s f⁻(x) = 0 w przeciwnym przypadku.

Wtedy f⁺oraz f⁻s ˛a obie funkcjami nieujemnymi. Ponadto: |f | = f⁺+ f⁻. Całk˛e Lebesgue’aR

D

f (x)dλ z dowolnej funkcji mierzalnej, gdzie D ∈ L jest obszarem całkowania (dziedzin ˛a funkcji f ) definiujemy zwykle w kilku krokach:

1. R χ_D(x)dλ = λ(D).

2. Je˙zeli f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a prost ˛a f (x) = P c_i · χ_Ai(x), to przyjmu- jemy:

R f (x)dλ = R (c_i· χ_Ai(x))dλ =P

k

ci·R χ_Ai(x)dλ =P

k

ci· λ(A_i).

3. Je´sli A ⊆ D gdzie A ∈ L oraz g(x) =P c_i· χ_Ai(x) jest funkcj ˛a prost ˛a, to:

R

A

g(x)dλ =R (χ_A(x) · g(x))dλ =P

k

λ(A ∩ Ai).

4. Je´sli f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a mierzaln ˛a okre´slon ˛a na zbiorze D i warto-

´sciach w R ∪ {∞}, to przyjmujemy:

R

D

f (x)dλ = sup{R

D

g(x)dλ : 0 6 g(x) 6 f (x) gdzie g(x) jest funkcj ˛a prost ˛a}.

5. Mówimy, ˙ze całka Lebesgue’a z dowolnej funkcji mierzalnej f istnieje, gdy co najmniej jedna z wielko´sciR

D

f⁺(x)dλ orazR

D

f⁻(x)dλ jest sko´nczona.

W takim przypadku definiujemy:

R

D

f (x)dλ =R

D

f⁺(x)dλ −R

D

f⁻(x)dλ.

6. Je´sliR

D

|f (x)|dλ ma warto´s´c sko´nczon ˛a, to mówimy, ˙ze f jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.

Powy˙zej podana konstrukcja mo˙ze wydawa´c si˛e słuchaczom do´s´c skompliko- wana. W istocie jest to jednak bardzo naturalna konstrukcja, co z pewno´sci ˛a stwier- dz ˛a słuchacze po stosownej uwa˙znej refleksji. Dodajmy, bez podawania szczegó- łów, kilka do´s´c ogólnych uwag: