O wartościach modalnych mieszaniny dwóch rozkładów Laplace’a

ROCZNIKI POLSKIEGO TO W A R ZYSTW A M ATEM ATYCZNEGO Seria III: M A TE M A TY K A STOSOWANA X X X V (1992)

W . Kr y s i c k i

Łódź

O wartościach modalnych

mieszaniny dwóch rozkładów Laplace’a ( Praca wpłynęła do Redakcji 1.02.1991)

S treszcze n ie . W pracy podano warunki przy których mieszanina postaci (1.1), z pięcioma danymi parametrami m i, m2, 01, a2, p (m \ ,m2 € R, 0 1 , 0 2 > 0, 0 < p < 1,

p + q = 1) ma jedną wartość modalną albo więcej i ile ich.

1. R ozw ażania w stępne Prace dotyczące jedno-, dwu- albo amodal- ności mieszaniny dwóch rozkładów typu ciągłego — w odróżnieniu od tegoż zagadnienia dla jednego rozkładu (3) — pojawiły się stosunkowo niedawno

W pracy [3] podano warunki jedno- i dwumodalności dla mieszaniny dwóch trójparametrowych rozkładów postaci

gdy pi > 0, pi + P2 = 1, a € R, fi > 1, 7i > 0, Ci czynniki normujące, i = 1,2. Szczególnymi przypadkami są tutaj: mieszaniny dwóch rozkładów 1) Rayleigh’a (a = 0, fi = 2) oraz 2) Maxwell’a (a = 0, /? = 3).

W pracy [6] dla mieszaniny postaci

przy pi > 0, pi -\-p2 = 1, a,i > 0, a, f3 > 0, i = 1,2 podano warunki konieczne i wystarczające jedno-, dwu- i amodalności (tw. 3.1, 3.2, 3.3).

W monografii [1] (§23. Laplace Distribution) w cytowanej tam pracy (5) — prócz tematyki zawartej w tytule — sformułowano warunki (twierdzenia (2, 4, 5).

2

f ( x ) = P ic i ( x ~ <*)P 1 e x p [—( z - a ) 2 f u ] , cc > a ,

132 W. Krysicki

2,3,4), przy których mieszanina dwóch rozkładów Laplace’a postaci (1.1) jest jedno- albo dwumodalna w postaci nierówności f i (0) < p < /2(d), gdzie 9 = {rai, m2, ai, 02}, mi 7^ m2, 01,^2 > 0. W niniejszej pracy — stosując przekształcenie (2.3) — zredukowano liczbę pięciu parametrów do trzech ra, a, d określonych przez (2.2), dzięki czemu warunki jedno- albo dwumodalności uprościły się.

Rozważmy gęstość mieszaniny dwóch rozkładów Laplace’a postaci (1.1) f ( x | 9) _P__2ai exp rai|

a-i + 2 a2exp

\x — ra21

6 = {p, rai, ra2, ai, 02}, ai, a2 > 0, ra i,m2 € R , 0 < p < 1, p -f ę = 1. W punktach £ = rai, 2; = m2 gęstość (1.1) nie jest różniczkowalna Gdy rai = m2 gęstość ta jest jednomodalna, ale nie jest to jedyna możliwość jednomodalności gęstości (1.1), patrz (3.).

2. Redukcja liczby parametrów Przy założeniu rai < m2 — nie ograniczającym ogólności rozważań — w miejsce parametrów rai, m2, ai, a2 wprowadzimy trzy ra, d, b określone następująco

(2.1) ra = (rai + ra2) /2, d = (ra2 - ra i)/2v/aia2, a = a i/a 2, a następnie zastosujemy przekształcenie

(2.2) z = (x — m)/y/a\a2.

W rezultacie zamiast (1.1) otrzymamy gęstość postaci P

(2.3) g{z |0i) = r— exp \z + d| a/ u

exp[ — - d|],

gdzie 0\ — {p, a, d), a, d > 0, 0 < p < l , p + ę = : 1.

Ponieważ przekształcenie (2.2) jest liniowe, więc liczba wartości modal- nych gęstości (2.3) i (1.1) jest taka sama.

3. Badanie przebiegu zmienności gęstości (2.3) Gęstość (2.3) ma — tak jak gęstość (1.1) — dwa punkty nieróżniczkowalności gdy d / 0: są nimi z = — d, £ = d, zbadamy więc przebieg jej zmienności w każdym z trzech przedziałów: i) ( —00, —d), ii) (d, 00), iii) ( —d, d).

i) z postaci (2.3) bezpośrednio wnioskujemy, że oba składniki rosną więc gęstość (2.3) w tym przedziale nie posiada wartości modalnej.

ii) w tym przypadku również bezpośrednio z postaci (2.3) wnioskujemy, że oba składniki maleją, więc i w tym przedziale gęstość (2.3) nie posiada wartości modalnej.

iii) wobec —d < z < d pochodną jest

d)]-O wartościach modalnych mieszaniny dwóch rozkładów Laplace’a 133 Rozwiązanie nierówności g'(z \ a,d,p) > 0 — po przekształceniu prawej strony (3.1) -— prowadzi do nierówności

— ^=[(1 + a)z + (1 - a)d] < ln — ,

V a P

skąd

(3-2) 2 > — y/aln 2y — (1 — a)d

1 T ti zo

Aby zq zależne od d spełniało nierówność iii) winno być (3.3) -d < --- < d.-v /a ln ^ - (1 - a)d

1 + a

Rozwiązanie tej podwójnej nierówności prowadzi do łącznego spełnienia nie-równości (3.4) d > d > i 2\/a skąd

A) jeżeli > 1, to winno być d > ^7^ ln B) jeżeli < 1, to winno być d > ^ ln

Tak więc zarówno w przypadku A) jak i w B) funkcja (2.3) maleje w prze-dziale ( —d, z q), osiąga minimum w punkcie Zo i rośnie w przedziale (zo,d), tzn. że w przedziale ( —d,d) wartości modalnej nie posiada, więc w obu przypadkach A,B gęstość mieszaniny (2.3) posiada dwie wartości modalne w punktach y — —d oraz y = d.

2

W granicznym przypadku dla A i B gdy = 1 spełnienie nierówności (3.4) prowadzi do warunku d > 0.

Pozostają do rozważenia przypadki

C) ^ > l , 0 < d < ^ l n f

D ) 0 < s£ < 1, 0 < a < ^ l n iEI.

W każdym z tych przypadków w przedziale ( —d,d) pochodna (3.1) gę-stości mieszaniny (2.3) jest dodatnia, więc funkcja (2.3) rośnie — a wobec 3i — rośnie w przedziale ( — 00, d); uwzględniając 3ii wnioskujemy, że w przy-padkach C,D gęstość (2.3) ma jedną wartość modalną y = d.

W przypadku A granicznym gdy d = ln 0 ze wzoru (3.2)

134 W. Krysicki

funkcja g(-) — jako rosnąca w przedziale ( — oo,d) -— wartości modalnej w nim nie posiada. Jedyną wartością modalną mieszaniny (2.3) jest wówczas z = 7^ ln — d > 0, a mieszaniny (1.1) x = v/a1a2^ + (m1 + m2)/2 = m2. W przypadku B granicznym — gdy d = ^ ln ^L. > 0 — określone wzorem (3.2) zo = d, więc zgodnie z nierównością (3.2) dla 2 < zo = d w całym przedziale ( —d, d) funkcja g(-) jest malejąca, a lewostronna pochodna (3.1) w punkcie zo jest równa zeru, uwzględniając 3ii wnioskujemy, że funkcja (2.3) jest malejąca w przedziale ( —d, 00), więc w tym przedziale nie posiada wartości modalnej. Wobec powyższego i punktu 3i jedyną wartością modalną mieszaniny (2.3) jest z = — ^ ln < 0, a mieszaniny (1.1) x = ^a\a2z + (m1 + ra2) /2 = m1.

4. Zestawienie wyników

Wartości parametrów Liczba wartości modalnych (2.3)

I d _{= 0} jedna z = 0 Hi. d > 0 0 V V t—H o 0 < d < — ^ ln jedna: z = - d 2) d > ₂ In_{111 p} dwie: z = —d, 2 == d Ilii. d > 0, ^ _{’ p} = 1 dwie: 2 = —d, 2 == d Iliii. d > o , 1 2 3 4 5 6^ > 1

1

1) N.L. J o h n so n and S. K o tz Continuous Univariate Distributions 1-2 Wiley, 1970, New York.

2) J. B e h b o o d i a n On the Modes of Two Normal Distributions. Technometrics. V. 12, No. 1, 1970, p. 130-139.

3) W . K r y s i c k i Ueber Bedingungen, unter welchen die Mischung zweier Verteilungen

eine ein- oder zweigipflige Verteilung ergibt. Wissenschaftliche Zeitschrift Humboldt

— Univ. X V I-1, 1967, 41-42.

4) J. E i s e n b e r g e r Genesis of Bimodal Distributions. Technometrics V .6, 1964, p. 357-364.

5) E. K ą c k i , W . K r y s i c k i Die Parameterschaetzung einer Mischung von zwei Lapla-

ceschen Verteilungen. Commentationes Mathematicae XI, 1, 23-31, 1967.