Rozważmy rodzinę rozkładów wykładniczych o gęstości w postaci kanonicznej fη(x

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria IV

1. Funkcją tworzącą momenty zmiennej losowej Y o wartościach w R^dnazywamy MY(t) = E exp{t^TY }.

Dla η ∈ N rozważmy rodzinę rozkładów wykładniczych o gęstości w postaci kanonicznej fη(x) = exp{η^TT (x) − κ(η)}h(x) .

Pokaż, że jeśli X ∼ fη oraz t + η ∈ N , to MT (X)(t) = exp{κ(η + t) − κ(η)}.

2. Rozważmy rodzinę rozkładów wykładniczych o gęstości w postaci kanonicznej f_η(x) = exp{η^TT (x) − κ(η)}h(x)

przy czym η ∈ N oraz N jest niepustym, otwartym podzbiorem R^d. Oblicz wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji zmiennej losowej T = T (X) dla X ∼ f_η.

3. Rozważmy rodzinę rozkładów wykładniczych o gęstości w postaci kanonicznej fη(x) = exp{η^TT (x) − κ(η)}h(x) .

Pokaż, że jeśli kumulanta κ nie jest ściśle wypukła, to istnieją wektor α oraz η0 ∈ N , takie że α^TT (X) jest stała prawie na pewno, przy czym X ∼ fη₀.

4. Rozważmy rozkład wielomianowy dla n doświadczeń z prawdopodobieństwami p1, . . . , pd.

P (X₁= n₁, . . . , X_d = n_d) = n!

Qd i=1ni!

d

Y

i=1

pⁿ_iⁱ.

Przedstaw ten rozkład w postaci wykładniczej z kanonicznym parametrem η ∈ R^d−1.

5. Niech wektor losowy X = (X1, X2) ma dwuwymiarowy rozkład normalny N (m, Σ), przy czym m = (m1, m2)^T a Σ = (σij) jest macierzą nieosobliwą. Przedstaw ten rozkład w postaci wy- kładniczej z kanonicznym parametrem η.

Pojęcia i fakty które mogą się przydać przy rozwiązywaniu zadań

• Jeśli funkcja tworząca momenty M_X(t) istnieje i jest skończona w pewnym otoczeniu 0, to istnieją wszystkie momenty X oraz

E(Xi^k) =∂^kM_X(t)

∂t^k_i  

_t=0 E(Xi^kX_j^l) =∂^k+lM_X(t)

∂t^k_i∂t^l_{j   t=0}

• Funkcja dwukrotnie różniczkowalna g jest wypukła wtedy i tylko wtedy gdy ∇²g jest nieujemnie określona, a ściśle wypukła jeśli ∇²g jest dodatnio określona.

• Macierz A jest nieujemnie określona, jeżeli dla każdego v mamy v^TAv ≥ 0, a dodatnio określona jeśli ta nierówność jest ostra.

• Zmienna losowa jest stała prawie na pewno wtedy i tylko wtedy gdy jej wariancja jest równa 0.

1