Zbieżność rozkładów 1

Seria 2. Zbieżność rozkładów

1. Twierdzenie Scheffe’go Niech µ będzie miarą σ-skończoną, f_n, f funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary νn(A) =R

Afndµ, ν(A) =R

Af dµ są miarami probabilistycznymi. Niech fn

−→ fp.n.

względem miary µ. Udwodnić, że sup

A

|ν(A) − νn(A)| 6 Z

Ω

|f − fn|dµ → 0.

2. (∗) Niech µ, ν będą dwiema miarami probabilistycznymi na (Ω, F). Zdefiniujmy odleglość między tymi miarami w następujący sposób

kµ − νkT V = sup

A∈A

|µ(A) − ν(A)|.

Niech dla dowolnej zmiennej X, (Ω, F) mierzalnej

E_µ(X) = E_µ(X log X) − E_µ(X)(log E_µX).

Przypuśćmy, że mamy zmienną dodatnią X taką, że dν = Xdµ. Niech K(ν, µ) = Eµ(X). Udowod- nij, że

kµ − νkT V 6 1

2K(ν, µ) 3. Sprawdzić, że _n¹Pn

k=1δk n

−→ λ, gdzie λ - miara Lebesgue’a na (0, 1).d

4. Niech P_α = N (m_α, σ_α). Pokaż, że rodzina {P_α : α ∈ Λ} jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje stała C, taka, że

|m_α|, |σ_α²| 6 C, ∀α ∈ Λ.

5. Udowodnić, że N (mn, σn)−→ N (m, σ) wtedy i tylko wtedy, gdy m^d n → m, σn→ σ.

6. Udowodnić, że jeśli Xn

−→ X oraz supd _nE|Xn|^p < ∞ wówczas E|X|^p < ∞, ale niekoniecznie limn→∞E|Xn|^p= E|X|^p. Tak jest jesli sup_nE|Xn|^p+< ∞.

7. Pokaż, że zbieżność według miary ciągu zmiennych losowych Xn o wartościach w dowolnej prze- strzeni metrycznej (E, d) implikuje zbieżność według miary.

8. Pokaż, że jeśli ciąg Xn w (E, d) jest słabo zbieżny do stałej c, wówczas również Xn

−→ c. CzyP

musi być zbieżny prawie na pewno?

9. Mamy dany okrąg S¹= {z ∈ C : |z| = 1}. Wybieramy liczbę α ∈ S¹, która nie spełnia równania α^k = 1 dla żadnego k ∈ Z\{0}. Dla każedego n ∈ N, I-Borelowskiego definiujemy miarę

µn(I) := |0 6 k 6 n − 1 : α^k∈ I|

n .

Pokaż, że µn

−→ µ, gdzie µ jest unormowaną miarą Lebesgue’a na Sd ¹(jako rozmaitości).

10. (∗) Udowodnić, że X_n−→ X wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zmienne X^d _n⁰, X⁰ takie, że X_n∼ X_n⁰, X ∼ X⁰ oraz X_n⁰ −→ X^{pn 0}.

11. Udowodnić, że jeśli Xn

−→ X, Yd n

−→ Y oraz przy każdym n zmienne Xd n, Yn są niezależne, wówczas (Xn, Yn)−→ (X, Y ).^d

1

12. Niech rozkłady µ₁, ..., µ_n, ... będą miarami skupionymi na zbiorze liczb naturalnych. Wykazać, że µn

−→ µ ⇐⇒ ∀k ∈ N µd n({k}) → µ({k}).

13. Udowodnić, że jeśli X_nY_n−→ X, Y^d _n −→ 0, f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to X^d _n(f (Y_n) − f (0))−→ f^{d 0}(0)X.

14. Twierdzenie Cramera Jeśli Xn

−→ X, Yd n

−→ 0, to XP nYn

−→ 0.P

15. (∗) Pokazać, że

d(µ, ν) = inf{ : Fµ(t) < Fν(t + ) + , Fν(t) < Fµ(t + ) + , ∀t ∈ R}

definiuje odległość w rozkładach na R, która zadaje słabą zbieżność.

2