20DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych cz.2
Twierdzenie. 1. Dla dowolnych zmiennych losowych X1, . . . , Xn mamy E(X1+ . . . + Xn) = EX1+ . . . + EXn. Twierdzenie. 2. Jeśli X1, ..., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi, to E(X1· . . . · Xn) = EX1· . . . · EXn
Twierdzenie. 3. Jeśli VarXi istnieje dla wszystkich zmiennych losowych X1, . . . , Xn, to
Var(
n
X
i=1
Xi) =
n
X
i=1
VarXi+ 2 X
1¬i<j¬n
Cov(Xi, Xj).
Definicja. 1. Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y nazywamy wyrażenie
ρ(X, Y ) = Cov(X, Y )
√
VarX · VarY, o ile Cov(X, Y ) istnieje.
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Roztargniona sekretarka włożyła losowo 10 zaadresowanych listów do 10 zaadresowanych kopert. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby listów, które trafiły do swoich adresatów.
Zadanie A.2. Niech X będzie liczbą jedynek, a Y liczbą dwójek otrzymanych w wyniku n rzutów wyważoną kostką.
Oblicz Cov(X, Y ).
Zadanie A.3. Mamy do dyspozycji po 100 kul w kolorach; czerwony, zielony i niebieski. Wrzucamy po 3 z tych kul do 100 urn tak, że wykorzystujemy wszystkie kule. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby urn z kulami w trzech różnych kolorach.
Zadanie A.4. Inwestor dokonuje w banku lokaty w kwocie 1000 PLN na 10 lat. Roczne stopy zwrotu w poszczególnych latach są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [−10%, 25%]. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą wypłatę z lokaty po 10 latach. Oblicz E(X) oraz Var(X).
Zadanie A.5. Rozważmy aktywa A i B o identycznej cenie. Inwestor rozpatruje następujące scenariusze w zakresie zwrotu z inwestycji w aktywa A i B:
Scenariusz Prawdopodobieństwo Zwrot z aktywa A [%] Zwrot z aktywa B [%]
I 0, 3 20 5
II 0, 2 5 10
III 0, 5 −10 20
Inwestor inwestuje p% posiadanych środków w aktywo A, a pozostałe środki w aktywo B, wyznaczając p w taki sposób, aby wariancja stopy zwrotu dla tak skonstruowanego portfela była minimalna. Wyznacz oczekiwaną stopę zwrotu przy tak skonstruowanym portfelu.
Zadanie A.6. Inwestor ma 400 akcji spółki X. Wariancja stopy zwrotu z jednej akcji spółki X wynosi 1. Inwestor rozważa zakup akcji spółki Y , dla której wariancja stopy zwrotu wynosi 2, 25 dla każdej akcji. Kowariancja pomiędzy stopami zwrotu z obu akcji wynosi 0, 53. Inwestor mierzy ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak zmieni się ryzyko inwestycji, jeśli inwestor sprzeda 100 akcji spółki X i kupi 100 akcji spółki Y ?
Zadanie A.7. Strzałka trafia w tarczę o promieniu 1 z rozkładem jednostajnym. Jaka jest średnia odległość strzałki od środka?
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1. W urnie jest 6 losów o wartościach: 1,1,1,1,2,2 . Losujemy z urny 2 losy jednocześnie. Niech X będzie większą z wylosowanych wartości a Y sumą wartości wylosowanych losów. Oblicz Cov(X, Y ).
Zadanie B.2. Rzucono dwa razy kostką. Niech X będzie sumą, a Y różnicą liczb oczek otrzymanych za pierwszym razem i drugim razem. Oblicz Cov(X, Y ), Var(X + Y ). (Zrób to bez wyznaczania rozkładów zmiennych losowych X i Y !!!!) Zadanie B.3. Gra polega na rzucie kostką, monetą i wylosowaniu 1 karty spośród 52 kart standardowej talii. Grający otrzymuje $3 za każde oczko na kostce, $10 za orła na monecie i $1 za każdy punkt wartości karty (od 1 (dwójka) do 13 (as)). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wygranej bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej równej całkowitej wygranej.
1
Zadanie B.4. Na potrzeby loterii wyprodukowano 1000 kuponów, z tego 200 wygrywających. W pewnym miasteczku 50 osób kupiło po 2 kupony. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję osób spośród nich, które nic nie wygrały.
Zadanie B.5. Rozważmy aktywa A i B o tej samej cenie. Załóżmy, że oczekiwana stopa zwrotu dla aktywa A wynosi 5%, a dla aktywa B 7%, natomiast ryzyko (mierzone jako odchylenie standardowe stopy zwrotu) dla aktywa A jest równe 2%, a dla aktywa B 3%. Korelacja pomiędzy stopami zwrotu dla obutych aktyw wynosi 0, 5. Inwestor inwestuje p% posiadanych środków w aktywo A, a pozostałe środki w aktywo B, wyznaczając p w taki sposób, aby ryzyko dla tak skonstruowanego portfela było minimalne. Wyznacz oczekiwaną stopę zwrotu przy tak skonstruowanym portfelu.
ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI
Zadanie B.6. Pewna grupa składa się z 10 mężczyzn i 10 kobiet, których łączymy losowo w pary.
a. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby par złożonych z 2 mężczyzn.
b. Załóżmy, że ta grupa składa się z 10 małżeństw. Niech Z będzie zmienną losową, która zlicza, ile z utworzonych par jest małżeństwami. Oblicz EZ oraz VarZ.
Zadanie B.7. (Zad. 5, §4.5.) Rzucono 100 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w pierwszych 80 rzutach a Y–w całej serii. Czy X i Y są niezależne? Wyznaczyć Cov(X, Y ).
Zadanie B.8. Łucznik strzela do tarczy n razy. Za każdym razem trafia niezależnie za i (1 ¬ i ¬ 10) punktów z prawdopodobieństwem 1/10. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję liczby punktów, które uzyska.
Zadanie B.9. Rzucamy 100 razy trzema kostkami. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję sumy wyrzuconych oczek.
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Niech ρ(X1, X2) = ρ. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d, przy czym a, c > 0, ρ(aX1+ b, cX2+ d) = ρ.
Zadanie C.2. Losujemy ze zwracaniem jedną kartę z talii 52 kart tak długo, aż wylosujemy wszystkie kolory (pik, kier, karo i trefl). Znajdź wartość oczekiwaną liczby losowań.
Zadanie C.3. Rzucamy 101 razy uczciwą monetą. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej równej liczbie par kolejnych orłów.
Zadanie C.4. Rozmieszczamy losowo n ponumerowanych kul w n ponumerowancyh szufladkach tak, że i-ta kula wpada z jednakowym prawdopodobieństwem do jednej z i pierwszych szufladek. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby pustych szufladek. (UWAGA: Nie chodzi o wynik w postaci sumy.)
Zadanie C.5. Oblicz E(S2) dla zmiennej losowej S2, tzw. wariancji z próby, danej wzorem
S2= 1 n − 1
n
X
i=1
(Xi− ¯X)2,
gdzie X1, . . . , Xn sa niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, EXi= µ, VarXi= σ2, i = 1, . . . , n, a X =¯ n1Pn
i=1Xi.
Zadanie C.6. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi Bernoulliego (tzn. skupionymi na wartościach {0, 1}) z p = 1/2 . Pokaż, że X + Y i |X − Y | są nieskorelowane i zależne.
Zadanie C.7. Niech X i Y będą dyskretnymi zmiennymi losowymi o wartości oczekiwanej 0, wariancji 1 i kowariancji ρ.
Pokaż, że E(max{X2, Y2}) ¬ 1 +p 1 − ρ2.
Zadanie C.8. W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Wyciągamy bez zwracania k z nich i sumujemy wartości które wyciągnęliśmy. Policz wartość oczekiwaną i wariancję tej sumy.
2
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 4/15 B.2 0, 35/3
B.3 wartość oczekiwana 45/2, wariancja 261/4 B.4 EX = 50(1000)(800)22 = 50(8002 )
(10002 ) VarX = 50(8002)
(10002 )
1 − (8002) (10002 )
+(50)2 (8002)(7982)
(10002 )(9982 )− (8002) (10002 )
2!
= 50(1000)(800)2
2
1 −(1000)(800)2
2
+(50)2
(800)4
(1000)4 −(800)
2
(1000)2
2
B.5 Ok.5, 28%.
B.6 a)
EX = 10
10 2
20 2
, V arX = 10
10 2
20 2
1 −
10 2
20 2
!
+ 210 2
10 2
8 2
20 2
18 2
−
10 2
20 2
!2
b)
EZ = 10 10
20 2
, V arZ = 10 10
20 2
1 − 10
20 2
!
+ 210 2
10 · 9
20 2
18 2
− 10
20 2
!2
B.7 nie są niezależne, 20
B.8 EX = n ·112, VarX = n · 33/4
B.9 1050, 875 WSKAZÓWKA: (rzucać 100 razy trzema kostkami to to samo co 300 razy jedną kostką)
3
