Programowanie liniowe

Programowanie liniowe

Łukasz Kowalik

Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski

April 8, 2016

Problem diety

Tabelka

wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)

kotlet schabowy 500 0 0 237

ziemniaki 70 0,8 1 60

kasza gryczana 90 0,5 0 141

sałatka 300 0,1 75 25

zapotrzebowanie 1000 1,2 100

Zadanie

zminimalizuj 237x_k + 60xz+ 141xg + 25xs

z zachowaniem warunków 500x_k+ 70xz+ 90xg + 300xs ≥ 1000 0.8x_z+ 0.5xg + 0.1xs ≥ 1.2 x_z+ 75x_s ≥ 100 x_k, xz, xg, xs ≥ 0

Co to jest program liniowy?

Definicja

Program liniowy (w skrócie PL) jest to problem

minimalizacji/maksymalizacji liniowej funkcji celu o n argumentach x₁, x2, . . . , xn przy zachowaniu pewnej liczby równości lub nierówności liniowych (będziemy je nazywać ograniczeniami) zawierających zmienne x_i.

PL a dyskretne problemy algorytmiczne

Wiele problemów algorytmicznych możemy zapisać jako programy liniowe.

Np. maksymalny przepływ:

zmaksymalizuj P

v ∈V f_sv

z zachowaniem warunków fvw ≤ c(v , w ) v , w ∈ V f_vw = −f_wv v , w ∈ V P

w ∈Vf_vw = 0 v ∈ V \ {s, t}

Najtańszy przepływ o wartości x? Proszę bardzo:

zminimalizuj P

v ,w ∈Va(v , w )fvw

z zachowaniem warunków f_vw ≤ c(v , w ) v , w ∈ V

f_vw = −fwv v , w ∈ V

P

w ∈Vf_vw = 0 v ∈ V \ {s, t} P

v ∈V f_sv = x .

PL a dyskretne problemy algorytmiczne

Wiele problemów algorytmicznych możemy zapisać jako programy liniowe.

Np. maksymalny przepływ:

zmaksymalizuj P

v ∈V f_sv

z zachowaniem warunków fvw ≤ c(v , w ) v , w ∈ V f_vw = −f_wv v , w ∈ V P

w ∈Vf_vw = 0 v ∈ V \ {s, t}

Najtańszy przepływ o wartości x? Proszę bardzo:

zminimalizuj P

v ,w ∈Va(v , w )fvw

z zachowaniem warunków f_vw ≤ c(v , w ) v , w ∈ V

Notacja

Rozważmy PL o n zmiennych x₁, . . . , xn.

Wartościowanie zmiennych: wektor x ∈ Rⁿ. liniowa funkcja celu ma postać:

n

X

j =1

c_jx_j,

dla pewnego wektora c = (c₁, . . . , c_n) ∈ Rⁿ. Inny zapis funkcji celu (iloczyn skalarny):

cx

Czasem piszemy też (jako iloczyn macierzy):

c^Tx

Definicje

x∈ Rⁿ jest rozwiązaniem dopuszczalnym PL gdy x spełnia wszystkie ograniczenia.

x jest rozwiązaniem optymalnym PL gdy x jest dopuszczalny i optymalizuje f-cję celu, tzn

Dla każdego rozwiązania dopuszczanego y ∈ Rⁿ, cx≤ cy

(dla problemu minimalizacyjnego)

PL jest dopuszczalny gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, wpp. jest sprzeczny.

PL jest nieograniczony gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, ale nie ma rozwiązań optymalnych, tzn.

∀λ ∈ R ∃rozw. dopuszczalne x ∈ Rⁿ t.ż. xc < λ

Definicje

x∈ Rⁿ jest rozwiązaniem dopuszczalnym PL gdy x spełnia wszystkie ograniczenia.

x jest rozwiązaniem optymalnym PL gdy x jest dopuszczalny i optymalizuje f-cję celu, tzn

Dla każdego rozwiązania dopuszczanego y ∈ Rⁿ, cx≤ cy

(dla problemu minimalizacyjnego)

PL jest dopuszczalny gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, wpp. jest sprzeczny.

PL jest nieograniczony gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, ale nie ma rozwiązań optymalnych, tzn.

∀λ ∈ R ∃rozw. dopuszczalne x ∈ Rⁿ t.ż. xc < λ

Definicje

x∈ Rⁿ jest rozwiązaniem dopuszczalnym PL gdy x spełnia wszystkie ograniczenia.

x jest rozwiązaniem optymalnym PL gdy x jest dopuszczalny i optymalizuje f-cję celu, tzn

Dla każdego rozwiązania dopuszczanego y ∈ Rⁿ, cx≤ cy

(dla problemu minimalizacyjnego)

PL jest dopuszczalny gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, wpp.

jest sprzeczny.

PL jest nieograniczony gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, ale nie ma rozwiązań optymalnych, tzn.

∀λ ∈ R ∃rozw. dopuszczalne x ∈ Rⁿ t.ż. xc < λ

Definicje

x∈ Rⁿ jest rozwiązaniem dopuszczalnym PL gdy x spełnia wszystkie ograniczenia.

x jest rozwiązaniem optymalnym PL gdy x jest dopuszczalny i optymalizuje f-cję celu, tzn

Dla każdego rozwiązania dopuszczanego y ∈ Rⁿ, cx≤ cy

(dla problemu minimalizacyjnego)

PL jest dopuszczalny gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, wpp.

jest sprzeczny.

PL jest nieograniczony gdy istnieje rozwiązanie dopuszczalne, ale nie ma rozwiązań optymalnych, tzn.

∀λ ∈ R ∃rozw. dopuszczalne x ∈ Rⁿ t.ż. xc < λ

Postać kanoniczna

zmaksymalizuj Pn

j =1c_jx_j z zachowaniem warunków Pn

j =1a_ijx_j ≤ b_i i = 1, . . . , m gdzie {a_ij, bi, cj} są dane. Zapis macierzowy:

zmaksymalizuj c^Tx z zachowaniem warunków Ax ≤ b

Fakt 1

Każdy program liniowy można sprowadzić do równoważnego programu w postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna

zmaksymalizuj Pn

j =1c_jx_j z zachowaniem warunków Pn

j =1a_ijx_j ≤ b_i i = 1, . . . , m gdzie {a_ij, bi, cj} są dane. Zapis macierzowy:

zmaksymalizuj c^Tx z zachowaniem warunków Ax ≤ b

Fakt 1

Każdy program liniowy można sprowadzić do równoważnego programu w postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna

zmaksymalizuj Pn

j =1c_jx_j z zachowaniem warunków Pn

j =1a_ijx_j ≤ b_i i = 1, . . . , m gdzie {a_ij, bi, cj} są dane. Zapis macierzowy:

zmaksymalizuj c^Tx z zachowaniem warunków Ax ≤ b

Fakt 1

Równoważność programów liniowych

Rozważmy PL L i L⁰, maksymalizacyjne, z funkcjami celu c i c⁰.

L i L⁰ są równoważne gdy

dla każdego rozw. dopuszczalnego x programu L istnieje rozw.

dopuszczalne x⁰ programu L⁰ tż.

cx = c⁰x.

dla każdego rozw. dopuszczalnego x⁰ programu L⁰ istnieje rozw.

dopuszczalne x programu L tż.

cx = c⁰x.

Równoważność programów liniowych

Rozważmy maksymalizacyjny PL L i minimalizacyjny PL L⁰, z funkcjami celu c i c⁰.

L i L⁰ są równoważne gdy

dla każdego rozw. dopuszczalnego x programu L istnieje rozw. dopuszczalne x⁰ programu L⁰ tż.

cx = −c⁰x.

dla każdego rozw. dopuszczalnego x⁰ programu L⁰ istnieje rozw. dopuszczalne x programu L tż.

Postać standardowa

wersja max:

zmaksymalizuj c^Tx z zachowaniem warunków Ax ≤ b

x≥ 0 wersja min:

zminimalizuj c^Tx

z zachowaniem warunków Ax ≥ b x≥ 0 Fakt 2

Każdy program liniowy można sprowadzić do równoważnego programu w postaci standardowej.

Postać dopełnieniowa

zmaksymalizuj c^Tx z zachowaniem warunków Ax = b

x≥ 0

Fakt 3

Każdy program liniowy można sprowadzić do równoważnego programu w postaci dopełnieniowej.

Geometria programów liniowych

max x₁+ 2x2

x₂ ≤ x₁+ 2 2x1+ x2 ≤ 4 2x₂+ x1 ≥ 0 x₂ ≥ 0

x f (x)

x₂ = x1+ 2

2x₂+ x1= 0 2x1+ x2 = 4

2x₁+ x₂= 3

−2 −1 0 1 2 3

−2

−1 1 2 3 4

Wnioski

2 zmienne:

ograniczenia ! półpłaszczyzny

zbiór rozwiązań dopuszczalnych ! wielokąt (wypukły), być może nieograniczony.

ogólnie:

zbiór punktów spełniających ax = b ! hiperpłaszczyzna zbiór punktów spełniających ax ≤ b ! półprzestrzeń zbiór rozwiązań dopuszczalnych PL ! wielościan (wypukły).

Równoważność pojęć wierzchołka

Wierzchołkiemwielościanu P nazywamy dowolny punkt x ∈ P, który jest jedynym rozwiązaniem optymalnym dla pewnej funkcji celu c.

Punktem ekstremalnym wielościanuP nazywamy dowolny punkt x∈P, który nie jest wypukłą kombinacją dwóch innych punktów y, z ∈P.

(tzn. dowolny punkt postaci λy + (1 − λ)z dla pewnego λ ∈ [0, 1].) Bazowe rozwiązanie dopuszczalne(brd) PL o n zmiennych to rozwiązanie dopuszczalne x ∈ Rⁿ takie, że istnieje n liniowo

niezależnych ograniczeń (w sensie wektorów współczynników przy x_i, tzn. x₁+ 2x2 ≥ 1 i x₁+ 2x2 ≤ 2 są liniowo zależne), które dla x są spełnione z równością.

Fakt 4

Powyższe pojęcia są równoważne (dowód → tablica)

Równoważność pojęć wierzchołka

Wierzchołkiemwielościanu P nazywamy dowolny punkt x ∈ P, który jest jedynym rozwiązaniem optymalnym dla pewnej funkcji celu c.

Punktem ekstremalnym wielościanuP nazywamy dowolny punkt x∈P, który nie jest wypukłą kombinacją dwóch innych punktów y, z ∈P.

(tzn. dowolny punkt postaci λy + (1 − λ)z dla pewnego λ ∈ [0, 1].)

Bazowe rozwiązanie dopuszczalne(brd) PL o n zmiennych to rozwiązanie dopuszczalne x ∈ Rⁿ takie, że istnieje n liniowo

niezależnych ograniczeń (w sensie wektorów współczynników przy x_i, tzn. x₁+ 2x2 ≥ 1 i x₁+ 2x2 ≤ 2 są liniowo zależne), które dla x są spełnione z równością.

Fakt 4

Powyższe pojęcia są równoważne (dowód → tablica)

Równoważność pojęć wierzchołka

Wierzchołkiemwielościanu P nazywamy dowolny punkt x ∈ P, który jest jedynym rozwiązaniem optymalnym dla pewnej funkcji celu c.

Punktem ekstremalnym wielościanuP nazywamy dowolny punkt x∈P, który nie jest wypukłą kombinacją dwóch innych punktów y, z ∈P.

(tzn. dowolny punkt postaci λy + (1 − λ)z dla pewnego λ ∈ [0, 1].) Bazowe rozwiązanie dopuszczalne(brd) PL o n zmiennych to rozwiązanie dopuszczalne x ∈ Rⁿtakie, że istnieje n liniowo

niezależnych ograniczeń (w sensie wektorów współczynników przy x_i, tzn. x₁+ 2x2 ≥ 1 i x₁+ 2x2 ≤ 2 są liniowo zależne), które dla x są spełnione z równością.

Fakt 4

Powyższe pojęcia są równoważne (dowód → tablica)

Równoważność pojęć wierzchołka

Wierzchołkiemwielościanu P nazywamy dowolny punkt x ∈ P, który jest jedynym rozwiązaniem optymalnym dla pewnej funkcji celu c.

Punktem ekstremalnym wielościanuP nazywamy dowolny punkt x∈P, który nie jest wypukłą kombinacją dwóch innych punktów y, z ∈P.

(tzn. dowolny punkt postaci λy + (1 − λ)z dla pewnego λ ∈ [0, 1].) Bazowe rozwiązanie dopuszczalne(brd) PL o n zmiennych to rozwiązanie dopuszczalne x ∈ Rⁿtakie, że istnieje n liniowo

niezależnych ograniczeń (w sensie wektorów współczynników przy x_i, tzn. x₁+ 2x2 ≥ 1 i x₁+ 2x2 ≤ 2 są liniowo zależne), które dla x są spełnione z równością.

Struktura rozwiązań optymalnych

Twierdzenie

Każdy ograniczony PL w postaci standardowej max c^Tx, Ax ≤ b, x ≥ 0 ma rozwiązanie optymalne, które jest punktem ekstremalnym.

(dowód → tablica)