http://web.utk.edu/~tbarnes/website/qm1/qm1.html kurs mechaniki kwantowej przy okazji: język angielski

(1)

http://web.utk.edu/~tbarnes/website/qm1/qm1.html kurs mechaniki kwantowej

przy okazji:

język angielski

(2)

2

FALOWY CHARAKTER CZĄSTEK MATERIALNYCH

POJĘCIE FALOWEJ AMPLITUDY PRAWDOPODOBIEŃSTWA W

MECHANICE KWANTOWEJ

(interferencja dla cząstek materialnych;

doświadczenie Davissona – Germera i inne,

zasada nieoznaczoności, tunelowanie, STM)

(3)

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA –

GERMERA

Zmianie napięcia przyspieszającego

towarzyszy

powstawanie obrazu charakterystycznego dla dyfrakcji promieni

X na krysztale Ni

(4)

4

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA –

GERMERA

Silna interferencja występuje dla

określonego napięcia przyspieszającego

elektrony

(5)

DOŚWIADCZENIE MÖLLENSTEDTA -

DÜKERA

Elektronowy analog bipryzmatu Fresnela;

na włóknie ujemne napięcie odpychające

elektrony; powstają dwa pozorne źródła;

na płycie fotograficznej obserwujemy prążki

interferencyjne.

(6)

6

DYFRAKCJA NEUTRONÓW

Feynman, III tom, rozdz. 3. Podrozdział 3.3 – dyfrakcja neutronów; kiedy jest, a kiedy nie ma

interferencji

(7)

DOŚWIADCZENIE YOUNGA NA ATOMACH

(8)

8

PORÓWNANIE DYFRAKCJI ŚWIATŁA I ELEKTRONÓW

(9)

Dla fal elektromagnetycznych i fotonów mieliśmy:

 

 

k 2 k

h 2

p h

h E

t kx

i exp

FALA





 



 

 















Efekt fotoelektryczny, zjawisko Comptona Związek p z λ zgodny z teorią klasyczną (pęd niesiony przez falę e-m, równania Maxwella) i teorią względności (trójkąt mnemotechniczny dla

cząstek bez masy)

(10)

10

Obie relacje przenosimy na cząstki materialne:

 

 

h k p

E

t kx

i exp

FALA



 













E jest energią, p jest pędem cząstki materialnej

Fala prawdopodobieństwa (amplituda prawdopodobieństwa) zwana funkcją falową i oznaczana ψ, jest falą płaską dla cząstek

o określonej energii i nieokreślonym położeniu (Feynman t. I, rozdz. 37, 38)

ω i k to częstość i wektor falowy funkcji falowej wzór de’ Broglie’a

(11)

1. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia (przejścia od stanu początkowego do końcowego) jest dane przez kwadrat modułu zespolonej liczby Φ nazywanej amplitudą prawdopodobieństwa,

oznaczanej w notacji Diraca <koniec|początek> (bra i ket).

P = prawdopodobieństwo

Φ = amplituda prawdopodobieństwa

P = |Φ|² = ΦΦ^* = (<koniec|początek>)(<początek|koniec>)

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ

Amplitudę prawdopodobieństwa <x|ψ> nazywamy funkcją falową. Dla cząstki o określonym pędzie (energii) i nieokreślonym położeniu funkcja

falowa jest falą płaską, exp[i(kx – ωt)]

(12)

12

2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka alternatywnych sposobów, np. dwa, poprzez dwa różne stany pośrednie:

<koniec|1><1|początek>, <koniec|2><2|początek>

to amplituda prawdopodobieństwa dla tego zdarzenia jest sumą amplitud prawdopodobieństwa dla każdego ze sposobów na jaki może ono zajść.

Φ = Φ₁ + Φ₂; <k|p> = <k|1><1|p> + <k|2><2|p>

Wystąpi interferencja gdyż:

P = | Φ₁ + Φ₂|² = |Φ₁|² + |Φ₂|² + Φ₁Φ^*₂ + Φ^*₁Φ₂ = P₁ + P₂ + wyraz interferencyjny

wyraz

Przypadek ten występuje w omawianych wcześniej doświadczeniach (Davissona – Germera itd.)

(13)

3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z alternatywnych sposobów zachodzi (sprawdzamy przez który z otworów przechodzi elektron) to prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw dla każdego

z tych alternatywnych sposobów. Nie występuje interferencja.

P = | Φ₁|² + |Φ₂|² = P₁ + P₂ (<k|p><p|k>) =

(<k|1><1|p>) (<1|k><p|1>) + (<k|2><2|p>) (<2|k><p|2>)

„Sprawdzanie” nie oznacza, że sprawdzamy „my”, wystarczy, że taka możliwość istnieje, tzn. istnieje taka informacja w układzie fizycznym,

nawet jeśli nie chcemy lub nie umiemy z niej skorzystać.

Kot Schrödingera nie jest jednocześnie żywy i martwy zbyt długo tzn.

Φ = Φ₁ + Φ₂

bardzo szybko przechodzi w P = P₁ + P₂ .

(14)

14

Wzór de’Broglie’a; związek pomiędzy długością fali, a napięciem przyspieszającym dla cząstki

naładowanej

m0

m 

Cząstka nierelatywistyczna p  m₀v 2

v E_kin  m⁰ ²

0 2 kin 2m E  p

Ekin

eV  zatem:

Ponieważ:

V 27 1

. eV 12

m 2

h p

h

0



 mamy ostatecznie: 

gdzie V wyrażamy w woltach, a λ w Å

(15)

Dla cząstek relatywistycznych, z trójkąta mnemo:

eV E_kin 

Ponieważ:

mamy ostatecznie:

     

0 ² ² 2

2 kin 0

2 2

2 m0c m c E m c

E

pc     

2 1 0 2

0

2 2

0 2

c m 2 1 eV V

27 1 . c 12

m 2 1 eV eV

m 2

h

V e eV

c m 2

hc p

h













 

 











 

 





(16)

16

Dyfrakcja funkcji falowej, a zasada nieoznaczoności

(17)

Przed szczeliną płaska fala

(nieoznaczoność położenia w kierunku x nieskończona, nieoznaczoność pędu zero) Za szczeliną:   

p p_x

d x 

 x  p_x  d  p

d

 



Z dyfrakcji: a z relacji de’Broglie’a:

 h p

h p

x  

_x





zasada nieoznaczoności

Heisenberga

(18)

18

Doświadczenie Younga na cząstkach materialnych

(19)

Warunkiem obserwacji prążków jest nieoznaczoność położenia cząstki w momencie przechodzenia przez szczeliny (nie możemy wiedzieć przez którą szczelinę

przeszła cząstka):

D y 



D

  a niepewność kierunku cząstki wynosi: 

Ponieważ:   

x y

p p

h h D D

D h p

y _y 



 

 











 więc:

a (de’Broglie):

 h p_x

przybliżona

(20)

20

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU

0 p

x   



Dlaczego elektron nie wyląduje na jądrze?

Klasycznie, krążąc wypromieniowuje energię i promień powinien maleć do zera.

Byłby to stan o najniższej energii, po wypromieniowaniu NIESKOŃCZONEJ energii.

Taki „zapadnięty” atom miałby mały rozmiar i nieskończoną energię wiązania.

Wszystkie atomy byłyby jednakowe, nie ma chemii i biologii.

Elektron w takim atomie miałby określone położenie i pęd (x = 0 i p = 0), czyli mielibyśmy:

na co nie pozwala mechanika kwantowa.

(21)

(22)

22

r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc:

r p  h

 czyli pęd nie może być równy 0.

(23)

r p  h

mr , 2

h m

2

E p ₂

2 2

K  

Energia kinetyczna elektronu:

Powiedzmy, że średni pęd będzie:

r p  h

(24)

24

r p  h

mr , 2

h m

2

E p ₂

2 2

K  

r E e

2 P  

r e mr

2 E h

2 2

2 



0 e2 2

4 e q

 

 Całkowita energia atomu

Energia kinetyczna elektronu:

Energia potencjalna:

Powiedzmy, że średni pęd będzie:

r p  h

(25)

r e mr

2

E  h² ₂  ²

2 2

0 me

a  h

promień Bohra 0.528Å

1 0 -

2 4 0

2 0

cm 581

, 109677 hc

R E

eV 6 , h 13

2 me a

2 E e















R - stała Rydberga

E_k

E_p a₀ E

(26)

26

Zjawisko tunelowe, tunelowanie (przenikanie) cząstki materialnej przez barierę potencjału

 

 

h k p E

t kx

i exp ₀



 

















   

^U ^E^L ^;

m 1 2

2 exp T

t i exp x

ik exp

0 L 0 0

L 0



 



 















Ponieważ: w obszarach x < 0 i x > L i: dla x > 0 i x < L

Ê^-Û  ⁱ ²^mÛ Ê

m p 2

k₀_L  ⁰^L  ⁰  ₀ 



0 2L

0 2

m U 2 E p

2m E p





(Re(Ψ))²

tu oscylacje o mniejszej amplitudzie

Cząstka przenika przez barierę (T < 1); efekt kwantowy

(27)

Skaningowy mikroskop tunelowy STM (STM – Scanning Tunneling Microscope)

Zasada działania:

Piezoelektryczne pręty kwarcowe

umożliwiają skanowanie powierzchni (x,y) i śledzenie wysokości ostrza

nad powierzchnią próbki (z).

Mapa z(x,y) tworzy obraz powierzchni

Obraz STM powierzchni próbki Au Wikimedia Commons

Made by: Erwin Rossen, Eindhoven University of