MODELOWANIE WSPÓŁPRACY ŚLIMAKA STOŻKOWEGO Z KOŁEM O UZĘBIENIU CZOŁOWYM W PRZEKŁADNI SPIROIDALNEJ

(1)

MODELOWANIE WSPÓŁPRACY ŚLIMAKA STOŻKOWEGO Z KOŁEM O UZĘBIENIU

CZOŁOWYM W PRZEKŁADNI SPIROIDALNEJ

Piotr Frąckowiak

Instytut Technologii Materiałów, Politechnika Poznańska piotr.frackowiak@put.poznan.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono sposób obliczania przekładni spiroidalnej, w której ślimak stożkowy współpracuje z uzębieniem czołowym. W pracy przedstawiono również model i sposób obliczania modyfikacji linii zębów uzębienia czołowego, którą przeprowadza się w przekładniach zębatych w celu uniknięcia styku krawędziowego między zę- bami ślimaka i uzębienia.

Słowa kluczowe: uzębienie czołowe, ślimak stożkowy, przekładnia spiroidalna

MODELLING FACE WORM GEAR DRIVE WITH CONE WORM

Summary

The paper presents methods of calculate of a spiroid gear drive with cone worm cooperation with face gear. The model for calculation the modification of face gear teeth line in order to avoid edge contact between the both sides of cone worm and face gear presented, as well.

Keywords: face gear, cone worm, spiroid gear drive

1. WSTĘP

Sposoby obliczania przekładni, w której ślimak stoż- kowy współpracuje z uzębieniem stożkowym, zostały przedstawione w pracach [1,12]. W literaturze światowej można znaleźć kilka rozwiązań określania zależności geometrycznych w przekładniach spiroidalnych, w których ślimak walcowy współpracuje z uzębieniem czołowym [8,11]; rozwiązania te zakładają, że uzębienie czołowe będzie kształtowane frezem ślimakowym. Naj- nowsze rozwiązane geometryczne przekładni spiroidalnej, w której ślimak walcowy lub stożkowy współpracuje z uzębieniem czołowym, zostało opisane w pracy [10].

W opracowaniach [3,6,7] zostały przedstawione sposoby obliczania modyfikacji linii zębów uzębień czołowych o ewolwentowej linii zębów kształtowanych narzędziem krążkowym. Jeden ze sposobów modyfikacji linii zębów uzębienia czołowego polega na zwiększeniu kątów zarysu ślimaka (odpowiednio również kątów zarysów zębów uzębienia czołowego) w stosunku do teoretycznie obli- czonych [8,10]. Wszystkie te metody obliczeń bazują na

współpracy dwóch kół zębatych, a do określania zależno- ści kinematycznych stosują metodę wektorowo- macierzową. Uzębienie czołowe współpracujące ze stoż- kowym ślimakiem w przekładni spiroidalnej może być kształtowane za pomocą stożkowego frezu ślimakowego, jednoostrzową głowicą frezarską lub narzędziem krążko- wym. Stożkowy frez ślimakowy kształtujący uzębienie czołowe może być zastosowany do obróbki tylko jednej odmiany przekładni spiroidalnej - o określonym: przeło- żeniu, odległości osi ślimaka od osi uzębienia, skoku linii śrubowej ślimaka, zwojności i module. Inną wadą frezów ślimakowych stosowanych do kształtowania uzębień czołowych jest problem z ostrzeniem oraz błędy podział- ki, które są przenoszone na kształtowane uzębienie [10].

Nowe technologie kształtowania uzębień czołowych, współpracujących ze ślimakiem stożkowym w przekładni, wykorzystują głowicę frezową lub narzędzie krążkowe do nacinania zębów. W rozwiązaniach tych narzędzie ma tylko jedno ostrze, co umożliwia wykorzystanie jednego

(2)

narzędzia do nacinania uzębień o różnych modułach i liczbie zębów [2,4,5,6,10]. Ostrze narzędzia jednoostrzo- wego projektowane są w postaci wymiennej płytki, co eliminuje konieczność jego ostrzenia. Porównując wła- ściwości eksploatacyjne przekładni spiroidalnych ze ślimakiem stożkowym i walcowym, przy podobnych wymiarach geometrycznych, można łatwo zauważyć, że te pierwsze mają większą sumaryczną powierzchnie współpracujących zębów kół zębatych. Ta cecha umożli- wia przenoszenie większego obciążenia i zwiększa trwa- łość przekładni spiroidalnej, w której ślimak stożków współpracuje z uzębieniem czołowym.

2. MODELOWANIE PRZEKŁADNI

Pierwszy etap opracowania przekładni kinematycznej, w której ślimak stożkowy współpracuje z uzębieniem czołowym, polega na opracowaniu modelu ślimaka stożkowego służącego do określenia długości wektora normalnego (rys. 1). W modelu przyjęto dwa układy współrzędnych: nieruchomy S0 (x0, y0, z0) i ruchomy S1(x1, y1, z1) związany z przemieszczaniem się zwoju ślimaka. Założono, że ślimak stożkowy będzie współpra- cował w przekładni z uzębieniem czołowym o ewolwentowej linii zębów. Przy takim założeniu podziałka normalna ślimaka stożkowego musi mieć taką samą długość, jak podziałka normalna uzębienia czołowego.

Rys. 1. Model do obliczania wektora normalnego ślimaka stożkowego

Przedstawiony model (rys.1) jest ogólnym modelem, który nie jest zależny od metody kształtowania zwoju ślimaka oraz zarysów narzędzi go kształtujących.

Do obliczeń transformacji układu (obrót i przesunięcie) wykorzystano przekształcenia macierzowe afiniczne umożliwiające jednoczesne uwzględnienie w obliczeniach obrotu ślimaka oraz przemieszczania się na zwoju ślima- ka [1, 6 11,12]:

1 ) (

0 0 0

0

z

y x t n

n = ⋅ =

⁽¹⁾

Macierz transformacji po obrocie ślimaka o kąt ξ i przesunięcie o wartość f można zapisać:

1 0 0 0

1 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

M ζ ζ f

ζ ζ −

=

⁽²⁾

Długość wektora (rys. 1) po transformacji systemu odniesienia S0, do S1 oblicza się z zależności:

) , ( 1

cos sin

sin cos

1

1 0

0 0

1 1 1

1

ζ ζ ζ

ζ ζ

t f x

x y x

y x

z y x

x =

+ +

−

=

⁽³⁾

Podczas określania zależności w ślimaku stożkowym przekładni spiroidalnej należy uwzględnić kąty zarysu zwoju ślimaka. W przekładniach spiroidalnych ślimaki i uzębienia z nimi współpracujące charakteryzują się niesymetrycznym kątem zarysu zębów. Ta niesymetrycz- ność zarysu zębów wynika ze współpracy jednego boku zwoju ślimaka z wypukłym bokiem zęba uzębienia a drugiego z wklęsłym wzdłuż jego linii. Zwoje ślimaka stożkowego kształtowane są najczęściej z wykorzystaniem noży tokarskich, a następnie po obróbce cieplnej obrabiane wykańczająco za pomocą ściernic. Nacinanie zwoju ślimaka przy użyciu ostrza o prostoliniowej kra- wędzi umożliwia uzyskanie w przekroju normalnym (zazębienia) zarysu wypukłego, a w przekroju osiowym zarysu prostoliniowego. Zarys ślimaka po operacji szlifo- wania zależy od zarysu ściernicy. Schemat zarysu zwoju ślimaka o prostoliniowym zarysie boku zęba ślimaka stożkowego w przekroju osiowym (Archimedesa), uwzględniający niesymetryczne kąty zarysu kątów zwoju ślimaka, przedstawiono na rys. 2.

1

(3)

Na podstawie rys. 1 z uwzględnieniem rys. 2 można zapisać w układzie nieruchomym S0 (x0, y0, z0) w zależ- ności od kąta obrotu ślimaka dla ślimaka dla ślimaka stożkowego typu ZA (Archimedesa):

) , ( ) 3 2 )(

2 sin ( 1

cos 0

1

0 0

0 0 0

0

ζ

α

α x p

k p

p p z r

y x

x

_A

A n

A s

A A A

A

=

− +

⋅ +

=

(5) gdzie:

k – zwojność ślimaka

W układzie ruchomym S1(x1, y1, z1)zależnym od kąta obrotu ślimaka stożkowego zależność ta przyjmuje postać:

) , ( )

3 2 )(

2 sin (1

cos ) cos (

sin ) cos (

1

1 1

1

1 1 1

1 ζ

α

ζ α

p x f k p

p p r

p r z

y x

x _A

o n

A s

A A A

A =

+

−

⋅ +

⋅ + +

−

=

(6)

gdzie:

rs1 = r –f

˖

^tg¹

Wektor normalny dla stożkowego ślimaka Archimedesa przyjmuje postać:

) , ( 0

cos

cos cos sin

sin ) 3 2 (

cos cos sin

sin ) 3 2 (

1

1 1

1 ζ

α

ζ α ζ

α

ζ α ζ

α

p H N

k

H k

n n n

N _A

A

A A

A z

A y

A x

A =

−

=

(7) gdzie:

A

s

p

r H h

α

1

+ ⋅ cos

=

Dalsze obliczenia stożkowej przekładni spiroidalnej, w której ślimak stożkowy współpracuje z uzębieniem czo- łowym przeprowadzono na podstawie modelu przedsta- wionego na rys. 3 na podstawie prac [6,11]. Do analizy przyjęto 3 układy odniesienia:

S1 (x1, y1, z1) – układ ruchomy związany ze ślimakiem, S2 (x2, y2, z2) – układ ruchomy związany z uzębieniem, S0 (x0, y0, z0) – układ nieruchomy pośredniczący.

Z

Z Z X

X X

Y

0

1 1

1

0

0 2

2

A

x

_p

δ

1

ν

ω

1

2

ν

P

r +r

ν

1

2 1

0

Rys. 3. Model kinematyczny przekładni spiroidalnej, w której ślimak stożkowy współpracuje z uzębieniem czołowym Na podstawie rys. 3 macierze transformacji współ- rzędnych między układami współrzędnych przyjmują postacie opisane poniżej. Macierz transformacji współ- rzędnych układu nieruchomego S0 do układu współrzęd- nych ślimaka S1:

1 0

0 0

1 0 0

) (

cos cos 0 cos sin

) (

cos sin 0 sin cos

1 0 1 1 1

1

1 0 1 1 1

1

0 / 1

p

x r r

r r

M ν ν ν δ ν

ν δ

ν ν

ν

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

=

⁽⁸⁾

Macierz transformacji współrzędnych koła zębatego S2 do układu współrzędnych nieruchomego S0:

1 0 0 0

0 0 cos sin

0 0 0 0

1 sin cos

2 2

2 / 0

ν ν

−

=

A

M

(9)

Współrzędne punktów koła w układzie współrzęd- nych związanych ze ślimakiem opisuje macierz

2 / 0 0 / 1 2 /

1

M M

M = •

⁽¹⁰⁾

Macierz transformacji współrzędnych układu nieruchomego S0 do układu współrzędnych koła zębatego S2

(4)

1 0

0 0

1 0

cos cos

0 sin

cos sin

0 cos

2 2

2

2 2

2

0 / 2

ν ν

ν

ν ν

ν

⋅

−

⋅

−

= A

A

M

⁽¹¹⁾

Macierz transformacji współrzędnych ślimaka S1 do układu współrzędnych nieruchomego S0:

1 0

0 0

1 0 0

) (

cos 0 cos sin

0 0

sin cos

1 0 1 1

1

1 1

1 / 0

x

p

r r M

ν δ

ν ν

+

⋅

−

=

⁽¹²⁾

Współrzędne punktów ślimaka w układzie współ- rzędnych związanych z kołem zębatym opisuje macierz:

1 / 0 0 / 2 1 /

2

M M

M = •

⁽¹³⁾

Dalsze obliczenie zależności w przekładni spiroidalnej polegają na określeniu wymaganej długości wektora normalnego uzębienia czołowego o ewolwentowej linii zębów, przy założeniu znanej długości wektora normalnego ślimaka stożkowego.

Na podstawie ogólnie znanych zależności związanych z przełożeniem kinematycznym przekładnie można zapisać:

2 1 2 1 1 2

ν ν ω ω

=

= z

i z

₍₁₄₎

gdzie:

z1 – liczba zębów (zwojów) ślimak, z2 – liczba zębów koła zębatego,

1 – prędkość kątowa ślimaka,

1 – prędkość kątowa koła zębatego,

1 – kąt obrotu ślimaka,

2 – kąt obrotu koła zębatego.

Prędkości obrotową punktu leżącego na zwoju ślima- ka zależna jest od kąta obrotu ślimaka, co można zapisać zależnością:

t M M

A

∂

⋅ ∂

∂

⋅ ∂

=

²

2 1 / 2 2 / 1 2 / 1

ν ν

(15)

Stąd można obliczyć wektor prędkość liniowej przemieszczania się punktu ślimaka w zależności od kąta obrotu ślimaka:

x

A

V

1/2

=

1/2

⋅

1 ⁽¹⁶⁾

Stąd, po podstawieniu zależności 6 i 15 do zależności 16, otrzymuje się:

1 0

0 0 0

0 sin cos

cos cos sin

sin 0

) sin cos cos

cos 0

1 1 1

2 1

1

1 1 1

1

1 1 1

1

2 / 1

A A A p

p

z y x

A s i x i

s i x i

V ⋅ ⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

= ω

ν ν

ν δ ν

ν

ν δ ν

ν

(17) Na podstawie warunku:

2

0

/ 1

1

⋅V ′ =

N

A (18)

otrzymano:

0 0

sin cos

cos cos sin

sin

sin cos cos cos

0

2 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

2 /

1 ⋅ =

+

⋅

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

=

′ ω

ν ν

ν δ ν

ν

ν δ ν ν

A y x

s i x

z x

i

s i x

z y

i

n n n V

A A

p A A

zA yA xA

(19) Po wykonaniu mnożenia zależność otrzymuje postać:

0 ) cos (

cos

) cos

( sin

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

=

⋅

−

⋅

⋅ +

+

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅ +

+

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅

A xA A yA zA

yA p yA A xA A zA

A zA p yA xA

A yA

y i n x i n A n

s i n x n z n x n

z n x n s i n z n

δ ν

(20) Wektor

x

_A

2 związany z kołem zębatym otrzymuje się po transformacji wektora

x

_A

1 za pomocą macierzy M2/₁

,

co można zapisać:

A

M x

x

₂

=

₂_/₁

⋅

₁

(21)

Współrzędne wektora normalnego koła zębatego opisuje zależność:

) , ( 0

cos sin

sin sin cos

sin

sin cos cos

cos

0

2 1

1 1 1

1 1 2 1 1 1 2

1 1 1 2 1 1 2

2 2 2

2 ζ

ν ν

ν ν ν

ν

ν ν ν

ν

t N n

n

n n n

N A

yA xA

zA yA xA

zA yk xA

zA yA xA

A =

⋅ +

⋅

−

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅

−

⋅

=

(22) Przedstawione powyżej zależności w przekładni spiroidalnej, w której ślimak stożkowy współpracuje z uzębie- niem czołowym, pozwalają na zaprojektowanie przekład- ni kinematycznej. Geometria ślimaka stożkowego pozwa- la na uzyskanie ruchu jednostajnego podczas współpracy z uzębieniem czołowym o ewolwentowej linii zębów (ewolwenta wydłużona lub skrócona). Przedstawione zależności pozwalają na określenie takich samych długo- ści wektorów normalnych ślimaka stożkowego i uzębienia czołowego, co jest podstawowym warunkiem prawidłowej pracy przekładni kinematycznej. Kolejne punkty współ- pracy zwoju ślimaka stożkowego z zębem uzębienia czołowego obliczane są z wykorzystaniem macierzy transformacji współrzędnych ślimaka do układu nieruchomego (pośredniczącego) do układu współrzędnych uzębienia czołowego.

(5)

3. MODYFIKACJA LINII ZĘBÓW

W celu redukcji wibracji, głośnej pracy przekładni spiroidalnej i uniknięcia styku krawędziowego zwoju ślimaka stożkowego z zębami uzębienia czołowego przeprowadza się modyfikację linii zębów uzębienia czołowe- go.

Jeden ze sposobów modyfikacji linii zębów uzębienia czołowego w przekładni spiroidalnej polega na zwiększe- niu kątów zarysu zwoju ślimaka [8, 10]. Ten sposób modyfikacji wykonywany jest dla uzębień kształtowa- nych frezem ślimakowym lub za pomocą głowicy frezar- skiej. Dla uzębień czołowych kształtowanych narzędziem krążkowym istnieje możliwość wpływania na wartość modyfikacji przez odpowiednie ustawienie i przemiesz- czanie narzędzia w procesie jego obróbki. Dla przekładni spiroidalnych, w których ślimak walcowy współpracuje z uzębieniem czołowym, obliczenia wartości modyfikacji zostały przedstawione w pracach [3,7]. Na podstawie tych prac dla współpracy ślimaka stożkowego z uzębie- niem czołowym zależności przyjmują postacie opisane poniżej.

Współrzędne śladu krawędzi skrawającej, uzębienia czołowego o ewolwentowej linii zębów kształtowanego narzędziem krążkowym, można obliczyć z modelu przed- stawionego na rys. 4 [3,6].

Z rysunku wynika zależność:

) cos(

cos

0

α κ

α

⋅ + h = r

B

(23) W celu wyznaczenia współrzędnej punktu śladu kra- wędzi skrawającej wprowadzono zmienną pomocniczą:

) ( cos

κ α ψ ϕ

+

= tg

tg arc

(24) a wtedy w nieruchomym układzie współrzędnych:











+

⋅

− ⋅

=

− +

⋅ +

=

) sin(

sin ) (

0 0

ψ κ

ψ ϕ

ψ κ α

tg a h

z

tg tg h h x x

y

y B

(25)

Rys. 4. Model geometryczny do obliczania współrzędnych śladu krawędzi skrawającej ostrza w układzie nieruchomym (X, Z) lub

(Rz,ΦC) – związanym z tarczą stołu obrotowego W nieruchomym układzie biegunowym (Rz, Φ^C⁾ (związanym z tarczą stołu obrotowego) współrzędne śladu wyznacza się z układu równań:

.

2 2



 



= Φ

+ +

z tg x arc

z x R

c

z (26)

Do wyznaczenia równań obwiedni rodziny śladów krawędzi skrawającej, powstającej podczas kształtowania uzębień czołowych, wyznaczono pochodne funkcji, któ- rych równania przedstawiono poniżej:

ψ ψ ϕ ϕ

ψ = − ⋅ sin ⋅ cos

∂

tg

(27)

oraz



















⋅ +

∂ +∂ + ⋅

−

∂ =

∂

⋅∂

= +

∂

) sin(

sin cos

sin ) sin(

) ( sin

2 2

ψ κ

κ ϕ

ψ ϕ ψ ψ

κ ϕ

ϕ ψ ψ κ ϕ

y y

z h x h

(28)

Na rys. 5 przedstawiono model geometryczny do obliczania współrzędnych prostokątnych i biegunowych

(6)

przekroju zębów czołowych o linii ewolwentowej. Jest to zmodyfikowany model oparty na pracy [3].

Rys. 5. Model geometryczny do obliczania głębokości modyfikacji współrzędnych prostokątnych i biegunowych przekroju

zębów czołowych o linii ewolwentowej

Z rysunku wynika zależność na chwilowy promień wodzący narzędzia:

y x

x

r tg h

r ⋅ cos ϕ ⋅ cos κ − ⋅ cos κ ⋅ ( α

₁

+ κ ) =

(29) W układzie współrzędnych (Rz,Φ^c) po uwzględnieniu podziału ciągłego i równania (10) przybierają postać:

 

 



−

=

+ +

w 0 2 2

R x z k tg x arc Φ

x R

ϕ z

z

(30)

gdzie:

k – liczba określająca rodzaj ewolwenty (k = + 1 w przypadku ewolwenty skróconej i k = - 1 w przypadku wydłużonej),

z – liczba zębów uzębienia czołowego.

Równania (25) po uzmiennieniu parametru x0 opisują rodzinę krzywych, których obwiednię - linii zęba otrzymuje się przez dodanie do nich warunku:

0

0 0

=

∂ Φ

∂

∂ Φ

∂

y y R R

z z

ϕ ϕ

(31)



 





 





−

∂ = Φ

= ∂

∂

 −





 

 ⋅

∂

− ∂

∂ ⋅

⋅ ∂

∂ = Φ

∂

 



 

 ⋅

∂ + ∂

∂ ⋅

⋅ ∂

∂ =

∂

w z z

z z

R R

z x R

x x R

x k z y

x R

z z x x

R R

; 1

z 1

1

2 0 0

2

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

(32) Po przekształceniu redukcji wyrazów podobnych i uproszczeniu równanie linii zębów przyjmuje postać:

0 z ⋅ =

∂

− ∂

∂ ⋅

− ∂

 ⋅



 



 + ⋅

∂

∂ y y

x x R k x

y

w

ϕ ϕ

ϕ

(33)

Wartość modyfikacji ∆ określono jako odległość punktu krzywej uzyskanej podczas nacinania zębów uzębienia od linii ewolwentowej (rys. 6).

Rys .6. Schemat do obliczania modyfikacji linii zębów (∆) Zgodnie z powyższymi zależnościami i na podstawie rys. 6 można zapisać:

⋅ ϕ

⋅

−

=

∆

w

u p

z

R

z x k R

R

²

0 2

(34) Głębokość modyfikacji przyjmuje wartość ∆ = 0 w punkcie obliczeniowym znajdującym się w połowie szerokości uzębienia, w punkcie tym kąt obrotu narzę- dzia ϕ = 0 oraz jest spełniony warunek obwiedni, co można zapisać:

 



 

 −

⋅

=

∆ ₀ ₀ ⁰

1

w B u y

R R h h k r z x

(35)

4. UWAGI I WNIOSKI KOŃCOWE

Wyniki obliczeń teoretycznych zostały zweryfikowane doświadczalnie w ramach projektu badawczego [6].

Uzębienie czołowe zostało nacięte narzędziem krążko- wym na frezarce CNC, a ślimak stożkowy typu ZA na tokarce CNC. Badaniom podano między innymi ślad współpracy, który miał kształt elipsoidalny i mieścił się

(7)

Literatura

1. Bohle F.: Spiroid gears. ”Machinery” 1955, Vol. 62 No. 2, p. 155-161.

2. Frąckowiak P.: Kształtowanie uzębienia stożkowej przekładni spiroidalnej narzędziem jednoostrzowym. Zesz.

Nauk. Pol. Rzesz. „Mechanika” z.69. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2006, s. 35-43.

3. Frąckowiak P.: Kształtowanie uzębień czołowych na obrabiarkach sterowanych numerycznie narzędziem jednoostrzowym. Praca doktorska niepublikowana. Politechnika Poznańska 2002.

4. Frąckowiak P.: Kształtowanie stożkowego uzębienia przekładni spiroidalnej o ewolwentowej linii zębów na frezarce CNC. „Inżynieria Maszyn OBRABIARKI MODELOWANIE I SYMULACJA” AWR FSNT NOT Wro- cław 2005, nr 4, s. 83-91.

5. Frąckowiak P.: Modelowanie procesu technologicznego kształtowania uzębień stożkowej przekładni spiroidalnej.

„Modelowanie Inżynierskie” 2010, nr 40, t. 9, s. 61-69.

6. Frąckowiak P.: Nowa metoda kształtowania uzębień stożkowych przekładni spiroidalnych narzędziem jednoostrzowym na frezarce CNC oraz ich badania. Sprawozdanie z projektu badawczego 2013.

7. Grajdek R.: Uzębienia czołowe: podstawy teoretyczne kształtowania i nowe zastosowania. Poznań: Wyd. Pol.

Pozn., 2000.

8. Litwin F.L.: Development of gear technology and theory of gearing. NASA RP-1406, Chicago 1997.

9. Litwin F.L.: Gear geometry and applied theory. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1994.

10. Litwin F.L, A. Nava, Q. Fan, A. Fuentes.: New geometry of worm gear drives with conical and cylindrical worm: generation, simulation of meshing, and stress analysis. “Comput. Methods Appl. Mech. Engrg”2002, 191, p. 3035-3054.

11. Maros D. , Kiliman V. si Rohonyi V.: Angrenaje melcate. Bucuresti: Editure Tehnica, 1966.

12. Nelson W. D.: Spiroid gearing. P. 1, 2, 3. In: Machine Design,1961, Vol. 33, No. 4, p. 136-144.