Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki

(1)

Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki

dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer

mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek

21 lutego 2014

(2)

1 MODEL KLASYCZNY PRAWDOPODOBIEŃSTWA

1 Model klasyczny prawdopodobieństwa

Zadanie 1. Losowo ustawiamy w szereg klocki z literami MMAAATTYKE.

Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy następujący ciąg liter MATEMATYKA.

Zadanie 2. Losowo ustawiamy w szereg klocki z literami AAOYINMFTKR.

Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy następujący ciąg liter INFORMATYKA.

Zadanie 3. 2 chłopców i 3 dziewczynki ustawiamy w szereg. Opisać prze- strzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że:

a) chłopcy zawsze stoją obok siebie, b) chłopcy i dziewczynki stoją na zmianę.

Zadanie 4. Cyfry 0,1,2,. . . ,9 ustawiamy losowo w ciąg. Opisać przestrzeń zda- rzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że:

a) między cyframi 0 i 9 stoją dokładnie 4 cyfry, b) 4,5,6,7 będą zawsze stały obok siebie.

Zadanie 5. Przy okrągłym stole usiadło 10 kobiet i 10 mężczyzn. Opisać prze- strzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby tej samem płci nie siedzą obok siebie.

Zadanie 6. Z grupy 25 osób, w której jest 15 kobiet i 10 mężczyzn wybrano:

a) 3 osoby na stanowisko starszego specjalisty,

b) 3 osoby do zarządu firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i wiceprezesa ds. produkcji).

Dla każdego z powyższych przypadków opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych są dokładnie 2 kobiety.

Zadanie 7. W pudełku jest 10 śrubek dobrych i 4 złe. Opisać przestrzeń zda- rzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 6 wybranych śrubek są 4 dobre i 2 złe.

Zadanie 8. Na półce stoją 3 słowniki 2 tomowe: anielsko-polski, angielsko- rosyjski oraz rosyjsko-polski. Jaka jest szansa, że po losowym ustawieniu książek na półce poszczególne tomy słowników będą stały w swoim sąsiedz- twie, nie przedzielone innymi słownikami.

(3)

Zadanie 9. Dziewięciu studentów informatyki A ,B, C, D, E, F, G, H, I należy zakwaterować w 3 pokojach akademika: 2-, 3- i 4-osobowym. Na ile sposobów można ich rozmieścić? Studenci są kwaterowani w takim porządku w jakim przyjeżdzają do akademika, począwszy od pokoju 2-osobowego.

Zadanie 10. Firma produkuje samochody w ilości 5n sztuk dziennie, wśród których n jest czerwonych, 2n jest czarnych, a reszta jest srebrna. Samochody kolejno, w sposób losowy wyjeżdżają z terenu zakładu. Jakie jest prawdo- podobieństwo, że wszystkie samochody jednego koloru wyjeżdżają jeden po drugim?

Zadanie 11. Student umie odpowiedzieć na 20 spośród 25 pytań egzamina- cyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej 3 pytania z 4 wylosowanych na egzaminie.

Zadanie 12. W urnie jest 8 ponumerowanych kul białych i 4 ponumerowa- ne kule czarne. Losujemy 3 kule bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) wśród wylosowanych kul będzie 1 kula czarna, b) wylosowane kule będą miały same parzyste numery.

Zadanie 13. Partia towaru do wysłania składa się ze 100 monitorów, wśród których 2 są wadliwe. Poddajemy kontroli 50 losowo wybranych elementów.

Partię przyjmujemy do wysyłki, jeżeli wśród kontrolowanych elementów jest nie więcej niż 1 wadliwy monitor. Obliczyć prawdopodobieństwo, że partia monitorów zostanie przyjęta.

Zadanie 14. Ze schroniska na szczyt prowadzą 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam wycieczkę na szczyt i z powrotem wybieram szlaki losowo.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że będę wchodzić i schodzić tym samym szlakiem?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że będę wchodzić i schodzić zielonym szlakiem?

Zadanie 15. Rzucamy 2 razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo:

a) wyrzucenia dwukrotnie tego samego?

b) wyrzucenia w sumie 10 oczek?

c) wyrzucenia w sumie 9 oczek?

d) wyrzucenia w sumie parzystej liczby oczek?

(4)

Zadanie 16. Autobus zatrzymuje się na 10 przystankach. W autobusie jest 8 pasażerów, z których każdy musi wysiąść na jednym przystanku. Opisz prze- strzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) każdy spośród 8 pasażerów wysiądzie na innym przystanku, b) wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku, c) wszyscy pasażerowie wysiądą na pierwszych 3 przystankach.

Zadanie 17. W turnieju szachowym wystartowało 12 zawodników. Każdy z każdym rozgrywa 2 partie: mecz oraz rewanż. Ile partii zostanie rozegranych w całym turnieju?

Zadanie 18. 6 osób wsiada do windy na parterze 10-cio piętrowego budynku.

Przyjmując, że osoby te wysiadają losowo na poszczególnych piętrach, obli- czyć prawdopodobieństwo, że wszyscy wysiądą na różnych piętrach.

Zadanie 19. Ze zbioru liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy bez zwracania dwie liczby. Obliczyć prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Zadanie 20. Ze zbioru {1, 3, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem 4 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dwukrotnie wylosowaliśmy liczbę parzy- stą.

Zadanie 21. Rzucamy jednocześnie czterościenną kostką do gry z oczkami 1, 2, 4 i 6 oraz sześcienną kostką do gry, na której ściankach są następujące ilości oczek: 1, 1, 2, 3, 4, 6. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek na obu kostkach jest większa od 9.

Zadanie 22. Do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiadło 20 osób. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdym piętrze wysiądzie dokładnie 5 osób.

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszym piętrze nikt nie wysią- dzie.

Zadanie 23. Spośród liczb {1, 2, , ..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które oznaczamy x i y. Ile jest możliwości wylosowania takiej pary liczb (x,y), dla której:

a) x jest podzielne przez 23, a y nie jest podzielne przez 23?

b) xy jest podzielne przez 23?

(5)

Zadanie 24. Z elementów zbioru {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno ze zwraca- niem trzy: a,b,c. Ile mamy możliwości wylosowania takiej trójki, aby utwo- rzyła ona:

a) ciąg arytmetyczny niemalejący?

b) ciąg arytmetyczny?

c) ciąg geometryczny?

Zadanie 25. Ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno 4 cyfry bez zwracania, a następnie zapisujemy je w kolejności losowania tworząc liczbę 4 cyfrową. Ile można otrzymać w ten sposób:

a) dowolnych liczb?

b) liczb podzielnych przez 25?

Zadanie 26. 20 identycznych koszulek układamy na 3 półkach.

a) Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że druga półka pozostanie wolna, b) Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdej z półek znajdzie się przynajmniej jedna koszulka.

Zadanie 27. Dzielimy 16 ciastek między 4 osoby. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) każda osoba dostała po 4 ciastka?

b) każda osoba dostała przynajmniej 3 ciastka?

Zadanie 28. Z liczb 1 – 1001 wylosowano 2 (mogą się powtarzać). Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych i oblicz prawdopodobieństwo, że ich suma jest podzielna przez 3.

Zadanie 29. Z talii brydżowej zawierającej 52 karty losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie będą jednego koloru.

Zadanie 30. Z talii brydżowej zawierającej 52 karty losujemy 4 karty. Ob- licz prawdopodobieństwo, że są wśród nich przynajmniej 2 damy.

Zadanie 31. Z talii brydżowej zawierającej 52 karty losujemy 6 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są wśród nich karty wszystkich kolorów.

Zadanie 32. Mamy 5 biletów po 1 zł, trzy bilety po 3 zł oraz 2 bilety po 5 zł. Wybieramy jednocześnie trzy bilety. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) przynajmniej 2 z nich mają jednakową wartość, b) wszystkie 3 bilety mają łączną wartość 7 zł.

(6)

2 PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE

Zadanie 33. W urnie jest 5 ponumerowanych kul zielonych, 10 ponumerowanych kul niebieskich i 2 czerwone. Losowaliśmy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) wylosowaliśmy kule w 3 kolorach, b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze.

Zadanie 34. Używając różnych liczb ze zbioru {3, 4, 5, 7, 9} utworzono liczbę trzycyfrową. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz oblicz prawdopo- dobieństwo, że:

a) jedną z cyfr jest 7, b) jest to liczba parzysta.

Zadanie 35. Rzucamy 3 razy zwykłą kostką do gry. Oblicz prawdopodobień- stwo, że suma kwadratów wyników w poszczególnych rzutach jest podzielna przez 3.

Zadanie 36. Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 2n + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby ta- kie, że:

a) ich różnica będzie liczbą parzystą,

b) suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?

2 Prawdopodobieństwo geometryczne

Zadanie 1. Z odcinka [-2,3] losujemy liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) wylosowana liczba będzie dodatnia,

b) kwadrat wylosowanej liczby będzie mniejszy od 1, c) kwadrat wylosowanej liczby będzie większy od 2, d) będzie to liczba wymierna.

Zadanie 2. Z odcinka [-1,3] losujemy 2 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) ich suma jest liczbą dodatnią, b) ich suma jest liczbą wymierną, c) ich maksimum jest mniejsze od 1, d) jedna z nich jest liczbą wymierną, e) obie są liczbami niewymiernymi.

(7)

2 PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE

Zadanie 3. Z odcinka [0,5] losujemy 3 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) ich minimum jest większe od 2, b) ich maksimum jest większe od 3, c) jedna z nich jest liczbą naturalną.

Zadanie 4. Z odcinka (0,2) wybrano losowo punkt x. Obliczyć prawdopo- dobieństwo:

a) P (max{x, 1} < a), b) P (min{x, 1} < a).

Zadanie 5. Paradoks Bertranda. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę AB. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że tak skonstruowana cięciwa będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpi- sanego w to koło. Rozważyć następujące 3 przypadki:

a) Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wybór kąta środkowego α, opar- tego na cięciwie AB,

b) Za zdarzenie elementarne przyjmujemy odległość środka skonstruowanej cięciwy AB od środka okręgu,

c) Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wybór dowolnego punktu wewnątrz naszego koła.

Czy mogą istnieć inne rozwiązania tego zadania ? Dlaczego rozwiązanie zadania nie jest jednoznaczne?

Zadanie 6. Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z tych 3 odcinków zbudo- wać trójkąt?

Zadanie 7. Na okręgu o promieniu 1 ustalamy 1 punkt i losujemy 2 inne, następnie łączymy punkty tworząc trójkąt. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:

a) jest to trójkąt ostrokątny, b) jest to trójkąt prostokątny, c) jest to trójkąt rozwartokątny.

Zadanie 8. Na stół o kształcie koła i promieniu 60 cm rzucono monetę o promieniu 1 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie dotknęła brzegu stołu?

Zadanie 9. Zadanie Bufona o igle. Igłę o długości l rzucono na podło-

(8)

3 PRAWDOPODOBIEŃSTWO - INNE MODELE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE gę z desek o szerokości a (l ¬ a). Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski?

Zadanie 10. Z odcinka [−1, 2] losujemy kolejno 2 liczby. Oblicz prawdopo- dobieństwo zdarzenia A: A = {(x, y) ∈ Ω² : x + y > 0}.

3 Prawdopodobieństwo - inne modele. Nieza- leżność zdarzeń. Prawdopodobieństwo wa- runkowe

Zadanie 1. Niech A, B, C będą trzema zdarzeniami (zbiorami). Zapisz sym- bolami następujące zdarzenia:

a) zachodzi przynajmniej jedno z tych zdarzeń, b) nie zachodzi żadne z tych zdarzeń,

c) zachodzi dokładnie jedno z tych zdarzeń, d) zachodzi tylko zdarzenie A,

e) zachodzą dwa spośród tych zdarzeń.

Zadanie 2. Rzucam 3 razy monetą dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest 2 razy większe niż orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 orłów.

Zadanie 3. Rzucam kostką do gry, która ma 1 ściankę z 1 oczkiem, 2 ścianki z 2 oczkami oraz 3 ścianki z 3 oczkami. Łącznie rzucam tyle razy, ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie wyrzucimy 4 oczka?

Zadanie 4. Trzy osoby A, B, C oddały kolejno po jednym strzale do tarczy.

Prawdopodobieństwa trafienia wynoszą dla nich odpowiednio a, b, c ∈ [0, 1].

Zbuduj model probabilistyczny tego doświadczenia losowego. Kiedy będzie to model klasyczny? Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa strzały były celne?

Zadanie 5. Rzucam sześcienną kostką do gry a następnie symetryczną monetą tyle razy, ile wypadło oczek na kostce. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia:

a) dokładnie 5 orłów,

(9)

3 PRAWDOPODOBIEŃSTWO - INNE MODELE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE

b) przynajmniej 1 reszki.

Zadanie 6. Do urny wkładam 15 kul zielonych, 4 niebieskie oraz 2 białe.

Z urny losuję kolejno 3 kule bez zwracania. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda z wylosowanych kul będzie w innym kolorze.

Zadanie 7. Rzucam symetryczną kostką do gry do momentu wyrzucenia 6- tki. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) rzucaliśmy parzystą ilość razy, b) rzucaliśmy mniej niż 5 razy.

Zadanie 8. Rzucam symetryczną monetą do momentu wyrzucenia 2 razy pod rząd tej samej strony monety. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Ob- licz prawdopodobieństwo, że rzucaliśmy nieparzystą ilość razy.

Zadanie 9. Dwóch graczy A i B rzuca na zmianę symetryczną monetą. Wy- grywa ten z nich, który jako pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z tych graczy.

Zadanie 10. Trzech graczy A, B, C rzuca na zmianę symetryczną monetą.

Wygrywa ten z nich, który jako pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z graczy.

Zadanie 11. Z odcinka (-1,4) losujemy 2 liczby. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu 2 liczb dodatnich, B zdarzeniem polegającym na tym, że druga z wylosowanych liczb jest ujemna, C zdarzeniem polegają- cym na tym, że pierwsza z wylosowanych liczb jest dodatnia.

a) Zbadaj niezależność zdarzeń A i B, b) Zbadaj niezależność zdarzeń Ci B, c) Oblicz P (A \ C),

d) Oblicz P (B \ C).

Zadanie 12. Rzucam 2 razy sześcienną kostką do gry. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu szóstki w pierwszym rzucie. Niech B będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu 1 lub 2 w drugim rzucie, zaś C będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj niezależność:

(10)

a) zdarzeń A i B, b) zdarzeń A i C,

c) zdarzeń A, B, C razem.

Zadanie 13. Kontroler sprawdza partię zawierającą m wyrobów I gatunku i n wyrobów II gatunku. Po sprawdzeniu pierwszych b < n wybranych losowo wyrobów okazało się, że wszystkie z nich są II gatunku. Wybieramy losowo 2 spośród niesprawdzonych jeszcze wyrobów. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej 1 z nich jest II gatunku.

Zadanie 14. Rzucamy 3-ma sześciennymi kostkami do gry. Jakie jest praw- dopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła 6, pod warunkiem, że na każdej kostce jest inny wynik?

Zadanie 15. Mamy trzy krążki. Jeden krążek z 2 stron jest biały, drugi ma obie strony czarne a trzeci jedną stronę czarną a drugą białą. Rzucamy losowo wybranym krążkiem i na wierzchu wypadła biała strona. Oblicz prawdopo- dobieństwo, że po drugiej stronie krążka jest kolor czarny.

Zadanie 16. Ania i Robert umówili się w pubie między 18.00 a 19.00. Ja- kie jest prawdopodobieństwo, że Ania przyjdzie przed Robertem, jeżeli Ania przyjdzie po 18.30?

Zadanie 17*. Trzej więźniowie A, B, C czekają na egzekucję w więzieniu.

Przed wyborami prezydent postanowił ułaskawić jednego z nich. Wiadomość ta dotarła do więźniów. Więzień A postanowił podpytać strażnika, który z nich zostanie uwolniony. Strażnik nie chcąc stracić pracy powiedział, że tego mu nie może powiedzieć, ale może mu zdradzić, że więzień C zostanie stracony. Więzień A ucieszył się, że jego szanse wzrosły do 1

2. Czy miał rację?

Zadanie 18. W czasie gry w brydża widzimy, że nie dostaliśmy ani jednego asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nasz partner też nie dostał żadnego asa?

Zadanie 19. W urnie znajdują się 3 kule białe i 7 czarnych. Losujemy z urny 10 razy ze zwrotem. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) wylosujemy 10 kul czarnych, b) wylosujemy 4 kule czarne,

c) wylosujemy co najmniej 2 kule czarne.

(11)

Zadanie 20. Myśliwy trafia do dzika z prawdopodobieństwem p = 1

5. Ile razy powinien strzelić do dzika, aby z prawdopodobieństwem większym niż 1 trafił dzika przynajmniej raz. 2

Zadanie 21. Losujemy ze zwrotem z urny zawierającej 2 kule białe i 4 czarne.

Ile razy powinniśmy losować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 3 trafić czarną kulę przynajmniej raz. 5

Zadanie 22. Rzucamy 10 razy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdo- podobieństwo, że w ostatnim rzucie wypadnie 3, jeśli wiadomo, że:

a) otrzymano 4 trójki,

b) w pierwszych 9 rzutach wypadły same trójki.

Zadanie 23. Zadanie Banacha o zapałkach*. Pewien matematyk nosi w kieszeni (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa na to, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko to w drugim będzie k zapałek?

(k = 1, 2, 3, ..., m gdzie m jest liczbą zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że początkowo matematyk ma 2 pełne pudełka.)

Zadanie 24. Rzucamy sześcienną kostką a następnie symetryczną monetą tyle razy, ile wypadło oczek na kostce. Oblicz prawdopodobieństwo:

a) wyrzucenia 3 orłów,

b) wyrzucenia 6 oczek, jeśli wypadły 3 orły,

c) wyrzucenia 6 oczek, jeśli nie wypadł ani jeden orzeł.

Zadanie 25. Z jednej urny, zawierającej 4 kule białe, 3 zielone i 3 niebieskie, przekładamy 2 losowo wybrane kule do urny drugiej, zawierającej 8 kul białych. Następnie z drugiej urny losujemy 1 kulę. Oblicz prawdopodobień- stwo, że:

a) wylosowana kula jest biała,

b) przełożyliśmy 2 kule białe, jeśli wylosowana kula okazała się biała.

Zadanie 26. W urnie znajduje się k losów wygrywających, n losów przegrywa- jących i m losów ”losuj dalej”. Po wylosowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, oblicz praw- dopodobieństwo wygranej dla k = 100 i n = 200.

Zadanie 27. Dwaj gracze A i B rzucają na zmianę kostką symetryczną. Wy-

(12)

4 WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

grywa ten z nich, który jako pierwszy wyrzuci 6. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, oblicz prawdopodobieństwo wygranej dla każ- dego z graczy.

Zadanie 28. Student zna odpowiedź średnio na co trzecie pytanie. Prawdo- podobieństwo zdania egzaminu przy k poprawnych odpowiedziach wynosi 1 −

4 5

k

. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu, na którym student dostaje 5 pytań?

Zadanie 29. Fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje 200 000 samochodów a pozostałe 1 300 000 samochodów pochodzi z importu. 10% samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko 5% pochodzących z importu to samochody niebieskie.

Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski,

b) losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A, jeśli oka- zał się niebieski.

Zadanie 30. Armata strzela do celu i trafia z prawdopodobieństwem 1

5. Praw- dopodobieństwo zniszczenia celu przy k trafieniach wynosi 1 −

1 2

k

. Oblicz prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy 10 strzałach.

4 Własności prawdopodobieństwa

Zadanie 1. Udowodnij, że P (A ∩ B) P (A) + P (B) − 1.

Zadanie 2. Dane są następujące wartości: P (A) = 1

4, P (B) = 3

4, A ∩ B = ∅.

Uporządkować rosnąco P (A ∪ B), P (A ∪ B⁰), P (A⁰∪ B).

Zadanie 3. Dane są P (A ∪ B) = 1

2 i P (A ∩ B) = 1

4, P (A\B) = P (B\A).

Oblicz P (A) i P (A\B).

Zadanie 4. P (A) = P (B) = 1. Wykaż, że P (A ∩ B) = 1.

Zadanie 5. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Niech ponadto: P (A) = 1 ,

(13)

5 ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA

P (B) = 1

5, P (C) = 2

5, P (A ∩ C) = 1

5, P (B ∩ C) = 1

10, P (A ∩ B) = 1 10, A ∩ B ∩ C = ∅. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C, b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C, c) zachodzą przynajmniej dwa ze zdarzeń A, B, C, d) nie zachodzi żadne z tych zdarzeń A, B, C.

Zadanie 6. Mając dane zdarzenia niezależne A i B o prawdopodobieństwach:

P (A) = 2

5 oraz P (B) = 3

5, znajdź:

a) P (A \ B) b) P (A ∪ B) c) P (A⁰∪ B).

Zadanie 7. Niech A, B, C będą zdarzeniami i niech P (A) = 2

5, P (B) = 1 2, P (C) = 1

10. Niech ponadto zdarzenia A i B są niezależne, a A i C są roz- łączne, P (B ∩ C) = 1

10. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C, b) nie zachodzi żadne ze zdarzeń A, B, C.

Zadanie 8. Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezależne samo od siebie.

Zadanie 9. W szafce jest 10 par kaloszy w 10 różnych kolorach i tym samym rozmiarze. Człowiek nie rozróżniający kolorów dzieli kalosze na pary:

lewy z prawym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna z tak ułożonych par kaloszy nie będzie jednokolorowa?

Zadanie 10. Na zabawie jest n par małżeńskich. W sposób losowy kobiety losują mężczyzn do tańca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie tańczy ze swoją żoną?

5 Zmienna losowa dyskretna

Zadanie 1. Rzucamy 2 razy sześcienną kostką do gry. Niech zmienna losowa X oznacza sumę oczek w obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Oblicz następujące prawdopodobieństwa:

(14)

5 ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA

a) P (0 ¬ X ¬ 10), b) P (X > 5),

c) P (X ∈ (5, 8] \ X ¬ 7).

Zadanie 2. Rzucamy kostką, jeśli wypadnie parzysta liczba oczek wygrywamy 5 zł, jeśli wypadnie liczba oczek podzielna przez 5 wygrywamy 10 zł, w pozostałych przypadkach przegrywamy 7 zł. Znajdź rozkład wygranych.

Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu wygranych.

Zadanie 3. Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X oznacza ilość pół znajdujących się w zasięgu bicia konia. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa:

a) P (X 3),

b) P (X < a), a ∈ R.

Zadanie 4. Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem p = 1 4. Niech zmienna X oznacza ilość strzałów poprzedzających trafienie w tarczę.

Znajdź rozkład zmiennej X. Oblicz E(X) i D²(X).

Zadanie 5. W urnie znajduje się 10 kulek zielonych i 5 białych. Z urny lo- sujemy 4 kule. Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych.

Znajdź rozkład zmiennej X. Oblicz E(X) i D²(X).

Zadanie 6. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = 3X − 4, dla zmiennej loso- wej X z poprzedniego zadania.

Zadanie 7. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję ilości asów w zbiorze 3 losowo wybranych kart spośród wszystkich figur w talii 52 kart.

Zadanie 8. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X², dla X o rozkładzie

danym tabelą: X -1 0 1 2

PX 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25

Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych X i Y .

Zadanie 9. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 3X − 4, dla zmiennej X z poprzedniego zadania.

Zadanie 10. Niech P (k) = c

1 3

k

, dla k = 1, 2, , ... . Dla jakiego c jest to rozkład pewnej zmiennej losowej.

(15)

6 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA

Zadanie 11. Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 zł, jeśli wypadnie 6-tka oraz przegrywa s zł, jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest sprawiedliwa?

Zadanie 12. Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia 1 po raz drugi. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką.

Zadanie 13. Z talii 52 kart wybieramy 16 kart w następujący sposób: 2 damy w dowolnym kolorze, 3 walety w dowolnym kolorze, 4 czwórki w dowolnym kolorze, 1 asa w dowolnym kolorze, 4 ósemki w dowolnym kolorze oraz 2 piąt- ki w dowolnym kolorze. Z tak utworzonego zbioru losujemy 3 karty. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję ilości czwórek wśród kart wylosowanych z tak utworzonego zbioru.

6 Zmienna losowa ciągła

Zadanie 1. Z odcinka [−3, 5] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:

a) wybraną liczbą,

b) odległością wybranej liczby od 5, c) odległością wybranej liczby od 0, d) kwadratem wybranej liczby, e) całością z wybranej liczby.

W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gę- stość rozkładu tej zmiennej (o ile istnieje).

Zadanie 2. Z odcinka [−2, 1] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:

a) wybraną liczbą,

b) odległością wybranej liczby od 0,

c) kwadratem wybranej liczby pomniejszonym o 2, d) maksimum z wybranej liczby i liczby 1,

e) minimum z wybranej liczby i liczby 1.

W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gę- stość rozkładu tej zmiennej (o ile istnieje).

Zadanie 3. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−2, 2]. Wyprowadź wzory na wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu zmien- nej losowej X i na ich podstawie znajdź wartość oczekiwaną i wariancję roz-

(16)

6 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA

kładu zmiennej losowej Y = 4X − 1.

Zadanie 4. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−2, 2]. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu zmiennej losowej Y = 2X + 3. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej i wariancji.

Zadanie 5. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−2, 2]. Znajdź wartość oczekiwaną rozkładu zmiennej losowej Y = X². Sko- rzystaj z własności wartości oczekiwanej.

Zadanie 6. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2].

Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = 2X + 3.

Zadanie 7. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−2, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = |X|.

Zadanie 8. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−1, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = −X.

Zadanie 9. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−1, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X².

Zadanie 10. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parame- trem λ = 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = |X|.

Zadanie 11. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parame- trem λ = 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = −2X + 3.

Zadanie 12. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parame- trem λ = 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X + 3.

(17)

7 BIBLIOGRAFIA

7 Bibliografia

1. Jakubowski J., Sztencel R. ”Wtęp do teorii prawdopodobieństwa”, Script,Warszawa 2001.

2. Jakubowski J., Sztencel R. ”Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego ”, Script, Warszawa 2006.

3. Krysicki W. Bartos J. ”Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka mate- matyczna w zadaniach”, PWN, Warszawa 1995.

4. Szlenk W. ”Rachunek prawdopodobieństwa”, WSiP, Warszawa 1998.