Na podstawie wzoru na sum¦ szeregu geometrycznego zapisa¢ zwarty wzór funkcji, któr¡ mo»na zapisa¢ w postaci takiego szeregu

Analiza - zestaw 18 Aproksymacja Taylora

Zadanie 1. Na podstawie wzoru na sum¦ szeregu geometrycznego zapisa¢ zwarty wzór funkcji, któr¡ mo»na zapisa¢ w postaci takiego szeregu.

a) P^∞_n=15ⁿxⁿ, b) P_n=1^∞ x³ⁿ, c) P^∞_{n=1 x}¹ⁿ.

Zadanie 2. Nie korzystaj¡c ze wzoru Taylora, zapisa¢ w postaci szeregu pot¦gowego funkcje (korzystamy ze wzoru na sum¦ szeregu geometrycznego oraz wzorów na rozwi- ni¦cie w szereg Maclaurina funkcji sin x, cos x i e^x) :

a) f(x) = _1−x¹⁵, b) f(x) = _1+x¹², c) f(x) = sin x − x cos x, d) f(x) = e^−x2, e) f(x) = ^x+3_x+2 f) f(x) = ^4x_x²²₋₁⁻³.

Zadanie 3. Zapisa¢ wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a dla funkcji f w punkcie x0 z reszt¡

rz¦du n. Korzystaj¡c z tego wzoru, obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ funkcji w punkcie x1

(je±li jest podany):

a) f(x) = _x−1^x , x₀ = 0, n = 4, x₁ = 0, 02 b) f(x) =√

x, x₀ = 1, n = 3, x₁ = 0, 99, c) f(x) = ¹_x, x₀ = 2, n = 3, x₁ = 2, 01, d) f(x) = ln x, x0 = e, n = 4,

e) f(x) = 2^x+2, x₀ = −2, n = 4, f) f(x) = _{cos x}¹ , x₀ = 0, n = 6, g) f(x) = ^−5x_2x³⁴_−3x+1^−7x2+1, x₀ = 0, n = 6, h) f(x) = tg²x, x₀ = 0, n = 6,

i) f(x) = e^√x, x₀ = 1, n = 4, x₁ = 1, 04, j) f(x) = ln²x, x₀ = 1, n = 4, x₁ = 0, 98. Zadanie 4. Rozwin¡¢ w szereg Maclaurina funkcje:

a) f(x) = _3−x^x , b) f(x) = ln(1 + x), c) f(x) = ¹₂(e^x− e^−x), d) f(x) = e^−xsin x, e) f(x) = √

1 + x, f) f(x) = arctg x.

Zadanie 5. Obliczy¢ otwarte przedziaªy zbie»no±ci szeregów i znale¹¢ ich sumy (czyli

zwarte postaci) za pomoc¡ twierdze« o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦go- wych:

a) Σ^∞n=1 (n + 1)xⁿ, b) Σ^∞n=1 (3n + 1)xⁿ, c) Σ^∞n=1

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1 , d) Σ^∞n=1 (−1)ⁿ(2n + 1)x²ⁿ, e) Σ^∞n=1 3ⁿxⁿ

n−1, f) Σ^∞n=1

(n+3)xⁿ

4ⁿ , g) Σ^∞n=1 2ⁿ(n + 1)xⁿ , h) Σ^∞n=1 xⁿ (n+3)(n+2). Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski

1