Zbadaj zbieżność szeregu (a

Ćwiczenia nr 7, AM I, 122.11.2019 Szeregi I

Zadanie 1. Oblicz sumy szeregów:

(a) ^P∞_{n=1 n(n+1)}¹ , (b) ^P∞_{n=1 n}2¹−1,

(c) ^P∞_n=2ln^1 −_n¹2

, (d) ^P∞_n=1 ²₃ⁿ⁻¹n+2,

(e) ^P∞_n=1 ²ⁿ₅^{cos nπ}n−1 ,

(f) ^P∞_n=1n(n − 1)qⁿ, |q| < 1, (g) ^P∞_n=1^√

n + 2 − 2√

n + 1 +√ n^, (h) ^P∞_n=1 (^{2n−1+sinnπ}2 )²

5ⁿ⁻¹ , (i) ^P∞_{n=1 (n+1)!}ⁿ ,

(j) ^P∞_{n=1 4n}ⁿ4+1. Zadanie 2. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n

n

X

k=1

1 (k + 1)√

k < 2.

Zadanie 3. Zbadaj zbieżność szeregu (a) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . ., (b) 0, 001 +√

0, 001 +√³

0, 001 + . . ., (c) 1 + ₂¹2 + ₃¹2 +₄¹2 + . . .,

(d) ₁₀₃¹ + ₂₀₃¹ + ₃₀₃¹ + . . . +_100n+3¹ + . . . Zadanie 4. Zbadaj zbieżność szeregu

(a) ^P∞_n=1 ³ⁿ₅⁻²nⁿ, (b) ^P∞_{n=1 n}¹2,

(c) ^P∞_{n=1 n}3¹+1, (d) ^P∞_{n=1 n}^n!n,

(e) ^P∞_n=1q¹n, q > 0.

(f) ^P∞_n=1n3¹+1,

(g) ^P∞_n=1^0, 99 + ¹_n^n, (h) ^P∞_n=1n10(4+(−1)^{6n n})ⁿ,

(i) ^P∞_n=1n10(5+(−1)^{6n n})ⁿ, (j) ^P∞_n=1n10(7+(−1)^{6n n})ⁿ, (k) ^P∞_n=1ⁿ⁺¹_n2 ,

(l) ^P∞_n=1ⁿ_n²4⁺²ⁿ⁻¹³−7n+1 .

Zadanie 5. Przypuśćmy, że szeregi ^P∞_n=1an i^P∞_n=1bn są zbieżne oraz an, bn> 0. Czy wówczas następujące szeregi muszą być zbieżne:

(a) ^P∞_n=1max{a_n, b_n}, (b) ^P∞_n=1a_n+ b²_n, (c) ^P∞_n=1

√an

n . Zadanie 6. Sprawdź zbieżność szeregów:

(a) ^P∞_n=1a_n, gdzie an = _n¹, jeśli n = m² dla pewnej liczby całkowitej m i an = _n¹2 w przeciwnym przypadku;

(b) ^P∞_n=2^n−1_n+1^n(n−1), (c) √

2 +

q

2 −√ 2 +

r

2 −

q

2 +√ 2 +

s

2 −

r

2 +

q

2 +√ 2 + . . . Zadanie 7. Dla jakich α ∈ R zbieżny jest szereg ^P∞n=1an, jeśli szeregów:

(a) an= (√ⁿ

3 − 1)^α, (b) a_n= (√ⁿ

n − 1)^α,

(c) an= _nα¹ln n, (d) a_n =^{ln n}_n ^α.

Zadanie 8. Wypisać pierwszych sześć wyrazów szeregu. Zbadać jego zbieżność i zbieżność bezwzględną:

(a) ^P∞_n=1 ^(−1)n+1

√n 2n+1 , (b) ^P∞_n=1 ^(−1)n+1

√n 2n−1 , (c) ^P∞_{n=1 n+(−1)}^(−1)n+1n+1, (d) ^P∞_n=1 ^√_n+(−1)^(−1)n+1n+1,

(e) ^P∞_n=1 ¹_nsin^(2n+1)π₄ , (f) ^P∞_{n=1 n}2⁽⁻¹⁾+(−1)ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹,

(g) ^P∞_{n=1 3(n+1)}^{1 }1 − 2 cos^2π(n+1)₃ − 2 cos^4π(n+1)₃ ^. Zadanie 9. Wykazać, że szereg

∞

X

n=1

2 · (−1)ⁿ⁻¹

n (1 + cos(nπ)) + n²(1 + cos(n + 1)π) jest rozbieżny.

2