DRGANIA WàASNE PàYTY PERIODYCZNIE ZBROJONEJ W DWÓCH KIERUNKACH

(1)

Acta Sci. Pol. Architectura 14 (1) 2015, 3–13

DRGANIA WàASNE PàYTY PERIODYCZNIE ZBROJONEJ W DWÓCH KIERUNKACH

Katarzyna Jeleniewicz

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Przedmiotem pracy są páyty sprĊĪyste, periodycznie wzmocnione prĊtami w dwu kierunkach. Dla takich ciaá za pomocą metody parametrów mikrolokalnych stworzono model uĞredniony, charakteryzujący siĊ równaniami o staáych, ciągáych wspóáczyn- nikach. Stworzony model zostaá wykorzystany w analizie zagadnieĔ dynamicznych páyt.

W pracy opisano wpáyw wzmocnieĔ na wielkoĞü ugiĊcia oraz postaü drgaĔ wáasnych badanej páyty.

Sáowa kluczowe: oĞrodki periodyczne, homogenizacja nieasymptotyczna, drgania páyt zbrojonych

WSTĉP

RozwaĪane w pracy ciaáa materialne są páytami niejednorodnymi. Páyty są trójwy- miarowymi obiektami materialnymi i w przypadku gdy są sprĊĪyste, mogą byü opisane i badane na gruncie teorii sprĊĪystoĞci. Rozwiązywanie zagadnieĔ początkowo-brzegowych w ramach tej teorii jest jednak na ogóá skomplikowane i dlatego poszukuje siĊ teorii prostszych, w przypadku páyt – teorii dwuwymiarowych, zwanych teĪ powierzchniowy- mi [Nagórko 1989].

W pracy, stosując metodĊ parametrów mikrolokalnych, stworzono pewien model al- ternatywny. Model ten skonstruowano tak, by w równaniach modelowych nie wystĊpo- waáy wspóáczynniki nieciągáe, lecz wspóáczynniki staáe. NastĊpnie przeprowadzono ana- lizĊ wpáywu nasycenia páyty zbrojeniem na wielkoĞü ugiĊcia oraz postaü drgaĔ wáasnych rozpatrywanej páyty.

Adres do korespondencji: Katarzyna Jeleniewicz, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej,

ul. Nowoursynowska 159, 02-787 Warszawa, e-mail: katarzynajeleniewicz@gmail.com

(2)

PROCEDURA MODELOWANIA PàYT

Niech kon¿ guracją odniesienia rozpatrywanej páyty bĊdzie obszar , 2 2

§ h h· : 3 u ¨© ¸¹, gdzie h > 0 oraz 3 (0, ) (0,L₁ u L₂)R². BĊdziemy zakáadaü, Īe h << min(L1,L2). Ukáad wspóárzĊdnych kartezjaĔskich przyjmiemy tak, Īe: , 1, 2, ₃ ,

2 2 x_D 3 D x ^§¨ h h^·¸

ZaáoĪymy, Īe páyta jest niejednorodna periodycznie oraz Īe elementem powtarzają- cym siĊ – komórką periodycznoĞci – jest prostokąt o wymiarach l₁, l₂, który oznaczymy przez ¨ (rys. 1).

Przyjmiemy, Īe kaĪda komórka periodycznoĞci ¨ skáadaü siĊ bĊdzie z czterech ele- mentów ¨_ab, a, b = 1, 2.

Modelowanie rozwaĪanych páyt przebiegaü bĊdzie w dwóch etapach. W pierwszym etapie dokonamy uĞrednienia gĊstoĞci masy i moduáów sztywnoĞci páyty w kaĪdym ele- mencie ¨_ab, a, b = 1, 2, tak Īe otrzymane nowe funkcje okreĞlone są nastĊpująco:

1 2

1 2 ( , )

1 2 ( , ,)

( , )

ab

ab x x

x x

B_DEJG B_DEJG x x B_DEJG

U U _' U

'

(1)

Po tym zabiegu przyjmiemy, Īe kaĪdy element ¨_ab komórki periodycznoĞci jest jed- norodny.

W drugim etapie konstrukcji modelu rozpatrywanych páyt zastosujemy metodĊ para- metrów mikrolokalnych.

Zde¿ niujmy moduáy sztywnoĞci:

2 33 33 2

3 3 3333

2 h

h

C C

B C x dx

C

DE JG

DEJG DEJG

§ ·

¨ ¸

© ¹

³

⁽²⁾

gdzie: CĮȕȖį, CĮȕ33, C₃₃₃₃, Į, ȕ, Ȗ, į = 1, 2 są funkcjami materiaáowymi.

Rys. 1. Páyta periodycznie wzmocniona prĊtami w dwóch kierunkach Fig. 1. The plate reinforced periodically in two directions

(3)

Przyjmujemy dla ǻ_ab,a, b= 1, 2:

1 2

1 2 1 2

33 33 3333 3333 ( , )

( , ) , , ( , )

ab ab ab

x x x x x x

C_DEJG C_DEJG C_DE C_DE C C _'

' '

{ { {

Wtedy moduáy sztywnoĞci (2) w elemencie ǻ_ab przyjmują postaü:

3 33 33

12 3333

ab ab

ab

C C

B h C

C

DE JG

DEJG DEJG

§ ·

¨ ¸

© ¹

(3)

We wzorze (3) nie ma sumowania po a, b.

Niech w = w(x₁, x₂, t), (x₁, x₂) 3, t ¢t₀, t₁² bĊdzie ugiĊciem páyty, które zgodnie z metodą wyrazimy przez [WoĨniak 1983, WoĨniak i Wierzbicki 2000, WoĨniak i in. red.

2008]:

1 2 1 2 1 2 1 2

( , , ) ( , , ) ^A( , ) ^A( , , ), 1, 2, 3, ...,

w x x t u x x t h x x v x x t A N (4)

gdzie: u oraz v^A są funkcjami poszukiwanymi i interpretujemy je odpowiednio jako prze- mieszczenia uĞrednione oraz amplitudy À uktuacji, funkcje h^A są znanymi, periodycznymi i oscylującymi wzglĊdem x₁, x₂ funkcjami ksztaátu. O funkcjach ksztaátu zaáoĪymy, Īe są bezwymiarowe i przyjmują wartoĞci rzĊdu wymiaru komórki.

Zde¿ niujmy funkcjonaá:

2

2 1

, ,

2 2

L W U w B_DEJGw_DE w_JG pw (5)

gdzie p jest obciąĪeniem zewnĊtrznym páyty, a Ĳ jest parametrem.

Podstawiając do funkcjonaáu (5) dekompozycjĊ ugiĊcia páyty (4) oraz stosując me- todĊ parametrów mikrolokalnych, otrzymamy nastĊpującą postaü uĞrednioną [WoĨniak 1987]:

2 2

1[ ( ) , , 2 , ,

2

, , ]

A A

A B A B

L u B u u B h u v

B h h v v p u

DEJG DE JG DEJG JG DE

DEJG DE JG

U W

(6)

gdzie: Į, ȕ, Ȗ, į = 1, 2, A = 1, 2, 3, ..., N.

WprowadĨmy oznaczenia:

1 2

1 2 1 2

, , , 1 ,

1 , 1 , ,

ab

ab ab

ab abA A

a b

a b a b

abAB A B abAB A B

l l h d

l l l l

h h d h h d

l l l l

DE DE

DEJG DE JG

K K K K K K

K K

'

' '

'

' '

³³

³³ ³³

⁽⁷⁾

(4)

oraz

0, 0

, ,

, , ,

ab ab A B abAB ab AB

ab ab A abA ab A

A B abAB ab AB A B abAB ab AB

h h

B B B h B

B h h B B h h B

DEJG DEJG DEJG DEJG JG JG DEJG DE

DEJG DE JG DEJG DEJG DEJG DEJG DEJG

U K U U U K U U

K K

{ {

E E

(8)

Równania opisujące dynamikĊ rozpatrywanej páyty przyjmą postaü:

0 , ,

, 0

A A

A AB B

u u v p

u v

DEJG DEJG DE DE DE DE

U

 E E

E E (9)

Niech macierz E^AB bĊdzie macierzą nieosobliwą, wtedy z równania (9)2 moĪna wy- znaczyü À uktuacjĊ v^A:

( ) 1 ,

A AB B

v  E E_{DE DE}u (10)

gdzie (E^AB)^–1 jest macierzą odwrotną do E^AB, A,B = 1, 2, ..., N, Į, ȕ = 1, 2.

Podstawiając równanie (10) do równania (9)1,otrzymamy:

0u _{DEJG DEJG}0 u, p U

 E (11)

gdzie

0 ^A ( ^AB) 1 ^B

DEJG DEJG DE JG

E E E E E (12)

WielkoĞci zde¿ niowane równoĞciami (12) są efektywnymi moduáami sztywnoĞci otrzymanymi w wyniku uĞredniania mikrolokalnego.

Równanie (11) ma postaü analogiczną do znanego równania na ugiĊcie páyty, z tym Īe wystĊpują w nim nie moduáy sztywnoĞci BĮȕȖį (które są funkcjami), lecz efektywne moduáy sztywnoĞci, które są w wyniku uĞredniania staáe [WoĨniak red. 2001, WoĨniak i in. red. 2010].

W przypadku ciaáa izotropowego moduáy sztywnoĞci (2) przyjmą nastĊpującą postaü:

3 ( )2

( )

12 2

ab

ab ab ab

ab ab

B_DEJG h _{DE JG} _{DG EJ} _{DJ EG} O G G^{DE JG}

O G G P G G G G

O P

§ ·

¨ ¸

© ¹

MODELOWANIE I ANALIZA PRZYPADKU SZCZEGÓLNEGO

Rozpatrzmy przypadek páyty periodycznej, której komórką periodycznoĞci jest czte- roskáadnikowy prostokąt o wymiarach ₁₁ ¹

2

l l oraz ₂₁ ² 2

l l (rys. 2).

(5)

DekompozycjĊ ugiĊcia (4) przyjmiemy w postaci:

1 1 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

( , , ) ( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

w x x t u x x t h x v x x h x v x x (13) gdzie funkcja ksztaátu h¹:

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 , 0, ( ) 2

2 , ,

2

c x x l x l

h x l

c x l x l x l

§ ·

° ¨ ¸

° © ¹

®°°¯ ¨§© ·¸¹

(14)

FunkcjĊ h² = h²(x2) de¿ niujemy analogicznie do h¹ = h¹(x1), zastĊpując x1 przez x2, l1 przez l2 oraz c1 przez c1. Staáe c1 i c1 są rzĊdu l₁² i l₂². Funkcje h^A, A = 1, 2 są bezwymiarowe, periodyczne i oscylujące.

WielkoĞci okreĞlone wzorami (8) są równe:

0

, ,

1 1 2 1 1 2

11 1 1111 1111 22 1 2211 2211

2 1 2 2 1 2

11 1 1122 1122 22 1 2222 2222

11 2 22 2

1 1111 1 2222

, ,

12 1 1 1122

1 1

4 , 4

( ), ( )

4 , 4

4

ab ab

a b a b

b b b b

b b

b b b b

b b

ab ab

a b a b

ab

B

c B B c B B

c B c B

c c B

DEJG DEJG

U U

¦ ¦

E

E E

E ²¹ _{1 1} ₂₂₁₁

, ,

, 4 ^ab

a b a b

c c B

¦

^E

¦

(15) Rys. 2. Komórka periodycznoĞci páyty biperiodycznej

Fig. 2. The basic cell of the bi-periodic plate

(6)

Podstawiając wielkoĞci (15) do (9), otrzymamy równania opisujące dynamikĊ páyty:

1 2

0 1 2

1 11 12

1 2

2 21 22

1 2

, , ,

, 0

u u v v p

u v v

DEJG DEJG DE DE DE DE DE DE

DE DE

U

 E E E

E E E

(16)

Z równaĔ (16) 2 oraz (16) 3 moĪna wyznaczyü À uktuacje v1 i v2, które po podstawie- niu do równania (16)1 dadzą nam postaü tego równania:

0u _{DEJG DEJG}0 u, p U

 E (17)

gdzie:

1 1 22 2 2 11 1 2 12 2 1 21

0

21 12 22 11

DE JG DE JG DE JG DE JG

DEJG DEJG

E E E E E E E E E E E E

E E

E E E E (18)

WyraĪenie (18) de¿ niuje staáe, efektywne moduáy sztywnoĞci otrzymane w wyniku zastosowania metody parametrów mikrolokalnych.

Warunki brzegowe przyjmiemy w nastĊpującej postaci:

u = 0 oraz

2 12

u 0 x w

w przy x1 = 0 i x1 = L1

(19) u = 0 oraz

2 22

u 0 x w

w przy x₂ = 0 i x₂ = L₂

natomiast warunki początkowe przyjĊto za Kaliski red. [1966]:

1 2 0 1 2 0 1 2

1 2

1 2 0 0 1 2

2 2

( , ,0) ( , ) (1 cos )(1 cos )

( , , )_t ( , ) 0

u x x u x x c x x

L L

u x x t v x x

S S

(20)

gdzie: przez c0 oznaczono początkową, dostatecznie maáą wartoĞü ugiĊcia w Ğrodku páy- ty, natomiast przez v0 oznaczono prĊdkoĞü przemieszczania siĊ powierzchni Ğrodkowej páyty w chwili t = 0.

Równania (17) rozwiąĪemy, stosując metodĊ Naviera. WartoĞci wáasne wyraĪają siĊ wzorem:

4 2 2 4

2 0 0 0

1111 2222

0 1 1 2 2

1 ( )

mn m m n n

L L L L

S S S S

Z U

§ · § · § · § ·

¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸

E E E (21)

(7)

gdzie wspóáczynniki E_DEJG⁰ obliczamy zgodnie z równaniem (18) oraz

0 0 0

1212 1122

4 2 .

E E E

Rozwiązanie opisujące uĞrednione ugiĊcie analizowanej páyty w czasie przyjmuje postaü:

1 2 20 2 2

1 1

64 cos ( , , )

(4 )(4 )

mn

mn n m

c t

u x x t U

mn m n

Z S

f f

¦ ¦

⁽²²⁾

gdzie: c0 = 4c0, m = 2k – 1, n = 2j – 1, k = 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ... .

Natomiast wyraĪenie na ugiĊcie analizowanej páyty w czasie moĪna zapisaü w postaci:

1 2 20 2 2

1 1

1 22 12 2 11 2 1 21

1 2

21 12 22 11 21 12 22 11

64 cos

( , , ) (

(4 )(4 )

, ( ) , ( ))

mn

mn n m

mn mn

c t

w x x t U

mn m n

U h x U h x

DE DE DE DE

DE DE

Z S

f f

¦ ¦

E E E E E E E E

(23)

Zbadamy teraz zaleĪnoĞü pomiĊdzy nasyceniem komórki periodycznoĞci zbrojeniem a wartoĞcią ugiĊcia páyty oraz postacią drgaĔ wáasnych badanej páyty. Nasycenie wyraĪa udziaá objĊtoĞci zbrojenia w objĊtoĞci wzmocnionego elementu komórki periodycznoĞci ¨_ab.

Dla matrycy oraz zbrojenia przyjĊto nastĊpujące wartoĞci moduáów Younga, liczby Poissona oraz gĊstoĞci masy:

Matryca: E₃ = 3,24 · 10⁹ Pa, v₃ = 0,36, ȡ₃ = 1120 kg·m^–3 Zbrojenie: E₄ = 66,5 · 10⁹ Pa, v₄ = 0,23, ȡ₄ = 2550 kg·m^–3

AnalizĊ sporządzono przy zaáoĪeniu trzech wartoĞci nasycenia 0,9, 0,6 oraz 0,4 (tab. 1).

PrzyjĊto, Īe wymiary páyty mają nastĊpujące wartoĞci L₁ = 3 m, L₂ = 3 m, h = 0,1 m, l₁ = l₂ = 0,1 m.

Tabela 1. Zestawienie uĞrednionych wartoĞci staáych materiaáowych páyty Table 1. Summary of average values of plate’s material constants

Nasycenie Saturation

Parametry

Parameters ¨₁₁ ¨₁₂ ¨₂₁ ¨₂₂

0,9

E [GPa] 3,24 31,707 31,707 60,174

v [–] 0,36 0,3015 0,3015 0,243

ȡ [kg·m^–3] 1120 1763,5 1763,5 2407

0,6

E [GPa] 3,24 22,218 22,218 41,196

v [–] 0,36 0,321 0,321 0,282

ȡ [kg·m^–3] 1120 1549 1549 1978

0,4

E [GPa] 3,24 15,892 15,892 28,544

v [–] 0,36 0,334 0,334 0,308

ȡ [kg·m^–3] 1120 1406 1406 1692

(8)

Na rysunku 3 przedstawiono ugiĊcie uĞrednione páyty w chwili t = 1 s dla kaĪdego nasycenia. Na rysunku 4 przedstawiono przekroje przez wykres ugiĊcia w chwili t = 1 s oraz t = 5 s dla ₂ ²

2 x L .

a)

b)

c)

Rys. 3. UgiĊcie uĞrednione páyty w chwili t = 1 s przy zaáoĪeniu: a – nasycenia 0,9, b – nasycenia 0,6, c – nasycenia 0,4

Fig. 3. The averaged plate’s deÀ ection at t = 1 s assuming: a – saturation 0,9, b – saturation 0,6 c – saturation 0,4

Rys. 4. Przekrój przez ugiĊcie páyty w chwili: a – t = 1, b – t = 5

Fig. 4.. The cross-section through the plate’s deÀ ection at: a – t = 1, b – t = 5

··· nasycenie (saturation) 0,9 ņņņ nasycenie (saturation) 0,6 - - - - nasycenie (saturation) 0,4 a)

b)

(9)

Rysunek 5 przedstawia przekrój poprzeczny przez postaü drgaĔ wáasnych páyty w chwili maksymalnego ugiĊcia. Chwile te, ze wzglĊdu na róĪne wartoĞci czĊstotliwoĞci drgaĔ páyty, są inne dla kaĪdej wartoĞci nasycenia.

Przemieszczenie punktu Ğrodkowego páyty – punktu o wspóárzĊdnych ( , )x x1 2 1, 2

2 2

L L

§ ·

a)

b)

c)

Rys. 5. UgiĊcie maksymalne páyty: a – nasycenie 0,9, t = 0,036 s, b – nasycenie 0,6, t = 0,04 s, c – nasycenie 0,4, t = 0,044 s

Fig. 5. The plate’s deÀ ection: a – saturation 0,9, t = 0,036 s, b – saturation 0,6, t = 0,04 s, c – saturation 0,4, t = 0,044 s

Rys. 6. Przemieszczenie punktu Ğrodkowego páyty przy róĪnej wartoĞci nasycenia Fig. 6. The displacement of the plate’s center point at differential saturation value

··· nasycenie (saturation) 0,9 ņņņ nasycenie (saturation) 0,6 - - - - nasycenie (saturation) 0,4

(10)

PODSUMOWANIE

Praca poĞwiĊcona jest páytom sprĊĪystym, periodycznie niejednorodnym w dwóch kierunkach. Dla takich páyt przy zastosowaniu metody parametrów mikrolokalnych wy- prowadzony zostaá model uĞredniony, w którym rozwiązania zagadnieĔ początkowo- -brzegowych uzyskujemy w sposób prostszy niĪ w klasycznej teorii sprĊĪystoĞci.

Z równaĔ modelowych, które posiadają staáe wspóáczynniki, wyliczone zastaáy niewiadome – przemieszczenie uĞrednione oraz amplitudy À uktuacji. Niewiadome te, zgodnie z równaniem (4), dają nam ugiĊcie páyty.

Wykonany przykáad zaleĪnoĞci czĊstoĞci i postaci drgaĔ wáasnych od nasycenia ko- mórki periodycznoĞci zbrojeniem wykazaá, Īe wraz ze wzrostem sztywnoĞci elementu roĞnie wartoĞü czĊstotliwoĞci drgaĔ wáasnych, co zostaáo przedstawione na rysunku 6.

Postaü drgaĔ wáasnych w okreĞlonej chwili, dla róĪnych wartoĞci nasycenia jest róĪna.

PIĝMIENNICTWO

Kaliski, S., red. (1966). Drgania i fale w ciaáach staáych. PWN, Warszawa.

Nagórko, W. (1989). Modele powierzchniowe i mikrolokalne páyt sprĊĪystych. UW, Warszawa.

WoĨniak, Cz. (1983). Tolerance and fuzziness in problems of mechanics. Archive of Applied Me- chanics, 35, 567–578.

WoĨniak, Cz. (1987). A nonstandard method of modelling of thermoelastic periodic composite, Int.

J. Engng Sci., 25, 489–498.

WoĨniak, Cz., Wierzbicki, E. (2000). Averaging techniques in thermomechnics of composite solids.

Tolerance averaging versus homogenization. Wydawnictwo Politechniki CzĊstochowskiej, CzĊstochowa.

WoĨniak, Cz., red. (2001). Mechanika sprĊĪystych páyt i powáok, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

WoĨniak, Cz., Michalak, B., JĊdrysiak, J., red. (2008). Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures, Tolerance averaging approach. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ.

WoĨniak, Cz. et al., ed. (2010). Mathematical modelling and analysis in continuum mechanics of microstructured media. Wydawnictwo Politechniki ĝląskiej, Gliwice.

FREE VIBRATION OF A PERIODICALLY REINFORCED PLATE IN TWO DIRECTIONS

Abstract. The object of the paper are elastic plates, periodically reinforced in two direc- tions. For that kind of bodies, averaging models were constructed with the use of homogenization with micro-local parameters, characterized by equals with constant coef¿ cients.

This model was used in the analysis of dynamic problems of reinforced plates. In my paper the effect of reinforcement of the material on the displacement and the involuntary vibration level of that structures is presented.

Key words: periodic media, non-asymptotic homogenization, vibrations of reinforced plate

(11)

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 28.04.2015

Cytowanie: Jeleniewicz, K. (2015). Drgania wáasne páyty periodycznie zbrojonej w dwóch kierunkach. Acta Sci. Pol., Architectura, 14 (1), 3–13.