O ĝREDNIEJ GRUBOĝCI – STATYKA I DRGANIA WàASNE

ELEMENT SKOēCZONY àUKU KOàOWEGO

O ĝREDNIEJ GRUBOĝCI – STATYKA I DRGANIA WàASNE

Wojciech Gilewski, Marta Sitek

Politechnika Warszawska, Warszawa

Streszczenie. Niniejszy artykuá dotyczy elementu skoĔczonego áuku koáowego o Ğred- niej gruboĞci (Ar2Ph2). W pracy pokazano sposób wyprowadzenia „¿ zycznych” funkcji ksztaátu uwzglĊdniających wpáyw wáaĞciwoĞci ¿ zycznych materiaáu, geometrii przekroju poprzecznego i krzywizny áuku na jego deformacjĊ. Wykazano, Īe przy maáym kącie roz- warcia elementu przechodzą one w odpowiednie funkcje elementu belkowego Timoshenki.

Rozwiązano seriĊ zadaĔ z zastosowaniem prezentowanego elementu i otrzymano rozwią- zania Ğcisáe w zakresie statyki oraz przybliĪone wyniki w zagadnieniu drgaĔ wáasnych.

Wykazano dobrą zbieĪnoĞü elementu w drugim typie zadaĔ.

Sáowa kluczowe: metoda elementów skoĔczonych, áuk o Ğredniej gruboĞci

WSTĉP

Budowa zakrzywionych w páaszczyĨnie elementów skoĔczonych stanowi tematykĊ interesującą wielu badaczy. W ciągu ostatnich lat powstaáo wiele prac podejmujących ten temat. Początkowe próby de¿ niowania elementów áukowych nie przynosiáy sukcesów, poniewaĪ otrzymywano elementy o zbyt duĪej sztywnoĞci na zginanie i Ğcinanie. Ob- serwowano takĪe zjawiska blokady przemieszczeĔ, związane ze Ğcinaniem i Ğciskaniem/

/rozciąganiem. Pomimo wieloletnich badaĔ ta problematyka jest nadal aktualna. Ostatnie kilka lat zaowocowaáo wieloma pracami, w których próbowano ulepszyü opracowane dotąd elementy skoĔczone. W wiĊkszoĞci prac przyjmowano izoparametryczne aproksy- macje wielomianowe pola przemieszczeĔ [Stolarski i Belytschko 1983], a stany pasoĪyt- nicze eliminowano poprzez zastosowanie caákowania zredukowanego. Wykorzystywano równieĪ elementy wielowĊzáowe [Sengupta i Dasgupta 1997, Raveendranath i in. 2001, Saffari i in. 2008], mieszane modele MES [Zhang 1992, Kim i Kim 1998, Kulikov i Plot- nikova 2004] oraz aproksymacji typu p [Leung i Zhu 2004].¹

Adres do korespondencji – Corresponding author: Wojciech Gilewski, Politechnika Warszawska, Wydziaá InĪynierii Lądowej, Instytut InĪynierii Budowlanej, Zakáad Mechaniki Budowli, al. Armii Ludowej 16, 00-637 Warszawa, e-mail: w.gilewski@il.pw.edu.pl

Niniejsza praca przedstawia inne podejĞcie do tej tematyki. Zaprezentowano ele- ment skoĔczony áuku koáowego o tzw. ¿ zycznych funkcjach ksztaátu, wyprowadzonych z przemieszczeniowych równaĔ równowagi. Za punkt wyjĞcia do budowy funkcji ksztaá- tu przyjĊto równania powierzchni walcowej o Ğredniej gruboĞci [Mazurkiewicz i Nagór- ski 1987]. W teorii powáok o Ğredniej gruboĞci przyjmuje siĊ, Īe prostoliniowe wáókna, normalne do Ğrodkowej powierzchni w kon¿ guracji początkowej, pozostają proste po deformacji. Ponadto naprĊĪenia normalne, wystĊpujące na powierzchniach równolegáych do Ğrodkowej powierzchni powáoki, są maáe w porównaniu z innymi naprĊĪeniami i mogą zostaü pominiĊte. UwzglĊdnia siĊ natomiast naprĊĪenia styczne o rozkáadzie przyjĊtym przez Reissnera dla páyt. W pracy Sitek [2006] zastosowano uproszczenia wspomnianych równaĔ powáoki walcowej, co umoĪliwiáo opis deformacji áuków o staáym promieniu krzywizny i dowolnym, lecz staáym po dáugoĞci przekroju poprzecznym. Do uzyskania

„uĞciĞlonych” funkcji ksztaátu wykorzystano związki konstytutywne ze sprzĊĪeniem sta- nu membranowego i zginania.

POSTAWOWE RÓWNANIA àUKU KOàOWEGO O ĝREDNIEJ GRUBOĝCI RozwaĪany jest áuk koáowy o staáym promieniu R, kącie rozwarcia ȥ, rozpiĊtoĞci s = ȥi staáym przekroju porzecznym A (rys. 1), dla którego zostaną podane zaleĪnoĞci opisujące przemieszczenia, odksztaácenia oraz naprĊĪenia.

PrzyjĊto, Īe przemieszczenie dowolnego punktu przekroju o wspóárzĊdnej 0,5 ; 0,5

z  h h (gdzie h – wysokoĞü przekroju poprzecznego) moĪna uzaleĪniü od przemieszczenia punktu leĪącego na osi obojĊtnej w nastĊpujący sposób:

         

1 , ; 2 ,

v T z uT zI T v T z wT (1)

gdzie: ș – wspóárzĊdna kątowa,

u(ș) – przemieszczenie obwodowe punktu osi obojĊtnej, w(ș) – przemieszczenie radialne punktu osi obojĊtnej,

ij(ș) – kąt obrotu przekroju poprzecznego wzglĊdem osi prostopadáej do páasz- czyzny áuku.

Stan odksztaácenia opisany jest przez trzy skáadowe stanu odksztaácenia: odksztaácenie membranowe, krzywiznĊ i odksztaácenie postaciowe. Związki geometryczne mają postaü:

Rys. 1. Skáadowe przemieszczenia w áuku koáowym Fig. 1. Displacement components in a circular arch

 

^{K du}

 

^w

 

d

H T T T

T

§  ·

¨ ¸

© ¹

 

_K^d

 

d N T ^ I TT

 

K u

 

^dw

   

d

J T T T I T

T

§  ·

¨ ¸

© ¹ (2)

gdzie K = 1/R – krzywizna áuku.

Zostaną tu wykorzystane związki konstytutywne ze sprzĊĪeniem stanu membrano- wego i zginania. Wzory na siáĊ podáuĪną, moment zginający i siáĊ poprzeczną są nastĊ- pujące:

     

N T EAH T KEJN T

     

M T KEJH T EJN T

   

QT HJ T (3)

gdzie: E – moduá Younga, G – moduá Kirchhoffa,

J – moment bezwáadnoĞci przekroju, v – wspóáczynnik Poissona.

Lokalne równania równowagi áuku o Ğredniej gruboĞci przybierają postaü:

     

0

K dN Q p

d

T T T

T

§  ·

¨ ¸

© ¹

 

dQ

   

0

K N q

d

T T T

T

§  ·

¨ ¸

© ¹

     

⁰

KdM Q m

d

T T T

T ^{ }

(4)

gdzie: p(ș) – obciąĪenie obwodowe, q(ș) – obciąĪenie radialne, m(ș) – moment zginający.

EnergiĊ potencjalną áuku w zadaniach statyki oblicza siĊ jako sumĊ energii sprĊĪystej i pracy obciąĪenia zewnĊtrznego: Ep = Es + W; _{s s}d ; d ,

s s

E

³

E s W^

³

W s^ gdzie gĊstoĞü energii sprĊĪystej jest opisana zaleĪnoĞcią:

a gĊstoĞü pracy obciąĪeĔ zewnĊtrznych

W^ pu^qw^mI (5b)

UwzglĊdnienie masy áuku pozwala zapisaü wzór na energiĊ kinetyczną ukáadu

k kd

s

E

³

E s^ , przy czym gĊstoĞü energii kinetycznej:



^{2 2}



²

0 2

1

k 2

E ^ª¬U u w U I ^º¼ (5c)

gdzie: 0 d ; d2 ²

A A

A z A

U

³

U U

³

U ^,

ȡ – gĊstoĞü materiaáu,

kropka nad skáadowymi przemieszczeĔ oznacza pochodną po czasie t.

SFORMUàOWANIE MES

Rozpatrzono páaski dwuwĊzáowy element skoĔczony áuku koáowego (Ar2Ph2) o pro- mieniu R i kącie rozwarcia 2Į. Wprowadzono zmienną bezwymiarową M



T T D 0



, M 1, 1 (rys. 2).

Celem niniejszej pracy jest uzyskanie Ğcisáych funkcji ksztaátu opisujących prze- mieszczenia wewnątrz elementu skoĔczonego ^ue _¬^ªu

     

M ^{, w}M I M^{, º}_¼^T. Otrzymuje siĊ je z rozwiązania przemieszczeniowego ukáadu lokalnych równaĔ równowagi (4) w ob- szarze elementu skoĔczonego. Rząd ukáadu determinuje wybór dwuwĊzáowego elementu skoĔczonego o szeĞciu parametrach wĊzáowych. Tymi parametrami są: przemieszczenie

2 2

2 2 3

2

1 2

s 2

du d d du

EAK w EJK EJ K w

d d d d

E

H Ku Kdw d

I I

T T T T

T I

ª §¨  ·¸  ¨§ ·¸  §¨  ·¸º

« »

© ¹ © ¹ © ¹

« »

« »

§ ·

« ¨   ¸ »

« »

¬ © ¹ ¼

 (5a)

Rys. 2. Element skoĔczony áuku koáowego o Ğredniej gruboĞci Fig. 2. Finite element of a moderately thick arch

obwodowe, przemieszczenie radialne i kąt obrotu wzglĊdem osi prostopadáej do páasz- czyzny áuku. Skáadowe wektora przemieszczeĔ wĊzáowych mają w związku z tym skáa- dowe q^e

>

u w1, , , , , 1 I1 u w2 2 I2

@

^T.

Ukáad równaĔ przemieszczeniowych otrzymuje siĊ po podstawieniu w ukáadzie lokal- nych równaĔ róĪniczkowych (4) związków geometrycznych (2) i konstytutywnych (3).

MoĪna go przedstawiü w postaci macierzy:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0 0

L L L u p

L L L w q

L L L I m

ª ºª º ª º ª º

« »« » « » « »

« »« » « » « »

¬ ¼¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

(6)

gdzie L_ij (i, j = 1, 2, 3) – operatory róĪniczkowe:

 

2 2

1 2

11 K d 2 ; 12 1 1 d ; 13 d 2

L K L K L

d d d

J D J J D

D M ^{  } M ^D M ^

 

2

21 12; 22 K d 2 1 ; 23 1 2 d

L L L K L

d J D J d

D M M

  

2 2 31 13; 32 23; 33 d 2

L L L L L

d

J D

D M ^

Operatory te zawierają mnoĪniki 1 EA,

J H 2 EJK²

J H , obrazujące wpáyw wáaĞci- woĞci ¿ zycznych materiaáu, geometrii przekroju poprzecznego i krzywizny áuku na jego deformacjĊ.

Ukáad równaĔ (6) rozwiązano za pomocą funkcji przemieszczeĔ. Wyznacznik macie- rzy operatorów róĪniczkowych przybiera postaü:

> @

²



²3 ¹



^{6 2}



^{2 1}



⁴ 2



2 1



²

det _jl K 2K

L J J J d J J J d KDJ J J d

D D

    

skąd wynika, Īe równanie charakterystyczne jest nastĊpujące:

     

6 4 2

2 4

6 2 4 2 0

d Z d Z d Z

d d d

M D M D M

M ^ M ^ M (7a)

przy czym Z(ij) jest poszukiwaną funkcją przemieszczeĔ.

Rozwiązaniem równania (7a) jest funkcja:

 

1 2 3sin

 

4cos

 

5 sin

 

6 cos

 

Z M D DMD DM  D DM DM DM  DM DM (7b)

Skáadowe pola przemieszczeĔ moĪna opisaü wzorami:

 

^*11

 

;

 

^*12

 

;

 

^*13

 

uM L ZM wM L ZM I M L Z M (7c)

przy czym

 

   

 

* 2 4 2 2

11 2 2 1 2 1

* 2 1 2 3

12 1 2

* 2 4 2 2

13 2 1 2 1

2

L d d

L d d

L K d K d K

J J J J J D

D

J J J D J J

D

J J J J D

D

    

  

   

(7d)

są operatorami róĪniczkowymi utworzonymi jako dopeánienie algebraiczne elementów macierzy [L_ij].

Po wykonaniu róĪniczkowania funkcji (7b) zgodnie z (7d) i podstawieniu do (7c) otrzymano:

      

    

  >       @

  >       @

2 2 2

1 1 1 2 2 1 2 3

2 2 1 2 4

1 2 2 2 5

1 2 2 2 6

1 sin

1 cos

2 cos 1 sin

2 sin 1 cos

u C C C

C

C C

M D J D J M D J J J DM

D J J J DM

D J J J DM D J M DM

D J J J DM D J M DM

     

   

    

   

        

    

   >        @

   >        @

1 2 2 2 2 1 2 3

2 2 1 2 4

1 2 2 2 5

1 2 2 2 6

1 cos

1 sin

1 3 sin 1 cos

1 3 cos 1 sin

w C C

C

C C

M D J J D J J J DM

D J J J DM

D J J J DM D J M DM

D J J J DM D J M DM

     

   

     

    

(8)

 

K ² 1 1C K ² 1 C2 2K



1 2

 

cos

 

C5 sin

 

C6



I M  D J  D J M  D J J DM  DM

UwzglĊdnienie skáadowych wektora q^e jako warunków brzegowych pozwala na obli- czenie staáych C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆ w zaleĪnoĞciach (8) i uzyskanie Ğcisáych ¿ zycznych funkcji ksztaátu. Macierz funkcji ksztaátu ma budowĊ blokową:

11 12 13

1 2

21 22 23

31 32 33

[ , ],

i i i

e i i i i

i i i

N N N

N N N

N N N

ª º

« »

« »

« »

« »

¬ ¼

N N N N (9)

Otrzymane funkcje ksztaátu mają skomplikowaną budowĊ i z tego wzglĊdu nie wszyst- kie zostaną zapisane jawnie w niniejszej pracy. Przykáadowo funkcja N11¹ ma postaü:

       

> @

111 1

sin cos sin cos

N A B C D E F

M  M DM  DM  M DM  M DM

gdzie:

       

 

4 2 3 2

1 2 2 2 1 2 2 2 1

2 2

1 2 2

1 2 1 2 1

4 1 ,

M c s c s

c

J D J D J J J D J J J

J D J J

        

  

   

> @

³

 

1 1 2 1 2 2 2 1 ,

A J Dsc sc J D J  s cJ J

  

1 1 2 ,

B J Dsc J scD

   

     

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 2

1 1 1 1

2

1 1 1 ,

2

C c c s cs c

s

J J D D J J J J D J

D J J J J D J

       

ª º

  «¬    »¼

         

     

2 2

2 1 2 2 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

2

1 1 1 1 ,

2 2

D s c s c

c s sc

D J J J J J J J J J

J D J D J D J

ª º ª º

 «¬   »¼  ¬    ¼

    



^{2 1 1}

 

²



^{1 2}



₂^{1 1 2}



^{2 1}



²



³



¹₂ ^{1 2}



^{1 22}



^,

E Ds c  J J J  J D J  c Ds  J D c J

   

2 2 2 3 2 3

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 ,

2 2

F J D sc J  J D c J sD J J

przy czym s = sin(Įij), c = cos(Įij).

Warto zauwaĪyü, Īe pomimo rozbudowanej postaci, przy R ĺ f, te funkcje ksztaátu moĪ- na uproĞciü do funkcji ksztaátu elementu prĊta Timoshenki o szeĞciu stopniach swobody:

111

121

131

121

lim 1(1 ) 2

lim 0

lim 0

lim 0

R

R

R

R

N N N N

of M

of of of



gdzie a = RĮ jest poáową dáugoĞci prĊta.

Funkcje ksztaátu zawarte w podmacierzy N¹ zgodnie z zapisem (9) przedstawiono na rysunkach 3–5, przy danych liczbowych: R = 4,0 m, Į = ›/6, b = 0,4 m, h = 0,6 m, E = 3·10¹⁰ Pa, v = 0,17, k = 5/6.

Przeanalizowano zmiennoĞü funkcji w zaleĪnoĞci od kąta rozwarcia áuku 2Į. PrzyjĊto przedziaá D  0, 180^q , co daje moĪliwoĞü analizy elementów od prostoliniowych do koáowych. Jak widaü na rysunkach 6–8, przy Į = 0 funkcje znajdujące siĊ na diago- nali macierzy ksztaátu są liniowe. MoĪna przeĞledziü, dla jakiej wartoĞci kąta koĔczy siĊ zakres stosowalnoĞci liniowych funkcji ksztaátu. Dla wiĊkszoĞci funkcji jest to tylko wartoĞü Į = 0, poniewaĪ charakteryzują siĊ duĪą zmiennoĞcią w zaleĪnoĞci od tego para- metru. Aproksymacja liniowa w szerszym zakresie jest poprawna jedynie dla N₁₁. Warto równieĪ zauwaĪyü, Īe dla maáych kątów funkcje pokrywają siĊ z funkcjami ksztaátu prĊta Timoshenki (co zostaáo analitycznie dowiedzione wczeĞniej).

Rys. 3. Funkcje ksztaátu Fig. 3. Shape functions

·

1

N11 1

N12 1

N13

   

 

   

 

 

 

   

2 3

122 2

2 3 2 3

123 2

311

2

321 2

2 2

331

6 1 2 3

lim 4 3

3 1 1

lim 4 3

lim 0

3 1

lim 4 3

6 1 1 2 3

lim 4

R

R

R

R

R

EJ a H

N EJ a H

aEJ a H

N EJ a H

N N aH

EJ a H

EJ a H

N

M M M

M M M M

M

M M M

of

of

of

of

of

   



    



 



    



^{3EJ a H2}



1

N21 1

N22 1

N23

·

Rys. 4. Funkcje ksztaátu Fig. 4. Shape functions

Rys. 5. Funkcje ksztaátu Fig. 5. Shape functions

·

1

N31 1

N32 1

N33

Rys. 6. Wpáyw kąta rozwarcia 2Į, Į ¢›² na funkcje ksztaátu N , ₁₁¹ N , ₁₂¹ N13¹

Fig. 6. InÀ uence of subtended angle 2Į, Į ¢›² on shape functions N , ₁₁¹ N , ₁₂¹ N₁₃¹

Rys. 7. Wpáyw kąta rozwarcia 2Į, Į ¢›² na funkcje ksztaátu N , ¹21 N , ¹₂₂ N¹₂₃ Fig. 7. InÀ uence of subtended angle 2Į, Į ¢›² on shape functions N , ¹21 N , ¹₂₂ N₂₃¹

Rys. 8. Wpáyw kąta rozwarcia 2Į, Į ¢›² na funkcje ksztaátu , , Fig. 8. InÀ uence of subtended angle 2Į, Į ¢›²on shape functions , ,N¹31 N¹₃₂ N¹₃₃

1

N31 N₃₂¹ N¹₃₃

Przeprowadzono analizĊ zaleĪnoĞci funkcji ksztaátu od stosunku wysokoĞci przekroju do promienia áuku. Przyjmuje siĊ [Mazurkiewicz i Nagórski 1987], Īe teoria dĨwiga- rów cienkich obowiązuje dla h/s < 1/50. DĨwigary, których wymiary speániają warunek h/s (1/50, 1/5), naleĪą do dĨwigarów o Ğredniej gruboĞci. Na rysunkach 9–11 moĪna zauwaĪyü dwa przedziaáy zmiennoĞci funkcji: ¢²i ¢². Postaü funkcji ksztaátu w pierwszym przedziale znacznie róĪni siĊ od postaci z przedziaáu drugiego. Otrzymane wyniki są wobec tego zgodne z klasy¿ kacją dĨwigarów cienkich i o Ğredniej gruboĞci.

Na bazie otrzymanych funkcji moĪna wyprowadziü zaleĪnoĞci na Ğcisáą macierz sztywnoĞci K^e i wektor obciąĪeĔ wĊzáowych Q^e oraz uĞciĞloną macierz mas M^e.

Zgodnie z równaniami (2), zaleĪnoĞü miĊdzy odksztaáceniami a przemieszczeniami wyraĪa siĊ wzorem İ^e = B^eq^e = DN^eq^e z macierzą operatorów róĪniczkowych:

0

0 0

1

Kd K

Kd K Kd

D

D D



ª º

«  »

« »

¬  ¼

D (10)

Rys. 9. Wpáyw stosunku wysokoĞci przekroju do promienia áuku h/R  ¢ ² na funkcje ksztaátu , ,

Fig. 9. InÀ uence of thickness to radius ratio h/R  ¢² on shape functions , ,

1

N11 N12¹ N₁₃¹

1

N11 N₁₂¹ N13¹

Rys. 10. Wpáyw stosunku wysokoĞci przekroju do promienia áuku h/R  ¢ ² na funkcje ksztaátu , ,

Fig. 10. InÀ uence of thickness to radius ratio h/R  ¢² on shape functions , ,

1

N21 N¹₂₂ N¹₂₃

1

N21 N¹22 N¹₂₃

Zakáadając, Īe mamy do czynienia z materiaáem liniowo-sprĊĪystym, moĪna zapisaü równania konstytutywne (3) w postaci ı^e = Eİ^e, z macierzą sprĊĪystoĞci:

0 0

0 0

EA KEJ KEJ EJ

H

ª º

« »

« »

¬ ¼

E (11)

Macierz sztywnoĞci elementu skoĔczonego Ar2Ph2 obliczono wedáug wzoru:

e eT ed

s

³

s

K B EB (12)

Wektor zastĊpczych obciąĪeĔ wĊzáowych wyznaczono z zaleĪnoĞci:

eT s

e

³

eds

Q N p (13)

przy czym p^e = [p q m]^T.

Obliczono równieĪ konsekwentną macierz mas ze wzoru:

e eT e e d

s

³

s

M N m N (14)

gdzie: ^me diag



P0 P0 P2



, , .P0 U PA 2 UJ

Jawna postaü skáadowych powyĪszych macierzy nie zostaje tu podana ze wzglĊdu na ich skomplikowaną budowĊ.

Macierz sztywnoĞci elementu skoĔczonego Ar2Ph2 wyprowadzono ĞciĞle z równaĔ róĪniczkowych áuku koáowego. Dlatego daje Ğcisáe rozwiązania w zadaniach statyki.

Macierz mas obliczono natomiast zgodnie ze standardową procedurą MES jako macierz konsekwentną. W związku z tym w przypadku rozwiązywania zagadnieĔ drgaĔ wáasnych moĪna otrzymaü rozwiązania przybliĪone.

Rys. 11. Wpáyw stosunku wysokoĞci przekroju do promienia áuku h/R  ¢ ² na funkcje ksztaátu , ,

Fig. 11. InÀ uence of thickness to radius ratio h/R  ¢² on shape functions , ,

1

N31 N¹₃₂ N¹33

1

N31 N₃₂¹ N¹₃₃

MoĪna pokazaü, Īe element áukowy Ar2Ph2 nadaje siĊ do modelowania prĊtów pro- stych. W przejĞciu granicznym, przy R ĺf, wyprowadzone powyĪej równania na: ma- cierz sztywnoĞci (12), wektor obciąĪeĔ wĊzáowych (13) i macierz mas (14), przybierają postaü odpowiednich macierzy elementu skoĔczonego prĊta prostego Ğredniej gruboĞci o szeĞciu stopniach swobody i dáugoĞci 2a = 2ĮR [Sitek 2006].

PRZYKàADY OBLICZEē – STATYKA

Element skoĔczony Ar2Ph2 zastosowano do rozwiązania kilku zadaĔ statyki. Wybra- no zadania róĪniące siĊ warunkami brzegowymi i rodzajem obciąĪenia. Dane liczbowe przyjĊte w zadaniu: R = 4,0 m, ȥ = 2›/3, b = 0,4 m, h = 0,6 m, E = 3 · 10¹⁰ Pa, v = 0,17, k = 5/6. ObciąĪenie konstrukcji P = 10³ N, M = 10³ Nm. Ze wzglĊdu na symetriĊ lub antysymetriĊ zadaĔ rozwiązywano schematy poáówkowe (przy rozpiĊtoĞci áuku 0,5ȥ) z odpowiednimi warunkami brzegowymi (rys. 12).

W tabeli 1 podano znormalizowane wartoĞci niezerowych przemieszczeĔ wĊzáowych obliczonych jako u u s w, , .w s I I \ Wyniki otrzymane przy uĪyciu jednego elementu skoĔczonego prezentowanego w tej pracy porównano z wynikami przedsta- wionymi w pracy Litewki i Rakowskiego [1997] (wykorzystano w niej 4-elementową siatkĊ podziaáu), otrzymanymi za pomocą pakietu obliczeniowego ABAQUS (zastoso- wano dyskretyzacjĊ dziesiĊcioelementową z dwuwĊzáowych elementów belkowych B21 [ABAQUS 6.8-3 Documentation]) oraz z przybliĪonym rozwiązaniem otrzymanym me- todą siá przy zaáoĪeniach EA ĺ f i H ĺ f.

Element skoĔczony Ar2Ph2 daje wyniki Ğcisáe (zastosowano 1 element skoĔczony).

Ze wzglĊdu na krzywiznĊ prĊta elementy belkowe B21, jako elementy o liniowych funk- cjach ksztaátu, dopiero przy gĊstej siatce dyskretnej dają wyniki zbliĪone do analitycz- nych. Rozwiązania przedstawione w pracy Litewki i Rakowskiego [1997] są wynikiem podziaáu modelu na cztery elementy skoĔczone i w wiĊkszoĞci przypadków dają wiĊkszy báąd niĪ element Ar2Ph2.

Rys. 12. Schematy obliczeniowe wykorzystane w analizie statycznej áuków Fig. 12. Computational schemes used in static analysis of arches

PRZYKàADY OBLICZEē – DRGANIA WàASNE

Element skoĔczony Ar2Ph2 wykorzystano równieĪ do analizy drgaĔ wáasnych kon- strukcji áukowych. W obliczeniach wykorzystano konsekwentną macierz mas (wzór 14).

Jako Īe nie jest ona Ğcisáa, w tego typu zadaniach otrzymuje siĊ wyniki przybliĪone.

Ustalenie siatki podziaáu wystarczającej do uzyskania wyników z zaáoĪoną dokáadnoĞcią przeprowadzono, opierając siĊ na analizie zbieĪnoĞci.

Sprawdzano zbieĪnoĞü pierwszej i drugiej czĊstoĞci drgaĔ wáasnych w schemacie ob- liczeniowym áuku przegubowo podpartego (rys. 13a). PrzyjĊto dane liczbowe: R = 1 m;

h = 0,2 m; ȥ = ›/6; E = 3 · 10¹⁰ Pa; v = 0,3; k = 5/6; ȡ = 2000 kg·m^–3. W tabeli 2 podano uzyskane wartoĞci przy 2, 4, 8 i 16-elementowej siatce podziaáu. Ponadto przyjĊto roz- wiązanie przy najgĊstszej siatce jako porównawcze i obliczono róĪnicĊ wzglĊdną pozo- staáych wyników: ^{eiI II/}



^{ZiI II/ Z16I II/}



^{Z16I II/ ˜100%.}

Tabela 1. Wyniki obliczeĔ w zadaniach statyki, podano liczbĊ wykorzystanych elementów skoĔ- czonych n

Table 1. Results of static computations, number of ¿ nite elements used n is given

Schemat Scheme

WielkoĞü Volume

Litewka i Rakowski

[1997]

(n = 4)

B21 (n = 10)

Metoda siá Force method

Ar2Ph2 (n = 1)

a w2ª¬u10^6º¼ 0,249 0,278 0,242 0,249

b

6 2 10

u ª¬u ^º¼ 0,125 0,125 0,114 0,124

6 2 10

I ^ª¬u ^º¼ –0,378 –0,374 –0,368 –0,371

c

6 2 10

u ª¬u ^º¼ –0,095 –0,110 –0,092 –0,093

6 2 10

I ^ª¬u ^º¼ 1,082 1,079 1,037 1,084

d

6 1 10

I^ª¬u ^º¼ – –0,330 –0,341 –0,330

6 2 10

wª¬u ^º¼ 0,305 0,280 0,255 0,279

e

6 1 10

I^ª¬u ^º¼ – 1,082 1,089 1,074

6 2 10

u ª¬u ^º¼ 0,288 0,284 0,277 0,281

6 2 10

I ^ª¬u ^º¼ –0,806 –0,797 –0,812 –0,793

f

6 1 10

I^ª¬u ^º¼ – –0,718 –0,739 –0,719

6 2 10

u ª¬u ^º¼ –0,202 –0,230 –0,203 –0,198

6 2 10

I ^ª¬u ^º¼ 1,361 1,360 1,338 1,367

Z tego porównania wynika, Īe wystarczy przyjąü podziaá áuku na 4 elementy skoĔ- czone, by uzyskaü róĪnicĊ wzglĊdną mniejszą niĪ 1% w przypadku pierwszej czĊstoĞci wáasnej i mniejszą niĪ 5% dla drugiej czĊstoĞci. Taką dyskretyzacjĊ przyjmowano w ko- lejnych zadaniach.

Rozwiązano dwa zadania drgaĔ áuków o Ğredniej gruboĞci: przegubowo podpartego i utwierdzonego na obydwu koĔcach (rys. 13a i 13b). Wyniki otrzymane przy podziale áuku na 4 elementy skoĔczone Ar2Ph2 porównano z rozwiązaniem pokazanym w pracy Leung i Zhu [2004] oraz przy podziale na n elementów skoĔczonych prĊtowych B21 o liniowych funkcjach ksztaátu z programu ABAQUS (liczbĊ elementów zastosowanych w kaĪdym przypadku podano w tab. 3).

Rys. 13. Schematy obliczeniowe wykorzystane w zadaniach drgaĔ wáasnych áuków Fig. 13. Computational schemes used in free vibrations analysis of arches

Tabela 2. Dwie pierwsze czĊstoĞci drgaĔ wáasnych áuku przegubowo podpartego (rys. 13a) Table 2. The lowest two natural frequencies of a hinged-hinged arch (Fig. 13a)

Liczba ES 2 4 8 16

I

Zi 7549,8 7379,8 7339,4 7329,6

II

Zi 23848 20023 19403 19245

I

ei 3,00 0,68 0,13 0

II

ei 23,91 4,04 0,82 0

Tabela 3. Wpáyw kąta rozwarcia áuku na pierwszą czĊstoĞü drgaĔ wáasnych áuku koáowego przegu- bowo podpartego (rys. 13a), podano liczbĊ wykorzystanych elementów skoĔczonych n Table 3. InÀ uence of subtended angle on ¿ rst natural frequency of a hinged-hinged arch (Fig. 13a),

number of ¿ nite elements used n is given

ȥ Ar2Ph2

(n = 4)

Leung i Zhu [2004]

B21

Ȧ^I n

30° 2340,33 2339,82 2348,2 10

90° 229,73 229,66 230,13 20

120° 115,68 115,64 115,98 20

180° 37,853 37,86 37,939 30

300° 4,1840 4,18 4,1889 40

Rozpatrzono kilka kątów rozwarcia ȥ áuku przy staáych pozostaáych cechach geome- trycznych i ¿ zycznych modelu. PrzyjĊto dane liczbowe: R = 12 in = 0,3048 m; h = 0,25 in =

= 0,00635 m; k = 0,8497; ȡ = 0,2736 slugs ft·in^–4 = 2,925·10⁵ kg·m^–3; v = 0,3;

E = 3,04 ·10⁷ psi = 2,096 · 10¹¹ Pa.

Wyniki zawarte w tabelach 3 i 4 Ğwiadczą o przewadze elementu Ar2Ph2 nad ele- mentem B21 w tego typu zadaniach. NiezaleĪnie od rozpiĊtoĞci áuku kaĪdy przypadek policzono z uĪyciem tylko czterech elementów Ar2Ph2. Natomiast w przypadku elemen- tu B21 wraz ze wzrostem rozpiĊtoĞci naleĪaáo zastosowaü coraz gĊstszą siatkĊ podziaáu.

Dopiero zachowanie staáej dáugoĞci elementu skoĔczonego gwarantowaáo otrzymanie wyniku zbliĪonego do poprawnego. Rozwiązanie z wykorzystaniem elementu skoĔczo- nego z pracy Leung i Zhu [2004] wydaje siĊ byü zaniĪone dla mniejszych kątów ȥ.

Rozpatrzono drgania wáasne poprzeczne symetryczne pierĞcienia koáowego zacho- dzące w páaszczyĨnie áuku. Obliczono pierwszą czĊstotliwoĞü drgaĔ wáasnych symetrycz- nych. Ze wzglĊdu na symetriĊ zadania do obliczeĔ przyjĊto schemat statyczny üwiartki pierĞcienia z odpowiednimi warunkami brzegowymi (rys. 13c).

PrĊt podzielono na dwa elementy skoĔczone Ar2Ph2. Rozwiązanie porównano z dwoma rozwiązaniami numerycznymi (obliczeniami zawartymi w pracy Saffari i in.

[2008] i modelem záoĪonym z 20 elementów skoĔczonych B21) oraz z rozwiązaniem analitycznym z pozycji Weaver i inni [1990]. Sprawdzono, jak bĊdą siĊ zmieniaü wyniki w zaleĪnoĞci od proporcji h/R.

PrzyjĊto dane liczbowe: R = 12 in = 0,3048 m; h = 0,0375 in = 0,0009525 m; v = 0,3;

E = 19 · 10⁶ lbf·in^–2 = 1,31·10¹¹ Pa; ȡ = 0,171·10^–3 lb·in^–3 = 1827 kg·m^–3; k = 0,85.

W tabeli 5 zapisano czĊstotliwoĞci drgaĔ wáasnych przy róĪnych stosunkach h/R.

Ustalono dziĊki temu, czy rozpatrywany element skoĔczony dobrze zamodeluje drgania nie tylko áuków o Ğredniej gruboĞci, ale równieĪ cienkich. Jak moĪna zauwaĪyü, ele- ment Ar2Ph2 w przypadku najcieĔszego analizowanego prĊta, przy h/R = 1/150, daá wy- nik zgodny z analitycznym. Podobne rezultaty otrzymano dla przypadku h/R = 1/100 i h/R = 1/50. RozbieĪnoĞci w wynikach przy wiĊkszych stosunkach h/R wynikają z tego, Īe w pracy Weaver i inni [1990] rozwaĪano drgania áuków cienkich, nie uwzglĊdniając wpáywu siá poprzecznych na drgania konstrukcji.

Tabela 4. Wpáyw kąta rozwarcia áuku na pierwszą czĊstoĞü drgaĔ wáasnych áuku koáowego utwier- dzonego (rys. 13b), podano liczbĊ wykorzystanych elementów skoĔczonych n

Table 4. InÀ uence of subtended angle on ¿ rst natural frequency of a hinged-hinged arch (Fig.

13b), number of ¿ nite elements used n is given

ȥ Ar2Ph2

(n = 4)

B21

Ȧ^I n

30° 2657,79 2642,4 10

90° 377,78 377,97 20

120° 197,85 198,23 20

180° 73,195 73,338 30

300° 16,802 16,816 40

Porównując dane z tabeli 5, moĪna równieĪ zauwaĪyü duĪą zgodnoĞü wyników z przedstawionymi w pracy Saffari i inni [2008]. Ponadto ponownie elementy prĊtowe B21 wymagają najgĊstszej siatki dyskretnej do zamodelowania zadania i uzyskania war- toĞci bliskich uzyskanym elementom Ar2Ph2. Wraz ze wzrostem wartoĞci h/R czĊstotli- woĞci z trzeciej kolumny coraz bardziej odbiegają od pozostaáych przy zaáoĪonym po- dziale na 20 elementów.

PODSUMOWANIE

Przedmiotem niniejszej pracy jest budowa áukowego elementu skoĔczonego o ¿ - zycznych funkcjach ksztaátu w sformuáowaniu przemieszczeniowym. Punktem wyjĞcia do rozwaĪaĔ byáy równania powáoki walcowej o staáej gruboĞci. Dokonano przejĞcia do równaĔ áuku koáowego i wprowadzono uogólnienie, dziĊki któremu moĪna analizo- waü prĊty o dowolnym przekroju poprzecznym. Zastosowano związki konstytutywne, uwzglĊdniające sprzĊĪenie stanu membranowego i zginania. Wyprowadzone funkcje ¿ - zyczne, mimo Īe mają skomplikowaną formĊ algebraiczno-trygonometryczną, przecho- dzą w odpowiednie funkcje ksztaátu elementu prĊta Timoshenki przy R ĺ ’. Analiza funkcji ksztaátu od Į wykazaáa duĪą zmiennoĞü charakteru funkcji wraz ze wzrostem wartoĞci kąta. Wykazuje to przewagĊ wyprowadzonych funkcji ksztaátu oraz potwierdza niewielki zakres stosowalnoĞci funkcji liniowych. Na podstawie analizy funkcji ¿ zycz- nych od stosunku h/Rpokazano, Īe mogą one zostaü wykorzystane do modelowania rów- nieĪ dĨwigarów cienkich.

Uzyskana Ğcisáa macierz sztywnoĞci i wektor obciąĪeĔ wĊzáowych oraz konsekwent- na macierz mas posáuĪyáy do rozwiązania kilku zadaĔ statyki i drgaĔ wáasnych. Otrzy- mano dokáadne wartoĞci poszukiwanych przemieszczeĔ od siá skupionych. Rozwiązano zagadnienie wáasne áuku przy kilku róĪnych warunkach brzegowych. Wyniki skonfron- towano z danymi opublikowanymi przez innych autorów. We wszystkich przypadkach, niezaleĪnie od parametrów Į i h/R, prezentowany tu element skoĔczony daá najlepsze rezultaty.

Tabela 5. Wpáyw stosunku h/R na pierwszą czĊstotliwoĞü drgaĔ wáasnych poprzecznych symetrycz- nych pierĞcienia koáowego, podano liczbĊ wykorzystanych elementów skoĔczonych n Table 5. InÀ uence of h/R ratio on ¿ rst symmetric natural frequency of a circular ring, number of

¿ nite elements used n is given

h/R Ar2Ph2

(n = 2)

Saffari i in. [2008]

(n = 2)

B21

(n = 20) Weaver i in. [1990]

1/5 670,73 671,52 667,70 684,979

1/10 340,83 340,92 340,59 342,489

1/20 171,07 171,1 171,17 171,244

1/50 68,49 68,49 68,569 68,489

1/100 34,25 34,24 34,292 34,249

1/150 22,83 22,83 22,862 22,833

PIĝMIENNICTWO ABAQUS 6.8-3 Documentation

Kim J.G., Kim Y.Y.,1998. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element, Int. J. Numer.

Meth. Engng. 43, 925–940.

Kulikov G.M., Plotnikova S.V., 2004. Non-conventional non-linear two-node hybrid stress-strain curved beam elements. Finite Elements in Analysis and Design 40, 1333–1359.

Leung A.Y.T., Zhu B., 2004. Fourier p-elements for curved beam vibrations. Thin-Walled Structu- res 42, 39–57.

Litewka P., Rakowski J., 1997. An ef¿ cient curved beam ¿ nite element. Int. J. Numer. Meth. Engng 40, 2629–2652.

Mazurkiewicz Z., Nagórski R., 1987. Powáoki obrotowe sprĊĪyste. PWN, Warszawa.

Raveendranath P., Sigh G., Venkateswara Rao G., 2001. A three-noded shear-À exible curved beam element based on coupled displacement ¿ eld interpolations. Int. J. Numer. Meth. Engng.

51, 85–101.

Saffari H., Tabatabaei R., Mansouri S.H., 2008. Vibration analysis of circular arch element using curvature. Shock and Vibration 15, 481–492.

Sengupta D., Dasgupta S., 1997. Static and dynamic applications of a ¿ ve noded horizontally cu- rved beam element with shear deformation. Int. J. Numer. Meth. Engng. 40, 1801–1819.

Sitek M., 2006. Fizyczne funkcje ksztaátu w analizie statycznej i dynamicznej áuków koáowych o Ğredniej gruboĞci. Praca magisterska. Wydziaá InĪynierii Lądowej, Politechnika War- szawska, Warszawa.

Stolarski H., Belytschko T., 1983. Shear and membrane locking in curved C-0 elements. Comp.

Meth. Appl. Mech. Eng. 41, 279–296.

Weaver W., Timoshenko S., Young D., 1990. Vibration problems in engineering. Wiley, New York.

Zhang Z., 1992. A note on the hybrid-mixed C-0 curved beam elements. Comp. Meth. Appl. Mech.

Eng. 95, 243–252.

FINITE ELEMENT OF MODERATELY THICK ARCH – STATICS AND FREE VIBRATIONS

Abstract. The present paper is dedicated to the ¿ nite element of moderately thick arch (Ar2Ph2). So-called “physical” shape functions, stiffness matrix, load vector and mass ma- trix are derived. The shape functions are based on the displacement differential equations of the arch. The ¿ nite element is exact for static analysis. Convergence analysis for free vibration is presented with promising results.

Key words: ¿ nite element method, moderately thick arch

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 20.02.2013