R O CZ N IK I FILO ZO FICZN E T o m X IX , z e s z y t 3 — 1971
STANISŁAW MAZIERSKI
RELATYWIZACJA PRZESTRZENI I CZASU W SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI
Zarówno ogólna, jak szczególna teoria względności A. Einsteina jest nadal przedm iotem zainteresow ania fizyków i filozofów przyrody. Bo
gata lite ra tu ra dotycząca tych badań świadczy w ym ownie o tym , jak w ielkie bogactwo treści fizycznej k ryje się w teorii Einsteina. Niniejszy arty k u ł m a n a celu w yeksponow anie tych m om entów w szczególnej teo
rii einsteinowskiej, które dotyczą względnego charakteru przestrzeni i czasu. Chodzi m ianowicie o to, jaki m a sens tw ierdzenie, że czas i prze
strzeń są względne. Inne kwestie, jak np. om ówienie doświadczenia Mi- chelsona-M orleya czy też prezentacja zasady względności w m echanice klasycznej są w takiej m ierze uwzględnione, w jakiej przyczyniają się do lepszego zrozum ienia einsteinow skiej relatyw izacji przestrzeni i czasu.
P om ija się natom iast inne ważne wnioski z teorii, które nie są bezpośred
nio zw iązane z zagadnieniem zasygnalizowanym w ty tu le artykułu.
1. F akty fizyczne poprzedzające powstanie szczególnej teorii w zględ
ności.
Teoria Einsteina je st system em fizycznym traktującym o związkach zachodzących między przestrzenią, czasem, prędkością św iatła i masą.
Stanow i ona w ażne ogniwo w procesie rozwoju fizyki. W m iarę odkry
w ania now ych zjaw isk elektrom agnetycznych, a w szczególności optycz
nych, zarysow ały się sprzeczności w konstrukcji fizyki new tonow skiej (czyli fizyki klasycznej): zauważono, że zjaw iska elektrom agnetyczne za
chow ują się inaczej aniżeli fakty przyrodnicze, opisane przez fizykę kla
syczną !. N a przykład kierunek linii sił pól m agnetycznych jest inny od k ierunku sił w polu graw itacyjnym .
Rozchodzenie się fal elektrom agnetycznych (m.in. świetlnych) poj
m ow ano jako rozprzestrzenianie się tych fal w eterze. W tym przekona- 1 A. E i n s t e i n , L. I n f e l d , Ewolucja fizyki, przekład z ańg. R. Gajew
skiego, Warszawa 1959, s. 211.
niu umocniły fizyków zjaw iska uginania, polaryzacji i interferencji świa
tła. Zjawiska te bowiem w skazują na falową stru k tu rę promieniowania, rozchodzącego się w hipotetycznym eterze. Hipoteza o istnieniu tego za
gadkowego ośrodka przeszła ewolucję. W okresie rozw oju m echaniki kla
sycznej uważano go za nieważką, sprężystą m aterię, zdolną do przeno
szenia drgań mechanicznych. Za czasów F aradaya i M axwella odgrywał rolę podłoża hipotetycznych linii sił, wzdłuż których zachodzi oddziały
w anie między cząstkami m aterii. Z biegiem czasu pozbawiono go całko
wicie właściwości mechanicznych, a przypisano m u własność przenosze
nia energii elektrom agnetycznej. E ter stał się tylko narzędziem myślo
wym lub fikcją dla w ytłum aczenia niektórych zachodzących w świecie zjawisk 2. Jego fikcyjne istnienie wyszło na jaw, gdy przyrodnicy usiło
wali odpowiedzieć na pytanie, czy nasz system słoneczny je st nierucho
my, czy też porusza się w przestrzeni. Eksperym ent Michelsona-Morleya, w ykonany w 1881 r., m iał rozstrzygnąć tę kwestię. Przyjęto, że światło rozchodzi się w eterze z prędkością c = 300 000 km/sek. Założono, że je
żeli istnieje eter we wszechświecie, w którym porusza się Układ Sło
neczny w raz z Ziemią, fale świetlne w ysłane przez obserw atora na Zie
mi w kierunku jej ruchu powinny się opóźniać w stosunku do fal świetl
nych wysłanych w przeciwnym kierunku dlatego, że w kierunku ruchu Ziemi są poryw ane przez w iatr eterowy, wytw orzony pędem Ziemi.
Prom ienie świetlne powinny więc być w ruchu w zględnym w stosunku do nas jako obserwatorów n a Ziemi. Jeżeli jesteśm y w ruchu, który od
byw a się w niewidzialnym eterze, to przy pomocy odpowiedniego ekspe
rym entu optycznego powinno dać się w ykryć te n ruch w eterze. W celu potwierdzenia tych teoretycznych rozumowań Michelson i M orley posłu
żyli się przyrządem zw anym interferom etrem , którego schem at podany jest na rys. 1 (s. 37).
Wiązka św iatła ze źródła Z zostaje rozdzielona n a dwa prom ienie (1) i (2) przy pomocy zw ierciadła Z1; pokrytego półprzepuszczalną w arstew ką srebra. Tak zbudowane zw ierciadło część prom ieni przepuszcza, a część odbija. Prom ień (1) odbija się od zw ierciadła Z u potem od zw ierciadła Z2 i w pada do teleskopu T. Drugi prom ień przechodzi przez zw ierciadło Zj.
Ten ostatni prom ień (2) odbija się od zw ierciadła Z3 i część jego prze
chodzi przez Z u a następnie w raca do źródła światła. Pozostała część od
bija się od Z 1 i w pada do teleskopu T. Jeżeli założymy, że Ziem ia (lub w iatr eterowy) porusza się w kierunku zaznaczonym strzałkam i, to pro
m ień (1) powinien się odchylić i przybyć do p u n k tu A, a prom ień (2) nie powinien zboczyć na drodze OZ3, ponieważ porusza się równolegle w kie
runku ruchu eteru, przy czym szybkość prom ienia z O do Z3 pow inna 2 S. L o r i a, W zględność i grawitacja. Teoria A. Einsteina, Lwów 1922®, s. 6n.
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 37
Zz
być w iększa niż z Z3 do O. Część prom ienia (2) odbita od zw ierciadła Z t (w drodze pow rotnej) pow inna również ulec odchyleniu i przyjść do T w punkcie B. W tedy możemy oczekiwać, że w teleskopie ukażą się jasne i ciemne prążki interferencyjne w skutek różnych faz prom ieni (1) i (2).
Z teoretycznych obliczeń czasu, jakiego potrzebuje św iatło n a prze
bycie drogi z O do Zj i czasu potrzebnego n a drogę od Z3 do O wynika, że te dw a okresy czasu nie są równe. Wobec tego jeden prom ień powi
nien się opóźniać w stosunku do drugiego. Gdyby przyrząd nie poruszał się w eterze, to tj byłoby rów ne t 2.
Obróćmy interferom etr o 180° w płaszczyźnie pionowej. Skutek bę
dzie taki, jak gdybyśm y odwrócili kierunek w iatru eterowego. W telesko
pie pow inniśm y znowu zaobserwować przesunięcie prążków in terferen- cyjnych. Jednakże teoretyczne przypuszczenia okazały się niezgodne z w ynikiem eksperym entu. Bardzo niew ielkie przesunięcie prążków nie
odpowiadało teoretycznym obliczeniom. Eksperym ent wykazał, że prze
sunięcia wyraźnego nie ma.
Tak więc w w yniku żm udnych doświadczeń nie zaobserwowano prze
sunięcia prążków interferencyjnych. W yprowadzono stąd wniosek, że albo eter nie istnieje, albo przyrząd M ichelsona nie może go wykryć.
W 1890 r. Fitzgerald próbował wyjaśnić, dlaczego Michelsonowi n ie udało się w ykryć w iatru eterowego. Rozumował on w następujący sposób.
Przedmioty, poruszające się w przestrzeni, w yw ierają parcie n a otacza
jący je eter, w skutek tego przedm ioty te się kurczą.. Podobnem u skur
czeniu uległ interferom etr i w ten sposób został w yrów nany w pływ w ia
tru eterowego. Podał on naw et w zór m atem atyczny n a skracanie przed
miotów w ruchu. Fizyk holenderski Lorentz przeanalizował to zagadnie
nie z punktu widzenia swej teorii elektronowej. Jego zdaniem atom y zaw ierają naelektryzow ane cząstki, które w ytw arzają pola elektryczne i magnetyczne. Jeżeli istnieje eter, pola te m uszą reagować na niego w form ie zagęszczenia atomów, którego widocznym przejaw em jest skró
cenie przedmiotu. A oto wzór Lorentza na skracanie przedmiotów. Nie
chaj L0 oznacza długosę przedm iotu w spoczynku, L — długość przed
m iotu w ruchu, c — szybkość światła, v — -prędkość przedm iotu w ete
rze, wówczas między tym i wielkościami zachodzi następujące rów nanie:
L = L0Vl — v2/ę2 (1)
Tłumaczenie Lorentza nie zadowoliło fizyków, gdyż jego hipoteza by
ła tru d n a do sprawdzenia: zakładała możliwość istnienia uprzyw ilejow a
nego układu współrzędnych w nieruchom ym eterze. Nasunęło się przy
puszczenie, że fizycy — być może — błędnie in terp re tu ją w ynik ekspe
rym entu Michelsona. Takie stanowisko zajął A. Einstein w swej szczegól
nej teorii względności. Ponieważ jego teoria jest rozszerzeniem i uzupeł
nieniem fizyki klasycznej, przeto przedstaw im y te zasady fizyki new to
nowskiej, które pozostają w ścisłym zw iązku ze szczególną teorią Ein
steina.
2. Zasada względności w mechanice klasycznej 3.
Gdy twierdzimy, że ciało jest w ruchu, m am y n a myśli, iż ono zmie
nia swe położenie względem innego ciała. To ciało, w stosunku do któ
3 Zasada ta w sformułowaniu Einsteina brzmi: „Ist K ’ein in foezug auf K gleicMormig und drefhungsfrei berwegtes Koordinatensystem, so verlauft das Natur- gesehehen in bezug auf K’nach genau denśelben aUgemeinen Gesetzen w ie in bezug auf K. Diese Aussage nennen. wir „Relativitatsprinzip” im engeren Sinne)”
(A. E i n s t e i n , Uber die spezielle und allgemeine R elatw itatstheorie, Braun
ach weig 196319, s. 7).
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 39 rego ruch rozważamy, nazyw a się układem odniesienia. W yróżniamy w nim trzy proste przecinające się pod kątem prostym i trak tu jem y je jako układ współrzędnych. Ruch jest zawsze zrelatyw izow any do jakie
goś układu odniesienia. W kinem atyce newtonowskiej, która zajm uje się w yłącznie form am i ruchu bez uw zględnienia w arunków , w jakich ruch zachodzi, jest m ow a.o ruchu jednostajnym ; n ie m a ciała, o którym dało
by się powiedzieć, że znajduje się w absolutnym spoczynku. Stan spo
czynku je st czymś względnym.
Położenie ciała poruszającego się określam y przy pomocy współrzęd
nych układu odniesienia. Przemieszczanie się ciała względem układu od
niesienia je st funkcją czasu, wobec tego współrzędne są funkcjam i cza
su, przy czym jest rzeczą obojętną, względem którego układu odniesie
nia ruch się rozpatruje.' Inna sprawa, że ruch ciała w stosunku do róż
nych układów odniesienia może być różny. Tak np. kula, opuszczona z okna jadącego pociągu dla obserw atora w pociągu będzie spadała wzdłuż linii prostej, ale dla obserw atora, stojącego na torze kolejowym, kula za
kreśli parabolę.
N atom iast w dynam ice newtonowskiej, która zajm uje się również w a
runkam i pow staw ania ruchu, czyli siłami, jakie działają n a ciała, zasady ruchu obserwowanego n a Ziemi są słuszne tylko w pew nych przypad
kach i z pew nym przybliżeniem . Jed n a z ty ch zasad głosi, że jeśli n a cia
ło nie działa żadna siła, ciało to jest w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym i prostolinijnym . Tylko w tedy jest ona ważna, jeśli ciało będące w ru c h u lu b w spoczynku je st dositatecznie oddalone od innych przedm iotów tak, by nie w yw ierały swego w pływ u na ciało poruszające się. Ten w arunek m oże być spełniony jedynie w przybliżeniu, np. gdy za układ odniesienia obierzem y gwiazdy stałe.
Podobnie rzecz się ma . z drugą zasadą Newtona, która głosi, że przy
śpieszenie ciała jest w prost proporcjonalne do siły działającej na to cia
ło. Jed n a i druga zasada jest słuszna w tedy, gdy rozpatrujem y ciało po
ruszające się ruchem jednostajnym i prostolinijnym . Pozornie prosty tor toczącej się na stole kuli w rzeczywistości m usi być nieco zakrzywiony w skutek obrotowego ruchu Ziemi wokół swej osi. Nie dostrzegam y tej krzyw izny tylko dlatego, że droga jest krótka i czas obserw acji niew iel
ki. Dlatego tw ierdzim y tu, że p r a w a ' m echaniki przebiegają tak samo w układzie obracającym się, jak w układzie, który porusza się ruchem prostolinijnym i jednostajnym . Gdybyśm y za Newtonem założyli, że istnieje przestrzeń absolutna i ruch absolutny, powiedzielibyśmy, iż „pra
w a m echaniki są słuszne w stosunku do układu poruszającego się prosto
liniow o i jednostajnie poprzez absolutną przestrzeń tak samo, jak
w stosunku do układu spoczywającego w te j przestrzeni” 4. J e s t to zasa
da względności w m echanice klasycznej w sform ułowaniu M axa Borna.
Wobec tego obserwator, poruszający się w jakim ś układzie prostolinio
wo i jednostajnie, nie mógłby odróżnić tego ruchu od ruchu absolutnego.
W m iejsce hipotetycznej absolutnej przestrzeni, k tó ra m iała pełnić funkcję absolutnego układu odniesienia, wprow adzono do fizyki pojęcie układu względnego, inercjalnego, czyli układu Galileusza; jest to taki układ odniesienia, w którym praw a m echaniki są jednakow o ważne.
Istnieje nieskończenie w iele równow ażnych układów inercjalnych, w któ
rych wym ienione praw a są ważne w swej prostej klasycznej formie.
Zilustrujem y to przykładem. Niech 'będą dane d w a układy odniesienia S i S', z których S' porusza się względem S ze stałą prędkością prostoli
niowo. Przedstaw m y sobie, że względem układu S leci samolot, również wzdłuż linii prostej i ze stałą prędkością. R uclf sam olotu w tym układzie będzie opisany rów naniam i liniowymi, w których w ystępow ać będą ta kie stałe, jak prędkość samolotu i współrzędne położenia w momencie,
od którego zaczynamy liczyć ruch. W m iarę upływ u czasu t współrzędne położenia samolotu x, y, z, będą sie zmieniać, czyli współrzędne te będą funkcjam i liniowym i czasu.
4 M. B o r n , Die R elatw itatstheorie Einsteins, Berlin-Gottingen-Heidelberg 19644, 6. 58.
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 41 Z kolei rozważmy, jak będzie scharakteryzow any ruch samolotu w układzie S'. P rosty rachunek wskazuje, że ruch ten będzie opisany ta kim i sam ym i rów naniam i, w których w ystąpią współrzędne położenia x', y', z', będące również funkcjam i liniow ym i tego samego czasu t. U kła
dy odniesienia, poruszające się ruchem prostoliniow ym i jednostajnym , mogą być względem siebie położone w różny sposób (czyli różnie zorien
towane), co wcale nie w pływ a n a m atem atyczny opis tego ruchu. Dla uproszczenia weźm y pod uw agę dw a układy odniesienia poruszające się w stosunku do siebie z prędkością v prostoliniowo i jednostajnie tak względem siebie zorientow ane, że oś X zlewa się z osią X', a oś Y jest rów noległa do osi Y' i oś Z jest równoległa do osi Z' (Rys. 2 n a s. 40).
R ozpatrujem y ruch układu kreskowanego S' względem niekreskow a- nego S od m om entu to, gdy oba układy się pokryły, czyli gdy punkt O pokrył się z punktem O'. W czasie t układ S' przesunął się względem układu S o odcinek a — OO' = vt. Wówczas w spółrzędne przedm iotu P w układzie kreskow anym będą w następujących relacjach do współrzęd
nych w układzie niekreskow anym :
Rów nania te w yrażają związki pomiędzy współrzędnym i w obu w y
m ienionych układach i nazyw ają się przekształceniam i lub transform a
cjam i Galileusza. Zasady m echaniki Newtona są słuszne zarówno w ukła
dzie S', jak w układzie S. Obecnie możemy sformułować zasadę względ
ności w m echanice klasycznej następująco: praw a m echaniki new tonow skiej są w ażne w każdym układzie inercjalnym , czyli są niezmiennicze wobec transform acji Galileusza.
3. Zasada względności w szczególnej teorii względności.
Rozchodzenie się św iatła w próżni (lub w powietrzu) jest również zja
wiskiem fizycznym, które przebiega w edług pewnego praw a: prędkość św iatła c = 300 000 km/sek. Skoro tak, to nasuw a się pytanie, czy praw o rozchodzenia się św iatła jest zgodne z klasyczną zasadą względności. Czy pod tę zasadę podpadają rów nież zjaw iska optyczne i w ogólności elektro
m agnetyczne? Czy one jednakowo przebiegają w e wszystkich układach inercjalnych? W celu w yjaśnienia tej kw estii posłużym y się następują
cym p rz y k ła d em 5. Ze stacji A do stacji B jedzie pociąg z prędkością x ' = x — vt x = x ' vt
y = y' (2)
5 E i n s t e i n , V ber die spezielle..., s. 10-12.
stałą Vj km/sek. W jednym z wagonów tego pociągu idzie pasażer w kie
runku biegu pociągu z prędkością v2. Prędkość pasażera względem to
ru — zgodnie z dodawaniem prędkości w fizyce klasycznej — wynosi v = Vj + v2. Jeżeli pasażer będzie szedł w przeciwnym kierunku, jego prędkość względem toru w yniesie v = vŁ — v2.
Niech teraz w roli pasażera w ystąpi prom ień św ietlny: raz skierow any zgodnie z kierunkiem biegu pociągu, drugi raz — w przeciw nym kie
runku. Praktycznie rzecz biorąc św iatło -rozchodzi się w próżni i w po
w ietrzu z taką sam ą prędkością. Dla pasażera natom iast w pędzącym pociągu zjaw isko rozchodzenia się św iatła pow inno przebiegać inaczej.
Dla obserw atora w wagonie prędkość św iatła biegnącego w kierunku ruchu, pociągu powinna w ynieść cr w c ~ v, a prędkość św iatła w ysła
nego w przeciwnym kierunku pow inna być c2 = c + v. Z tych teoretycz
nych rozważań, opartych na klasycznym dodaw aniu prędkości, wynika, że pasażer jadący pociągiem powinien w ykryć — przy pomocy rozcho
dzenia się św iatła — w którym k ierunku porusza się pociąg: Ja k już wiemy, w analogicznej sytuacji znajduje się człowiek na Ziemi, w ysyła
jący prom ień św iatła w różnych kierunkach w stosunku do poruszającej się kuli ziemskiej. W jednym i drugim w ypadku zjaw iska optyczne (sze
rzej mówiąc i elektromagnetyczne) byłyby sprzeczne z zasadą względ
ności w mechanice newtonowskiej, gdyż w różnych układach inercjalnych zachowywałyby się w różny sposób, a w szczególności w układzie nie
ruchomym i ruchomym.
Skoro doświadczenie Michelsóna daje zawsze w ynik negatyw ny (brak wpływii ruchu Ziemi n a zjaw iska świetlne), to bez względu n a to, w któ
rym kierunku prom ień św iatła będzie w ysłany, należy przyjąć jedyną uzasadnioną możliwość, że dla każdego obserw atora w dowolnym ukła
dzie inercjalnym światło rozchodzi się z taką sam ą prędkością w różnych kierunkach. W szystkie praw a przyrodnicze, a więc i praw a optyczne (sta
łość prędkości światła), są w ażne w e wszystkich układach poruszających się względem siebie jednostajnie i prostoliniowo: jest to tzw. zasada względności w szczególnej teorii E insteina 6.
Ale jak to możliwe, żeby prędkość św iatła była zawsze ta k a sam a bez względu n a to, czy zjaw isko św ietlne obserw ujem y w układzie ruchom ym lub nieruchom ym. Czy nie dałoby się rozciągnąć klasycznej zasady względ
ności n a zjaw iska i praw a optyczne? W ty m m iejscu w kracza ze swą teorią względności Einstein twierdząc, że m iędzy new tonow ską zasadą względności i praw em stałości prędkości św iatła zachodzi sprzeczność tylko pozorna. Żeby to wykazać, trzeba zmienić nasze poglądy n a czas i przestrzeń, a ściślej na nasze sposoby pomiarów tych wielkości. Dotych
0 E i n s t e i n , I n f e l d , Ewolucja..., s. 194.
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 43 czasowe new tonow skie określenie przestrzeni i czasu nie daje żadnej pod
staw y do ustalenia sposobu oznaczania lub m ierzenia czasu i przestrzeni.
Zachodzi potrzeba podania fizykalnej definicji długości i okresu czasu oraz równocżesności zjaw isk, czyli takiej definicji, która określa zespół czynności pom iarow ych w celu otrzym ania rezultatu pom iaru danej w iel
kości. Teoria względności czyniąc zadość tem u postulatowi zrelatyw izo- w ała w yniki pom iarów do układu odniesienia. Dotychczas zakładano, że okres czasu danego zjaw iska nie zależy od układu odniesienia, czyli że w każdym układzie jest taki sam ; rezultat pom iaru długości również nie zależy od układu odniesienia. Gdy zrezygnujem y z tych dwóch supozycji, będziem y mogli pogodzić klasyczną zasadę względności z praw em sta
łości prędkości światła. Teoria Einste;' .a wykazuje, że każdy z obserw a
torów np. jeden w pędzącym pociągu, a drugi n a torze kolejowym doko
n u je pom iaru przy pomocy swoich m iar długości i swoich m iar czasu.
Gdy pierw szy obserw ator zmierzy długość p rę ta ' lub odstęp czasu za pomocą swoich odpowiednich przyrządów i swoich jednostek pomiaro
wych, a drugi obserw ator, poruszający się względem pierwszego jedno
stajnie i prostoliniowo, dokona pom iarów tego samego p ręta i okresu czasu przy pomocy swoich przyrządów i jednostek pomiarowych, wów
czas okaże się, że rezultaty pom iaru dokonane w tych różnych układach odniesienia będą różne. W konsekwencji zdarzenia jednoczesne dla obser
w atora w nieruchom ym układzie nie będą jednoczesnymi dla obserw atora w układzie ruchom ym .
N asuw a się pytanie, jak obserw ator nieruchom y m a ocenić w yniki pom iaru czasu i przestrzeni otrzym ane przez obserw atora ruchomego i od
w rotnie, ażeby prędkość św iatła dla jednego i drugiego obserw atora była tak a sama. Oceny tej n ie m ożna dokonać przy użyciu transform acji Gali
leusza, gdyż one zakładają takie sam e w yniki pom iarów we wszystkich układach inercjalnych. Poza tym zw ykłe dodaw anie prędkości doprowadza do rezultatów niezgodnych ze stałą prędkością światła. Z tego powodu teoria Einsteina posługuje się innym i przekształceniam i, zw anym i trans
form acjam i Lorentza.
4. Transform acje Lorentza.
W yobraźm y sobie dw a układy odniesienia S i S', które poruszają się względem siebie ruchem prostolinijnym i jednostajnym z prędkością v.
Dla ułatw ienia niech oś X będzie skierow ana wzdłuż osi X'. Załóżmy, że w momencie, gdy początek układu O padnie w punkcie O', został w y
słany sygnał św ietlny. O bserw ator nieruchom y w układzie S ujrzy zja
w isko św ietlne (czoło fali świetlnej) po upływ ie czasu t na powierzchni
kuli o prom ieniu ct i scharakteryzuje je przy pomocy współrzędnych x, y, z, t. Równanie kuli będzie m iało postać:
x2 + ya + z2 — c21* = 0 (3) O bserwator ruchom y w układzie S' ujrzy czoło fali św ietlnej po upły
wie czasu tj na powierzchni kuli o prom ieniu ctj i scharakteryzuje to zjawisko za pomocą współrzędnych x 1; y x, z x, t^ R ów nanie kuli przyjm ie dla niego analogiczną postać:
, 2 i 2 I 2 2 , 2 ~
+ y l + Z1 - c tj = 0 (4) Równania (3) i (4) odnoszą się do tej samej powierzchni, gdyż obaj obserwatorzy widzieli to samo zjawisko, które przebiegało w edług tego samego praw a i z tą samą prędkością w obu układach odniesienia. Współ
rzędne x 1( yl5 Zj, tj, w układzie Sj są funkcją współrzędnych x, y, z, t, w układzie S. Związki m iędzy współrzędnym i układu niekreskow anego S i współrzędnymi układu kreskowanego Sj w yrażają rów nania zw ane transform acjam i Lorentza. Ażeby te przekształcenia były możliwe, m u
szą być spełnione następujące w arunki:
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 45 (i) przyporządkow anie w spółrzędnych układu St współrzędnym ukła
du S pow inno być ciągłe i jednoznaczne 7, (ii) zakłada się, że przestrzeń, w której znajdują się obserw atorzy, jest jednorodna i izotropowa, tzn.
nie m a w niej uprzyw ilejow anych obszarów i kierunków , (iii) zjaw iska przebiegają jednakow o niezależnie od tego, czy zachodzą one wcześniej lub później od obranego m om entu czasu. A oto m atem atyczna postać transform acji Lorentza:
, x — v t x = ~ / = ■
y i - y / c * z' = z
y' = y
t' = y / i — v2/c2 (5)
Z rozw iązania układu rów nań (5) względem x i t otrzym ujem y:
x ' + v t '
X =
^ 1 — va/c3 z = z t =
y - y '
_______ < r____
] / l - v2/c2 (6)
Jeśli oznaczymy 1 V 1 - V 2/C2 x ' = a(x — v t)
= = = aj rów nania Lorentza przybiorą postać:
x = a(x' + v t') (7) (8) Transform acje L orentza przechodzą w transform acje Galileusza przy założeniu, że prędkość św iatła jest nieskończenie wielka:
x ts;x — v
t ' = t (9)
Zgodnie z założeniami fizyki new tonow skiej okresy czasu w obu ukła
dach Galileusza są identyczne (t' = t ) 8. Je st tak dlatego, że fizyka kla
7 L o r i a, op. cit. s. 47n. Por. również M. H e l l e r , Czasoprzestrzenne kon
tinuum szczególnej teorii w zględności, „Roczniki Filozoficzne”, XIII (1)965), z. 3, s. 77n.: „O przestrzeni mówim y, że jest ciągła, gdy dla dowolnego punktu M tej przestrzeni o współrzędnych (x1; x 2 ... x n) istnieje inny punkt N tej samej prze
strzeni o współrzędnych (Xj + Ax1; x 2 + Ax2 ..., x n + Ax„) dowolnie mało różnych od współrzędnych punktu M”.
3 „In der Tat ist die Zeit .gemass der klassischen Physik absolut, d.h. von der Lage und dem Bewegungszustande des Bezugssystem unabhangig. Dies kommt in der letzten Gleichung der Galilei-Transf ormatkm. (t' = t) zum Ausdruck” ( E i n s t e i n , U ber die spezielle..., s. 34);
syczna rozpatruje prędkości stosunkowo niew ielkie w porów naniu do prędkości światłą. Różnice pomiarów w różnych układach odniesienia są uchw ytne dopiero przy prędkościach zbliżonych do prędkości światła.
W w yniku tego faktu dwa zjawiska, k tóre uważano w fizyce klasycznej za równoczesne, nie są takim i ze stanowiska fizyki relatyw istycznej. Rów- noczesność jest względna, czyli jest słuszna tylko w dwóch układach, które są w spoczynku. Gdy jeden układ porusza się względem dru
giego ze stałą prędkością, zjawisko jednoczesne w jednym układzie nie jest jednoczesne w drugim u k ład zie9. Z ilustrujm y to przykładem.
Przedstaw m y sobie bardzo długi pociąg pędzący z szybkością 250 000 km/sek. Pierwszy i ostatni wagon tego pociągu posiada autom atyczne drzwi, które się otw ierają samoczynnie, gdy' padnie n a nie promień świetlny. Niech obserw ator ruchomy, znajdujący się w środku pociągu, wyśle w ty m sam ym momencie dwa prom ienie św ietlne: jeden w kierun
ku biegu pociągu, a drugi w przeciwnym kierunku. Dla tego obserwatora drzwi się otworzą jednocześnie zgodnie z zasadą stałości prędkości świat
ła. W yobraźmy sobie, że na peronie stoi drugi obserw ator, któ ry w mo
mencie w ysyłania prom ieni św ietlnych znajduje się n a linii środkowej pociągu. Dla tego obserw atora na peronie najpierw otw orzą się drzwi ostatniego wagonu, a potem drzwi pierwszego wagonu. Ja k to możliwe, skoro światło biegnie z tą sam ą prędkością zarówno w stosunku do bieg
nącego pociągu, jak i do nieruchomego peronu. Dzieje się tak dlatego, że ostatni wagon biegnie n a spotkanie z prom ieniem światła, a pierwszy ucieka przed goniącym go św iatłem . Promień, w ysłany w kierunku ostat
niego wagonu, będzie m iał do przebycia krótszą drogę, a drugi prom ień goniący przedni wagon będzie m iał — dłuższą drogę. W następstw ie tego obserw ator na peronie ujrzy niejednoczesne otw ieranie się obydw u drzwi.
W yrażenie „jednoczesne zjaw isko” m a określony sens fizyczny tylko w te
dy, gdy się uwzględnia układ odniesienia, w którym to zjaw isko zachodzi.
5. Pomiary przestrzeni i czasu:
a) S k r ó c e n i e j e d n o s t k i d ł u g o ś c i . 10. Niech układ S 'w ra z z obserw atorem ruchomym (OR — obserw ator ruchomy) porusza się względem układu S, w którym znajduje się obserw ator nieruchom y
9 Ibid., s. ISm. Według Einsteina równoczesnymi są tafcie zdarzenia zachodzące w punktach A i B układu odniesienia K, które obserwator znajdujący się w środku odcinka AB spostrzega w tym samym momencie. N ie definiuje się tu pojęcia równo- czesności, lecz przyporządkowuje się mu pewną operację fizyczną. Tego rodzaju definicje Rei-oheribach nazwał definicjam i przyporządkowującymi. Por. H. E e i - c h e n b a c h , The Philosophy of Spocę and Time, N ew York 1958, s. 14-19 i 125-129 oraz H e l l e r , Łc. s. 83.
10 E i n s t e i n , Vber die spezielle..., s. 21n.
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 47 (ON — obserw ator nieruchom y), w kierunku dodatnim osi X, pokryw a
jącej się z osią X'. Załóżmy, że OR w swoim układzie kreskow anym od
m ierza długość p rę ta o odciętych x '1; x'2 (długość p ręta L' = x' 2 — x 't).
Poniew aż prędkość układu S' względem S jest zbliżona do prędkości św iatła, ON m usi wyznaczyć ,,w lo t” długość przejeżdżającego przed nim pręta. Poszuka on w swoim układzie odpowiednich punktów o odciętych x 1; x2 (a zatem L = x2 — Xj) w tym momencie, w którym oba końce pręta pojaw ią się dla niego jednocześnie, czyli w tej sam ej chwili t, gdy x 1 m ija x*j, a x2 m ija x '2. Ja k ON oceni zm ierzoną długość p ręta przez OR?
By odpowiedzieć n a to pytanie, posłużym y się transform acjam i Lorentza, k tóre pozw alają określić stosunek w yników pom iarów dokonanych W dw óch różnych układach odniesienia. Wiemy, że rezultaty pom iaru p rę ta przez OR i ON będą różne, gdyż równocześne położenia w układzie ruchom ym nie są równoczesnymi w układzie nieruchom ym. Równania transform acyjne określają dokładnie wzajem ne relacje między w ynikam i
pom iarów :
Z rów nań (7) dostajem y x' 2 — x 'j = a (x2 — Xj), a po podstaw ieniu o trzy m u jem y :
L' = ^ " ^ 2 • czy11 L = L V1 - v2/c2
Długość p rę ta dla obserw atora nieruchom ego będzie krótsza. Innym i sło
wy, ON oceni długość p ręta zmierzonego przez OR jako krótszą. Ale zno
w u OR ta k samo oceni w ynik pom iaru dokonanego przez ON, a miano
wicie: L' = L j / l — v2/c2.
b) W y d ł u ż e n i e j e d n o s t k i c z a s u . Żałóżmy, że dwaj obser
w atorzy A i B zsynchronizowali swoje zegary na odległych od siebie sta
cjach (w układzie nieruchom ym) przy pomocy sygnalizacji świetlnej.
Niech obaj wskoczą z tym i zegaram i do długiego pociągu jadącego z pręd
kością zbliżoną do prędkości św iatła: pierwszy A do ostatniego wagonu, wyposażonego w zwierciadło, a drugi B do pierwszego wagonu również posiadającego zw ierciadło (Rys. 4 na s. 48).
Polećm y im teraz skontrolow ać swoje zegary. W tym celu obserw a
tor A w yśle sygnał św ietlny do obserw atora B w chwili t*. Prom ień ten odbije się od zw ierciadła w chwili t2 i powróci do A w chwili t 3. W ynik kontroli będzie następujący. Gdy obserw ator A w ysyła światło do B, zw ierciadło obserw atora B ucieka w raz z pędzącym pociągiem przed czo
łem prom ienia świetlnego. Okaże się, że czas biegu prom ienia od A do B jest dłuższy, niż to było w układzie nieruchom ym na stacjach. Niech z kolei obserw ator B wyśle sygnał św ietlny do A. O bserw ator A otrzym a sygnał św ietlny po odbiciu się od zw ierciadła obserw atora B wcześniej
niż poprzednio na stacji, gdyż zwierciadło będzie szło na spotkanie z pro
mieniem. Obserwator A czekając krócej na sygnał stwierdzi, że zegar jego się późni (powie: „dopiero ta godzina”), a obserw ator B, czekając na syg
nał dłużej, stw ierdzi, że jego zegar się spieszy (powie: „już ta godzina”).
Obaj zauważą, że ich zegary zsynchronizowane n a stacjach nie chodzą jednakowo w pędzącym pociągu. Wniosek narzuca się taki, że różnice w pom iarach czasu zależą od układu odniesienia.
Rys. 4
Transform acje Lorentza pozw alają ocenić okres czasu, zmierzony w jednym układzie odniesienia ze stanow iska obserw atora w drugim układzie. Niech obserw ator ruchomy, znajdujący się w punkcie o odcię
tej x', odczyta n a swym zegarze najpierw jeden m om ent t \ , a po chwili drugi m om ent t '2. Odstęp czasu w yniesie: T' = t'2 — t \ . P ow staje kwe
stia, jak oceni ten odstęp czasu T' drugi obserw ator nieruchom y w ukła
dzie S. ON zanotuje n a swoich zegarach m om enty t 1; t2 (wobec tego T = t2 — tj), w których zegar obserw atora ruchomego pokazuje t / i t '2.
Porów najm y w yniki pomiarów czasu przy pomocy transform acji Lo
rentza (8). Po w ykonaniu prostych podstaw ień otrzy m u jem y :'
t2 - tx = a (t; - <), czyli T =
Widzimy więc, że odstęp czasu T', zm ierzony przez obserw atora ru chomego, drugi obserw ator nieruchom y oceni jako dłuższy. Analogicznie odstęp czasu T, zmierzony przez obserw atora nieruchomego, obserw ator ruchomy oceni jako dłuższy.
6. N iezmienniczość praw fizyczn ych wobec transform acji Lorentza.
Z faktu, że rezu ltaty pom iarów przestrzeni i czasu w różnych układach inercjalnych są różne, nie w ynika, iż praw a fizyczne przebiegają niejed
nakowo w tych układach. Zgodnie z teorią Einsteina wszelkie praw a przy
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 49 rodnicze (jako stałe relacje między wielkościami), a więc i optyczne, po
w inny być jednakow o w ażne w e w szystkich układach ruchom ych i nie
ruchom ych 11. Doświadczenie potw ierdza ten wniosek. Bieg prom ienia świetlnego w ciągu określonego czasu m ożemy przedstaw ić geometrycz
nie jako w ektor rozpatryw any w dwóch układach odniesienia.
Załóżmy, że układ odniesienia S jest tak zorientow any względem układu S', iż początki układów zlew ają się w punkcie O, a oś X jest od
chylona od osi X ' o k ą t a i odpowiednio oś Y jest odchylona o taki sam k ąt a od osi Y'. Dla uproszczenia oś Z pomijamy. Efekt takiego położenia układów otrzym ujem y rów nie dobrze przez obrót układu S względem układu S' o k ą t a.
W ektor OP = s przedstaw ia drogę prom ienia świetlnego, wysłanego z początku układu O. W ektor te n nie zależy od w yboru układu, czyli jest niezm iennikiem wobec transform acji współrzędnych jednego układu na w spółrzędne drugiego układu, co możemy przedstaw ić geometrycznie:
s = l/x2 + y2 s' = y/x'2 + y' 2
Łatw o zauważyć, że w ektor przedstaw iający bieg prom ienia w okreś
lonym czasie, a więc pew ne zjaw isko fizyczne, jest opisany analogicznymi rów naniam i w układzie kreskow anym i niekreskowanym , aczkolwiek jest oznaczony różnym i w spółrzędnym i w obu układach. Myśl tę możemy w y
razić tak — jak to uczyniliśmy wyżej — że praw a przyrodnicze, a zatem 11 E i n s t e i n , I n f e l d , op. eit., s. 194.
i prawo prędkości św iatła, są niezmiennicze wobec transform acji Lo
rentza. Znaczy to tyle, że są niezależne od inercjalnego układu odniesie
nia, w którym je form ułujem y.
7. W zględne i bezwzględne wielkości.
W szczególnej teorii Einsteina w ystępują względne i bezwzględne wielkości. Do bezwzględnych należą: stałość prędkości św iatła i prawa fizyczne, a do względnych: przestrzeń, czas i ruch. Pojęcie równoczes- ności nie m a charakteru absolutnego, lecz zależy od układu odniesienia:
dwa zjaw iska równoczesne dla obserw atora w układzie nieruchom ym nie są równoczesnymi dla obserw atora w układzie ruchomym. Mówiąc, że przestrzeń i czas są względne, chcemy zaznaczyć, że (a) pom iary tychże Wielkości są względne, gdyż zależą od tego, w jakim układzie odniesienia są dokonywane* (b) pom iary czasu suponują pom iary przestrzenne. Z dru
giej strony pom iary długości ciała ruchomego, dokonane przez ON (znaj
dującego się w układzie nieruchomym), są zależne od fizycznego określe
nia równoczesności. Długość ciała, poruszającego się ruchem prostolinij
nym i jednostajnym w stosunku do obserw atora nieruchomego, określa się jako odległość m iędzy równoczesnymi położeniami końców mierzonego ciała.
Teoria względności zm ieniła — w stosunku do m echaniki newtonow
skiej — nasz pogląd n a czas i przestrzeń. M echanika klasyczna uważała te wielkości za niezm ienniki, a więc za czynniki absolutne. Według Ein
steina do opisu jakiegoś zdarzenia nie w ystarczy podać współrzędne poło
żenia, lecz należy uwzględnić także czas, w którym ono zachodzi. Łączy się to ściśle z faktem, że oddziaływ ania nie rozchodzą się w przestrzeni z prędkością nieskończoną: graniczną prędkością fizyczną jest prędkość św iatła w próżni. Zdarzenia fizyczne, które tra k tu je się w teorii względ
ności jako położenia punktów m aterialnych w przestrzeni, trzeba opisy
wać przy pomocy czterech w spółrzędnych:12 trzech współrzędnych prze
strzennych: x 1; x 2, x3 oraz z pomocą czwartej współrzędnej czasowej t.
Czasu nie uważamy już za niezm iennik. W artość bezwzględna tej współ
rzędnej jest rów na drodze, ja k ą przebyw a prom ień św ietlny w czasie t.
Według Minkowskiego w yrażeniu V x2 + y2 + z2 — c212 m ożna nadać także znaczenie długości w ektora, jeśli w spółrzędną t zastąpi się w yra
żeniem y — 1 ct = x 4, a współrzędne x, y, z, pisać się będzie odpowiednio Xj, xg, x 3. Wówczas w yrażenie s’. # ^ x 2 + x* + + x j będzie repre
12 Ibid. s. 227. Por. również A. E i n s t e i n , Istota teorii względności, War
szawa 1958, s. 39): „Prawdziwym elem entem stosunków czasoprzestrzennych jest zdarzenie, określone przez cztery liczby xi, x2, x 3, t”. Liczby te należy uważać za współrzędne zdarzenia w kontinuum o czterech wymiarach.
R E L A T Y W IZ A C J A P R Z E S T R Z E N I I C Z A S U 51 zentować w ektor, wychodzący z początku czterowymiarowego układu od
niesienia do punktu, określonego czterem a współrzędnym i x t, x 2, x 3, x4.
O ile w m echanice klasycznej lokalizowało się zdarzenia w przestrzeni trójw ym iarow ej niezależnie od czasu i abstrahow ało się od m iejsca przy pom iarach czasu, o tyle w teorii względności znaczenia fizycznego nie m a ani p u n k t przestrzeni, ani chw ila czasu, w której zjawisko zachodzi, lecz zdarzenie jako całość. „Nie m a więc bezwzględnych (niezależnych od układu odniesienia) stosunków przestrzennych ani bezwzględnych stosun
ków czasowych pomiędzy zdarzeniam i” 13. Tak więc fizyczne znaczenie posiadają zdarzenia przestrzennoczasowe. W opisie tych ostatnich czas narzuca czw artą współrzędną, k tóra w raz z trzem a współrzędnym i prze
strzennym i tw orzy czterowym iarow e kontinuum . Jeśli w pom iarach prze
strzennych ujaw nią się efekty kinetyczne, to ujaw nią one rów nież swój w pływ n a pom iary czasow eu . Z tego powodu w teorii Einsteina przy
porządkow uje się zdarzeniu cztery liczby, z których trzy określają sto
sunki przestrzenne, a czw arta określa czas. Zbiór wszystkich wartości w spółrzędnych konstytuuje przestrzeń zdarzeń ls. Zespolenie tych czterech w spółrzędnych najbardziej uwidacznia się w transkrypcji Minkowskiego, k tóra sugeruje myśl, że zbędne jest rozróżnianie pomiędzy przestrzenią 1 czasem. Jeśli każdem u zdarzeniu w czterowym iarow ym kontinuum prze- strzennoczasowym przyporządkow uje się cztery współrzędne o kształcie Xj, x 2, x 3, x 4, to w ydaw ać by się mogło, że zaciera się „granica” między przestrzenią a czasem, co więcej, że tradycyjne pojęcie substancji jako podłoża zjaw isk traci swój sens. I rzeczywiście niektórzy autorzy szli tak daleko w sw ych wypowiedziach 16. Jednakże sam twórca teorii względ
ności zajął bardziej um iarkow ane stanowisko, o czym świadczą jego sło
w a: „Niepodzielność czterowym iarow ej przestrzeni Zdarzeń nie oznacza równoważności w spółrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej.
Przeciwnie, należy pam iętać, że czas został fizycznie określony zupełnie inaczej niż w spółrzędne przestrzenne. Związki [w zapisie Einsteina:
2 (A xv)2 — c2 At2 = 0 oraz 2 (A x'v)2 — c2 At'2 = 0], których równoważność określa transform acje Lorentza, w skazują n a inną różnicę między współ-
18 Ibid., s. 39.
14 E i n s t e i n , Uber die spezielle..., s. 10-14. Por. również H e l l e r , l.c., s. 84.
15 E i n s t e i n , Istota teorii.., s. 30n.
18 „Jeśli w ięc z Mańkowskim nazwiem y kontinuum* przestrzennoczasowe krótko
»światem«, w ów czas n ie będziemy już m ogli powiedzieć, że podłożem zjaw isk jest substancja, wypełniająca przestrzeń trójwymiarową i zmieniająca się w czasie.
»Swiat« bowiem M inkowskiego n ie zna ,jednej przestrzeni trójwymiarowej i na
stępstw a czasowego stanów substancji, a uznaje tylko jedność wyższego rzędu, kontinuum czterowymiarowe, które zawiera w sobie nieskończenie w iele przestrzeni trójwymiarowych, tak jak przestrzeń trójwymiarowa zawiera nieskończenie w iele powierzchni” ( L o r i a , op. cit., s. 76).
rzędnym i przestrzennym i i czasem: w yraz At2 jest opatrzony przeciwnym znakiem do w yrazów przestrzennych A x ^, Ax22, Axi! ” 17. Ponieważ czwarta współrzędna jest wielkością urojoną i pod względem fizycznym inaczej określoną niż współrzędne przestrzenne, przeto kontinuum czasoprze
strzenne tra k tu je się jako czterowym iarowy św iat pseudoeuklidesowy.
W tym świecie szereg wielkości fizycznych posiada charakter względny, tzn. ich wartości liczbowe, otrzym ane w rezultacie pomiarów, są różne w różnych układach.
Pom iary przestrzeni i czasu przyczyniają się n ie tylko do poznania ich istoty fizycznej, lecz również stanow ią etap do w ykryw ania prawid
łowości zjaw isk w przyrodzie. Szczególna teoria względności ujaw niła, że chociaż w yniki pomiarów przestrzennych i czasowych są względne, to jednak bezwzględnymi pozostają praw a przyrodnicze jako stałe relacje między wielkościami fizycznymi. Poprzez względność pom iarów prze
strzeni i czasu teoria Einsteina dochodzi do form ułow ania bezwzględnych prawidłowości, a tym sam ym do niezależnego od podm iotu poznającego opisu rzeczywistości fizycznej 18.
RELATIVISATIOJSf OF SPACE AND TIME IN SPECIAL THEORY OF RELATIVITY
Summary
The present paper aims at stressing these aspects in special ttieory of relativity which are concem ed witih a relative oharacter o f space and time, that is, it attempts to exam ine the sense of the theorem w hich speaks that tim e and space are relative.
In Einstein’s theory flhere arę relative and absolute ąuantities. Stability of vełocity of light ibelongs to absolute ąuantities (Haws of naturę), and space, time, motion, mass Ibelong to relative ones. The notion o f sim ultaneity is not o f absolute character, either. W hlle stating that space and tim e are relative w e suggest that (a) measurements of these ąuantities are relative because they depend on reference frame in w hich they are done, (b) measurements o f tim e im ply measurements of space.
Space and tim e cannot be treated separately. Space-time event has a physical meaning and w e assign to it four numbers: three space coordinates and one time coordinate.
Though the results of tim e and space measurements are relative,- law s of naturę remain albsolute ibeing constant relations betw een physical ąuantities. Special theory of relativity, through relativity of measuremente comes to formulaite absolute regu- larities and thereby to describe physical reai world independent!y from cognitive subject.
17 E i n s t e i n , Istota teorii..., s. 40.
18 Por. S. M a z i e r s k i , R elatyw izm epistem ologiczny a rela tyw izm w szcze
gólnej teorii względności, „Roczniki Filozoficzne”, X (1962), z. 3, s. 22-35.
