MACIERZE LOSOWE LISTA 4
Gaussowskie macierze losowe i problem momentów 1. Niech X = (Xi,j) będzie n × n macierzą losową, w której
(a) Xi,j = Xj,i dla każdego 1 ≤ i, j ≤ n, (b) Xj,j ∼ N (0, 2) dla każdego j,
(c) Xi,j ∼ N (0, 1) dla każdego i < j,
oraz wszystkie zmienne z (b) i (c) są niezależne. Zazwyczaj nazywa się ją w skrócie GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble). Traktując ją jako wektor losowy w Rn(n+1)/2, wyprowadzić następujący wzór na gęstość rozkładu łącznego elementów tej macierzy względem miary Lebesgue’a:
f (X) = 1 2n/2
1
(2π)n(n+1)/4exp(−1
4Tr(X2))
2. Sprawdzić, że rozkład łączny macierzy GOE nie zależy od wyboru bazy ortogonal- nej, tzn. dla dowolnej macierzy ortogonalnej O wymiaru n × n, rozkład macierzy X (takiej jak w poprzednim zadaniu) jest taki sam jak rozkład macierzy OTXO (z tej niezmienniczości pochodzi nazwa GOE)
3. Niech X = (Xi,j) będzie zespoloną n × n macierzą losową, w której (a) Xi,j = Xj,i dla każdego 1 ≤ i, j ≤ n,
(b) Xj,j ∼ N (0, 1) dla każdego j
(c) Re(Xi,j), Im(Xi,j) ∼ N (0, 1/2) dla każdego i < j,
oraz wszystkie zmienne z (b) i (c) są niezależne. Zazwyczaj nazywa się ją w skrócie GUE (Gaussian Unitary Ensemble). Traktując ją jako wektor losowy w Rn2, wyprowadzić następujący wzór na gęstość rozkładu łącznego elementów tej macierzy względem miary Lebesgue’a:
f (X) = 1 2n/2
1
πn2/2exp(−1
2Tr(X2))
4. Sprawdzić, że rozkład łączny macierzy GUE nie zależy od wyboru bazy ortogo- nalnej, tzn. dla dowolnej macierzy unitarnej U wymiaru n × n, rozkład macierzy X (takiej jak w poprzednim zadaniu) jest taki sam jak rozkład macierzy U∗XU (z tej niezmienniczości pochodzi nazwa GUE).
5. Niech
X = a b b c
będzie dowolną rzeczywistą macierzą symetryczną.
1
(a) Wyrazić wartości własne λ1, λ2 tej macierzy przy pomocy a, b, c.
(b) Zapisując macierz wektorów własnych w postaci
P = cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ
wyznaczyć a, b, c przy pomocy λ1, λ2, ϕ.
(c) Pokazać, że Jakobian przekształcenia zmiennych z (a, b, c) na (λ1, λ2, ϕ) jest równy
J =
∂a
∂λ1
∂b
∂λ1
∂c
∂λ1
∂a
∂λ2
∂b
∂λ2
∂c
∂λ2
∂a
∂ϕ
∂b
∂ϕ
∂c
∂ϕ
= λ1 − λ2
6. Wykazać, że jeżeli µ jest miarą probabilistyczną na prostej, której wszystkie bezwględne momenty R |x|ndµ są skończone, oraz E(e|tX|) < ∞ dla |t| < r, gdzie r > 0 oraz X jest zmienną losową o rozkładzie zadanym miarą µ, to funkcję charakterystyczną ϕ(t) = E(eitX) można dla |t| < r rozwinąć w szereg potęgowy
ϕ(t) =
∞
X
n=0
mn(it)n n! .
Wywnioskować, że w tym przypadku ϕ(n)(0) = inmn, gdzie mn =R xndµ.
7. Przy założeniach takich jak w poprzednim zadaniu uzasadnić, że zachodzi wzór
ϕ(t + h) =
∞
X
n=0
ϕ(n)(t) n! hn
dla |h| < r, a następnie wykazać, że nie istnieje inna miara posiadająca taki sam ciąg momentów (mn).
8. Uzasadnić, że jeżeli µ jest miarą o nośniku zwartym, to jej ciąg momentów wyz- nacza tę miarą jednoznacznie. Uzasadnić także, że taka sama sytuacja ma miejsce w przypadku miary Gaussowskiej.
9. Różne miary mogą mieć jednak te same momenty. Zbadać podawany zazwyczaj w tym kontekście przykład dwóch miar, o gęstościach
f (x) =
1
x√
2πe−(logx)2/2 x > 0 0 x ≤ 0
oraz g(x) = f (x)(1+sin(2πlogx)). Pokazać, że miary te mają takie same momenty skończone (obliczyć je).
Romuald Lenczewski
2
