J. Kopeć (Poznań)
O funkcjach spełniających pewien warunek Mandelbrojta
1. Mówimy, że funkcja a(x) określona i ciągła dla ж > 0 spełnia wa
runek (M), gdy istnieje takie x0 > 0, że dla x > x0 funkcja a(x) jest różnicz- kowalna, a q(x) = xa'(x) jest rosnąca i limq{x) — oo.
Funkcje o tych własnościach wprowadził pierwszy Mandelbrojt [4]
w związku z badaniem klas quasi-analitycznych(1) funkcji określonych przez szeregi Fouriera. Obecnie wykażemy, że funkcje tego typu odgry
wają rolę również w innych zagadnieniach klasycznej teorii klas quasi- -anaiitycznych oraz interweniują w naturalny sposób w zagadnieniach aproksymacji wielomianami. W dalszym ciągu klasę funkcji spełniających warunek (M) będziemy oznaczać CM i skorzystamy z następujących jej własności:
1.1. Jeżeli a(x)eCM, to q ( x ) = x a ' ( x ) ma funkcję odwrotną p(x) rosnącą, ciągłą, określoną w <q(x0), co), p(x) > a?0 > 0 i limp (o?) = oo.
a więc z własności Darboux i monotoniczności wynika ciągłość funkcji q(x) i tym samym istnienie i ciągłość funkcji odwrotnej.
1.2. Jeżeli a(x)eCM> to
(a) a{x) = q(x)\ogx — f l ogp(t )dt +a( £) — q(i)logg ( £ , x ^ x 0),
są równocześnie zbieżne lub rozbieżne.
P) Dla dowolnego ciągu dodatniego {mn} oznaczamy przez C{mn} klasę funkcyj f(x) nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w pewnym przedziale I i takich, że dla każdego feC{mn} istnieje stała A = Af, dla której sup\ f nHx)\ < A nmn {n — 0, 1, ...). Jeżeli warunki i /1")^ = 0 (ж0е1, n = 0, 1, ...) pociągają f(x) s= 0 w I, to klasę G{mn} nazywamy ąuasi-analityczną.
Istotnie
(b) całki
142 J . K o p e ć
Wzór (a) otrzymujemy obliczając przez części całkę a(x) = a(£) + + J q{t)dlogt i podstawiając następnie q(t) = u. Zupełnie podobnie wy- kazujemy, że
X
(*)
X
I dt p(t)
q(u) u
p(x)
P(X) r q ( u )
-f — — du,
P(*l) J u
2
p(n) a przez różniczkowanie sprawdzamy
(**)
I
ff(w)u* du —a{x)—a{£)x+ /
i a ( u ) — a ( £ )u* du.
Przypuśćmy teraz, że we wzorze (b) całka (y) jest rozbieżna, a ((3) zbież
na. Wówczas z wzoru (*) wynika, że lim q(u)/u — oo, co przeczy zbieżności M-»oo
całki ((3). Wobec q(u)/u > 0 dla dostatecznie dużych u, zbieżność całki (y) pociąga zbieżność ((3). Zupełnie analogicznie wykazujemy za pomocą wzoru (**) równoczesną zbieżność lub rozbieżność całek (a) i ((3).
1.3. Jeżeli a(x)eCM, V ma znaczenie określone w (1.1), l jest do
wolną ustaloną liczbą rzeczywistą, to oznaczając (a )
n + l
an>ł = exp(J logp(t)dt), Ta>l
a
m ax---- (2),rw n^i ani mamy
(b) r-* -V (f) ^ CTal {r) < r~lea(r), dla dostatecznie dużych r, oraz
(o)
L
max£C>1(Xе e а(ж)) = OjexpjJ logp(t)dĄ (3)
a
dla dostatecznie dużych L, przy czym stale C , Cx zależą od a.
Oznaczmy dla dowodu
x + l
<p(x) = ужехр | — J 1 ogp(t)dĄ ( x ^ l ) .
a
Zwykłymi metodami rachunku różniczkowego wykazujemy, wobec mo- notoniczności funkcji p(x), że <p(x) ma dokładnie jedno maksimum o od-
(2) W razie, gdy Z-f-1 < q{xQ), funkcję p(x) przedłużamy odpowiednio jako do
datnią, ciągłą i rosnącą.
(3) Wzór ten przy mocniejszych założeniach został udowodniony (inną metodą) w [3].
ciętej xm spełniającej równanie r = p{xĄ-l). Dla r > xQ jest więc xm-j-Z =
= q(r). Stąd
m
9? (a?) < 9? [q (r) — Ц = г3(г) • гехр ( — J logp (ł) dĄ.
a
Wobec 1.2(a) jest więc <p(n) < cr~lea(r). Oczywiście, podstawiając t —
= — (całość q{r)—l) mamy dla r > 1 r+l
max<p(7i) ^(p{r) = rr_*exp( — J \ogp{t)dĄ >
Q(r)
^ ^-l~V9(r)-exp| — j logp(t)dĄ = 0 - l -1ea(r).
a
Dowód wzoru (c) jest podobny. Mamy mianowicie (oznaczając teraz
<p(x) = xLe~a{x)) :
maxcp (ж) = max( max q> (ic), max<p (x)) = тах(Ж х(Х), i)la(i)).
Ale dla dostatecznie dużych L jest wobec 1.2(a):
L
M Z(L) = <р(рЩ) = Охexp J logp(t)dt,
<2(x 0) ^
M X{L) < y x i , lim (M2{L)IМхЩ) = oo,
L — + O Q
więc maxę>(x) = MJ L) dla dostatecznie dużych L.
00
1.4. Jeżeli e(x) ~ J jcnxn (en > O dla w = l , 2 , . . . , c 0 > 0) jest funkcją n=o
całkowitą, to log+ c (ic) e (7M.
Istotnie, c(x) = тах|с(я)|, więc a(x) — logo (ж) jest funkcją wypukłą logic (x > 0), to znaczy logc(cM) jest funkcją wypukłą. Stąd wynika, że eu(c'{eu)/c(eu)) — g(u) jest funkcją rosnącą. Przyjmując eu — x, mamy g (logic) = xa'(x) — q(x), co oznacza, że q(x) jest funkcją rosnącą. Z przed
stawienia
СО I co
q(x) = Y n e nxn У с пхп
71 = 1 ' 71 = 0
wynika natychmiast, że limg(ic) = oo.
ZC—>0G
2. Przejdziemy teraz do zastosowań związanych z badaniem warun
ków quasi-analityczności klas G{mn).
144 J . K o p e ć
Niech {mn} będzie ciągiem liczb dodatnich takim, że limVmw — oo.
П-+0Q
Oznaczamy: у.П
M(r) =
00 n m ax---- ,mn z
>
—n-J=i w m inV m k , mkn = max
Щг) ’ 1
mn — rzędne rzutów pionowych punktów Pn — (n, logmn) na najwyższą linię łamaną wypukłą L(x), której wierzchołkami są punkty P n. (i — 0 , 1 , n0 = 1), a poniżej której nie ma już punktów Pn. Ciąg {щ} nazy
wamy podstawowym ciągiem wskaźników, a ciąg mcn = exp(mw) = eL{Jh) ciągiem zregularyzowanym wypukło za pośrednictwem logarytmów(4).
Podamy teraz pewne związki między powyższymi wyrażeniami.
2.1. Oznaczmy dla podstawowego ciągu wskaźników щ i щ < x < ni+l {i — 0 , 1 , . . . , n0 = 1)
i przyjmijmy
log co (x) 1
%+1 %log mni+i m4 a(x) = log+3I(x) (5).
Wówczas
(a) mcn JLexp log co {t)dtj, m~ O exp (J logp{t)dt) (6), К = __ 1___ 1 < < 1
< + l C0(u + 1 ) ’ P ( ^ + l ) "" ™n + l ^ p (% ) ’
w ,--- w .—
co(n) ^ 2 v m cn, p(n) > 2 \m kn (n >iV),
(c ) < < /С < mn , < < f f i, T (r ) < M (r) < T (2 r ) .
Z definicji funkcji i (ж) i ю(ж) istotnie otrzymujemy
n
L(n) = £ ( l ) - f J l o g co ( i ) d l , i
skąd mamy pierwszy z wzorów (a). Drugi wynika z definicji ciągu (4) Ciąg i funkcja M(r) zostały wprowadzone przez Carlemana, funkcja T(r) przez Ostrowskiego. Mandelbrojt, który pierwszy wprowadził ciąg {m®}, wykazał później, że mc = max(rn/T(r)). Ciąg {m*} nie był dotąd rozważany.
i
(5) log+Ж(x) eCM na mocy 1.4.
(6) Funkcja p ( t) jest określona w 1.1. Zatem, wobec 1.3 (a), = an>o przy a{x) — lo g+M(x).
{mn} i wzoru 1.3(c). Wzory (b) wynikają z (a). Z definicji wiadomo, że mcn < mn. Ponadto
maxn>l M(r) < max
1 r11 fmri mr П .--- №.-- r
Z (a) jest widoczne, że ciągi {Fro^} i są monotoniczne. Zatem fc .--- fc .--- n .---
inf \m k — jin > inf Vm£ =
i podobnie dla ciągu {w*}. Z definicji funkcyj M(r) i T(r), mamy T(r) < M(r) =
oo n=l
oo
71=1
(2г)и
< T(2r), co kończy dowód.
2.2. Ciągi {»„}> K ) > mają te same funkcje Ostrowskiego, tfo znaczy
а Tn Tn
T(r) — Tc(r) = m ax—~
i mn = ТДг) = max —
n > l P n
dla dostatecznie dużych r.
Istotnie, dla щ < n < ni+1 mamy
П-Щ- Y
więc
\ I
14+1-14
mw
Pierwszy czynnik jest w rozważanym przedziale stały, a drugi monoto- niczny. Maksimum jest więc osiągnięte na wskaźnikach podstawowych, to znaczy Tc(r) = тч(г)lmn.{r). Ale mcn. = mn. , więc
T(r) = m ax---- > m ax---- = Tc (г) . n^l mn 0 "Мщ
Z drugiej strony, wobec mcn < mn jest Tc(r) > T(r), co daje T(r) — Tc{r).
Dla ciągu {/?”} dowód jest podobny.
2.3. Całki OO
(a) f log T(r)r~2 dr,
OO
(b) f (o -\t)d t
są równocześnie zbieżne lub rozbieżne. Zbieżność szeregu OO
(e) 2 К '
71= 1 pociąga za sobą zbieżność całki (a).
R o czn ik i PTM — P race M atem atyczn e VII 1 0
146 J . K o p e ć
Oznaczmy dla dowodu o{x) — (3n dla nk < x < nk+1, przy czym nk są wskaźnikami skoku ciągu {/3n} (który jest niemalejący), oraz
(a) Pi(x) == a(x) + e1(x)y p z{x) = co{x) + e z{x).
Funkcje ev(x) możemy tak wyznaczyć (np. biorąc za p v(x) (v = l , 2 ) funkcje przedziałami liniowe w (,nk,n k+1y o punkcie kątowym stosownie
oo
dobranym), że sv(x) > 0, fev(x)dx < oo, p v(x) są rosnące i ciągłe (v = 1, 2), i
a wyrażenia
oo oo oo
( P ) f PTl (x)dx, f e - l (x)dx,
1 1 71 = 1
lub OO 00
( y ) J p z 1(x)dx, J co~1(x)dx
i i
są zbieżne lub rozbieżne jednocześnie. Przy pomocy funkcji p v{x) utwórzmy funkcje av(x) eCM oraz ciągi avn = <fn>0 określone przez 1.3 (a). Z (a) wynika,
że П »n
К — Oj exp loga(x)dx]j exp ( М 1 + ж М
i podobnie dla ciągu a?n. Ъ definicji funkcji co (x) i a(x) wynika więc, że istnieją stałe A 1}A Z, B takie, że aln i А хтсп < a2n < A zmcn. Dla funkcji Ostrowskiego Tv(r), Tc(r), Tp(r) dostajemy więc wobec 1.3(c)
я , ^ > 1 1т 1( г ) > г 1т,(г), Cl r-'e ‘n-,r) < С3Тг(г) < l'c(r) < C, T2(r) <
Z 1.2 (b), (P) lub (y), oraz 2.2 wynika teza.
2.4. Wyrażenia 00
'•>
S bW
I(b)
00 00 oo
TTi Vmcn bn+l ŹTi \ m l
у m:
m;71 + 1
oc
(f) /
logT(r) dr,
oc
(g) /
log Ж (r) dr są równocześnie zbieżne lub rozbieżnej).
(7) Rozbieżność (równoczesna) tych wyrażeń jest warunkiem koniecznym i do
statecznym quasi-analityczności klasy G[mn}, więc jej badaniem zajmowali się różni autorzy. Carleman udowodnił warunek (a), Ostrowski (f) i wykazał równoważność (f) i (a). Mandelbrojt udowodnił (c) i wykazał równoważność (a), (b), (c), (f). Ostrowski korzysta jednak z dość specjalnych lematów teorii funkcji analitycznych, a Mandel
brojt ze stworzonej przez siebie ogólnej teorii regularyzacji ciągów.
Równoczesna zbieżność (b) i (c) oraz (d) i (e) wynika z nierówności Oarlemana-Collingwooda
OO 00
JT (axa2...a n)l,n £ a n (8)
n =1 71=1
oraz z 2.1 (b); (f) i (g) z 2.1 (c); (f), (c), (a), (e) z 2.3 oraz 2.1 (b) i (c).
3. Głównym polem zastosowań fnnkcyj klasy CM było dotąd badanie przynależności do G{mn} funkcji danych przez szeregi Fouriera (por. [4]) i innego rodzaju rozwinięcia (por. [3]). Obecnie przytoczymy z pewnymi uzupełnieniami niektóre z tych twierdzeń potrzebne w dalszym ciągu.
3.1. Jeżeli a(x)eCM, to
CO
(a) gdy f(x) = ^а0+ £ ( а пс,о$пх-\-Ьп&т.пх) oraz \an\ < ce~a(n), \bn\ <
71 = 1
< ce~a(n), wówczas f(oo)eC{an2}, (b) gdy f(x) = \ / - J
“ 7Г o
<p(t) cos xtdt lub f(x) =
j / - f
(p (t) sin xtdtj eaW(p(x) jest mierzalna i ograniczona prawie wszędzie, wówczas f(x)eC{an 2},cos tx
—щ - d 0 i istnieją stałe A i l taicie, że J t \d0\ < oo,
o 6 A
wówczas f(x) e C{an>i}.
Część (a) twierdzenia wynika z oszacowań Mandelbrojta uzyska
nych przez różniczkowanie szeregu Fouriera wyraz za wyrazem oraz z 1.3 (c). Dowód (b) i (c) jest analogiczny, gdyż dopuszczalne jest różnicz
kowanie pod znakiem całki względem parametru.
3.2. Jeżeli f(x)eC{mn} ze stałą A, = $„] = O (n — 0 , 1, ...), to (a) dla funkcji f* (x), będącej przedłużeniem okresowym funkcji f(x) na całą oś (parzystym lub nieparzystym), mamy
/ » = 2
00
+ (ancosxA-bnsmnx) 1
oraz
\anI < 2 IT(nlA), \bn\ < 2 IT(nlA);
(b) dla funkcji
f l*Hx) = /(®)>
O,
О ^ x ^ тс, poza tym,
(8) Elementarny i elegancki dowód podał Polya. Stosował ją również Mandel- brojt, który -w [5], str. 22, podaje dowód Polya wraz z uwngami dotyczącymi litera
tury.
1 4 8 J . K o p e ć
mamy
r“ OO / o o
/*>(*) = V - J gx(()cosartdt — J / — J g2(t)smoctdt,
o o
« 9a{f) (a = 1, 2) są ś |yaOOI < cjT(t/A).
Własność (a) wykazał Mandelbrojt przez całkowanie przez części wzorów Eulera-Fouriera i korzystając z definicji funkcji T(r). Dowód własności (b) jest podobny. Dla t > 1 jest mianowicie, np. przy a = 1,
дг(и) = ć — J f(t)eosutdt = / ! / t pf-p)(t)cos \ut — p
n Л ' '
skąd
\дг(и)\ 1
ma x{tPIAvmp)
V2tv
T( t / A)’
4. Dla uzyskania dalszych zastosowań rozpatrzymy wyrażenia:
,2 * + l
(1Л) (2Л) (fc = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,
74 = 1 74= X
г <2*+1 r t2k
(1-2) J - f W V W t o , (2.2) J (& = 0 , 1 , . . . ) ,
0 o
oo
j ffc-ie- a(t)d0 (fc = 1 , 2 , . . . ) , O
00
J e ~ a(t)d 0 (k = 0),
(1.3) (2.3) f t2ke~a®d0 (k = 0 , 1 , . . . ) ,
w których (Б — przestrzeń ciągów ograniczonych z normą (I/3JJ = supl^l), ^(/)еЖ(0оо) (Б — przestrzeń funkcji mierzalnych i ograniczonych
7 4 > 1
prawie wszędzie w (O, oo) z normą \\y>\\ = maxess \f{t)\),0(t) eF<0 oo)(B — prze
to,o o ) o o
strzeń funkcji o skończonej wariacji w <0, oo) z normą ||Ф|| = j \d0\), o
Ot (X ) e ( 7д£ .
Z nierówności 1.3 (c) wynika, że wyrażenia {a, p) (a = 1, 2;
jp = 1 , 2 , 3 ) określają pewne zbiory ГаР funkcjonałów liniowych t-k (k — 0 , 1 , . . . ) nad elementami $ odpowiednio z przestrzeni m, Ж(0, oo),
^<0,oo) •
4.1. Jeżeli p{x) jest funkcją określoną w 1.1, ciąg {anfj określony przez 1.3 (a) i klasa C {anfj jest quasi-analityczna przy pewnym l, to ГаР są zbiorami
totalnymi (9). Jeżeli którykolwiek z tych zbiorów jest totalny, to klasy G{anj}
są quasi-analityezne przy każdym l rzeczywistym.
Dowód oprzemy na następujących lematach:
Lemat 1. Wszystkie klasy C{anff są równocześnie (niezależnie od l) quasi-analityezne (lub nie są quasi-analityezne).
Dowód. Gdy Z > A, to anZ > anX, więc
(*) C{anJ} C G { a nfj.
Bez ograniczenia ogólności możemy założyć, że f{x)e(J{anfj w <0, 1>
Wówczas
X
<p{x) = $ f{t)dteC {ant%_ d, o
gdyż
\<P{n)(x)| = |/(n_1)(a?)| < An~1an_1i = A ^ a ^ .
Klasy C{an>i} i C{an г-1} są więc równocześnie quasi-analityezne. Z wzoru (*) wynika to dla wszystkich klas С{апг}.
Lemat 2. Jeżeli klasa C{mn} nie jest quasi-analityczna, to dla każdego a i każdego a istnieje funkcja cp(x) taka, że
sup |9?( и ) ( ж )1 < anmn, ę>(ró(0) = qfn)(a) = 0 (n = 0 , 1 , ...), (p{x) ф- 0 W <0, a>(10).
Dowód. Z założenia wynika, że istnieje punkt x0, przedział
<a?0, x0 + li), stała A i funkcja ip (x) taka, że | yłn) (x ) | < Anmn (xe fx0, x0 + hj , y>(n)(0) = 0 dla '№ = 0 , 1 , . . . ) . Stosując przekształcenie liniowe zmiennej niezależnej oraz lemat Mandelbrojta (p. notka 10) znajdziemy funkcję taką, że \ ^ ( x ) \ < Bnmn w <0, а}, у^ЦО) = у^Ца) = 0. Tę funkcję przedłużamy okresowo na całą oś, a następnie przyjmujemy y>2(x) = щ (х/к).
Wówczas |v4n)(^)l < (Bjk)nmn w { —oo, oo) i у(2и)(0) = 0 (n = 0 , 1 , ...).
Stosując znów lemat Mandelbrojta otrzymamy dla k — Bjaa szukaną funkcję.
Gdyby teraz zbiory Гар nie były totalne, to istniałyby niezerowe ele
menty {/?n}, yj, Ф odpowiednio z przestrzeni m, Ooo), F<0;OO) takie, (9) Zbiór funkcjonałów liniowych Г nazywamy totalnym, gdy równość £x = 0 dla każdego £ еГ pociąga ||ж|| = 0.
(10) Lemat ten jest modyfikacją następującego lematu Mandelbrojta- ([4], str. 59): Jeżeli 9?Ó0(0) = 0 {n— 0, 1, ...), \qfn)[x)\ < mn , y(x) ф 0 w <0, 1>, to istnieje funkcja гр(х) taka, że ip(x) ф 0 w <0, 1>, ybd(O) = уЛи)(1) = 0 (n = 0, 1, ...), (x)\ <
< 16n mn, y>(l — x) = гр(х), гр(х) > 0.
150 J . K o p e ć
że przyjmując
0 0
/ 1 1 О » ) = ^ p ne~a(n)m inx,
« = 1
/ 2 10*0
a0
2
C O
= ~ + J?Pne -a(n)cosnx,
“ 1
OO
= -
n= 1
o o
/ 1 2(#0 = 1/ — J * ip(t)e~a®&m.xtdt, / 2 2 ( x )
-- OO
= у — J * y j (t)e~a® gosxtdt,
/ i3 (x) — J sinxte а{{ЫФ, O
00
/ 2 3 (x) — J cosxte~a(i)d<&
o
mielibyśmy na mocy 3.1 f ap(a?) e G{anl} i/L$(0) = O (a = 1 , 2 ; p = 1 , 2 , 3 ; n = 0 , 1, ...)• Poza tym f ap(x) ф 0. Dla f ai(x) jest to oczywiste, a dla faAx) "wynika z twierdzeń o odwracaniu transformacji Fouriera. Gdyby zaś
OO
było f aZ{%) = O, to również J g(t)d<P = O dla każdej funkcji g{t)eC°00, gdyż o
wobec limy(ż) = O można się ograniczyć do przedziału skończonego,
t — yOO 4
a w takim przedziale funkcja g(t) da się aproksymować jednostajnie przez wielomiany trygonometryczne, zawierające tylko cosinusy lub tylko si
nusy i stałą. Mamy więc sprzeczność z założeniem że Ф jest elementem nie- zerowym przestrzeni F<0jOO). Klasy С{ап>г} nie mogą więc być quasi-ana- lityczne. Załóżmy teraz że klasy C{an i} nie są quasi-analityczne. Wów
czas w każdej z nich istnieje funkcja cp(x) spełniająca warunki lematu 2 ze stałą M = <7 = 1 i a — тс. Przyjmijmy w 3.2 f ( x ) = <p{x). Z nierów
ności 1.3 (b) wynika, że gdy dobierzemy stosownie l, to przy pomocy ciągów {an} względnie {bn} (występujących w 3.2 (a)), oraz funkcji ga(t) (występujących w 3.2 (b)) możemy utworzyć niezerowe elementy
(**) Ш = К « °(”)}, {«> = R « ”<n|}(11), K>«(<) =
t
ф(0 = / 9a{u)du o
odpowiednio z przestrzeni m, Jf(0>oo), F<0oo). Obliczając pochodne funkcji f*(t) w zerze widzimy, że na elementach (**) funkcjonały eГар są równe zeru dla & = 0 , 1, ... Zbiory Гар nie mogą więc być totalne.
Zauważmy jeszcze, że z ustępu 3 i lematu 2 wynika również nastę
pujący wniosek:
4.2. Klasy G {mn} i C{mfy są zawsze równocześnie quasi-analityczne.
Oczywiście, wobec 2.1(c) jest C{m*} С C{mn} . Gdyby C{mn} nie była quasi-analityczna, to istniałaby funkcja cp(x) spełniająca warunki
(u ) f(t) może być przedłużana jako parzysta lub nieparzysta.
lematu 2 ze stałą A = a = \. Dla jej nieparzystego przedłużenia okre
sowego byłoby wobec 3.2 (a)
(p*{x) = ^ bnńnnx i |ftn| < 2 /T(%n) < 2 /M(n) ^.Ae a(n),
71 = 1 x
przy czym a(x) = log+M(x). Z 3.1(a) byłoby więc cp*(x)eC{an2}.
Ale dla a(x) = log+M(x) jest C1anfi = mk, więc klasa G{mk} również nie jest quasi-analityczna.
Korzystając z 4.2 możemy twierdzenie 4.1 wypowiedzieć w postaci pewnych warunków quasi-analityczności klasy G{mn}, korzystając zaś ze znanych warunków quasi-analityczności (2.4) — jako twierdzenie o układach równań lub o momentach, na przykład:
oo
4.3. Jeżeli M(x) — xn fmn, to na to, aby Masa G{mn} była quasi- n — 1
-analityczna, potrzeba i wystarcza, aby co najmnief jeden z nieładów równań
«,=11 n2 к
M (n) = 0,
OO
^ n 2k+1M~1(n)xn = 0 (fc = 0, 1, ...) n=1
posiadał tylko zerowe rozwiązania ograniczone.
Istotnie, są to warunki totalności jednego co najmniej ze zbiorów Га1 (a = 1, 2) przy a(x) = log+M(x), więc Gxanfi = mk.
00
4.4. Jeżeli a(x) e GM i j [a(x)lx2]dx jest rozbieżna, to każda funkcja 1
mierzalna cp(t) (t > 0 ) , spełniająca nierówność \y(t)\ < ce~a® prawie wszę
dzie, jest określona (poza być może zbiorem miary zero) przez swe momenty parzyste jak i nieparzyste.
5. Wzory (a , p ) możemy traktować również jako ogólną postać funkcjonału liniowego na elementach xk zbiorów Gap (a = 1, 2; p —
= 1 , 2 , 3 ) odpowiednio z przestrzeni l, J&(0oo), C°<Qoo). Totalność zbio
rów Гар oznacza, że zbiory GaV są pełne (12), gdyż posiadają te same ele
menty, które we wzorach (a , p ) występują raz w roli funkcjonałów nad elementami przestrzeni m, Jf(0>oo), F<0(OO), drugi raz jako elementy prze
strzeni l , L (Of00), 0 <0)CO), do których stosuje się funkcjonały. Z twierdzenia Banacha [1] wynika więc, że gdy zbiory Gap są pełne, to są podstawowe (13).
Oznaczmy przez Q2 zbiór wszystkich wielomianów parzystych, przez Qx wielomianów nieparzystych, a przez Q0 zbiór wielomianów zawie-
(12) Zbiór elementów G w przestrzeni Banacha E nazywa się pełny, jeżeli dla każ lego funkcjonału liniowego £ warunek £ = 0, xeG, pociąga £ж = 0 dla każ
dego XeE.
(13) Zbiór G nazywa się podstawowy, gdy zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów tego zbioru jest wszędzie gęsty w E.
162 J . K o p e ć
rających tylko nieparzyste potęgi i wyraz wolny. Kombinacje liniowe elementów zbiorów Gap mają wówczas postać
K i = Р(м)<г“<»> (РеЦ,), Кг = P(t)e~°® (Рей.) (а = 1,2), ftls =P(<)«-“W (P«fi„), = Р(«)«-”,,> (PtflJ.
Z definicji zbioru podstawowego, związku między zbiorami Gap i oraz 4.1 możemy uzyskać analogicznie jak w 4 pewne warunki quasi- -analityczności lub, zakładając, że warunki quasi-analityczności są znane, pewne twierdzenia aproksymacyjne, na przykład:
5.1. Na to, aby Masa C{mn} była quasi-analityczna, potrzeba i wystar
cza, żeby było
inf [ max \cp{t) — P(t)e~loe+mt)[\ = 0
PeO2 f e < 0 ,o o )
lub
inf [ max \(p(t)-P(t)e~log+m ) \) = 0
PcQq 0 ,o o )
dla Tcażdej funkcji ciągłej <p(t), dla której lim 99 (ż) = 0.
i —> OO
max \f(t)\ jest bowiem normą elementu x — f(t) w przestrzeni (7<0,оо)-
< £<0,OO)
? a{x)
5.2. Jeżeli a(x)eCM, I --- dx — 0 0, to dla każdej funkcji f(t) cał- { x2
kowalnej w (0, 0 0) zachodzi:
OO
inf Г If { t ) - P{ t ) e ~a®\dt = 0 (a = 1, 2).
P^a 0
Dla elementu %= f ( t ) w przestrzeni jC(0;OO) jest bowiem ||ж|| = OO
= / if(t)\at.
o
Twierdzenie aproksymacyjne, które można uzyskać -na tej drodze w przypadku przestrzeni O°0>oo) jest ogólniejsze od znanego twierdzenia Bernsteina [2], lecz słabsze od twierdzenia Mandelbrojta [5] nawet w przy
padku uwzględnienia wielomianów zawierających wszystkie potęgi. Twier
dzenia ogólniejsze od 5.2 w przypadku przestrzeni L (0>OO) nie są mi znane.
Prace cytowane
[1] S. B anach, Thćorie des operations lineaires, Warszawa 1932.
[2] S. B e rn s te in , Leęons sur les proprietes extremales et la meilleure approxi
mation des fonctions analytiques d'une variable reelle, Paris 1926.
[3] J. K opeć and J. M usielak, On quasianalytic classes of functions, expansible in series, Ann. Pol. Math. 7 (1960), str. 285-292.
[4] S. M a n d e lb ro jt, Series de Fourier et classes quasi analytiques de fonctions, Paris 1935.
[5] — Series adherentes. Eegularisation des suites. Applications, Paris 1952.
10. Копець (Познань)
О ФУНКЦИЯХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ МАНДЕЛЬБРЕЙТА РЕЗЮМЕ
Функция а(х) удовлетворяет условию Мандельбрейта (М), если существует такое х0 > 0, что при х > х0 функция q(x) = ха'(х) возрастает и Нтд'(ж) = оо.
X—> о о
Класс функций а{х), удовлетворяющих условию (М), обозначаем через См- До
казано разные свойства функций этого класса, например:
о о о о
Если а( х )е См , р(%) — обратная к q(x) функция, то f p ~ 1(ł)dł и f a{x)x~%dx
или одновременно сходятся, или расходятся. 1 1
ОО
Если F(x) = ап хп (ап > 0 при п — 1, 2, . . а0 > 0) — целая функцияг n=i
то \og+F {х) е С м -
При помощи этих свойств приведено новое доказательство разных квази- -аналитических условий и распространено известную теорему Мандельбрейта о классах квази-аналитических рядов Фурье на интегралы Фурье, что дало воз-
ОО
можность исследовать тотальность множеств функционалов вида / tn е~а^у> (t)dt,
о о О
/ Ьпе~а®ЛФ при п = 2к и п — 2к-\-1 и ipeM(p,oo)> Ф«У(о,оо)- Отсюда получена эквивалентность условий квази-аналитичности и некоторых теорем о системах уравщний и о моментах. Применяя теорему Банаха о полных и функциональных множествах элементов, найдено из теорем о тотальности некоторые теоремы об аппроксимации многочленами с весом на полупрямой. Например
ОО
Если а( х ) еСм и f a(x)x<ldx = оо, то для всякой функции f(t)e L(о,оо)
имеем 1
о о
inf Г \ f { t ) - P ( t ) e - a®\dt = 0 (о = 1,2), РеО0 о
причем Qx — множество всех нечетных многочленов, a Q% — четных.
J. Kopeć (Poznań)
OF FUNCTIONS SATISFYING A CONDITION OF MANDELBROJT S UMMARY
A function a{x) satisfies condition (M) of Mandelbrojt if there exists an x0 > 0 such that q{x) = xa'(x) is increasing for x > x0 and lim q(x) = oo. The class of func-
X —*co
tions a(x) satisfying condition (M) is denoted by Cm- Various properties of function»
of this class are proved, e.g.:
15 4 J . K o p e ć
OO
I f а(х)еСм> and p(x) is the inverse of q(x), then the integrals / p ~ l (t)dt and
со X
/ a(x)x~2 dx are convergent (or divergent) simultaneously.
i
OO
I f F(x) = £ an xn (an > 0 for n — 1 ,2 , a0 > 0) is an entire function, then n — 1
log+F(x)eCM-
B y applying these properties a new proof of the equivalence of various conditions of quasi-analyticity is given. Moreover, a known theorem of Mandelbrojt on quasi-analytic classes of Fourier series is proved in the case of Fourier integrals;
OO
this makes it possible to find out when the sets of functionals of the form f tne~a® ip (t) dt,
со 0
J tn e~a^d O , for n = 2h and n = 21c-\-l, and ^ 6-^(0,оо)> are total. Hence the о
equivalence of the conditions of quasi-analyticity and of some theorems on systems of linear equations and on moments is obtained. By applying a theorem of Banach and the above-mentioned equivalence, some theorems on approximation by polynomials with a weight on the half-line are proved, e.g.:
00
I f a(x) e Cm and if f a(x)x~2dx = oo then i
00
inf f \ f ( t ) - P ( t ) e - a®\dt = 0 (a = 1,2), P'°a о
for every function f(x)eL (0,oo)> where is the set of all odd polynomials and Qz — the set of all even polynomials.
