Fronti` ere du fractal de Rauzy et syst` eme de num&acute

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(1)ACTA ARITHMETICA XCV.3 (2000). Fronti` ere du fractal de Rauzy et syst` eme de num´ eration complexe par. Ali Messaoudi (Marseille). 1. Introduction. On considère le polynôme P (x) = x3 − x2 − x − 1. Ce polynôme a une racine réelle β strictement supérieure à 1 et deux racines complexes conjuguées α et α de module inférieur strictement à 1.. Fig. 1. Le fractal de Rauzy. Le fractal de Rauzy (fig. 1) est l’ensemble E=. ∞ nX i=3.

(2) o

(3) εi αi

(4) ∀i ≥ 3, εi ∈ {0, 1}, εi εi+1 εi+2 = 0 .. Il a été introduit par G. Rauzy [17] dans le but de donner une représentation géométrique du système dynamique symbolique associé à la substitution 2000 Mathematics Subject Classification: 28A78, 28A80, 11B39, 11B85, 11K16. [195].

(5) 196. A. Messaoudi. σ définie par σ(0) = 01,. σ(1) = 02,. σ(2) = 0.. Le fractal de Rauzy a plusieurs propriétés : c’est un compact de C, connexe, à frontiére fractale et ` a intérieur simplement connexe et il induit un pavage périodique de C modulo Z + Zα (voir [15]). Il est partagé en trois régions similaires qui induisent un autre pavage non périodique et auto-similaire du plan complexe. Ces régions sont : αE, α3 + α2 E et α3 + α4 + α3 E. Le fractal de Rauzy a fait l’objet de plusieures études (voir [1], [17], [10], [15], [19], [11]) et peut être relié ` a différents problèmes : • Système de numération complexe [15], [16]. • Représentation géométrique des systèmes dynamiques symboliques [17], [10], [15], [19], [11]. • Méthode de Dekking pour la construction d’objets fractals [10]. • Fractions continues de dimension deux. • Pavages quasi-périodiques du plan [10], [11]. • Partitions de Markov pour les automorphismes hyperboliques du tore T3 [1], [15]. La frontière du fractal de Rauzy a été au début étudiée par S. Ito et M. Kimura [10]. Ils ont montré que c’est une courbe de Jordan engendrée par la méthode de Dekking (voir [5]) pour la construction d’objets fractals. Ensuite, en liant la frontière de E aux nombres complexes qui ont plusieurs développements en base α avec des chiffres dans {0, 1} sans trois “1” consécutifs, il a été construit dans [16] un automate fini qui génére cette frontière. Dans ce papier nous donnons une paramétrisation de la frontière du fractal de Rauzy. Cela permet de calculer sa dimension de Hausdorff et de montrer que c’est un quasi-cercle. Ensuite nous donnons une méthode de construction des points strictement extrémaux du fractal de Rauzy. Les développements de ces points en base α sont liés au codage d’une rotation d’angle irrationnel donné en fonction de l’argument de α sur le tore S 1 sous la partition ([0, 1/2[, [1/2, 1[) ou bien (]0, 1/2], ]1/2, 1]). Cette construction permet de trouver l’enveloppe convexe du fractal de Rauzy etPse généralise aux k-fractals du dragon, k ≥ 1, c’est-à-dire aux ∞ ensembles Dk = { n=1 an /(−k + i)n | an ∈ {0, 1, . . . , k 2 }} (pour l’étude de ces ensembles, voir [6], [7], [8]).. Dans le cas o` u k = 1, c’est-` a-dire le fractal du dragon, on montre que l’enveloppe convexe est un octogone, on retrouve ainsi d’une autre fa¸con un résultat de Benedek et Panzone (voir [3]). Ce qui est nouveau avec notre méthode est qu’elle permet de trouver tous les points strictement P extrémaux du fractal du dragon et qu’elle se ∞ u A est un ensemble généralise aux ensembles de la forme { i=0 ai γ i | (ai ) ∈ AN } o`.

(6) Frontière du fractal de Rauzy. 197. fini de réels positifs contenant 0, et γ un nombre complexe de module < 1. Remarque. Les résultats que l’on obtiendra sont indépendants du fait que la partie imaginaire de α soit positive ou négative. Les figures du fractal de Rauzy données dans cet article sont faites pour α ayant une partie imaginaire négative, c’est-à-dire α ∼ −0.419 − 0.606i. 2. Notations et d´ efinitions. Notons N l’ensemble des suites (an )n∈Z appartenant à {0, 1}Z dans lesquelles ne figurent pas trois “1” consécutifs, et telles qu’il existe un entier k ∈ Z, tel que pour tout entier n ≤ k, an = 0. Nous parlerons indifféremment d’une suite (an )n∈Z appartenant à N telle que an = 0 pour tout n ≤ k et de la suite (an )n≥k . Soit (an )n≥k un élément de N . Supposons qu’il existe p ∈ Z tel que pour tout n ≥ p, an = 0. Cette suite sera notée (an )k≤n≤p = ak . . . ap et l’ensemble de telles suites, Nf . Soit z ∈ C et A ⊂ C. Nous posons A+z = {x+z | x ∈ A} et zA = {zx | x ∈ A}. Nous notons int(A) l’intérieur de A, Fr(A) la frontière de A, diam(A) le diamètre de A et A l’adhérence de A. Soit x un réel. Nous notons [x] sa partie entière, x[1] sa partie fractionnaire x − [x]. Nous appelons (·) mod 2 l’application de Z dans {0, 1} qui à un entier n associe n mod 2 = 0 si n est pair, et 1 sinon. Un automate fini est la donnée de (S, A, C) o` u A est l’alphabet de l’automate, S l’ensemble des états, et C un sous-ensemble de S × S × A. On ajoute souvent ` a l’automate un ensemble I d’états initiaux et un ensemble F d’états finaux. Dans cet article, on aura besoin seulement de l’ensemble I. On dit qu’une suite (an ) est reconnaissable par l’automate (S, A, C) s’il existe une suite (sn ) ∈ AN telle que (si−1 , si , ai ) ∈ C pour tout i ∈ N. Soit (X, f ) un système dynamique et P = {X1 , . . . , Xk }, k ∈ N, une partition de X. Soit l’alphabet B = {a1 , . . . , ak } et fP l’application de X dans B N qui à un élément x de X associe fP (x) = (vn )n∈N o` u vi = aj si f (i) (x) ∈ Xj . La suite fP (x) est appelée codage de x associé ` a la partition P sous l’application f. 3. Propri´ et´ es de la fronti` ere de E. La frontière de E est l’union de six arcs (voir [15], [16]) de la forme E ∩ (E + u) o` u u ∈ {1, α, 1 + α, −1, −α, −1 − α} (fig. 2). En plus si u ∈ (Z + Zα) − {0} alors E ∩ (E + u) 6= ∅ si et seulement si u ∈ {1, α, 1 + α, −1, −α, −1 − α}. Par ailleurs, il est connu [15] que tout nombre complexe z s’écrit en base α comme z=. ∞ X i=l. εi αi ,. o` u l ∈ Z et (εi )i≥l ∈ N ..

(7) 198. A. Messaoudi. Fig. 2. Pavage périodique du plan par le fractal de Rauzy. La suite (εi )i≥l sera appelée un α-développement de z. Un point de la frontière de E a au moins deux α-développements, un α-développement provient de E et l’autre de E + u o` u u ∈ {1, α, 1 + α, −1, −α, −1 − α} (voir [15]). D’autre part, un nombre complexe au moins deux α-développements distincts peut s’écrire PL z ayant i N comme z = u (ai ) ∈ Nf est le début commun des deux αi=k ai α + α x o` développements de z et N entier relatif choisi de telle manière que x ∈ E ∩ (E + v) o` u v ∈ {1, α, α2 , 1 + α, 1 + α2 , α + α2 }. D’o` u x ∈ Fr(E). Par conséquent, le problème de la frontière de E est équivalent au problème des nombres complexes ayant plusieurs α-développements. Ces nombres complexes sont caractérisés par un automate noté B (fig. 3) et nous avons le théorème suivant ([16], p. 145). Th´ eor` eme 1. Soient (ai )i≥−L et (bi )i≥−L deux éléments distincts de N . Alors ∞ X. i=−L. i. ai α =. ∞ X. bi αi. i=−L. si et seulement si la suite ((ai , bi ))i≥−L est reconnaissable par l’automate B. L’idée de le construction de l’automate B (donnée dans [16]) est la suivante : P∞ P∞ Soient x = i=−L ai αi et y = i=−L bi αi . Nous avons ([16], théorème 1) x = y si et seulement si pour tout k ≥ −L, x(k) − y(k) ∈ S = {0, ±1, ±α, ±(1 + α), ±(1 + α2 ), ±(α + α2 ), ±α2 }, o` u x(k) = α−k+2. Pk. i=−L. ai αi et y(k) = α−k+2. Pk. i i=−L bi α ..

(8) Frontière du fractal de Rauzy. (0,1) + (0,1) - −α − α2 2 −α. 0. 199. H HH HH (1,0) HH HH HH HH j (1,0) 2 α2 α+α. JJ. JJ (1,1). (0,0) JJ (1,1) (0,0) (1,1) (0,0). JJ (1,1) (0,0). JJ JJ. J J. (0,0) (0,0) ?? ?? . JJ −α 1 α −1. JJ (1,1) (1,1) I @ I. @ JJ @ @. J J (1,0) @ (0,1). @ JJ (0,1) @ (1,0) @. J J @ @. J ^. J ^ ? ? @ 1+α @ −1 − α (1,0) @ (0,1) @ @ @ @ (1,0) (0,1) @ @ @ @ ? ? @ −1 − α2 @ 1 + α2 Fig. 3. Automate B. Posons pour tout k ≥ −L, Ak = x(k) − y(k). Donc (1). Ak+1 =. Ak + (ak+1 − bk+1 )α2 . α. Soit s le plus petit entier tel que as 6= bs . D’o` u Ai = 0 pour tout i dans {−L, . . . , s − 1}. Supposons que (as , bs ) = (1, 0). Alors As = α2 . Nous avons ( α + α2 si (as+1 , bs+1 ) = (1, 0), 2 As+1 = α + (as+1 − bs+1 )α = α si (as+1 , bs+1 ) = (0, 0) ou (1, 1). Nous construisons l’automate B dont les états sont les éléments de S. Soient V et W deux éléments de S. Nous mettons une flèche étiquetée par (x, y) ∈ {0, 1}2 et allant de V ` a W si et seulement si W = V /α + (x − y)α2 . Nous prenons 0 pour état initial de l’automate B. C’est l’état o` u les deux α-développements ne sont pas encore distincts..

(9) (0,0,1) - 0,−α−α2 ,α+α2 0,−α2 ,α2. 0. HH (1,1,0) HH HH HH j H (1,1,0) 0,α2 ,−α2 0,α+α2 ,−α−α2. (1,1,1). (0,1,0). (0,0,0). (1,1,1). Fig. 4. Automate C. AA. A A. (0,0,0) (1,1,1) (1,1,1) (0,0,0) A A. (0,0,0) A. A. ?? (0,0,0) ?? (0,0,0) - 0,−1,1 0,α,−α. A A 0,1,−1 2 2 0,−α,α −α ,−1−α ,1 3 (1,1,1) (1,0,1) kQ Q I. A A @ AA. @ (1,1,0) (0,0,1) Q. @ A A (0,0,1) QQ ?. (1,1,0) . @ AU AU ? (1,1,0) 0,1+α,−1−α @ 0,−1−α,1+α ? (1,1,0) @ - α,1,−α−1 @ (0,0,1) 3 @ (1,1,0) @ (0,0,1) (1,0,0) @ (0,0,1) @ ? ? ? @ 0,1+α2 ,−1−α2 −α−1,α,1 1,−α−1,α 0,−1−α2 ,1+α2. α2 ,α,−α−α2. ?. . (0,0,1). (1,0,0). (1,0,0). (0,0,0). ?. . (1,1,1). (0,1,1). Z } Z Z (1,0,1) Z (1,1,0) Z Z ? Z 1,α,−α−1 −α−1,1,α. α,−α−1,1. (0,0,1). ? α2 ,−α−α2 ,α. - α2 ,1,−1−α2. (1,0,1). 200 A. Messaoudi.

(10) Frontière du fractal de Rauzy. 201. L’état initial est donc lié ` a l’état α2 par une flèche d’étiquette (1, 0). L’état α2 2 est lié à l’état α + α par une flèche d’étiquette (1, 0) et à l’état α par deux flèches, une d’étiquette (0, 0) et l’autre d’étiquette (1, 1). Comme l’ensemble des états S est fini, nous obtenons un automate fini. De même il existe un automate fini C (fig. 4) qui reconnait les nombres complexes qui ont trois α-développements (voir [16]). Une description detaillée des automates B et C se trouve dans [15] et [16]. Remarque. Il est facile de déterminer les points de la frontière de E à partir de l’automate des nombres complexes doubles, car un point de la frontière a au moins deux α-développements : (an )n≥3 et (bn )n≥0 , tels que b0 + b1 α + b2 α2 ∈ {1, α, α2 , 1 + α, 1 + α2 , α + α2 }. 4. Param´ etrisation de la fronti` ere de E. Nous notons les six courbes (fig. 5) constituant la frontière de E par X = E ∩ (E + α), Y = E ∩ (E + 1 + α), Z = E ∩ (E + 1), X ′ = E ∩ (E − α), Y ′ = E ∩ (E − 1 − α) et Z ′ = E ∩ (E − 1).. Fig. 5. Dans cette section, nous allons construire une bijection continue entre [0, 1] et X = E ∩ (E + α), ce qui nous permet de calculer la dimension de Hausdorff de la frontière de E, et de montrer que celle-ci est un quasi-cercle..

(11) 202. A. Messaoudi. Tout d’abord, nous allons montrer que chacune de ses six courbes est l’image d’une autre par une transformation affine ; pour cela, nous avons besoin du lemme suivant. Lemme 1. Les relations suivantes sont vérifiées : 1. 2. 3. 4. 5. 6.. X ∩ Y = {−α2 }. Y ∩ Z = {α3 /(1 − α3 )}. Z ∩ X ′ = {−α2 − α}. X ′ ∩ Y ′ = {α5 /(1 − α3 )}. Y ′ ∩ Z ′ = {−α3 }. Z ′ ∩ X = {α4 /(1 − α3 )}.. P r e u v e. Soit z un élément de X ∩ Y = E ∩ (E + α) ∩ (E + 1 + α). D’après l’automate C, X X X z= α3i + α3i+1 = 1 + α + α3i+1 + α3i+2 = α + α3i + α3i+2 = −α2 . i≥1. i≥1. i≥1. De même, l’ensemble Y ∩ Z = E ∩ (E + 1) ∩ (E + 1 + α) est réduit à un singleton {x} o` u X X X α3 x= α3i = 1 + α3i+1 = 1 + α + α3i+2 = . 1 − α3 i≥1. i≥1. i≥1. Les autres relations découlent du fait que Z ∩ X ′ = X ∩ Y − α, X ′ ∩ Y ′ = Y ∩ Z − 1 − α, Y ′ ∩ Z ′ = X ∩ Y − 1 − α et Z ′ ∩ X = X ∩ Y − 1. Lemme 2. Les propriétés suivantes sont vérifiées : 1. 2. 3. 4. 5.. Y = 1 + α + αX. Z = α3 + α2 X. X ′ = −α + X. Y ′ = αX. Z ′ = α + α2 + α2 X.. P r e u v e. 1. Soit z un élément de Y. En vertu de l’automate B, nous avons trois cas : • z = 1 + α + α5 + α3 w1 = α3 + α6 + α4 w1′ o` u w1 , w1′ ∈ E. Dans ce cas (z − 1 − α)/α = α4 + α2 w1 = α + α5 + α3 w1′ . • z = 1 + α + α4 + α5 + α4 w2 = α3 + α4 + α6 + α4 w2′ o` u w2 , w2′ ∈ E, donc (z − 1 − α)/α = α3 + α4 + α3 w2 = α + α3 + α5 + α3 w2′ . • z = 1 + α + α5 + α7 + α5 w3 = α3 + α4 + α6 + α5 w3′ o` u w3 , w3′ ∈ E, d’o` u (z − 1 − α)/α = α4 + α6 + α4 w3 = α + α3 + α5 + α4 w3′ . Par conséquent (z − 1 − α)/α ∈ X..

(12) Frontière du fractal de Rauzy. 203. Réciproquement, si z appartient ` a X, alors αz + 1 + α ∈ (αE + 1 + α) ∩ (αE + α3 ) ⊂ Y. 2. Soit z élément de Z, donc z = 1 + α4 + α2 w = α3 + α2 w′ o` u w, w′ ∈ E, d’o` u (z − α3 )/α2 = α + w = w′ ∈ X. Par ailleurs, α3 + α2 X = (α3 + α2 E) ∩ (2α3 + α2 E). Comme 2α3 = α4 + 1, nous avons α3 + α2 X = (α3 + α2 E) ∩ (1 + α4 + α2 E) ⊂ Z. Il en résulte que Z = α3 + α2 X. Les autres relations découlent des relations Y ′ = Y − 1 − α,. Z ′ = Z − 1,. X ′ = X − α.. D’o` u le lemme.. Fig. 6. Maintenant, nous allons étudier l’ensemble X. On remarque que X est autoaffine et partagé en trois régions similaires (voir fig. 6). Nous allons montrer que chacune de ses régions correspond ` a l’image de X par l’une des trois fonctions gi ,.

(13) 204. A. Messaoudi. i ∈ {0, 1, 2}, définies par : ∀z ∈ C,. g0 (z) = α4 + α3 z, g1 (z) = α + α3 + α5 + α4 z, g2 (z) = α3 + α4 + α3 z.. Pour cela, nous nous serverons du lemme suivant. Lemme 3. X vérifie les propriétés suivantes : 1. 2. 3. 4.. X = g0 (X) ∪ g1 (X) ∪ g2 (X). g0 (X) ∩ g1 (X) = −α3 − α2 . g1 (X) ∩ g2 (X) = α3 + α4 /(1 − α3 ). g0 (X) ∩ g2 (X) = ∅.. P r e u v e. 1. Puisque X = E ∩ (E + α), nous avons g0 (X) = (α4 + α3 E) ∩ (2α4 + α3 E) = (α4 + α3 E) ∩ (α + α5 + α3 E), g1 (X) = (α + α3 + α5 + α4 E) ∩ (α4 + α6 + α4 E), g2 (X) = (α3 + α4 + α3 E) ∩ (α + α3 + α5 + α3 E). Donc, pour tout i élément de {0, 1, 2}, gi (X) est inclus dans X. Soit z un élément de X. En vertu de l’automate B, nous avons trois cas : • z = α + α5 + α3 w0 = α4 + α3 w0′ o` u w0 , w0′ ∈ E. Dans ce cas, g0−1 (z) = α + w0 = w0′ ∈ X,. d’o` u z ∈ g0 (X).. u w1 , w1′ ∈ E. Donc • z = α + α3 + α5 + α4 w1 = α4 + α6 + α4 w1′ o` g1−1 (z) = w1 = α + w1′ ∈ X,. d’o` u z ∈ g1 (X).. u w2 , w2′ ∈ E, alors • z = α + α3 + α5 + α3 w2 = α3 + α4 + α3 w2′ o` g2−1 (z) = α + w2 = w2′ ∈ X,. d’o` u z ∈ g2 (X).. Par conséquent X = g0 (X) ∪ g1 (X) ∪ g2 (X). 2. Supposons que x appartient ` a g0 (X) ∩ g1 (X). Il existe z et z ′ deux éléments de X tels que x = α4 + α3 z = α + α3 + α5 + α4 z ′ , d’o` u z = 1 + α + αz ′ , ce qui implique que z ∈ E ∩ (E + α) ∩ (E + 1 + α), d’o` u z = −α2 , par conséquent x = −α3 − α2 . 3. Soit x un élément de g1 (X) ∩ g2 (X), donc x = α3 + α4 + α3 z = α + α3 + 5 α + α4 z ′ . Il s’ensuit que z et z ′ ∈ X d’o` u z = α + αz ′ ∈ E ∩ (αE + α). Par ailleurs, l’automate B implique que l’ensemble E ∩ (αE + α) est inclus dans αE ∩ (E + α). Par conséquent z α4 ′ z = − 1 ∈ E ∩ (E + α) ∩ (E − 1) = , α 1 − α3 ce qui entraˆıne que x = α3 + α4 /(1 − α3 )..

(14) 205. Frontière du fractal de Rauzy. 4. Soient z et z ′ deux éléments de X tels que α4 + α3 z = α3 + α4 + α3 z ′ . Alors z = 1 + z ′ , d’o` u z ∈ E ∩ (E + α) ∩ (E + 1) = ∅. Il en découle que g0 (X) ∩ g2 (X) = ∅. Ceci achève la preuve. Paramétrisation de X. Soient a et b appartenant à Fr(E). Notons par I(a, b) l’arc de Fr(E) d’origine a et d’extrémité b dans le sens trigonométrique. En vertu du lemme 3, nous avons α4 , −α3 − α2 1 − α3. α4 2 = I g0 , g (−α ) , 0 1 − α3 α4 α4 2 g1 (X) = I −α3 − α2 , α3 + = I g (−α ), g , 1 1 1 − α3 1 − α3 α4 α4 2 2 g2 (X) = I α3 + = I g , g (−α ) . , −α 2 2 1 − α3 1 − α3. g0 (X) = I. . . Pour paramétriser X, nous déterminerons trois fonctions complexes fi , i ∈ {0, 1, 2}, telles que fi (X) soit égal ` a I(fi (α4 /(1 − α3 )), fi (−α2 )). Pour cela, nous nous serverons de la symétrie de X. α6 Lemme 4. L’ensemble X a un centre de symétrie C0 = 21 α + 1−α 3 . P∞ P∞ P r e u v e. Posons C = α6 /(1 − α3 ). Puisque C = i=3 αi , si z = i=3 ai αi ∈ E alors ∞ X (1 − ai )αi ∈ E. C−z = i=3. Il en résulte que C/2 est un centre de symétrie de E. Par ailleurs, 2C0 − X =. . α+. α6 −E 1 − α3. . ∩. . α6 −E 1 − α3. . = (E + α) ∩ E = X.. D’o` u le lemme. Notons par S la symétrie centrale de centre C0 , S(z) = 2C0 − z pour tout z ∈ X, et considérons les trois fonctions complexes f0 , f1 et f2 définies par f0 (z) = g0 (z) = α4 + α3 z, f1 (z) = g1 (Sz) = α4 + α6 + α10 /(1 − α3 ) − α4 z, f2 (z) = g2 (z) = α3 + α4 + α3 z. Soit z un élément de X. Puisque X = f0 (X) ∪ f1 (X) ∪ f2 (X), il existe z1 appartenant ` a X et a0 un élément de {0, 1, 2} tel que z = fa0 (z1 ). De proche en proche, nous construisons une suite (an )n∈N dans {0, 1, 2}N et une suite (zn )n∈N dans X, tels que pour tout entier naturel n, z = fa0 ◦ fa1 ◦ . . . ◦ fan (zn+1 )..

(15) 206. A. Messaoudi. Comme les fonctions fi sont contractantes, fa0 ◦ fa1 ◦ . . . ◦ fan (zn+1 ) tend vers z quand n tend vers l’infini, et que pour tout x ∈ X, fa0 ◦ fa1 ◦ . . . ◦ fan (x) tend vers z quand n tend vers l’infini. Fixons x0 ∈ X, et définissons une correspondance f de l’ensemble [0, dans X P1] ∞ −i de la manière suivante : Soit t un élément de [0, 1]. Si i=1 ai 3 , (ai ) ∈ {0, 1, 2}N est un développement de t en base 3, alors f (t) = lim fa1 ◦ fa2 ◦ . . . ◦ fan (x0 ). n→∞. Dans supposons que si t et t′ appartiennent à [0, 1], alors Pnous P∞ tout−ice qui′ suit, ∞ u ai et bi sont des éléments de {0, 1, 2} tels t = i=1 ai 3 et t = i=1 bi 3−i , o` que ai = bi pour i < k et ak < bk , k ∈ N. Proposition 1. La correspondance f est une application bijective, continue et vérifie f (0) = α4 /(1 − α3 ) et f (1) = −α2 . Pour la preuve, nous avons besoin des lemmes suivants. Lemme 5. Soient t et t′ deux éléments de [0, 1]. Alors (1) Si |t − t′ | < 3−N o` u N > k, alors bk = ak + 1, bi = 0 et ai = 2 pour tout i vérifiant k + 1 ≤ i ≤ N. (2) Si t = t′ alors bk = ak + 1, bi = 0 et ai = 2 pour i ≥ k + 1. P r e u v e. (2) est une conséquence immédiate de (1). (1) provient du fait que 3−N >. ∞ ∞ X X (bi − ai )3−i = (bk − ak )3−k + (bi − ai )3−i i=1. = (bk − ak − 1)3−k +. i=k+1. ∞ X. (2 + bi − ai )3−i .. i=k+1. Ceci achève la preuve. Lemme 6. Soient h et k deux éléments de {0, 1, 2} tels que h < k et soient x et y deux éléments de X. Alors fh (x) = fk (x) si et seulement si k = h + 1, x = −α2 et y = α4 /(1 − α3 ). P r e u v e. L’implication réciproque est évidente. Prouvons l’implication directe. L’ensemble f0 (X) ∩ f2 (X) étant vide, les entiers h et k sont nécessairement consécutifs. Nous avons donc deux cas ` a étudier : • Si h = 0, k = 1, alors f0 (x) = f1 (y) ⇔ g0 (x) = g1 (Sy) ; d’o` u d’après le lemme 3, nous avons g0 (x) = g1 (Sy) = −α3 − α2 , ou encore x = S(y) = −α2 . Il en résulte que x = −α2 et y = α4 /(1 − α3 )..

(16) 207. Frontière du fractal de Rauzy. • Si h = 1, k = 2, alors f1 (x) = f2 (y) ⇔ g1 (Sx) = g2 (y), donc Sx = y = α4 /(1 − α3 ), d’o` u x = −α2 , y = α4 /(1 − α3 ). Lemme 7. f (t) = α4 /(1 − α3 ) si et seulement si t = 0 et f (t) = 1 si et seulement si t = −α2 . P r e u v e. Puisque α4 /(1 − α3 ) 6∈ f1 (X) ∪ f2 (X) et f (t) = fa1 ◦ f. ∞ X. ai 3−i ,. i=2. nous avons f (t) = α4 /(1 − α3 ) ⇔ a1 = 0. P −i Or α4 /(1 − α3 ) est le seul point fixe de f0 ; cela entraˆıne que f ( ∞ i=2 ai 3 ) = 4 3 α /(1 − α ). En itérant le procédé, nous montrons que pour tout entier naturel n non nul, an = 0, d’o` u t = 0. En utilisant le même raisonnement et le fait que −α2 est le seul point fixe de f2 , nous prouvons que f (t) = 1 si et seulement si t = −α2 . Preuve de la proposition 1 f est bien définie. Soient t et t′ dans [0, 1]. Si t = t′ , alors d’après le lemme 5, bk = ak + 1, bi = 0 et ai = 2 pour tout i ≥ k + 1. Donc (n). f (t) = fa1 . . . fak−1 fak ( lim f2 (x0 )), n→∞. (n). f (t′ ) = fa1 . . . fak−1 fak +1 ( lim f0 (x0 )). n→∞. Or (n) lim f (x0 ) n→∞ 0. =. (n) lim f n→∞ 0. . α4 1 − α3. . =. α4 , 1 − α3. car f0 (α4 /(1 − α3 )) = α4 /(1 − α3 ), de même (n) lim f (x0 ) n→∞ 2. (n). = lim f2 (−α2 ) = −α2 , n→∞. car f2 (−α2 ) = −α2 . Il résulte du lemme 6 que f (t) = f (t′ ). f est injective. Nous avons f (t) = fa1 . . . fak−1 ◦ f. ∞ X i=1. ′. f (t ) = fb1 . . . fbk−1 ◦ f. ai+k−1 3−i ,. ∞ X i=1. bi+k−1 3−i ..

(17) 208. A. Messaoudi. Comme les fonctions fi sont bijectives (rappelons que ai = bi pour 1 ≤ i ≤ k − 1), ∞ ∞ X X bi+k−1 3−i . ai+k−1 3−i = f f (t) = f (t′ ) ⇔ f i=1. i=1. D’o` u. fak ◦ f (3t1 − ak ) = fbk ◦ f (3t′1 − bk ), P∞ o` u t1 = i=1 ai+k−1 3−i et t′1 = i=1 bi+k−1 3−i . Il découle du lemme 6 que bk = ak + 1, f (3t1 − ak ) = −α2 et f (3t′1 − bk ) = α4 /(1 − α3 ). Par conséquent, le lemme 7 implique que 3t1 − ak = 1 et 3t′1 − bk = 0. P∞. Or bk = ak+1 , d’o` u t1 = t′1 ou encore t = t′ . f étant surjective par construction, donc f est bijective. f est continue. Supposons que 0 < |t − t′ | < 3−N , N ∈ N, N > k. Le lemme 5 entraˆıne que |f (t) − f (t′ )| = |fa1 . . . fak−1 ◦ f (t1 ) − fa1 . . . fak−1 ◦ f (t′1 )|, o` u. f (t1 ) = fak ◦ f2N −k (z1 ) et f (t′1 ) = fak +1 ◦ f0N −k (z1′ ),. o` u z1 , z1′ ∈ X. Par conséquent, |f (t) − f (t′ )| ≤ |fak ◦ f2N −k (z1 ) − fak +1 ◦ f0N −k (z1′ )| · |α|3(k−1) . Puisque fak ◦ f2N −k (−α2 ) = fak +1 ◦ f0N −k (α4 /(1 − α3 )), nous avons ′ |f (t) − f (t )| ≤ |fak ◦ f2N −k (z1 ) − fak ◦ f2N −k (−α2 )|

(18)

(19)

(20)

(21) α4

(22) |α|3(k−1) +

(23)

(24) fak +1 ◦ f2N −k (z1′ ) − fak +1 ◦ f0N −k 3 1−α

(25) ≤ (|α|3(N −k)+3 + |α|3(N −k)+4 )|α|3(k−1) · diam(X) ≤ diam(X) · (1 + |α|)|α|3N .. Corollaire 1. La frontière de E est une courbe de Jordan. Proposition 2. L’application f est δ = −3 log(|α|)/log 3 H¨ older continue. P r e u v e. Montrons qu’il existe un réel C > 0 tel que ∀t, t′ ∈ [0, 1],. |f (t) − f (t′ )| ≤ C|t − t′ |δ .. Soient t et t′ ∈ [0, 1]. Supposons que 3−N −1 ≤ |t − t′ | < 3−N o` u N ∈ N. • Si N > k, alors |f (t) − f (t′ )| ≤ diam(X) · (1 + |α|)|α|3N . • Si N < k, alors |f (t) − f (t′ )| = |fa1 . . . fak−1 (z1 ) − fa1 . . . fak−1 (z1′ )| ≤ diam(X) · |α|3(k−1) ≤ diam(X) · |α|3N ..

(26) 209. Frontière du fractal de Rauzy. D’o` u |f (t) − f (t′ )| ≤ diam(X) · (1 + |α|)e3N log(|α|) . Comme −. log |t − t′ | > N, log 3. nous avons |f (t) − f (t′ )| ≤ C|t − t′ |δ , o` u C = diam(X) · (1 + |α|). Calcul de la dimension de Hausdorff. Comme Fr(E) est l’union de six régions qui sont chacune l’image de X par une transformation affine (voir lemme 2), nous S2 avons dimH (X) = dimH (Fr(E)). L’ensemble X = i=0 fi (X) entre dans le cadre des compacts invariants par des similitudes (il est stable par les fi ). La dimension de Hausdorff de cette classe de compact est majorée par sa dimension fractale et dans des cas, elle lui est égale. ´ ` Sn Theoreme 2 (voir [2], [9]). Soit A un sous-ensemble de C tel que A = i=0 hi (A) est le compact invariant par des similitudes hi de coefficients de similitudes ri (i.e. ∀x, y ∈ C u s est P, n|hi (x) − hi (y)| = ri |x − y|). Alors dimH (A) ≤ s o` l’unique réel vérifiant i=0 ris = 1. Si de plus il existe un ouvert O de C tel que ∀i, hi (O) ⊂ O et hi (O) ∩ hj (O) = ∅, ∀i 6= j, alors dimH (A) = s. Soit (ai )0≤i≤m ∈ Nf . Notons ∞ m o n X X di αi o` u a0 . . . am dm+1 dm+2 . . . ∈ N . ai αi + Ca0 ...am = z = i=0. i=m+1. Proposition 3. Soit U = int(C0000100000 ) et O = o` u i1 , . . . , ip = 0, 1, 2. Alors. S∞. p=1 gip. ◦ . . . ◦ gi2 ◦ gi1 (U ). (1) gi (O) ⊂ O, i = 0, 1, 2. (2) gi (O) ∩ gj (O) = ∅ si i 6= j. Lemme 8. Soit a0 . . . am ∈ Nf , m ≥ 3. Si int(Ca0 ...am ) = gip ◦ . . . ◦ gi1 (U ), alors a0 . . . am ne contient pas cinq “0” consécutifs sauf peut être a ` la fin. P r e u v e. Un simple calcul montre que g0 (C000a3 ...am ) = C000010a3 ...am ,. g0 (C010a3 ...am ) = C010001a3 ...am ,. g1 (C000a3 ...am ) = C0101010a3 ...am , g2 (C000a3 ...am ) = C000110a3 ...am ,. g1 (C010a3 ...am ) = C0000101a3 ...am , g2 (C010a3 ...am ) = C010101a3 ...am .. Montrons le lemme 8 par recurrence sur p. Si p = 1, c’est évident..

(27) 210. A. Messaoudi. Supposons la propriété du lemme 8 est vraie à l’ordre p − 1. On a gip ◦ . . . ◦ gi1 (U ) = gip (int(Cd0 ...dl )). • Si ip = 0, alors gip ◦ . . . ◦ gi1 (U ) satisfait la propriété du lemme 8 sauf si d0 . . . dl = 0000000d7 . . . dl ou d0 . . . dl = 010110d6 . . . dl . • Si ip = 1 ou 2, alors gip ◦ . . . ◦ gi1 (U ) satisfait la propriété du lemme 8 sauf si d0 . . . dl = 0000000d7 . . . dl ou d0 . . . dl = 010110110d9 . . . dl . Il est facile de voir que dans ces cas int(Cd0 ...dl ) ne peut pas être sous la forme gip−1 ◦ . . . ◦ gi1 (U ). Lemme 9. Soient a0 . . . am et b0 . . . bk ∈ Nf o` u k, m ≥ 3, et a0 a1 a2 , b0 b1 b2 ∈ {000, 010}. S’il existe i1 , . . . , ip ∈ {0, 1, 2} tels que gip ◦ . . . ◦ gi1 (int(Cb0 ...bk )) = int(Ca0 ...am ), alors (i1 , . . . , ip ) est uniquement déterminé. P r e u v e. D’après la définition des gi (lemme 8), on a : 1. Si b0 b1 b2 = 000, alors • si am−k = 0 et am−k−1 = 0 alors i1 = 0, • si am−k = 0 et am−k−1 = 1 alors i1 = 1, • si am−k = 1 alors i1 = 2. 2. Si b0 b1 b2 = 010, alors • si am−k = 0 alors i1 = 0, • si am−k = 1 et (am−k−1 , am−k−2 ) = (0, 0) alors i1 = 1, • si am−k = 1 et (am−k−1 , am−k−2 ) 6= (0, 0) alors i1 = 2. D’o` u i1 est uniquement déterminé. Nous appliquons le même procédé à gi1 (int(Cb0 ...bk )) et int(Ca0 ...am ) pour obtenir que i2 est uniquement déterminé. En continuant le même procédé, nous obtenons le lemme. Preuve de la proposition 3. (1) est évident. (2) Supposons que gip ◦ . . . ◦ gi1 (U ) = int(Ca0 ...am ) et gjs ◦ . . . ◦ gj1 (U ) = int(Cd0 ...dk ) o` u m ≥ k. Supposons que gip ◦ . . . ◦ gi1 (U ) ∩ gjs ◦ . . . ◦ gj1 (U ) 6= ∅. Comme l’ensemble des nombres complexes qui ont au moins deux α-développements est de mesure nulle [16], nous avons ai = di pour 0 ≤ i ≤ k. Puisque ak = ak−1 = . . . = ak−4 = 0 et en vertu du lemme 8, nous avons k = m. Le lemme 9 implique que (ip , . . . , i1 ) = (js , . . . , j1 ). Ceci termine la preuve. Nous déduisons de la proposition 3 et du théorème 2 que dimH (X) = s o` us vérifie 2|α|3s + |α|4s = 1..

(28) Frontière du fractal de Rauzy. 211. Nous en concluons que dimH (X) = log ̺/log |α| = 1.09336 . . . o` u ̺ est la racine réelle maximale du polynˆ ome X 4 + 2X 3 − 1 = 0. Nous retrouvons un résultat de S. Ito et M. Kimura [10]. Remarque. Soit γ un nombre de Pisot réel ou complexe (entier algébrique de module > 1 dont tous les conjugués au sens de Galois, à l’exception de γ, sont de module P∞ < 1). Soit A un sous-ensemble fini d’entiers algébriques de Q(γ). Soit Ξ = { i=0 ai γ −i | (ai ) ∈ AN }. Il est connu ([20], [15]) qu’il existe unP automate fini ∞ N telles que −i L qui reconnaˆ ıt toutes les suites (a , b ) , (a ), (b ) ∈ A = i i i i i∈ N i=0 ai γ P∞ −i b γ . Il est int´ e ressant de voir si on peut utiliser le mˆ e me raisonnement que i i=0 ci-dessus pour paramétriser la frontière de Ξ et calculer sa dimension de Hausdorff. 4.1. La frontière de E est un quasi-cercle. Nous commen¸cons par donner quelques définitions (voir [14]). Dans le plan complexe, on considère le quadrilatère Q = Q(z1 , z2 , z3 , z4 ) de sommets zi . Soit f une fonction conforme de Q dans un rectangle R. Si f (zi ), i ∈ {1, 2, 3, 4}, co¨ıncident avec les sommets de R, alors on dit que f est canonique et R est appelé rectangle canonique de Q. Il est connu [14] que tout quadrilatère possède une fonction conforme canonique, unique modulo des similitudes. On suppose que R = {x + iy | 0 < x < a, 0 < y < b} est rectangle canonique de Q(z1 , z2 , z3 , z4 ) tel que le cˆ oté [z1 , z2 ] correspond au segment [0, a]. On appelle a/b = M (Q(z1 , z2 , z3 , z4 )) le module du quadrilatère Q(z1 , z2 , z3 , z4 ). On montre que le module d’un quadrilatère est indépendant du choix du rectangle canonique associé. Soit A un domaine. On considère K l’ensemble de tous les quadrilatères Q = Q(z1 , z2 , z3 , z4 ) tels que Q ⊂ A et f un homéomorphisme qui préserve le sens. On pose Mf = sup K. M (f (Q))(f (z1 ), f (z2 ), f (z3 ), f (z4 )) . M (Q(z1 , z2 , z3 , z4 )). D´ efinition 1. Un homéomorphisme préservant l’orientation est dit quasi-conforme si Mf est fini. En particulier si Mf = 1 alors f est conforme. D´ efinition 2. Un courbe de Jordan J est un quasi-cercle si elle est l’image d’un cercle par un homéomorphisme quasi-conforme. Le domaine entouré par un quasi-cercle est appelé quasi-disque..

(29) 212. A. Messaoudi. D´ efinition 3. Soient x et y deux éléments de J , soit I(x, y) l’arc de J orienté positivement et diam(I(x, y)) le diamètre de cet arc. On dit que J vérifie les conditions d’Ahlfors s’il existe un réel positif k tel que ∀x, y ∈ J ,. min(diam(I(x, y)), diam(I(y, x))) ≤ k|x − y|.. Th´ eor` eme 3 ([14]). Si J vérifie les conditions d’Ahlfors, alors J est un quasi-cercle. Nous allons donc montrer que Fr(E) vérifie les conditions d’Ahlfors ; pour cela, nous avons besoin du lemme suivant. Lemme 10. Il existe un réel strictement positif k tel que si 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1, alors |f (t1 ) − f (t0 )| ≤ k|f (t2 ) − f (t0 )|. P r e u v e. Il est facile de vérifier que f0 ◦ f2 (z) = f0 ◦ f0 (z) + α6 ,. f1 ◦ f0 (z) = f0 ◦ f1 (z) + α6 .. D’o` u f [2/9, 1/3] = f0 ◦ f2 (X) = f0 ◦ f0 (X) + α6 = f [0, 1/9] + α6 , et f [1/3, 1/3 + 1/9] = f1 ◦ f0 (X) = f0 ◦ f1 (X) + α6 = f [1/9, 2/9] + α6 . Par conséquent, f [2/9, 1/3 + 1/9] = f [0, 2/9] + α6 . De même, en utilisant la symétrie de X, nous obtenons f [1 − 2/9, 1] = f [1 − 4/9, 1 − 2/9] + α6 . Posons [0, 1] = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 o` u A1 = [0, 1/3], A2 = [2/9, 1/3 + 1/9], S5 A3 = [1/3, 2/3], A4 = [1 − 4/9, 1 − 2/9] et A5 = [2/3, 1]. Donc X = i=1 f (Ai ). Soient t0 , t1 et t2 trois éléments de [0, 1] tels que 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1. Nous avons donc deux cas ` a étudier : (1) Il existe i appartenant ` a {1, 2, 3, 4, 5} tel que f (t0 ) et f (t2 ) appartiennent à f (Ai ). (2) Il n’existe pas i tel que f (t0 ) et f (t2 ) appartiennent à f (Ai ). Supposons que l’on est dans le cas (2). Soit p le minimum des distances entre deux points de X vérifiant (2) ; d’après la construction des Ai , p est strictement positif. Puisque p ≤ |f (t2 ) − f (t0 )|, nous avons |f (t1 ) − f (t0 )| ≤. diam(X) · |f (t2 ) − f (t0 )|. p. Il suffit donc de prendre k = diam(X)/p..

(30) 213. Frontière du fractal de Rauzy. Si on est dans le cas (1), on peut toujours se ramener au cas o` u t0 et t2 appartiennent à Ai o` u i est un élément de {1, 3, 5}, car f (A2 ) = f [0, 2/9] + α6 et f (A4 ) = f [1 − 2/9, 1] − α6 . Posons i = 2s + 1, s ∈ {0, 1, 2} et définissons l’application h de [0, 1] dans lui même par h(t) = 3t − s si t ∈ A2s+1 . Donc fs ◦ f (h(t0 )) = f (t0 ),. fs ◦ f (h(t2 )) = f (t2 ).. De même, nous avons fs ◦ f (h(t1 )) = f (t1 ), car t1 ∈ A2s+1 . Pour avoir le lemme, il suffit d’avoir |f (h(t1 )) − f (h(t0 ))| ≤ k|f (h(t2 )) − f (h(t0 ))|. Par ailleurs, |α−3 | · |f (t0 ) − f (t2 )| ≤ |f (h(t0 )) − f (h(t2 ))| ≤ |α−4 | · |f (t0 ) − f (t2 )|. Comme α est de module inférieur strictement à 1, en appliquant h un nombre fini de fois, on obtient un couple (hn (t0 ), hn (t2 )) appartenant à X et vérifiant |f (hn (t0 )) − f (hn (t2 ))| ≥ p. On prend k = diam(X)/p et on obtient |f (hn (t1 )) − f (hn (t0 ))| ≤ k|f (hn (t0 )) − f (hn (t2 ))|. Comme t1 appartient ` a Ai , nous avons |f (t1 ) − f (t0 )| ≤ k|f (t2 ) − f (t0 )|. Un corollaire immédiat du lemme 10 est le suivant. Corollaire 2. Il existe un réel strictement positif k tel que pour tout réel t, t′ , t0 et t2 vérifiant 0 ≤ t0 ≤ t ≤ t′ ≤ t2 ≤ 1, on a |f (t) − f (t′ )| ≤ k|f (t2 ) − f (t0 )|. Th´ eor` eme 4. Il existe un réel positif k tel que pour tout x et y appartenant a ` Fr(E), on a min(diam(I(x, y)), diam(I(y, x))) ≤ k|x − y|. P r e u v e. Comme f2 (X) − α est inclus dans E ∩ (E − α), la frontière de E est l’union de six arcs B0 = X ∪ Y , B1 = Y ∪ Z, B2 = Z ∪ (f2 (X) − α), B3 = X ′ ∪ Y ′ , B4 = Y ′ ∪ Z ′ , B5 = Z ′ ∪ f0 (X). D’après la figure 5, on remarque que ces arcs sont similaires à X et on montre en utilisant le lemme 2 qu’il existe des applications affines Hi de C dans C, i élément de {0, 1, 2, 3, 4, 5}, telles que l’image de Bi par Hi soit incluse dans X. Ces applications sont définies par H0 (z) = α4 + α3 z,. H1 (z) = α + α3 + α2 z,. H2 (z) = αz,. et H3 = H0 ◦ s,. H4 = H1 ◦ s,. o` u s est la symétrie centrale définie sur E.. H5 = H2 ◦ s,.

(31) 214. A. Messaoudi. En effet, nous avons H0 (X ∪ Y ) = H0 (X ∪ (1 + α + αX)) = (α4 + α3 X) ∪ (α + α3 + α5 + α4 X) = f0 (X) ∪ f1 (X) ⊂ X, H1 (Y ∪ Z) = H1 ((1 + α + αX) ∪ (α3 + α2 X)) = (α3 + α4 + α3 X) ∪ (α + α3 + α5 + α4 X) = f2 (X) ∪ f1 (X) ⊂ X, H2 (Z ∪ (f2 (X) − α)) = H2 ((α3 + α2 X) ∪ (1 + α2 + α4 + α3 X)) = (α4 + α3 X) ∪ (α + α3 + α5 + α4 X) = f0 (X) ∪ f1 (X) ⊂ X. Nous avons H3 (X ′ ∪ Y ′ ) = H0 (s(X ′ ∪ Y ′ )) = H0 (X ∪ Y ). De même H4 (Y ′ ∪ Z ′ ) = H1 (Y ∪ Z) et H5 (Z ′ ∪ f0 (X)) = H2 (f2 (X) − α). Soient x et y deux éléments de Fr(E). Alors nous avons deux cas : (1) x et y appartiennent au même arc Bi . Dans ce cas, Hi (x) et Hi (y) appartiennent à X et il résulte du corollaire 2 que min(diam(I(Hi (x), Hi (y))), diam(I(Hi (y), Hi (x)))) ≤ k|Hi (x) − Hi (y)|, d’o` u le résultat. (2) x et y n’appartiennent pas au même arc Bi . Donc, d’après la construction des Bi , x et y n’appartiennent pas ` a deux arcs successifs de Fr(E) (i.e. (x, y) 6∈ (X ×Y )∪(Y ×Z)∪(Z ×X ′)∪(X ′ ×Y ′ )∪(Y ′ ×Z ′ )∪(Z ′ ×X)). D’o` u il existe un réel strictement positif d tel que |x− y| ≥ d. Il suffit donc de prendre k = diam(Fr(E))/d pour avoir le théorème. Il est connu [14] que la classe des domaines qui sont des quasi-disques co¨ıncide avec celle des domaines uniformes. Il s’en suit que int(E) est un domaine uniforme, c’est-à-dire, il existe deux réels positifs a et b tels que tout z1 et z2 appartenant à int(E) peuvent être joints par un arc η dans int(E) qui vérifie les deux propriétés suivantes : • La longueur euclidienne l(η) de η satisfait l’inégalité l(η) ≤ a|z1 − z2 |. • ∀z ∈ η, min(l(η1 ), l(η2 )) ≤ b · d(z, Fr(E)) o` u η1 et η2 sont les deux arcs de η\z. Remarque. Il a été prouvé dans [3] que la frontière du fractal du dragon est un quasi-cercle. Ceci motive la question suivante : Parmi les courbes générées par la méthode de Dekking, quelles sont celles qui sont quasi-cercles?.

(32) 215. Frontière du fractal de Rauzy. 5. Les points strictement extr´ emaux du fractal de Rauzy. Dans cette section nous construisons les points strictement extrémaux du fractal de Rauzy, ce qui permet de trouver l’enveloppe convexe du fractal de Rauzy et se généralise aux n-fractals du dragon, n ≥ 1. Dans le plan complexe, nous considérons une droite ∆a passant par l’origine, de vecteur directeur ~u et de direction un réel a ∈ [0, 2π[. Soit pa la projection orthogonale de E sur ∆a : ∀z ∈ E, pa (z) = ca (z)~u, o` u ca (z) ∈ R. Comme E est compact, le maximum des ca (z), z ∈ E, est atteint en au moins un point x appartenant ` a E. D´ efinition 4. Sous les mêmes hypothèses, un point x ∈ E est dit strictement extrémal pour la direction a si ca (x) = max{ca (z); z ∈ E}. Remarque. Un point strictement extrémal de E appartient à Fr(E). Construction d’un point strictement extrémal. Soit α = |α|eiφ o` u φ est un argument de α appartenant a ` l’ensemble [0, 2π[ (φ/π ∼ 0.69). Soit a ∈ [0, 2π[ et P∞ z ∈ E tel que z = n=3 εn αn . Alors pa (z) = Re(ze−ia )~u =. (1). ∞ X. n=3. εn |α|n cos(nφ − a) ~u.. Soit (an )n≥3 une suite dont les termes sont dans {0, 1} et vérifient   an = 1 si cos(nφ − a) > 0, an = 0 si cos(nφ − a) < 0,  an arbitraire dans {0, 1} si cos(nφ − a) = 0.. Proposition 4. Soit (an )n≥3 une des suites définies ci-dessus. Alors (an )n≥3 ∈ P∞ N , et n=3 an αn est un point strictement extrémal pour la direction a.. P r e u v e. Montrons que (an )n≥3 ∈ N . Supposons qu’il existe n ≥ 3 tel que an = an+1 = 1 ; d’o` u cos(nφ − a) et cos((n + 1)φ − a) sont positifs. Par conséquent il existe deux entiers relatifs k et k ′ tels que −. π π + 2kπ ≤ nφ − a ≤ + 2kπ 2 2. −. et. π π + 2k ′ π ≤ (n + 1)φ − a ≤ + 2k ′ π, 2 2. ou encore 2k ≤ n. 1 φ a 1 φ a − + ≤ 2k + 1 et 2k ′ ≤ (n + 1) − + ≤ 2k ′ + 1. π π 2 π π 2. Nous avons k ′ ≥ k car (n + 1) πφ − ′. 2k − 2k − 1 ≤. . a π. +. 1 2. > n πφ −. a 1 φ (n + 1) − + π π 2. ce qui implique que k ′ = k.. . a π. . + 21 , d’o` u. φ a 1 − n − + π π 2. . =. φ < 1, π.

(33) 216. A. Messaoudi. Par ailleurs φ a 1 n − + < π π 2. φ a 1 φ a 1 φ n − + + 2 − 1 < (n + 1) − + π π 2 π π π 2. car φ/π ∼ 0.69. Donc 2k < (n + 2) φπ − πa + 21 − 1 < 2k + 1, c’est-à-dire 2k + 1 < u an+2 = 0, (n + 2) πφ − πa + 12 < 2k + 2. Il en résulte que cos((n + 2)φ − a) < 0, d’o` ce qui implique que (an )n≥3 ∈ N . Par ailleurs, soit (εn )n≥3 dans N . De la relation (1) et de la définition de (an ), nous déduisons que ∞ X. εn |α|n cos(nφ − a) ≤. n=3. Par conséquent. P∞. n=3. ∞ X. an |α|n cos(nφ − a).. n=3. an αn est un point strictement extrémal pour la direction a.. Remarque. La preuve montre aussi que la suite (an )n≥3 ne peut pas contenir trois “0” consécutifs. Il suffit de remplacer partout 2k (resp. 2k ′ ) par 2k + 1 (resp. 2k ′ + 1). La définition de la suite (an )n≥3 montre qu’a priori, nous pouvons avoir une infinité de points strictement extrémaux pour une direction a. Cela est faux. Nous allons prouver que pour une direction donnée, on ne peut avoir plus de deux points strictement extrémaux. Lemme 11. φ/π est irrationnel. P r e u v e. Supposons que φ/π est rationnel, il existe donc un entier naturel n tel que αn soit réel. D’o` u αn = αn . Il en résulte que le seul possible conjugué au n sens de Galois de α , différent de αn est β n o` u β est le conjugué réel de α. D’o` u le corps Q(αn ) est strictement inclus dans le corps cubique Q(α). Cela implique que Q(αn ) = Q car un corps cubique ne peut pas contenir un corps quadratique. Par conséquent, il existe deux entiers relatifs m et r tels que mαn − r = 0, d’o` u le polynôme Q(X) = mX n − r est un multiple du polynôme minimal de α. Cela est impossible, car toutes les racines de Q(X) ont le même module. Remarque. Ce lemme est vrai pour arg(γ)/π o` u γ est un complexe algébrique de degré 3 ayant au moins un conjugué de module différent de celui de γ. Corollaire 3. Soit a ∈ [0, 2π[. Alors l’ensemble {n ≥ 3 | cos(nφ − a) = 0} est soit vide, soit réduit a ` un élément. P r e u v e. Supposons qu’il existe deux entiers différents m et n supérieurs ou égaux à 3 tels que cos(nφ − a) = cos(mφ − a) = 0. Par conséquent, il existe s ∈ Z tel que φ/π = s/(n − m) ∈ Q, ce qui contredit le lemme 11..

(34) 217. Frontière du fractal de Rauzy. Maintenant, nous sommes en mesure d’expliciter les points strictement extrémaux. Premier cas. Si {n ≥ 3 | cos(nφ − a) = 0} = ∅, alors nous avons un seul point P∞ strictement extrémal pour la direction a. Ce point est xa = n=3 an αn , o` u an =. . 1 si cos(nφ − a) ≥ 0, 0 sinon,. ou encore an =. . 1 0. si ∃k ∈ Z, 2k − 1 ≤ n πφ − sinon.. a π. −. 1 2. ≤ 2k,. Comme pour tout entier n ≥ 3 et k ∈ Z, n πφ − πa − 21 6∈ {2k −1, 2k} car cos(nφ−a) 6= 0, nous avons a 1 φ mod 2. an = n − − π π 2 Deuxi` eme cas. Il existe un unique entier m ≥ 3 tel que cos(mφ − a) = 0, ou encore a = mφ + (1/2 − p)π, p ∈P Z. Dans ce cas, nous obtenons deux points P∞ n n strictement extrémaux qui sont xa = ∞ a α et y = u n a n=3 n=3 bn α o` an =. . 1 si cos(nφ − a) ≥ 0, 0 sinon. bn =. . 1 0. et si cos(nφ − a) > 0, sinon.. Pour tout n ≥ 3, si n 6= m alors an = bn et am = 1, bm = 0. Par conséquent ya =. ∞ X. an αn. n=3, n6=m. et xa =. ∞ X. n=3, n6=m. an αn + αm =. ∞ X. an αn + |αm |ei(a−(1/2−p)π) .. n=3, n6=m. m i(a−π/2) D’o` u xaP = ya + |αm |ei(a−π/2) si p est si p est impair φpair,a xa = ya − |α |e ∞ 1 n et ya = n=3, n6=m an α o` u an = n π − π − 2 mod 2, pour tout n ≥ 3. P∞ Proposition 5. Soit x = n=3 an αn un point strictement extrémal de E pour a + 41 + une direction a ∈ [0, 2π[. Alors la suite (an )n≥3 est le codage de x0 = − 2π 3φ π [1] pour la rotation d’angle φ/(2π) sous la partition ([0, 1/2[, [1/2, 1[) ou bien (]0, 1/2], ]1/2, 1])..

(35) 218. A. Messaoudi. P r e u v e. Supposons qu’il existe m ≥ 3 tel que a = mφ+ (1/2 − p)π, p ∈ Z. Les deux suites correspondant aux deux points strictement extrémaux sont (an )n≥3 et (bn )n≥3 o` u an = 1 ⇔ ∃k ∈ Z, −π/2 + 2kπ ≤ nφ − a ≤ π/2 + 2kπ et bn = 1 ⇔ ∃k ′ ∈ Z, −π/2 + 2kπ < nφ − a < π/2 + 2kπ. Nous avons mφ − a = −π/2 + pπ. Si p est pair, alors en vertu du corollaire 3, nous avons ∀n ≥ 3,. an = 1 ⇔ ∃k ∈ Z, −π/2 + 2kπ ≤ nφ − a < π/2 + 2kπ. ou encore ∀n ≥ 3,. an =. . 1 0. si nφ 2π − sinon.. a 2π. + 41 [1] ∈ [0, 1/2[,. D’o` u la suite (an )n≥3 = T 3 ((cn )n∈N ) (T est l’application de {0, 1}N dans lui même a qui à une suite (an ) associe la suite (an+1 ) ; et (cn ) est le codage de − 2π + 41 [1] pour la rotation d’angle φ/(2π) sous la partition ([0, 1/2[, [1/2, 1[), ou encore (an )n≥3 est a le codage de x0 = − 2π + 14 + 3φ π pour la rotation d’angle φ/(2π) sous la partition ([0, 1/2[, [1/2, 1[). a + 14 + 3φ De même la suite (bn )n≥3 est le codage de − 2π π [1] pour la rotation d’angle φ/(2π) sous la partition (]0, 1/2], ]1/2, 1]). Si p est impair, alors mφ − a = π/2 + (p − 1)π. Dans ce cas, nous avons an =. . 1 0. si nφ 2π − sinon. a 2π. + 41 [1] ∈ ]0, 1/2],. bn =. . 1 0. si nφ 2π − sinon.. a 2π. + 41 [1] ∈ [0, 1/2[,. et. Dans le cas o` u cos(nφ−a) 6= 0 pour tout n ≥ 3, les deux codages sont les mêmes et coincident avec la suite (an )n≥3 qui est définie par : an = n πφ − πa − 12 mod 2 pour tout n ≥ 3. Remarque. Les suites codages d’une rotation d’angle fixe sous la partition ([0, 1/2[, [1/2, 1[) ou bien (]0, 1/2], ]1/2, 1]) ont plusieurs propriétés (voir [18]), en particulier quand l’angle de rotation est irrationnel ; ce qui est le cas ici. ´ 6. L’enveloppe convexe ferm´ ee de E. Etant donné un ensemble A ⊂ C, nous appelons enveloppe convexe fermée de A le plus petit convexe fermé contenant A ; nous le notons par O(A)..

(36) Frontière du fractal de Rauzy. 219. Il y a deux fa¸cons de construire l’enveloppe convexe fermée d’un ensemble. La première est avec les barycentres, elle consiste à joindre deux points quelconques de A par un segment. Th´ eor` eme 5. L’ensemble O(A) est la fermeture topologique de l’ensemble {tx + (1 − t)y | t ∈ [0, 1], x, y ∈ A}. La seconde méthode consiste ` a utiliser les droites d’appui des éléments de la frontière de A. D´ efinition 5. Soient A et B deux parties de C et D une droite. On dit que D sépare (resp. strictement ) A et B si A est dans l’un et B dans l’autre des demi-espaces (resp. ouverts) déterminés par la droite D. D´ efinition 6. Soit A une partie quelconque de C, on appelle droite d’appui de A toute droite D contenant un point x ∈ A et séparant {x} et A. Le point x est appelé point d’appui. Remarque. Une droite d’appui n’existe pas toujours en un point x ∈ A et si elle existe, elle peut ne pas être unique et avoir plus d’un point d’appui. Un point d’appui appartient ` a Fr(A). eme 6. L’ensemble O(A) est l’intersection des demi-espaces fermés coneor` Th´ tenant A et déterminés par toutes les droites d’appui des éléments de A. Pour la preuve, nous allons utiliser la proposition suivante (voir [4], p. 35). Proposition 6. Si A et B sont deux convexes de C avec A fermé non vide, B compact et A ∩ B = ∅, alors il existe une droite les séparant strictement. P r e u v e (du théorème 6). Soit X(A) l’intersection des demi-espaces fermés contenant A et déterminés par toutes les droites d’appui des éléments de A. Alors X(A) est un convexe fermé contenant A. Soit z ∈ X(A) − O(A). En vertu de la proposition précédente, il existe une droite D qui sépare strictement {z} et O(A). Cela implique l’existence d’une droite d’appui ∆ qui sépare z et A strictement (∆ est parallèle à D). D’o` u une contradiction avec la définition de X(A). Construction de l’enveloppe convexe de E Proposition 7. L’ensemble des points strictement extrémaux du fractal de Rauzy est égal a ` l’ensemble de ses points d’appui. P r e u v e. Soit z un point d’appui et Dz sa droite d’appui. Considérons (∆) la droite passant par l’origine et perpendiculaire à Dz . Soit a ∈ [0, 2π[ la direction de (∆). Alors z est un point strictement extrémal pour la direction a, car sinon, il existe z ′ ∈ E, z ′ 6= z, tel que z ′ appartient au demi-plan fermé déterminé par Dz et ne contenant pas 0, ce qui est absurde, car Dz sépare {z} et E. De même si z est un point strictement extrémal pour une direction a, alors c’est un point d’appui : sa droite d’appui est la perpendiculaire ` a la droite de direction a..

(37) 220. A. Messaoudi. Remarque. Comme les points strictement extrémaux de E sont associés à des suites qui sont codages d’une rotation d’angle irrationnel, pour deux directions différentes, on ne peut pas obtenir le même point strictement extrémal. Il en résulte que chaque point d’appui de E possède une et une seule droite d’appui. Une droite d’appui possède au plus deux points d’appui. Th´ eor` eme 7. La frontière de O(E) admet un nombre dénombrable de cˆ otés. Chaque cˆ oté a pour extrémité les deux points strictment extrémaux pour la même direction a = mφ + (1/2 − p)π o` u m est un entier naturel supérieur ou égal a ` 3 et p un entier relatif. 7. Application au fractal P∞ du dragon. Cette méthode peut être appliquée au fractal du dragon D1 = { n=1 an (−1 + i)−n | ∀n ≥ 1, an ∈ {0, 1}}. Posons ψ = arg. . 1 −1 + i. . =. 5π . 4. P∞ Comme ci-dessus, x = n=1 an (−1 + i)−n est un point strictement extrémal pour la direction a ∈ [0, 2π[ si et seulement si la suite (an )n≥1 est définie par  si cos(5nπ/4 − a) > 0, 1 an = 0 si cos(5nπ/4 − a) < 0,  arbitraire si cos(5nπ/4 − a) = 0.. (∗). Supposons que pour tout n ≥ 1, cos(5nπ/4 − a) 6= 0. Nous obtenons un unique point strictement extrémal pour la direction a, soit ∞ X. n=1. an (−1 + i)−n. o` u an =. . 1 0. si 5n 8 − sinon.. a 2π. + 41 [1] ∈ [0, 1/2[,. a + 14 + ψπ [1] La suite (an )n≥1 est donc périodique de période 8. C’est le codage de − 2π pour la rotation d’angle 5/8 pour la partition ([0, 1/2[, [1/2, 1[).. Quand a parcourt l’ensemble [0, 2π[−{5nπ/4 + (1/2 − p)π | p ∈ Z, n ∈ N∗ }, l’ensemble des suites (an )n≥1 associées aux points strictement extrémaux parcourt un ensemble fini ` a 8 éléments que l’on peut calculer explicitement. Supposons maintenant que a = 5mπ/4 + (1/2 − p)π o` u p ∈ Z et m ∈ N∗ , c’est-à-dire a ∈ {0, π/4, π/2, 3π/4, π, 5π/4, 3π/2, 7π/4}..

(38) Frontière du fractal de Rauzy. 221. Nous avons cos(5mπ/4 − a) = 0. Or l’ensemble {n ∈ N∗ | cos(5nπ/4 − a) = 0} = {m + 4k | k ∈ Z} ∩ N∗ est infini. Nous avons donc un nombre infini de points strictement extrémaux pour la direction a. P∞ −n un point strictement extrémal pour a. Pour tout Soit n=1 an (−1 + i) ∗ k ∈ N − {m}, nous avons ak+4 + ak = 1. Par conséquent, pour connaˆıtre la suite (an )n≥1 , il suffit connaˆıtre ses quatre premiers termes. Premier cas: a = 0. Dans ce cas, m = 2 et p = 3, d’o` u pour tout k ∈ N, a2+4k est un élément arbitraire de {0, 1}. D’autre part, en utilisant la relation (1). an = ([5n/4 − a/π − 1/2]) mod 2. si n 6= m + 4k. nous obtenons a1 = 0, a3 = 1 et a4 = 0. Il en résulte que les suites correspondant aux points strictement extrémaux pour la direction 0 sont de la forme (an )n≥1 o` u a1 = a4 = a7 = 0, a3 = a5 = a8 = 1 et a2+4k est arbitraire pour tout k ∈ N, et an+8 = an pour tout n 6= 2 + 4k. Nous notons une suite a1 a2 . . . de cette forme par (0.101.01) (le “.” désigne que l’on a un élément arbitraire de {0, 1}). Deuxi` eme cas: a = π/4. Dans ce cas m = 3 et p = 4, d’o` u pour tout k ∈ N, a3+4k est un élément arbitraire de {0, 1}. En vertu de la relation (1), on trouve a1 = 0, a2 = 1 et a4 = 0. Donc les suites (an )n≥1 sont de la forme (01.010.1). P∞ Nous remarquons que c = n=1 an (−1+i)−n o` u (an )n≥1 est la suite périodique (01101001), est l’unique point strictement extrémal à la fois pour 0 et π/4. Troisi` eme cas: a = π/2. Dans ce cas m = 4 et p = 5, d’o` u a4k est arbitraire pour tout k ∈ N∗ . On trouve a1 = 0, a2 = 1 et a3 = 0. Par conséquent, les suites (an )n≥1 sont de la forme (010.101.). P∞ u (an )n≥1 est la suite périodique (01001011). Soit d = n=1 an (−1 + i)−n o` Alors d est l’unique point strictement extrémal à la fois pour π/4 et π/2. Quatri` eme cas: a = 3π/4. Dans ce cas nous avons m = 1 et p = 1, d’o` u pour tout k ∈ N, a1+4k est un élément arbitraire de {0, 1} et pour tout n 6= 1 + 4k, an = ([5n/4 − 5/4]) mod 2. D’o` u a2 = 1, a3 = 0 et a4 = 1. Il en résulte que les suites (an )n≥1 sont de la forme (.101.010). P∞ La point e = n=1 an (−1 + i)−n o` u (an )n≥1 est la suite périodique (01011010) est l’unique point strictement extrémal ` a la fois pour π/2 et 3π/4. P∞ D’autre part, en vertu de (∗), un point Pn=1 an (−1 + i)−n est strictement ∞ extrémal pour la direction a si et seulement si n=1 (1 − an )(−1 + i)−n est strictement extrémal pour la direction π − a. Il en découle que les points strictement extrémaux respectivement pour les directions π, 5π/4, 3π/2, 7π/4 se déduisent de.

(39) 222. A. Messaoudi. ceux associés respectivement 0, π/4, π/2, 3π/4. P∞aux directions −n P∞ ′ −n Les points c = a (−1 + i) , d′ = et n=1 n n=1 bn (−1 + i) P∞ −n c (−1 + i) o` u n=1 n (an ) = (10010110),. (bn ) = (10110100),. (cn ) = (10100101). sont respectivement les seuls points strictement extrémaux associés respectivement à la fois à π et 5π/4, 5π/4 et 3π/2, 3π/2 P∞et 7π/4. −n o` u (dn )n≥1 = (11010010) De mˆ e me, nous montrons que g = n=1 dn (−1+i) P∞ ′ −n et g = n=1 (1 − dn )(−1 + i) sont respectivement les seuls points strictement extrémaux à la fois pour 3π/4 et π, 7π/4 et 0. Par conséquent, nous avons la proposition suivante. Proposition 8. L’enveloppe convexe fermée du fractal du dragon est un polygone convexe ; c’est exactement l’octogone dont les 8 cˆ otés ont pour extrémités les points c, d, e, g, c′ , d′ , e′ , g ′ . Nous pouvons facilement calculer les nombres complexes c, d, e, g, c′ , d′ , e , g ′ , car ils ont chacun un développement périodique en base −1 + i. Posons −1 + i = γ ; alors ′. 7 + 6i 2 + 11i γ2 + γ5 + γ7 + γ8 γ2 + γ3 + γ5 + γ8 = = , d = , 1 − γ8 15 1 − γ8 15 2 4 5 7 2 4 7 γ +γ +γ +γ −3 + 11i 13 + i γ+γ +γ +γ e= = = , g= , 1 − γ8 15 1 − γ8 15 −8 − 14i −13 − 14i 7 − 14i −13 − 9i , d′ = , e′ = et d′ = . c′ = 15 15 15 15 c=. Remarque. Nous retrouvons d’une autre fa¸con un résultat de Benedek et Panzone (voir [3]). Ce qui est nouveau avec notre méthode est qu’elle permet de trouver tous les points strictement extrémaux du fractal du dragon. 8. G´ en´ eralisation aux k-fractals P∞ du dragon. Les k-fractals du dragon (k ≥ 1) sont les ensembles Dk = { n=1 an /(−k + i)n | an ∈ {0, 1, . . . , k 2 }}. Ce sont des compacts de C ` a frontière fractale (voir [6], [7], [12], [13]). De la même manière que le fractal de Rauzy, nous pouvons déterminer les points strictement extrémaux de Dk , k > 1. Il suffit de coder par  si cos(nθ − a) > 0,  k2 an = 0 si cos(nθ − a) < 0,  arbitraire si cos(nθ − a) = 0, o` u θ = arg(1/(−k + i)). Le théorème (classique) qui va suivre montre que nous sommes dans la même situation que celle du fractal de Rauzy. Th´ eor` eme 8. Pour tout k > 1, arg(1/(−k + i))/π ∈ R − Q. P r e u v e. Supposons que θ/(2π) est rationnel. Il est clair que cos(θ) est un nombre algébrique de degré au plus deux. Comme [Q(cos(θ)) : Q] = ψ(n)/2 o` u.

(40) Frontière du fractal de Rauzy. 223. n est le dénominateur de cos(θ) et ψ est la fonction d’Euler, nous déduisons que ψ(n) ≤ 4, ou encore n peut prendre seulement les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12. Une simple vérification montre que ce n’est pas le cas. Remarque. Notre méthode de laPconstruction de l’enveloppe convexe se ∞ généralise aux ensembles de la forme { i=0 ai γ i | (ai ) ∈ AN } o` u A est un ensemble fini de réels positifs contenant 0, et γ un nombre complexe de module < 1. Remerciement. L’auteur remercie le rapporteur pour ses remarques intéressantes et de lui avoir indiqué une démonstration assez simple du théorème 8.. R´ ef´ erences. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]. P. A r n o u x, Un exemple de semi-conjugaison entre un échange d’intervalles et une rotation sur le tore, Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 489–500. M. B a r n s l e y, Fractals Everywhere, Academic Press, 1988. A. B e n e d e k and R. P a n z o n e, The set of Gaussian fractions, in: Proc. Second Conf. Math. “Dr. Antonio A. R. Monteiro” (Bahia Blanca, 1993), 11–40. M. B e r g e r, Géométrie 2 , Cedic/Nathan, 1977. F. M. D e k k i n g, Recurrent sets, Adv. Math. 44 (1982), 78–104. W. J. G i l b e r t, Complex numbers with three radix expansions, Canad. J. Math. 34 (1982), 1335–1348. —, Fractal geometry derived from complex bases, Math. Intelligencer 4 (1982), 78– 86. —, Fractal dimension of sets derived from complex bases, Canad. Math. Bull. 29 (1986), 495–500. J. E. H u t c h i n s o n, Fractals and self similarity, Indiana Univ. Math. J. 5 (1981), 713–747. S. I t o and M. K i m u r a, On the Rauzy fractal , Japan J. Indust. Appl. Math. 8 (1991), 461–486. S. I t o and M. M i z u t a n i, Potato exchange transformations with fractal domains, preprint. J. K ´ a t a i and J. S z a b ´ o, Canonical number systems for complex integers, Acta Sci. Math. (Szeged) 37 (1975), 255–260. D. E. K n u t h, The Art of Computer Programming, Vol. 2, Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981. O. L e h t o, Univalent Functions and Teichm¨ uller Spaces, Springer, 1986. A. M e s s a o u d i, Autour du fractal de Rauzy, Thèse de l’Université de la Méditérannée, Aix-Marseille II, 1996. —, Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 135–162. G. R a u z y, Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France 110 (1982), 147–178. G. R o t e, Sequences with subword complexity 2n, J. Number Theory 46 (1972), 196–213..

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