1. Wymienić, jakie znane własności (np. czy zbiór jest ograniczony, otwarty, domknięty, zwarty) mają zbiory:
(i){(x, y) ∈R2 : a < x < b, c < y < d}, gdzie a < b, c < d, (ii) {(x, y) ∈ R2 : |x| a, |y| b}, gdzie a > 0, b > 0, (iii) (x, y) ∈R2 : 0 < sinx < 12,
(iv) {(x, y) ∈R2 : x2 < y < 2x2}, (v) {(x, y, z) ∈R3 : xyz = 0},
(vi) {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2+ z2 < 9}, (vii) {(x, y) ∈R2 : x2+ y2 > 2}, (viii) {(x, y) ∈R2 : |x| 1, |y| 3}, (ix) {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2+ z2 = 3}, (x) {(x, y, z) ∈R3 : x − y + z 5}.
W każdym przypadku narysować wskazane zbiory.
2. Znaleźć i naszkicować wnętrza podanych zbiorów:
(i){(x, y) ∈R2 : 2x + x2+ y2 0}, (ii) {(x, y) ∈ R2 : y − x2+ 1 0}, (iii) {(x, y, z) ∈ R3 : |x + y + z| 1}, (iv) {(x, y, z) ∈R3 : xyz > 0}.
3. Znaleźć i naszkicować brzegi podanych zbiorów:
(i){(x, y) ∈R2 : 1 x2+ y2 < 4}, (ii) {(x, y) ∈ R2 : |y − x2| > 2}, (iii) {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0}, (iv) {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2 > 1}.
4. Zanleźć i narysować domknięcia zbiorów z poprzednich dwóch zadań.
5. Pokazać, że dla dowolnych x, y ∈R2 zachodzą nierówności:
√2
2 d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), d∞(x, y) d2(x, y) √
2d∞(x, y).
6. Pokazać, że dla dowolnych x, y ∈R3 zachodzą nierówności:
√3
3 d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), d∞(x, y) d2(x, y) √
3d∞(x, y).
7. Pokazać, że dla dowolnych x, y ∈Rn zachodzą nierówności:
√n
n d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), d∞(x, y) d2(x, y) √
nd∞(x, y).
Arkusz 1
