REZONANS PRĄDOWY

REZONANS PRĄDOWY

I.

Cel ćwiczenia: zapoznanie z problematyką rezonansu prądowego, wyznaczenie cha- rakterystyk prądowych obwodu, częstości rezonansowej, współczyn- nika dobroci i tłumienia, pasma przenoszenia obwodu, wyznaczenie oporności zespolonej całego obwodu w stanie rezonansu.

II. Przyrządy: płytka montaŜowa obwodu RLC, generator mocy, amperomierze.

III. Literatura: 1. E. Purcell – „ Elektryczność i magnetyzm”, 2. H. Szydłowski – „Pracownia fizyczna”,

3. S. Malzacher – „ Laboratorium elektroniki stosowanej”, 4. T. Masewicz, S. Paul – „Podstawy Elektrotechniki”.

IV. Wprowadzenie

W obwodach prądu przemiennego zawierających pojemność i indukcyjność, reaktancja indukcyjna XL jest proporcjonalna do częstości, a reaktancja pojemnościowa XC jest odwrot- nie proporcjonalna do częstości, Dla pewnej częstości, zwanej częstością rezonansową, war- tości bezwzględne obu reaktancji stają się równe co powoduje , Ŝe reaktancje te wzajemnie się znoszą. Obwód zachowuje się jakby zawierał tylko rezystancję. Zjawisko to nazywamy rezo- nansem, a obwód w którym moŜe ono powstać zwany jest obwodem rezonansowym.

W ćwiczeniu tym badamy obwód rezonansowy równoległy , w którym do źródła napięcia przemiennego dołączone są indukcyjność L, pojemność C i oporność R połączone równole- gle.

Dla rozwaŜań teoretycznych przyjmiemy następujące oznaczenia:

R – oporność rzeczywista (rezystancja)

X – oporność pozorna, inaczej część urojona impedancji (reaktancja) Z – oporność zespolona (impedancja)

G – przewodność rzeczywista (konduktancja)

B – przewodność pozorna, część urojona admitancji (susceptancja) Y - przewodność zespolona

Z - moduł impedancji, zawada Z = R+iX

Y = G+iB i² = -1

Terminy podane w nawiasach są stosowane w literaturze technicznej i podręcznikach elektrotechniki.

IV.1 Równoległy obwód RLC o idealnych elementach.

W równoległym obwodzie RLC wektorowa suma natęŜeń prądu w poszczególnych ele- mentach równa się natęŜeniu prądu płynącego ze źródła siły elektromotorycznej:

→

→

→

→I =I_R+I_L+I_C

ZałóŜmy, Ŝe napięcie zmienne U moŜna przedstawić w postaci:

U = Um sinωt

Rys.1 Równoległy obwód RLC z zewnętrznym źródłem napięcia zmiennego.

Wówczas natęŜenie prądu płynącego przez opornik R wyniesie IR =

R U_m sinωt

NatęŜenie prądu w cewce L jest opóźnione w stosunku do napięcia U o kąt przesunięcia fa- zowego równy

2

π , zatem

IL = 



 

 − sin ω π2 ωL ^t U_m

= L

U_m

−ù cosωt NatęŜenie prądu w kondensatorze wyprzedza w fazie o

2

π napięcie U IC = Um ωC sin(ωt+

2

π ) = UmωC cosωt

Sumując natęŜenia prądu I_R, I_L i I_C otrzymujemy

I= I_R+I_L+I_C = U_m [ − − t L

R^sinω ⁽ω¹

1 ωC) cosωt] (1)

Wprowadzimy teraz następujące oznaczenia:

G = R

1 - przewodność rzeczywista

BL = ωL

1 - przewodność pozorna indukcyjna BC = ωC - przewodność pozorna pojemnościowa Jednostką powyŜszych wielkości jest simens (S).

Po wprowadzeniu przewodności równanie (1) przybiera postać

I = Um[G sinωt + (BC – BL) cosωt] (2)

Równanie (2) mnoŜymy stronami przez

Y = G²+(B_C −B_L)² i wprowadzając kąt ϕ, określony wzorami

~

^U

I

R I^R

L I^L

C IC

sinϕ =

2

2 ( _{C L})

L C

B B G

B B

− +

− (3a)

cosϕ =

2 2 (B_C B_L) G

G

−

+ (3b)

tgϕ = G

B B_C − _L

, (-

2 2

ϕ π π _{≤ ≤}

) (3c)

otrzymujemy po elementarnym przekształceniu

I = Y U_m sin(ωt+ϕ) (4)

Wielkość Y = G²+(B_C −B_L)² (5)

nazywamy modułem przewodności zespolonej obwodu równoległego RLC.

Moduł przewodności zespolonej obwodu jest równy odwrotności modułu oporności ze- spolonej tego obwodu:

Y = Z 1

Jak wynika ze wzorów (3) i (4) kąt ϕ jest kątem przesunięcia fazowego miedzy napię- ciem (siłą elektromotoryczną), a natęŜeniem prądu płynącego w obwodzie, wartość zaś tego kąta zaleŜy od parametrów R, L, C, oraz częstości.

Rys. 2 Diagram wektorowy (wykres wskazowy) dla obwodu równoległego RLC

PowyŜsze rozwaŜania moŜna zilustrować graficznie posługując się tzw. diagramem wektorowym (wykresem wskazowym), przedstawionym na rys.2.

IRm = Um G (6a)

ILm = Um BL (6b)

ICm = Um BC (6c)

I_m = U_m Y (6d)

W oparciu o diagram przedstawiony na rys.2 moŜna otrzymać między innymi zaleŜności (3) i (5).

IC

ICm

ϕ IRm

I_Cm - I_Lm

I_Lm

IL

U, I_R Im

Zasady konstrukcji diagramów wektorowych są podane w pozycji (4) literatury.

Jak wynika z przytoczonych zaleŜności moŜna wyodrębnić trzy zasadnicze przypadki:

1. BL > BC, -π _≤ϕ 2 < 0 2. BC >B_L, 0 <

2 ϕ≤π 3. BL = BC, ϕ = 0

Przypadek 3 jest najbardziej interesujący z fizycznego punku widzenia, gdyŜ spełnienie wa- runku B_L = B_C jest równoznaczne ze spełnieniem warunku rezonansu prądowego.

IV.2 Rezonans prądowy

Warunkiem rezonansu w równoległym obwodzie RLC jest zerowa wartość całkowitej przewodności pozornej tego obwodu:

B = BC – BL = 0 (7)

Warunek (7) moŜe być spełniony tylko dla ściśle określonej częstości, zaleŜnej od para- metrów L i C obwodu:

BCr = BLr

Z ostatniej równości wynika f_r =

π LC 2

1 (8)

Diagram wektorowy dla równoległego obwodu RLC w stanie rezonansu jest przedstawiony na rys.3

Rys.3 Diagram wektorowy dla równoległego obwodu RLC w stanie rezonansu.

Diagram ilustruje cechy charakterystyczne dla stanu rezonansu, a mianowicie:

1. NatęŜenia prądów w gałęziach L i C są równe i przesunięte w fazie o π, a więc prądy te płyną w przeciwnych kierunkach

2. Amplituda całkowitego natęŜenia prądu w obwodzie jest równa amplitudzie natęŜe- nia prądu płynącego przez gałąź R.:

Imr = IRmr = = R U_m

Um G (9)

3. Kąt przesunięcia fazowego miedzy natęŜeniem prądu, a napięciem wynosi 0. Ze względu na to, Ŝe w stanie rezonansu występuje równowaŜenie się natęŜeń prądów w IC

I_Cmr

Imr = IRmr

ILmr

I_L

U, IR

cewce i kondensatorze, rezonans w tym obwodzi nazywamy rezonansem prądowym równoległym.

Amplitudy natęŜeń prądów wynoszą odpowiednio:

I_Lmr = U_m B_Lr a poniewaŜ

Imr = Um G i

I_Cmr = U_m B_Cr to

ILmr = Imr

G B_Lr

(10a) I_Cmr = I_mr

G B_Cr

(10b)

I_Lmr = I_Cmr (10c)

NatęŜenia prądów w cewce i kondensatorze mogą być większe w rezonansie od prądu pobieranego ze źródła – mówimy wówczas o przetęŜeniu.

Wielkość przetęŜenia moŜemy powiązać tzw. współczynnikiem dobroci obwodu. Współ- czynnik dobroci obwodu definiujemy jako bezwymiarowy stosunek Q:

Q = ωo

a rozproszon moc

średnia

obwodzie w

ana zmagazynow energia

(11) gdzie ωo = 2πfr

Tak zdefiniowana dobroć obwodu odnosi się zatem do stanu rezonansu i nazywana bywa dobrocią w rezonansie(Qr).

Dobroć obwodu wskazuje, o czym wspomniano określając przetęŜenie, ile razy prąd w gałęzi z indukcyjnością lub w gałęzi z pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu rezonansowego

Całkowita energia zmagazynowana w obwodzie RLC w stanie rezonansu jest równa:

W = 2

1LI_Lmr² = 2

1CU_rm² (12)

Średnia moc rozproszona dla obwodu równoległego RLC wyraŜa się wzorem:

2 2

2 1 2

1

mr Rm

__

RI RI

P = = (13)

Stąd otrzymujemy teoretyczną wartość dobroci obwodu w rezonansie:

Qr = R L

C (14)

Odwrotność współczynnika dobroci obwodu nazywamy współczynnikiem tłumienia obwodu i oznaczamy przez θr

θr = Qr

1 = C

L R

1 (15)

PoniewaŜ

Q² =

L R C G B G

B_{Lr Cr 2}

=

moŜemy wzory (10) przepisać w postaci:

I_Lmr = I_mr Q_r = I_mr θθθθr

1 (16a)

I_Cmr = I_mr Q_r = I_mr θθθθr

1 (16b)

Ze wzorów (4), (5) i (6) wynika, Ŝe natęŜenie prądu w obwodzie jest funkcją częstości napię- cia zasilającego obwód i osiąga ono wartość minimalną dla częstości rezonansowej.

Wykres zaleŜności I = I(f) nazywamy krzywą rezonansową.

PoniewaŜ amperomierz mierzy wartość skuteczną natęŜenia prądu, która jest związana z amplitudą prądu relacją 2I_sk =I_m, to ściśle biorąc wykres krzywej rezonansowej jest zaleŜ- nością Isk = Isk(f) lub Im = Im(f). Często pomijamy dolne indeksy „sk” lub „m”, mając świa- domość co reprezentuje symbol I w zaleŜności I = I(f) .

Przewodność zespolona obwodu Y jest równieŜ funkcją częstości i osiąga minimum równe wartości przewodności rzeczywistej G obwodu przy częstości rezonansowej f_r.

Kształt krzywej Z(f) jest odwróceniem krzywej Y(f). Na rys. 4 przedstawiono krzywe Z(f) dla róŜnych wartościθ.

Rys.4 Kształt krzywych modułu oporności zespolonej Z w funkcji częstości dla róŜnych wartości θ.

Rys.5 ZaleŜność przewodności indukcyj- nej BL, pojemnościowej BC, rze- czywistej G i modułu przewodności zespolonej obwodu Y.

Rys.6 Krzywa rezonansu prądowego

Z θ1>θ2

θ2

fr f

f f2

f₁ fr

I_mr Im

Imr

2

BL

fr f

B_C

BL

Y

G BC

Y

Z θ1>θ2

θ2

fr f

Wprowadźmy teraz wielkość, nazywaną szerokością pasma przenoszenia obwodu, a definio- waną jako zakres częstości f₁÷f2, na krańcach którego natęŜenie prądu w obwodzie osiąga wartość 2 Imr.

Szerokość pasma przenoszenia obwodu moŜna powiązać z wartością współczynnika dobroci Q lub współczynnika tłumienia θ.

Przesunięcie fazowe prądu względem napięcia wyraŜa się wzorem:

tgϕ = R L C

1

1 ω

ω ⁻ ₍₁₇₎

mnoŜymy licznik i mianownik przez C

L :

tgϕ =

C L R

C C L C

L L

1

1 ω

ω ⁻ ₌

C L R LC LC 1 1

1 ω

ω ⁻

Oznaczając LC

1 przez ω0 i korzystając ze wzoru (15) otrzymamy:

tgϕ = - =





ω

−ω ω

ω θ

0

0

1

r

- 



−

θ ω

ω ω

ω ₀

0

r (18)

Amplituda natęŜenia prądu pobieranego ze źródła wyraŜa się wzorem:

Im = Um G

2

1 



 



 −

+ G

B B_{L C}

(19) W warunkach rezonansu amplituda prądu osiąga wartość

I_mr = U_m G = R U_m

(20) Podstawiając do wzoru (19) wyraŜenia na B_L, B_C i G i korzystając ze wzoru (20) otrzy- mamy:

Im(ω) = Imr

2 0

0 2

1 1





ω

−ω ω

ω +θ

r

(21)

Rozwiązując równanie (21) względem ω dla wartości I_m = 2 Imr otrzymamy:

2 , 1

0

0 2 , 1

ω ω ω

ω _{− = ±θ}

r. (22)

gdzie ω1 , ω2 są częstościami kołowymi dla których zachodzi:

= 2

mr m

I

I (23)

stąd

0 1

0 2

ω ω ω ω ₋

= ω0

ω

∆ = θr. (24)

lub

f2 – f1 = ∆f = fr θr (25)

Zgodnie z ogólnie przyjętą terminologią moŜemy nazwać f1 dolną częstością graniczną, a f₂ górną częstością graniczną. Obwód rezonansowy o paśmie przenoszenia ∆f = f₂ – f₁ moŜe zatem spełniać funkcję filtru częstości. Stosunek określony wzorem (23) jest umownie przy- jętą wartością dla określenia częstości granicznej w fizyce, elektrotechnice i elektronice, jeŜeli do opisu stosunku wartości wielkości fizycznych stosowana jest skala logarytmiczna wyraŜo- na w decybelach to tłumienie o wartości równej 2 odpowiada wartości -3 dB. Dobroć ob- wodu jest wielkością fizyczną często uŜywaną w praktyce, gdyŜ pozwala określenie zarówno pasma przenoszenia danego układu elektrycznego jak i wielkości energii rozproszonej w tym układzie, a w układach typu rezonansowego umoŜliwia znalezienie wartości przetęŜenia (ob- wód równoległy) i przepięć (rezonans napięciowy w obwodzie szeregowym). Szeregowe ob- wody rezonansowe, sterowane np. w odbiornikach radiowych czy telewizyjnych z reguły cha- rakteryzują się bardzo wysoką wartością współczynnika dobroci.

IV.3 Obwód rzeczywisty

Dokładne wyznaczenie teoretyczne wartości częstości rezonansowej rzeczywistego ukła- du doświadczalnego, złoŜonego z generatora RC, obwodu rezonansowego i przyrządów po- miarowych wymaga uwzględnienia parametrów RLC poszczególnych przyrządów.

Rys.7 Schemat układu pomiarowego do badania zjawisk rezonansu prądowego (a) i schemat połączeń wewnętrznych płytki montaŜowej obwodu RLC (b).

Spróbujemy przewidzieć, jaka będzie wartość częstości rezonansowej rzeczywistej ukła- du RLC, przedstawionego na rys.7, a składającego się z generatora mocy , amperomierzy i obwodu RLC.

1 A

10,1kΩ

~

±5%

A 2 A 3

129nF

± 10%

C L 190mH

± 10%

RL = 16Ω a)

R L

C b)

JeŜeli w pierwszym przybliŜeniu zaniedbamy wpływ pojemności i indukcyjności wyj- ściowych (wewnętrznych) generatora, oraz mierników to równowaŜny schemat elektryczny układu pomiarowego przyjmie taką postać, jak na rys.8.

Rys. 8 Uproszczony schemat zastępczy układu pomiarowego.

Rg – oporność wyjściowa (wewnętrzna ) generatora;

R₁, R₂ – oporność wewnętrzna mierników 1,2;

R3 = R^*3 + RL, gdzie R^*3 jest opornością wewnętrzną miernika 3;

RL – oporność rzeczywista indukcyjności L.

Częstość drgań własnych ( rezonansowych) takiego układu jest opisana wzorem:

f =

C R L

C R L

LC −

−

2 2

3 2

2 1

π ⁽²⁶⁾

V. Pomiary

1.

Zbadać zaleŜność I, I_C i I_L od częstości przy stałych, w miarę moŜliwości, zakresach czułości mierników – dla L = 0,19H, C = 129 nF, R = 10.1kΩ zalecany zakres czułości 0,015A przy napięciu wyjściowym generatora (nieobciąŜonego) 7,5V, pracującego na zakresie 7,75V/6Ω i (200÷2000)Hz.

2.

Powtórzyć pomiary dla obwodów o parametrach:

L = 0,19H, R = 10,1kΩ, C₁ = 194nF oraz L = 0,19H, R = 10,1kΩ, C₂ = 64,5nF.

VI. Opracowanie wyników.

1.

Przedstawić zaleŜności I(f), IL(f) i IC(f) na wspólnym dla kaŜdej pojemności C, C1, C2, wykresie.

2.

Wyznaczyć częstości rezonansowe, współczynnik dobroci i tłumienia oraz pasma prze- noszenia obwodów.

Oszacować błędy i porównać otrzymane wyniki z przewidywanymi na podstawie wzo- rów teoretycznych.

UWAGA!

Maksymalne napięcie zasilania obwodu wynosi 7,75V.

C

ε

⁼

ε

^{o sin(ω t)}

R_g R₁

R2 R3

R L

~

Określić wpływ oporności wewnętrznych przyrządów na wartość dobroci i współczynni- ka tłumienia obwodu.

3.

Wyznaczyć oporności zespolone całego obwodu w stanie rezonansu.

4.

Ocenić, czy schemat zastępczy , przedstawiony na rys.8 jest dobrym (tzn. dopuszczalnym w granicach błędów doświadczalnych i dokładności z jaką znamy wartości poszczegól- nych elementów) przybliŜeniem pełnego schematu zastępczego.

5.

Przeprowadzić dyskusję wyników.