Zadanie . Dla jakiego parametru c funkcja
x x x
c x f
h pozostalyc
dla 0
4 0 dla )
( może
być funkcją gęstości dla pewnej zmiennej losowej X. Ponadto wyznaczyć a). Dystrybuantę tej zmiennej losowej X.
b). Wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej X.
c). P( 1 < X < 2 ) = ? . Rozwiązanie
4 ) 0 2 4 2 ( ] 2 [ 0
0 )
( 1
0 4
0
4 0 4
0 2 1
4
c c
x c dx x c dx x dx
dx c dx
x
f
Stąd
4
1
c a więc
x x x
x f y
h pozostalyc
dla 0
4 0 dla 4
1 ) (
Ad a). Dystrybuanta
F x x f t dt
y ( ) ( )
10 Jeżeli 0 x to ( )
0 0
x
dt x
F y
20 Jeżeli 0 x4 to 41 14[2 ] 412 2 4
) 1
( 0
0 2 1
0
x x t
dt t t dt
x F
y x
x x
30 Jeżeli 4 x to 1
4 ) 1 (
4
0
F x
t dty
A więc
4 1
4 0 2
0 0 ) (
x x x
x x
F y
Ad b).
Wartość oczekiwana
3 0 4 6 4 1 6 ] 1 6 [1 3 ]
[2 4 1 4
1 4
1 4
) 1 ( )
( 3 04 3 40 3 3
4
0 2 1 4
0 4
0
x x
dx x xdx
dx x x x
dx x xf x
E m
Ad c). Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość z przedziału
< 1, 2 >
% 71 , 20 207107 ,
2 0 1 2 2 1 2 ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 1
( X F F
P lub
% 71 , 20 207107 ,
2 0 1 2 2 1 2 ] 2 2 [1 ] 2 4[ 1 4
1 4
) 1 ( ) 2 1
( 12 12
2
1 2 1 2
1 2
1
X
f x dx
x dx
x dx x xP
Przykład
Rzucamy kostką do gry tak długo aż wypadnie szóstka. Wyznaczyć zmienną losową X przyjmującą wartości - liczbę rzutów kostką do momentu wyrzucenia szóstki oraz rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Ponadto wyznaczyć wartość oczekiwaną m tej zmiennej losowej i prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie większa niż 4.
Niech Ai oznacza zdarzenie losowe, że w i – tym rzucie wypadnie szóstka iN.
P(Ai)=
6
1 i P(Bi)=
6
5 gdzie Bi zdarzenie losowe przeciwne zdarzenia Ai a więc zdarzenie, że w i – tym rzucie wypadnie inna liczba oczek niż 6. Ciąg zdarzeń Z1 , Z2 ,
…… , Zk Z=A lub Z =B dla dowolnego kN jest niezależny. Do momentu wyrzucenia szóstki w k – tym rzucie w poprzednich rzutach zachodzi zdarzenie Bi i=1,2,3,….,k-1 a w k – tym rzucie wystąpi zdarzenie Ak. A więc zdarzenie, że zmienna losowa X przyjmie wartość k, tzn.
{X=k}=B1B2…..Bk-1Ak . Z niezależności ciągu zdarzeń mamy pk=P(X=k)=P(B1B2…..Bk-1Ak)= P(B1)P(B2)…..P(Bk-1)P(Ak)= kk kk
6 5 6 1 6
5 1
1
1
. Stąd tabelka zmiennej losowej X typu skokowego przeliczalnego ma postać:
....
6 ...5 6
5 6 1 )
(
...
. ...
2 1
1
2 k
k i
i i
p x
X P
k x
X
Uwaga
p q
p k
p q k X P
pk ( ) k1 1,2,3,.... 0 1 1 - rozkład geometryczny z parametrem 0 p1. W naszym przypadku
6 1 ,....;
3 , 2 , 1 6 1 6 ) 5 (
1
p k
k X P
k
. Ponieważ
0
1 1
n
xn
x stąd
1
1
)2
1 (
1 1
1
n
nxn
x
x dla x 1 jako suma
wyrazów postępu geometrycznego dla q x i a1 1. Można również różniczkować obie strony równości a prawą stronę wszystkie wyrazy szeregu potęgowego w obszarze zbieżności.
Zatem
1 6 1 5
1 6 1 6 5 6 1 6
5 6 1 6 1 6 5
0 1
1
1 1
1
k
k
k k
k k
k
pk
Wartość oczekiwana
1 2
2 1
1 ... ....
) (
i i i n
np x p
x p
x p x X E m
6 6 1 5
1 6 1 6
5 6
1 6 ) 5
( 2
1
1 1
1
kk
k k
k
k k
X E m
Prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie większa niż 4.
P(X>4)=1-P(X4)=1-P({X=1}{X=2}{X=3}{X=4})=1- (P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))
4823 , 0 5177 , 0 1296 1 1 671 6
5 6 5 6 5 1 6
6 ) 5 6 5 6
5 6 (1 1 ) 4
( 4
3 2
2 3
4 3 3 2
2
X P
Analogicznie P(X>5)=0,4119 ; P(X>6)=0,3349 ; P(X>90)=
13375568
1 ; P(X>91)=
16050678
1
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, że rzucimy co najmniej 90 razy kostką do gry i nie pojawi się szóstka jest takie same a nico większe co prawdopodobieństwo trafienia szóstki w dużym lotto , które wynosi
13983816
1 .
