Ćwiczenia nr 5, RP, 1.4.2020
Niezależność zmiennych losowych. Dystrybuanta, gęstość.
Zadanie 1. Rzucamy symetryczna moneta do momentu uzyskania (a) dwóch orłów pod rząd,
(b) dwóch orłów (łącznie, niekoniecznie pod rząd).
Niech X będzie liczba rzutów. Znajdź rozkład zmiennej losowej X.Czy w (b) prawda jest, że X i 2Y , gdzie Y jest liczba rzutów do uzyskania pierwszego orła maja ten sam rozkład?
Zadanie 2. Rzucamy kostka az suma oczek przekroczy 4. Niech X będzie liczba rzutów. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X. Ile elementów ma σ(X) (σ-ciało generowane przez X)?
Zadanie 3. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem
FX(t) =
0 dla t < 3 t/6 dla 3 ¬ t < 4 3/4 dla 4 ¬ t < 6 1 dla t 6.
Oblicz P(X ¬ 5), P(X > 3), P(2 < X ¬ 6), P(X = 3), EX.
Zadanie 4. Na skrzyżowaniu ulic na pewnym kierunku światło czerwone świeci się minute, a światło zielone
— pól minuty (zakładamy ze nie ma żółtego światła). Samochód dojeżdża do skrzyżowania w losowym momencie czasu. Niech X oznacza czas spędzony na skrzyżowaniu (zakładamy, że nie ma korka).
(a) Wyznacz rozkład zmiennej X.
(b) Załóżmy, że po 20 sekundach samochód wciąż nie przejechał skrzyżowania. Jakie jest prawdopodo- bieństwo, że upuści je w przeciągu najbliższych 10 sekund?
Zadanie 5. Zmienna losowa X ma rozkład zgęstością f (x) = x
81[0,4](x) (a) Obliczyć P(X ¬ 1), P(1 < X ¬ 3), P(X2¬ 4).
(b) Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
(c) Znaleźć dystrybuantę i gęstość (o ile istnieje) zmiennej losowej√ X.
Zadanie 6. Zmienna losowa X ma rozkładjednostajny na przedziale [a, b].
(a) Wyznaczyć dystrybuantę FX.
(b) Wykazać, że dla dowolnych A 6= 0, B zmienna A X + B też ma rozkład jednostajny.
(c) Niech a = 0, b = 1. Znaleźć gęstość rozkładu zmiennej losowej X2.
(d) Niech a = 0, b = 1, λ > 0. Znaleźć gęstość rozkładu zmiennej losowej −1λlog X.
Zadanie 7. Podac przykład zmiennych losowych X, Y takich, że rozkłady zmiennych X, Y , X + Y sa takie same.
Zadanie 8. Niech σ-ciała F , G bedą niezależne, oraz F ⊂ G ⊂ 2Ω. Wykaż, że F zawiera tylko zbiory o prawdopodobieństwie 0 lub 1.
Zadanie 9. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie
FX(t) =
0 dla t < 0 t/2 dla 0 ¬ t < 2 1 dla t 2.
Wyznacz dystrybuanty zmiennych Y = max(X, 1), Y = min(X, X2).
1
Zadanie 10. Z talii 52 kart losujemy ze zwracaniem piec razy po jednej karcie. Niech X, Y, Z oznacza, odpo- wiednio liczbę wyciągniętych pików, kierów i asów. Czy zmienne X, Y sa niezależne? Czy zmienne X, Z sa niezależne?
Zadanie 11. Niech Ω = [0, 1], F = B([0, 1]), P = λ1. Przyjmijmy, X(ω) = ω(1 − ω), Y = 1[0,1/2]. (a) Wyznacz σ(X).
(b) Czy Y jest σ(X)-mierzalna?
(c) Wyznacz dystrybuanty X i Y .
(d) Podaj przykład zmiennej losowej Z takiej, że B([0, 1]) = σ(Z) oraz X i Z maja ten sam rozkład.
(e) Wykaż, że X i Y sa niezależne.
Zadanie 12. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn (n 6) sa niezależne i maja ten sa rozkład, zadany wzorem P(Xi= 1) = P(Xi= −1) = 1/2, i = 1, 2, . . . , n.
(a) Czy zmienne X1+ X2, X1X2 sa niezależne?
(b) Czy zmienne X1+ X2, X3, X4+ X5X6 sa niezależne?
(c) Czy zmienne X1, X1X2, . . ., X1X2. . . Xn sa niezależne?
Zadanie 13. Zmienne losowe X, Y sa niezależne, przy czym X nie ma atomów. Wykaż, że P(X = Y ) = 0.
Zadanie 14. Zmienne losowe X i X2 maja ten sam rozkład. Wykaż, że P(X ∈ {0, 1}) = 1.
Zadanie 15. Zmienna losowa X jest taka, że dla dowolnego a > 0, P(X > a) = P(X < −a). Wykaż, że zmienne X i −X maja ten sam rozkład.
Zadanie 16. Zmienna losowa X jest niezależna od siebie samej. Udowodnić, że istnieje c takie, że P(X = c) = 1.
Zadanie 17. Rzucamy 10 razy symetryczna moneta. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych orłów, zaś Y numer rzutu, w którym wyrzuciliśmy pierwszego orła lub 11, jeśli wyrzuciliśmy same reszki. Czy zmienna losowa X jest mierzalna względem σ(Y ).
Zadanie 18. Niech F : R → [0, 1] będzie funkcja prawostronnie ciągła, niemalejąca i taka, że limt→∞F (t) = 1 oraz limt→−∞F (t) = 0. Wykaż, że F jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X.
Zadanie 19. Załóżmy, że dystrybuanta F zmiennej losowej X jest funkcja rosnąca i ciągła. Wykaż, że zmienna losowa F (X) ma rozkład jednostajny na [0, 1].
Zadanie 20. Rozważmy dwie serie po trzy rzuty moneta. Niech X1 oznacza liczbę orłów w pierwszej serii przed pojawieniem się reszki, natomiast X2, X20 oznaczają łączna liczbę orłów w pierwszej i drugiej serii, odpowiednio.
(a) Czy rozkłady zmiennych X2, X20 sa jednakowe?
(b) Czy rozkłady wektorów losowych (X1, X2) oraz (X1, X20) sa jednakowe?
2
