Zadanie . Dla jakiego parametru c funkcja

Zadanie . Dla jakiego parametru c funkcja



 

  



x x x

c x f

h pozostalyc

dla 0

4 0 dla )

( może

być funkcją gęstości dla pewnej zmiennej losowej X. Ponadto wyznaczyć a). Dystrybuantę tej zmiennej losowej X.

b). Wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej X.

c). P( 1 < X < 2 ) = ? . Rozwiązanie

4 ) 0 2 4 2 ( ] 2 [ 0

0 )

( 1

0 4

0

4 0 4

0 2 1

4

c c

x c dx x c dx x dx

dx c dx

x

f        



    





 







Stąd

4

 1

c a więc



 

  





x x x

x f y

h pozostalyc

dla 0

4 0 dla 4

1 ) (

Ad a). Dystrybuanta









 F x ^x f t dt

y ( ) ( )

1⁰ Jeżeli ^{0 x} to ^{ ( )}



^{0  0}



 x

dt x

F y

2⁰ Jeżeli ^{0 x4} to ₄^{1 1}₄^{[2 ]} ₄¹² ₂ 4

) 1

( ₀

0 2 1

0

x x t

dt t t dt

x F

y ^x

x x













 

^

3⁰ Jeżeli ^{4 x} to ¹

4 ) 1 (

4

0





 ^{F x}



_t ^dt

y

A więc

 



 

















4 1

4 0 2

0 0 ) (

x x x

x x

F y

Ad b).

Wartość oczekiwana

3 0 4 6 4 1 6 ] 1 6 [1 3 ]

[2 4 1 4

1 4

1 4

) 1 ( )

( ³ ₀^{4 3 4}₀ ^{3 3}

4

0 2 1 4

0 4

0



















 ^

   





x x

dx x xdx

dx x x x

dx x xf x

E m

Ad c). Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość z przedziału

< 1, 2 >

% 71 , 20 207107 ,

2 0 1 2 2 1 2 ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 1

(  X  F F      

P lub

% 71 , 20 207107 ,

2 0 1 2 2 1 2 ] 2 2 [1 ] 2 4[ 1 4

1 4

) 1 ( ) 2 1

( ₁² ₁²

2

1 2 1 2

1 2

1



 



















 ^X



^{f x dx}



_x ^dx



^{x dx x x}

P