IMiR - MiBM - Wykład Nr 5 Analiza stanu odkształcenia

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz B2, II p., pok. 206

E-mail: machniew@agh.edu.pl

IMiR - MiBM - Wykład Nr 5 Analiza stanu odkształcenia

Składowe stanu odkształcenia, uogólnione prawo Hooke’a, prawo Hooke’a dla czystego ścinania, względna zmiana objętości, klasyfikacja stanów odkształcenia, analiza płaskiego stanu odkształcenia – podstawy tensometrii oporowej

Energia sprężysta: energia właściwa odkształcenia objętościowego i postaciowego

5.1. Składowe stanu odkształcenia

Pod wpływem przyłożonych obciążeń ciało odkształca się, a jego przestrzenne elementy doznają:

 zmian objętości – związanych z liniowymi odkształceniami, tj. zmianami długości boków elementów przestrzennych – tzw. odkształcenia objętościowe,

 zmian kształtu (postaci) – związanych z deformacją kątową elementarnych prostopadłościanów, tj. zmianami kątów pomiędzy poszczególnymi ściankami elementów przestrzennych – tzw.

odkształcenia postaciowe

y



x















dx

d y (1+ 

)d y

(1+

)dx

Płaski stan naprężenia:

y

dx x d y  d y

 dx

𝜶

𝜷 𝜶 + 𝜷 = 𝜸

; dy

dy dx

dx

y x

 

  



  dx dx

dx    1  

  ^dy

dy

dy    1  

Odkształcenia w płaszczyźnie działania naprężeń:

Składowe płaskiego stanu odkształcenia: 

, 

, g

d z

5.1. Składowe stanu odkształcenia

Rodzaje odkształceń:

 odkształcenia objętościowe (

, 

, 

) – względne zmiany długości boków elementarnego prostopadłościanu – mierzone na kierunkach x, y, z – wywołane naprężeniami normalnymi 

,



, 

.

 odkształcenia postaciowe (g

, g

, g

) – mierzone w poszczególnych płaszczyznach pochylenia ścianek elementarnego prostopadłościanu wywołane działaniem naprężeń stycznych, g

, g

, g

.

Przestrzenny stan odkształcenia

z

x

O y

𝝉

𝝉

𝝈

𝝉

𝝈

𝝉

x

O y

𝝈

𝝉

𝝈

𝝉

𝝉

𝝉

dy

d z

(1+

)dy

(1+ 

)d z

dy

Składowe przestrzennego stanu odkształcenia: 

, 

, 

, g

, g

, g

5.2. Prawo Hooke’a w przypadku odkształceń objętościowych

𝜺 = 𝝈

𝑬 𝜺

= −𝝂𝜺 = − 𝝈 𝑬 𝝂

Odkształcenia w jednoosiowym stanie naprężenia:

Przestrzenny stan naprężenia:

𝝈

𝝈

3 O 1

𝝈

𝝈

= ^𝝈

2

3 O 1

𝝈

+ +

𝝈

3 O 1

𝝈

3 O 1

𝜺 _𝟏 = + +

𝜺 _𝟐 = + +

𝜺 _𝟑 = + +

𝝈

𝑬 − 𝝈

𝑬 𝝂 − 𝝈

𝑬 𝝂 𝝈

𝑬 − 𝝈

𝑬 𝝂

− 𝝈

𝑬 𝝂

− 𝝈

𝑬 𝝂

− 𝝈

𝑬 𝝂 𝝈

𝑬

W kierunkach głównych:

5.2. Prawo Hooke’a w przypadku odkształceń objętościowych

𝝈

𝝈

3 O 1

𝝈

𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

W kierunkach dowolnych:

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝝉

𝝉

𝝈

𝝉

𝝈

𝝉

z O y

𝝈

𝝉

𝝈

𝝉

𝝉

𝝉

5.3. Prawo Hooke’a w przypadku czystego ścinania

Czyste ścinanie – stan naprężenia w przekrojach, w których działają jedynie naprężenia styczne, zaś naprężenia normalne równe są zeru.



= -



= -



= 



= 

1 2









y

x

𝝈_𝒙 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 +𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝈_𝒚 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 −𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝉_𝒙𝒚 =−𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶

gdy:







=-  

= 

𝝉

= 𝝈

y

x

1 2

5.3. Prawo Hooke’a w przypadku czystego ścinania

1

1



= -



= -



= 



=  (1 -  )

(1+)

𝝅 𝟒−𝜸

𝟐

tg 𝜋 4 − 𝛾

2 = 1 − 𝜀 1 + 𝜀

𝜀

= 𝜀

= 𝜀 𝜀

= 1

𝐸 𝜎

− 𝜈 𝜎

+ 𝜎

𝜀

= 1

𝐸 𝜎

− 𝜈 𝜎

+ 𝜎

𝜎

= −σ 𝜎

= σ ;

𝜎

= 0;

𝜀 = 1 + 𝜈 𝐸 σ

tg 𝛼 − 𝛽 = tg𝛼 − tg𝛽

1 + tg𝛼 ∙ tg𝛽

𝟐 = tg 𝜋

4 − tg 𝛾 2 1 + tg 𝜋

4 ∙ tg 𝛾 2

(1)

(2)

= 1 − tg 𝛾 2 1 + tg 𝛾 2

≅ 1 − 𝛾 2 1 + 𝛾 2

gdy g jest bliskie zeru

(1) (4)

𝜀 = 𝛾 2

𝜏 = − 𝜎

− 𝜎

2 sin 2𝛼 𝛼 = − 𝜋

4

𝜏 = 𝜎 (3)

(4)

(2) (3)

𝛾

2 = 1 + 𝜈

𝐸 σ 𝛾

2 = 𝜏 𝐸 1 + 𝜈

𝜸 = 𝝉

𝐆 gdzie 𝑮 = 𝑬

𝟐(𝟏 + 𝛎) G – moduł odkształcenia postaciowego

moduł Kirchoffa (MPa)

5.4. Uogólnione prawo Hooke’a

W kierunkach głównych:

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

W kierunkach dowolnych:

dz

z

x

O y

(1+_y)dy

(1+z)dz

dy 𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1

2 O dz

dy 𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

(1+₂)dy

(1+3)dz

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜸

= 𝝉

𝐆 𝜸

= 𝝉

𝐆 𝜸

= 𝝉

𝐆

5.5. Względna zmiana objętości (dylatacja)

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1

2 O dz

dy 𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

(1+₂)dy

(1+3)dz

Początkowa objętość prostopadłościanu: 𝑑𝑉

= 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 Końcowa objętość prostopadłościanu:

𝑑𝑉 = 1 + 𝜀

𝑑𝑥 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑦 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑧 Względna zmiana objętości (dylatacja):

𝑒 = 𝑑𝑉 − 𝑑𝑉

𝑑𝑉

= 1 + 𝜀

𝑑𝑥 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑦 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑧 − 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧

= 1 + 𝜀

1 + 𝜀

1 + 𝜀

𝑑𝑧 − 1 e = 1 + 𝜀

+ 𝜀

+ 𝜀

+ 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝜀

𝜀

− 1

Małe wyższych rzędów

𝒆 = 𝜺

+ 𝜺

+ 𝜺

lub w przypadku dowolnych kierunków: 𝒆 = 𝜺

+ 𝜺

+ 𝜺

Uwzględniając:

𝜺_𝟏 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟏− 𝝂 𝝈_𝟐+ 𝝈_𝟑 𝜺_𝟐 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟐− 𝝂 𝝈_𝟏+ 𝝈_𝟑 𝜺_𝟑 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟑− 𝝂 𝝈_𝟏+ 𝝈_𝟐

𝜺_𝒙 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒙− 𝝂 𝝈_𝒚+ 𝝈_𝒛 𝜺_𝒚 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒚 − 𝝂 𝝈_𝒙+ 𝝈_𝒛 𝜺_𝒛 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒛 − 𝝂 𝝈_𝒙+ 𝝈_𝒚

lub:

Względna zmiana objętości w funkcji naprężeń:

𝒆 = 𝟏 − 𝟐𝝂

𝑬 𝝈

+ 𝝈

+ 𝝈

𝒆 = 𝟏 − 𝟐𝝂

𝑬 𝝈

+ 𝝈

+ 𝝈

Przestrzenny stan odkształcenia:

5.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

Tensor dowolnego przestrzennego stanu odkształcenia:

Przestrzenny dowolny stanu odkształcenia opisany jest sześcioma składowymi: 

, 

, 

, g

, g

, g

𝑻

=

𝜺

𝜸

ൗ

𝟐 𝜸

ൗ 𝟐 𝜸

ൗ

𝟐 𝜺

𝜸

ൗ 𝟐 𝜸

ൗ

𝟐 𝜸

ൗ

𝟐 𝜺

W przypadku materiału izotropowego kierunki naprężeń głównych są takie same dla odkształceń jak i naprężeń.

Tensor przestrzennego stanu odkształcenia dla kierunków głównych :

𝑻

=

𝜺

𝟎 𝟎 𝟎 𝜺

𝟎 𝟎 𝟎 𝜺

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1

2 O dz

dy 𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

(1+₂)dy

(1+3)dzdz z

x

O y

(1+_y)dy

(1+z)dz

dy

Zgodnie z prawem Hooke’a ( g   /G)

odkształcenia kątowe są równe zeru

(g

= g

= g

=0), bo nie występują

naprężenia styczne ( 

= 

= 

=0)

Płaski stan naprężenia (PSN):

5.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂𝝈

𝜺

= − 𝝂

𝑬 𝝈

+ 𝝈

𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

= 𝟎 - co uwzględniając otrzymujemy:

𝑻

=

𝜺

𝟎 𝟎 𝟎 𝜺

𝟎 𝟎 𝟎 𝜺

a) W przypadku kierunków głównych:

𝝈

𝝈

3

1 O

𝝈

𝝈

𝑻

= 𝝈

𝟎 𝟎 𝝈

𝝈

= 𝑬

𝟏 − 𝝂

𝜺

+ 𝝂𝜺

𝝈

= 𝑬

𝟏 − 𝝂

𝜺

+ 𝝂𝜺

𝝈

= 𝟎

Tensory odkształceń i naprężeń w PSN na kierunkach głównych:

Płaski stan naprężenia (PSN):

5.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

= 𝟎, 𝝉

≠ 𝟎, 𝝉

= 𝟎, 𝝉

= 𝟎 b) W przypadku kierunków dowolnych:

𝑻

=

𝜺

𝜸

ൗ

𝟐 𝟎 𝜸

ൗ

𝟐 𝜺

𝟎

𝟎 𝟎 𝜺

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂𝝈

𝜺

= − 𝝂

𝑬 𝝈

+ 𝝈

𝜸

= 𝝉

𝐆 𝝈

𝝈

z

x O

𝝈

𝝈

𝝉

𝝉

𝝉

𝝉

𝑻

= 𝝈

𝝉

𝝉

𝝈

𝝈

= 𝑬

𝟏 − 𝝂

𝜺

+ 𝝂𝜺

𝝈

= 𝑬

𝟏 − 𝝂

𝜺

+ 𝝂𝜺

𝝈

= 𝟎

𝝉

= 𝐆 ∙ 𝜸

Tensory odkształceń i naprężeń w PSN na kierunkach dowolnych:

Wniosek:

W płaskim stanie naprężenia istnieje przestrzenny stan odkształcenia.

Płaski stan odkształcenia (PSO):

5.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

- co uwzględniając otrzymujemy:

𝑻

= 𝜺

𝟎 𝟎 𝜺

a) W przypadku kierunków głównych: 𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

= 𝟎

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

= 𝟎 𝝈

= 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝑻

=

𝝈

𝟎 𝟎 𝟎 𝝈

𝟎 𝟎 𝟎 𝝈

b) W przypadku kierunków dowolnych: 𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

= 𝟎, 𝜸

≠ 𝟎, 𝜸

= 𝟎, 𝜸

= 𝟎

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

= 𝟎 𝝈

= 𝝂 𝝈

+ 𝝈

Wniosek: Płaski stan odkształcenia można wywołać, odpowiednio dobranym, przestrzennym stanem naprężenia

𝑻

= 𝜺

𝜸

ൗ 𝟐 𝜸

ൗ

𝟐 𝜺

𝑻

=

𝝈

𝝉

𝟎 𝝉

𝝈

𝟎 𝟎 𝟎 𝝈

𝝈

𝝈

z O x

𝝈

𝝈

𝝉

𝝉

𝝉

𝝉

𝝈

𝝈

3 O 1

𝝈

𝝈

5.7. Analiza płaskiego stany odkształcenia – podstawy tensometrii

Analogia pomiędzy zależnościami transformacyjnymi w płaskim stanie naprężenia i odkształcenia:

 





  cos 2

2 2

2 1 2

1

  

n



 

  sin 2 2

2 1





n

 g   

2 2 sin

2

2 1







n

 





  cos 2

2 2

2 1 2

1

  

n





 

g

 

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 + 𝜺

− 𝜺

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 2

1 (45)

x (0) y (90)





𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 + 𝜺

− 𝜺

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝟒𝟓°

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 + 𝜺

− 𝜺

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝟗𝟎°

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 ± 𝜺

− 𝜺

𝟐

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝐭𝐠𝟐𝛂 = 𝟐𝜺

− 𝜺

− 𝜺

𝜺

− 𝜺

5.7. Analiza płaskiego stany odkształcenia – podstawy tensometrii

2

1 (45)

x (0) y (90  )





𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 ± 𝜺

− 𝜺

𝟐

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝐭𝐠𝟐𝛂 = 𝟐𝜺

− 𝜺

− 𝜺

𝜺

− 𝜺

Uwzględniając: 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝟏

𝟏 + 𝐭𝐠

𝟐𝜶 Otrzymujemy:

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝜺

− 𝜺

+ 𝜺

− 𝜺

W tensometrii oporowej wyznacza się odkształcenie na podstawie względnej zmiany rezystancji (R/R) użytego tensometru : ∆𝑹

𝑹 = 𝜺𝑲 gdzie K – stała czujnika

Rozety tensometryczne stosowane do wyznaczania kierunków i wartości odkształceń głównych

5.8. Energia sprężysta

𝑷 ഥ

EA

l  l

5.8.1. Energia właściwa odkształcenia sprężystego w jednoosiowym stanie naprężenia (

):

P

l

L

∆𝒍 = 𝑷𝒍 𝑨𝑬 𝑳

= 𝟏

𝟐 𝑷∆𝒍

𝑳

= 𝑷

𝒍 𝟐𝑬𝑨

Energia właściwa () – energia przypadająca na jednostkę objętości materiału (V)

𝚽

= 𝑳

𝑽 = 𝑷

𝒍 𝟐𝑬𝑨 ∙ 𝟏

𝑨𝒍 = 𝑷

𝟐𝑬𝑨

;

𝚽

= 𝝈

𝟐𝑬 = 𝟏 𝟐 𝝈 𝝈

𝑬 ;

𝚽

= 𝟏

𝟐 𝝈𝜺

5.8. Energia sprężysta

5.8.2. Właściwa energia sprężysta ścinania (

):

𝝉

𝑻 ഥ

𝝉 𝝉

𝝉

a

a

s

𝜸

𝚽

= 𝑳

𝑽 = 𝟏 𝟐

𝑻𝒔 𝑽

𝑻 = 𝝉𝒂 𝚽

= 𝟏 𝟐 𝝉𝜸

5.8.3. Całkowita właściwa energia sprężysta w przestrzennym stanie naprężenia ():

𝒔 = 𝒂𝜸 𝑽 = 𝟏 ∙ 𝒂

z

x O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚

𝝈

𝝈

3 O 1

𝝈

𝝈

 ^

^

^{ }

^

^{ }

^

^{ }

^g

^{ }

^g

^{ }

^g





 2 1

dla kierunków dowolnych





2

1        





dla kierunków głównych

5.8. Energia sprężysta

5.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego (

) i odkształcenia postaciowego (

):

Całkowitą energię odkształcenia sprężystego () można podzielić na dwie części:

 

– energię odkształcenia objętościowego

 

– energię odkształcenia postaciowego   

 

a) Odkształcenia czysto objętościowe powstaną, gdy element obciążony będzie takimi samymi naprężeniami 

na wszystkich kierunkach:

𝝈

𝝈

1 O 2

𝝈

𝝈

= ^𝝈

+

𝝈

1 O 2

𝝈

𝝈

(𝝈

− 𝝈

)

(𝝈

− 𝝈

)

1 O 2

(𝝈

− 𝝈

)

(𝝈

− 𝝈

)

Odkształcenia wypadkowe

Odkształcenia objętościowe

Odkształcenia postaciowe

(

) (

)

()

5.8. Energia sprężysta

𝝈

𝝈

1 O 2

𝝈

𝝈

= ^𝝈

+

𝝈

1 O 2

𝝈

𝝈

(𝝈

− 𝝈

)

(𝝈

− 𝝈

)

1 O 2

(𝝈

− 𝝈

)

(𝝈

− 𝝈

)







Przyjmujemy:

3

3 2

1

 



  ^{ }





O

       

2 3 2

1   









2

1        





 





śr E     E

  ¹   ^12 Z prawa Hooke’a:

5.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego (

) i odkształcenia postaciowego (

):

Otrzymujemy (z rów. 1 i 2):

(1) (2)





2

6 2 1 2

1 2 3 2

3              





E

E

 

6 2 1

z y x

O

  E   _  _ 



- dla kierunków głównych

- dla kierunków dowolnych

- dla kierunków dowolnych 5.8. Energia sprężysta

𝝈

𝝈

1 O 2

𝝈

𝝈

= ^𝝈

+

𝝈

1 O 2

𝝈

𝝈

(𝝈

− 𝝈

)

(𝝈

− 𝝈

)

1 O 2

(𝝈

− 𝝈

)

(𝝈

− 𝝈

)







5.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego (

) i odkształcenia postaciowego (

):





6 2

1    _  _ 





E  

6 2 1

z y x

O

 E   _  _ 





- dla kierunków głównych b) Odkształcenia czysto postaciowe powstaną, gdy elementarny prostopadłościan obciążony będzie naprężeniami będącymi dopełnieniem naprężeń średnich (

) do wyjściowych naprężeń głównych.

Otrzymujemy:      





2 3 2 2

2

6

1    _  _  _  _  _ 













E

       



⁶



6 1

zx yz xy x

z z

y y

x O

P

      E   _  _  _  _  _  _  _  _ 

