IMiR -IA- Wykład Nr 9 Analiza stanu odkształcenia

1

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

IMiR -IA- Wykład Nr 9 Analiza stanu odkształcenia

Składowe stanu odkształcenia, uogólnione prawo Hooke’a, prawo Hooke’a dla czystego ścinania, względna zmiana objętości, klasyfikacja stanów odkształcenia, analiza płaskiego stanu odkształcenia – podstawy tensometrii oporowej

Energia sprężysta: energia właściwa odkształcenia objętościowego i postaciowego

9.1. Składowe stanu odkształcenia

2

Pod wpływem przyłożonych obciążeń ciało odkształca się, a jego przestrzenne elementy doznają:

zmian objętości – związanych z liniowymi odkształceniami, tj. zmianami długości boków elementów przestrzennych – tzw. odkształcenia objętościowe,

zmian kształtu (postaci) – związanych z odkształceniem kątowym elementarnych prostopadłościanów, tj. zmianami kątów pomiędzy poszczególnymi ściankami elementów przestrzennych – tzw. odkształcenia postaciowe

y

σ x

x σ x τ

τ xy

τ yx

σ y

τ yx

σ y

dx

d y (1 + ε y )d y

(1+ ε _x )dx

Płaski stan naprężenia:

y

dx x

d y ∆ d y

∆ dx

; dy

dy dx

dx

y x

= ∆

= ∆ ε

ε

( ) ^dx

dx

dx + ∆ = 1 + ε

( ) ^dy

dy

dy + ∆ = 1 + ε

Odkształcenia w płaszczyźnie działania naprężeń:

Składowe płaskiego stanu odkształcenia: ε x , ε y , γ xy

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

d z

9.1. Składowe stanu odkształcenia

3

Rodzaje odkształceń:

odkształcenia liniowe ( ε x , ε y , ε z ) – względne zmiany długości boków elementarnego prostopadłościanu – mierzone na kierunkach x, y, z – wywołane naprężeniami normalnymi σ _x , σ y , σ z .

odkształcenia postaciowe ( γ _xy , γ _yz , γ _xz ) – zmiany kątów pomiędzy krawędziami elementarnego prostopadłościanu wywołane działaniem naprężeń stycznych, τ xy , τ yz , τ xz .

Przestrzenny stan odkształcenia

z

x

y O

z

x

O y

dy

d z

(1+ ε _y )dy

(1 + ε z )d z

dy

Składowe przestrzennego stanu odkształcenia: ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx

© T. Machniewicz & K. Nalepka IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.2. Prawo Hooke’a w przypadku odkształceń objętościowych

4

Odkształcenia w jednoosiowym stanie naprężenia:

Przestrzenny stan naprężenia:

2

3

1 O

=

2

3 O 1

+ +

2

3 O 1

2

3 O 1

= + +

= + +

= + +

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

W kierunkach głównych:

9.2. Prawo Hooke’a w przypadku odkształceń objętościowych

5 2

3

1 O

W kierunkach dowolnych:

z

z

y O

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.3. Prawo Hooke’a w przypadku czystego ścinania

6

Czyste ścinanie – stan naprężenia w którym powstają jedynie naprężenia styczne o ekstremalnych wartościach, zaś naprężenia normalne równe są zeru.

σ 2 = - σ

σ 2 = - σ

σ 1 = σ σ 1 = σ

1 2

τ yx

τ xy

τ xy

τ yx

y

x /

gdy: , , :

,

σ

τ _xy τ _yx

σ 2 =- σ σ ₁ = σ 2 α =

y

x

© T. Machniewicz & K. Nalepka IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.3. Prawo Hooke’a w przypadku czystego ścinania

7 tg 4

"

2

1 % _&

1 % _'

% _' % _& %

% _' 1

( ) _' * ) _& ) ₊

% _& 1

( ) _& * ) _' ) ₊

) _& σ

) _' σ ^; ) ₊ 0;

% 1 *

( σ

% 1 *

( σ

tg / 0 tg/ tg0

1 tg/ · tg0 ²³

tg 4 tg "

2 1 tg 4 · tg "

2

(1)

(2)

1 tg "

2 1 tg "

2

≅ 1 "

2 1 "

2

gdy γ jest bliskie zeru

(1) (4)

% "

% 2 "

2

5 ) _' ) _&

2 sin 2/

/ 4

5 )

5 ) (3)

(4)

(2) (3)

"

2

1 *

( σ "

2

5

1 ( * 9 9 gdzie :

; <=

: ; <=

G – moduł odkształcenia postaciowego moduł Kirchoffa (MPa)

© T. Machniewicz & K. Nalepka IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

1 2

1

1

σ 2 = - σ

σ 2 = - σ

σ 1 = σ

σ 1 = σ (1 + ε 2 )

(1+ ε ₁ )

9.4. Uogólnione prawo Hooke’a

8

W kierunkach głównych:

W kierunkach dowolnych:

d z

z

x

y O

(1+ ε

)dy

(1 + ε

)d z

dy 3

1

2 O d z

dy

(1+ ε

)dy

(1 + ε

)d z

9 9

9

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.5. Względna zmiana objętości (dylatacja)

9 3

1

2 O d z

dy

(1+ ε

)dy

(1 + ε

)d z

Początkowa objętość prostopadłościanu: >? _@ >A · >B · >C Końcowa objętość prostopadłościanu:

>? 1 % _' >A · 1 % _& >B · 1 % ₊ >C Względna zmiana objętości (dylatacja):

D >? >? _@

>? _@

1 % _' >A · 1 % _& >B · 1 % ₊ >C >A · >B · >C

>A · >B · >C

1 % _' 1 % _& 1 % ₊ 1

e 1 % _' % _& % _' % _' % _& % _& % ₊ % _' % ₊ % _' % _& % ₊ 1

Małe wyższych rzędów FF

lub w przypadku dowolnych kierunków: FF

Uwzględniając:

lub:

Względna zmiana objętości w funkcji naprężeń:

FF FF

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

Przestrzenny stan odkształcenia:

9.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

10 Tensor dowolnego przestrzennego stanu odkształcenia:

Przestrzenny dowolny stanu odkształcenia opisany jest sześcioma składowymi: ε _x , ε _y , ε _z , γ _xy , γ _yz , γ _zx

G

H H

H H

H H

W przypadku materiału izotropowego kierunki naprężeń głównych są takie same dla odkształceń jak i naprężeń.

Tensor przestrzennego stanu odkształcenia dla kierunków głównych :

G

3

1

2 O d z

dy (1+ε

)dy

(1 + ε

)d z d z z

x

y O

(1+ ε

)dy

(1 + ε

)d z

dy

Zgodnie z prawem Hooke’a ( γ = τ ^/G) odkształcenia kątowe są równe zeru ( γ

= γ

= γ

=0), bo nie występują naprężenia styczne ( τ

= τ

= τ

=0)

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

Płaski stan naprężenia (PSN):

9.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

11

I , I , - co uwzględniając otrzymujemy:

G a) W przypadku kierunków głównych:

2

3

1 O

G

Tensory odkształceń i naprężeń w PSN na kierunkach głównych:

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

Płaski stan naprężenia (PSN):

9.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

12

I , I , , I , ,

b) W przypadku kierunków dowolnych:

G

H H

9 y

z

x O

G

9 ·

Tensory odkształceń i naprężeń w PSN na kierunkach dowolnych:

Wniosek:

W płaskim stanie naprężenia istnieje przestrzenny stan odkształcenia.

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

Płaski stan odkształcenia (PSO):

9.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

13

- co uwzględniając otrzymujemy:

G a) W przypadku kierunków głównych: I , I ,

G

b) W przypadku kierunków dowolnych: I , I , , I , ,

Wniosek: Płaski stan odkształcenia można wywołać, odpowiednio dobranym, przestrzennym stanem naprężenia

G H

H G

y

z

x O

2

3

1 O

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.7. Analiza płaskiego stany odkształcenia – podstawy tensometrii

14 Analogia pomiędzy zależnościami transformacyjnymi w płaskim stanie naprężenia i odkształcenia:

σ α σ σ

σ σ ^{cos 2}

2 2

2 1 2

1

+ + −

n

=

σ α

τ σ ^{sin 2}

2

2 1

−

−

n

= γ ε ε α

2 2 sin

2

2 1

−

−

=

n

ε α ε ε

ε ε ^{cos 2}

2 2

2 1 2

1

+ + −

n

=

ε σ ↔

γ τ ↔

2

1 (45 ° )

x (0 ° ) y (90 ° )

ε 9 0

ε ₀

J J°

L L °

, L

M ^L

23 N ^{L J}

L

© T. Machniewicz & K. Nalepka IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr

9

9.7. Analiza płaskiego stany odkształcenia – podstawy tensometrii

15 2

1 (45 ° )

x (0 ° ) y (90 ° )

ε 9 0

ε ₀

, L

M ^L

23 N ^{L J}

L

Uwzględniając:

O

23

Otrzymujemy:

, L

M _O ^O _{L J L}

, L

M _O ^O _{L J L}

W tensometrii oporowej wyznacza się odkształcenie na podstawie względnej zmiany rezystancji ( ∆ R/R) użytego tensometru : ∆Q

Q R

∆Q

Q R gdzie K – stała czujnika

Rozety tensometryczne stosowane do wyznaczania kierunków i wartości odkształceń głównych

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.8. Energia sprężysta

16

S T

EA

l ∆ ^l

9.8.1. Energia właściwa odkształcenia sprężystego w jednoosiowym stanie naprężenia ( Φ _n ):

P

∆ l

L _P

∆U SU

∆U V SU V W _S S∆U W _S S∆U

W _S S U

W _S S U V V

Energia właściwa ( Φ ) – energia przypadająca na jednostkę objętości materiału (V)

X _Y W Z

S U V ·

VU

S V ; X _Y W

Z

S U V ·

VU

S V ;

X _Y ;

X _Y ;

X _Y

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.8. Energia sprężysta

17

9.8.2. Właściwa energia sprężysta ścinania ( Φ _t ):

G T

a

a

s

X _[ W _G Z

G\

X _[ W _G Z Z

G\

Z

G ] X _[

9.8.3. Całkowita właściwa energia sprężysta w przestrzennym stanie naprężenia ( Φ ):

\ ] Z · ]

z

x

y O

2

3 O 1

( ^σ

^ε

^{+ σ}

^ε

^{+ σ}

^ε

^{+ τ}

^γ

^{+ τ}

^γ

^{+ τ}

^γ

)

= Φ 2

1

dla kierunków dowolnych

(

)

2

1 σ ε + σ ε + σ ε

= Φ

dla kierunków głównych

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.8. Energia sprężysta

18

9.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego ( Φ _O ) i odkształcenia postaciowego ( Φ _P ):

Całkowitą energię odkształcenia sprężystego ( Φ ) można podzielić na dwie części:

Φ O – energię odkształcenia objętościowego

Φ P – energię odkształcenia postaciowego Φ = Φ O + Φ P

a) Odkształcenia czysto objętościowe powstaną, gdy element obciążony będzie takimi samymi naprężeniami σ śr na wszystkich kierunkach:

3

1

2 O

= ^ś_ +

ś_

3

1

2 O

ś_

ś_ ; _{ś_} =

; _{ś_} =

3

1

2 O

; _{ś_} =

; _{ś_} =

Odkształcenia wypadkowe

Odkształcenia objętościowe

Odkształcenia postaciowe

( Φ O ) ( Φ P )

( Φ )

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

9.8. Energia sprężysta

19 3

1

2 O

= ^ś_ +

ś_

3

1

2 O

ś_

ś_ ; _{ś_} =

; _{ś_} =

3

1

2 O

; _{ś_} =

; _{ś_} =

Φ _O Φ _P

Φ

Przyjmujemy:

3

3 2

1

σ σ

σ

= σ ^{+ +}

(

)

O

σ ε σ ε σ ε σ ε

2 3 2

1 + + =

=

(

) Φ 2

1 σ ε + σ ε + σ ε

=

Φ

[

(

) ]

E E σ ν σ σ ν σ ε = ¹ − + = ^{1 − 2} Z prawa Hooke’a:

9.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego ( Φ _O ) i odkształcenia postaciowego ( Φ _P ):

Otrzymujemy (z rów. 1 i 2):

(1) (2)

(

)

2

6 2 1 2

1 2 3 2

3 σ ε = − ν σ = − ν σ + σ + σ

=

Φ

E

E

( )

6 2 1

z y x

O

= − E ν σ ₊ σ ₊ σ

Φ

- dla kierunków głównych - dla kierunków dowolnych

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9

- dla kierunków dowolnych 9.8. Energia sprężysta

20 3

1

2 O

= ^ś_ +

ś_

3

1

2 O

ś_

ś_ ; _{ś_} =

; _{ś_} =

3

1

2 O

; _{ś_} =

; _{ś_} =

Φ _O Φ _P

Φ

9.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego ( Φ _O ) i odkształcenia postaciowego ( Φ _P ):

(

)

6 2

1 − ν σ ₊ σ ₊ σ

=

Φ

E ( )

6 2 1

z y x

O

= − E ν σ ₊ σ ₊ σ

Φ

- dla kierunków głównych b) Odkształcenia czysto postaciowe powstaną, gdy elementarny prostopadłościan obciążony będzie naprężeniami będącymi dopełnieniem naprężeń średnich ( σ śr ) do wyjściowych naprężeń głównych.

Otrzymujemy: ^Φ

^{= Φ − Φ}

^{= 1} ₆ ⁺ _E ^ν [ ( ^σ

^{− σ}

) (

^{+ σ}

^{− σ}

) (

^{+ σ}

^{− σ}

)

]

( ) ( ) ( ) ( )

[

⁶

]

6 1

zx yz xy x

z z

y y

x O

P

= Φ − Φ = + E ν σ ₋ σ ₊ σ ₋ σ ₊ σ ₋ σ ₊ τ ₊ τ ₊ τ

Φ

© T. Machniewicz IMiR, Wytrzymałość materiałów, Wykład nr 9