qui n’est pas une perturbation compacte d’une fonction dissipative

POLONICI MATHEMATICI LXI.2 (1995)

Une fonction β -lipschitzienne

qui n’est pas une perturbation compacte d’une fonction dissipative

par Roland Uhl (Karlsruhe)

R´ esum´ e. On pr´ esente une fonction continue f : c

→ c

qui satisfait ` a une condition lipschitzienne par rapport ` a la mesure de non-compacit´ e de Hausdorff (ou Kuratowski), mais telle que f n’est pas la somme d’une fonction dissipative et d’une fonction compacte.

Cet exemple attache de l’importance au th´ eor` eme d’existence de Sabina Schmidt (1989) pour des ´ equations diff´ erentielles dans les espaces de Banach.

1. Introduction. Soit E un espace de Banach. On consid` ere le probl` eme de Cauchy

(1) u(0) = a, u ⁰ (t) = f (t, u(t))

avec a ∈ E et une fonction continue f : [0, T ] × G → E (T > 0) o` u G ⊂ E est un voisinage de a. Rappelons qu’il existe une solution u : [0, τ ] → G (0 < τ ≤ T ) si E a une dimension finie. D’autre part d’apr` es Godunov [1], dans chaque espace de Banach de dimension infinie il y a un probl` eme de Cauchy de la fa¸ con pr´ esente qui n’admet pas de solutions.

D’apr` es Sabina Schmidt (1989) [3], il existe une solution de (1) si f est la somme de deux fonctions continues o` u l’une est dissipative et l’autre satisfait ` a une condition lipschitzienne par rapport ` a la mesure de non- compacit´ e de Hausdorff (ou Kuratowski). Ce th´ eor` eme d’existence g´ en´ eralise non seulement des r´ esultats pareils de Szufla et de Martin, mais aussi un th´ eor` eme de Volkmann [6]. D’apr` es celui-l` a, le probl` eme (1) a une solution si f est la somme de deux fonctions continues o` u l’une est dissipative et l’autre compacte. Mais maintenant un probl` eme s’impose : Est-ce que le th´ eor` eme de Schmidt admet vraiment plus de fonctions f que celui de Volkmann? Par la pr´ esente on peut r´ epondre affirmativement ` a cette question.

1991 Mathematics Subject Classification: 34G20, 47H09, 47H06.

Key words and phrases: ordinary differential equations in Banach spaces, existence, measures of noncompactness, dissipative operators.

[189]

2. Notations et th´ eor` emes d’existence. Soit E un espace de Banach.

Notons

S(z, r) := {x ∈ E : kx − zk ≤ r} (z ∈ E, r ≥ 0), et

[x, y] − := lim

h→0−

kx + hyk − kxk

h (x, y ∈ E).

Pour chaque ensemble born´ e A ⊂ E, on d´ esigne par β(A) sa mesure de non- compacit´ e de Hausdorff, d´ efinie comme l’infimum des nombres r´ eels r ≥ 0 tels que A peut ˆ etre recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.

Rappelons que β(A) = 0 si et seulement si A est compact.

Soient g, h, k : [0, T ] × G → E des fonctions continues o` u T > 0 et G ⊂ E. On suppose que g est dissipative, h β-lipschitzienne, et k compacte.

C’est-` a-dire :

(i) g satisfait ` a une condition lipschitzienne d’un seul cˆ ot´ e : [x − y, g(t, x) − g(t, y)] − ≤ Lkx − yk (0 ≤ t ≤ T ; x, y ∈ G), (ii) pour tout ensemble born´ e A ⊂ G, l’ensemble h([0, T ] × A) est born´ e et v´ erifie

(2) β(h([0, T ] × A)) ≤ M β(A),

o` u L et M sont des constantes,

(iii) pour tout ensemble born´ e A ⊂ G, l’ensemble k([0, T ] × A) est com- pact, ou ´ equivalent, k v´ erifie une condition correspondant ` a (2) avec M = 0.

Mentionnons que (i) et (ii) contiennent la condition lipschitzienne ordi- naire.

Alors, si a est un point int´ erieur de G, le probl` eme de Cauchy (1) admet une solution (de classe C ¹ ) u : [0, τ ] → G (0 < τ ≤ T ) dans les cas suivants :

f = h : Szufla (1968) [4], f = g : Martin (1970) [2], f = g + k : Volkmann (1980) [6], f = g + h : Schmidt (1989) [3].

Le th´ eor` eme d’existence de Schmidt g´ en´ eralise les autres. Il admet vrai- ment plus de fonctions f que celui de Volkmann. En effet, l’exemple suivant montre que la fonction h n’est pas g´ en´ eralement repr´ esentable sous la forme e g +e k (mˆ eme pas localement) o` u e g est dissipative et e k compacte. On pr´ esente l’exemple en version autonome (ind´ ependante de t), mais cela n’est pas une restriction.

3. Exemple. Notons c 0 l’espace de Banach des suites r´ eelles convergeant

vers 0. On obtient une fonction plus simple f 0 : c 0 → c ₀ (d´ ej` a not´ ee dans

[5]) de la fa¸ con annonc´ ee en prenant la fonction (3) ϕ 0 (ξ) := ξ sin 1

ξ (ξ 6= 0), ϕ 0 (0) := 0 dans le

Th´ eor` eme. Soit ϕ : R → R une fonction continue telle que

(4) lim sup

(ξ,η)→(0,0)

ϕ(ξ) − ϕ(η)

ξ − η = +∞

et

|ϕ(ξ)| ≤ M |ξ| (ξ ∈ R), o` u M est une constante. Alors, la formule

(5) f (x) := (ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ), . . .) (x = (x 1 , x 2 , . . .) ∈ c 0 ), d´ efinit une fonction f : c 0 → c ₀ avec les propri´ et´ es suivantes:

(a) f est continue.

(b) Pour tout ensemble born´ e A ⊂ E, l’ensemble f (A) est born´ e et v´ erifie β(f (A)) ≤ M β(A).

(c) Sur aucune boule S(z, r) (z ∈ c 0 , r > 0), la fonction f n’est repr´ esen- table sous la forme

(6) f (x) = g(x) + k(x) (x ∈ S(z, r))

avec des fonctions g, k : S(z, r) → c 0 , o` u g est dissipative, et k compacte.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (a) est ´ evident, car la continuit´ e uniforme de ϕ sur des ensembles born´ es entraˆıne celle de f .

Pour (b) il suffit de d´ emontrer que

(7) β(f (S(z, r))) ≤ M r (z ∈ c 0 , r ≥ 0).

Soient z = (z n ) ∈ c 0 et r ≥ 0 fix´ es. ´ Etant donn´ e ε > 0, on trouve un indice p tel que |z n | ≤ ε pour tout n > p. Muniant R ^p de la norme maximum, on recouvre la boule de centre 0 ∈ R ^p et de rayon K := M (r + kzk) par un nombre fini de boules de rayon M (r + ε) :

S _R

(0, K) ⊂

k

[

i=1

S _R

((y ₁ ⁱ , . . . , y ⁱ _p ), M (r + ε)).

En posant

y ⁱ := (y ⁱ ₁ , . . . , y _p ⁱ , 0, 0, . . .) ∈ c 0 (i = 1, . . . , k), on obtient

f (S(z, r)) ⊂

k

[

i=1

S(y ⁱ , M (r + ε)),

car pour tout x ∈ S(z, r) on a

|ϕ(x _n )| ≤ K (n = 1, . . . , p), et

|ϕ(x _n )| ≤ M (r + ε) (n > p).

Comme ε > 0 ´ etait arbitraire, (7) est d´ emontr´ e.

Supposons maintenant le contraire de (c). Alors il existe une boule S(z, r) (z ∈ c 0 , r > 0) et une repr´ esentation (6) telles que

(8) [x − y, g(x) − g(y)] − ≤ Lkx − yk (x, y ∈ S(z, r))

o` u L est une constante, et telles que k(S(z, r)) est compact. D’apr` es (4), il y a des nombres r´ eels ξ, η v´ erifiant

−r/2 ≤ η < ξ ≤ r/2 et

(9) ϕ(ξ) − ϕ(η) > L(ξ − η).

Comme z = (z n ) ∈ c 0 , il existe un indice p tel que |z m | ≤ r/2 pour m > p.

Fixons ξ, η et p. Dans c 0 on consid` ere les ´ el´ ements z := (z 1 , . . . , z p , 0, 0, . . .) et, pour chaque m > p,

e ^m := (δ _n ^m ) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), x ^m := z + ξe ^m , y ^m := z + ηe ^m , u ^m = (u ^m _n ) := g(x ^m ) − g(y ^m ), v ^m = (v _n ^m ) := k(x ^m ) − k(y ^m ), sachant que x ^m , y ^m ∈ S(z, r). En fixant m > p pour le moment, on a pour

|h| suffisamment petit,

kx ^m − y ^m + hu ^m k = k(ξ − η)e ^m + hu ^m k = ξ − η + hu ^m _m , d’o` u [x <sup>m</sup> − y <sup>m</sup> , u <sup>m</sup> ] <sub>−</sub> = u <sup>m</sup> <sub>m</sub> . D’apr` es (6) et (8) on obtient

ϕ(ξ) − ϕ(η) = u ^m _m + v ^m _m ≤ L(ξ − η) + v ^m _m (m > p).

Enfin, comme k(S(z, r)) est compact, la suite v ^m a une sous-suite conver- gente : v ^m

→ w dans c 0 . En notant w = (w n ) ∈ c 0 , on a

|v _m ^m

i

| ≤ kv ^m

− wk + |w _m

| → 0 (i → ∞), et donc ϕ(ξ) − ϕ(η) ≤ L(ξ − η). Mais cela contredit (9).

4. Remarque. Mentionnons que non seulement le th´ eor` eme d’existence de Schmidt admet les fonctions f du th´ eor` eme ci-dessus, mais aussi celui de Szufla. Mais, en prenant la fonction ϕ 1 : R → R,

ϕ 1 (ξ) := 0 (ξ ≤ 0), ϕ 1 (ξ) := − p

ξ (ξ ≥ 0),

dans (5), on obtient une fonction continue f 1 : c 0 → c ₀ qui n’est pas lo-

calement β-lipschitzienne mais dissipative (avec L = 0). Enfin, prenant

ϕ 2 := ϕ 1 + ϕ 0 avec ϕ 0 de (3), on a la fonction f 2 = f 1 + f 0 . Donc f 2 satisfait

aux conditions du th´ eor` eme de Schmidt. D’autre part, ni le th´ eor` eme de Szufla ni celui de Volkmann (ou Martin) n’admettent cette fonction, car f 2

n’est pas localement β-lipschitzienne et v´ erifie (c). (Voir [5] pour les d´ etails.)

R´ ef´ erences

[1] A. N. G o d u n o v, Peano’s theorem in Banach spaces, Functional Anal. Appl. 9 (1975), 53–55.

[2] R. H. M a r t i n, J r., A global existence theorem for autonomous differential equations in a Banach space, Proc. Amer. Math. Soc. 26 (1970), 307–314.

[3] S. S c h m i d t, Existenzs¨ atze f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen in Banach- r¨ aumen, th` ese, Karlsruhe, 1989; aussi paru dans Funkcial. Ekvac. 35 (1992), 199–222.

[4] S. S z u f l a, Some remarks on ordinary differential equations in Banach spaces, Bull.

Acad. Polon. Sci. S´ er. Sci. Math. Astronom. Phys. 16 (1968), 795–800.

[5] R. U h l, Beitr¨ age zur Theorie der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen in Banach- r¨ aumen, th` ese, Karlsruhe, 1993.

[6] P. V o l k m a n n, Ein Existenzsatz f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen in Banach- r¨ aumen, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 297–300.

MATHEMATISCHES INSTITUT II UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE 76128 KARLSRUHE, ALLEMAGNE

Re¸ cu par la R´ edaction le 11.4.1994