Approximation polynomiale et extension holomorphe avec croissance sur une vari´ et´ e alg´ ebrique

POLONICI MATHEMATICI LXIII.1 (1996)

Approximation polynomiale et extension holomorphe avec croissance sur une vari´ et´ e alg´ ebrique

par A. Zeriahi (Toulouse)

Abstract. We first give a general growth version of the theorem of Bernstein–Walsh–

Siciak concerning the rate of convergence of the best polynomial approximation of holo- morphic functions on a polynomially convex compact subset of an affine algebraic man- ifold. This can be considered as a quantitative version of the well known approximation theorem of Oka–Weil. Then we give two applications of this theorem. The first one is a generalization to several variables of Winiarski’s theorem relating the growth of an en- tire function to the rate of convergence of its best polynomial approximation; the second application concerns the extension with growth of an entire function from an algebraic submanifold to the whole space.

Introduction. Soit K un compact polynomialement convexe de C

. D’apr` es le th´ eor` eme d’Oka–Weil, toute fonction f holomorphe sur un voisi- nage de K peut ˆ etre approch´ ee uniform´ ement sur K par des polynˆ omes.

Le th´ eor` eme de Bernstein–Walsh–Siciak ([Si,2]) est une version quantitative pr´ ecise du th´ eor` eme d’Oka–Weil qui exprime le degr´ e de convergence de la meilleure approximation polynomiale de f sur le compact K ` a l’aide du niveau, par rapport ` a la fonction extr´ emale de Siciak de K, du plus grand domaine sur lequel f est holomorphe, pourvu que K soit r´ egulier.

Nous donnons ici une version g´ en´ erale ` a croissance du th´ eor` eme de Bern- stein–Walsh–Siciak qui g´ en´ eralise notre r´ esultat ant´ erieur dans deux direc- tions. Tout d’abord, le th´ eor` eme d’approximation que nous obtenons (th´ eo- r` eme 3.2) s’applique aux fonctions holomorphes sur une vari´ et´ e alg´ ebrique affine lisse quelconque, ensuite l’approximation polynomiale a lieu sur un compact non pluripolaire quelconque de cette vari´ et´ e.

Nous donnons enfin deux applications du th´ eor` eme obtenu. La premi` ere est une g´ en´ eralisation du th´ eor` eme classique de Winiarski ([Wi,1]) qui relie la rapidit´ e de la meilleure approximation polynomiale d’une fonction enti` ere

1991 Mathematics Subject Classification: 32A15, 32A22, 32D15, 32E30.

Key words and phrases: Green function, L

estimation, approximation, growth, extension.

[35]

sur le compact K ` a son type de croissance sur les domaines de niveau de la fonction extr´ emale de K (th´ eor` eme 4.1).

La deuxi` eme application concerne le prolongement d’une fonction enti` ere d´ efinie sur une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique lisse de C

en une fonction enti` ere sur C

avec un contrˆ ole pr´ ecis du type de croissance (th´ eor` eme 5.1).

1. Estimations L

sur une vari´ et´ e alg´ ebrique affine. Nous al- lons rappeler dans ce paragraphe le th´ eor` eme fondamental d’existence de H¨ ormander–Nakano–Skoda. Nous aurions pu renvoyer ` a Skoda ([Sk]) et De- mailly ([De]) pour les r´ esultats dont nous aurons besoin, mais il nous a sembl´ e commode de les rappeler ici, ne serait ce que pour fixer les notations.

Soit X une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique de C

de dimension pure n muni de la m´ etrique K¨ ahl´ erienne induite par la m´ etrique plate de C

. La forme de K¨ ahler associ´ ee est

β = 1

4 dd

τ = i 2 ∂∂τ,

o` u τ (x) = |x|

sur X, | · | ´ etant la norme hermitienne sur C

.

La courbure de la vari´ et´ e K¨ ahl´ erienne (X, β), appel´ ee courbure de Ricci de la m´ etrique β et not´ ee Ricci(β), peut ˆ etre d´ efinie par

Ricci(β) = −ic(K

),

o` u c(K

) est la (1, 1)-forme de courbure du fibr´ e canonique K

= V

T

X.

Dans un rep` ere local de K

, la forme de courbure s’exprime de la fa¸ con suivante :

Soit (U, z

, . . . , z

) un syst` eme de coordonn´ ees locales de X, de sorte que dz

∧ . . . ∧ dz

soit un rep` ere local de K

au-dessus de U . Alors il existe une fonction h > 0 sur U telle que

i

dz

∧ . . . ∧ dz

∧ dz

∧ . . . ∧ dz

= h

β

,

o` u β

= (1/n!)β

est la forme volume sur X. On a alors c(K

) = ∂∂ log h sur U .

Le th´ eor` eme d’existence s’´ enonce ainsi :

Th´ eor` eme ([Sk]). Soit ϕ ∈ L

(X) telle que la condition suivante soit v´ erifi´ ee :

(1.1)

dd

ϕ + Ricci(β) ≥ λβ

,

o` u λ est une fonction continue et positive sur X. Alors pour toute (0, 1)- forme g ∈ L

(X, loc) v´ erifiant ∂g = 0, il existe u ∈ L

(X) telle que

∂u = g et

(1.2) R

X

|u|

e

β

≤ R

X

λ

|g|

e

β

pourvu que le second membre soit fini.

Pour r´ ealiser la condition de courbure (1.1) il suffit en g´ en´ eral de trouver une fonction ψ p.s.h. sur X telle que

(1.3)

dd

ψ + Ricci(β) ≥ 0.

En posant alors

(1.4) ϕ = ψ + 2 log(1 + τ ),

la condition (1.1) est r´ ealis´ ee avec la fonction

(1.5) λ = (1 + τ )

.

Pour d´ eterminer ψ dans le cas qui nous int´ eresse, rappelons les calculs faits par Demailly ([De]) :

Soit P

, . . . , P

un syst` eme de g´ en´ erateurs de l’id´ eal I(X) de la vari´ et´ e alg´ ebrique X et q = ν − n = codim X. Pour tous les multi-indices crois- sants α = (α

, . . . , α

) avec α

, . . . , α

∈ {1, . . . , m}, β = (β

, . . . , β

) avec β

, . . . , β

∈ {1, . . . , ν}, on pose

J

(x) = det  ∂P

(x)

∂z

 . Soit U

= {x ∈ X : P

β

|J

(x)|

> 0}. Alors un calcul ´ el´ ementaire montre que

Ricci(β) = − 1

2 dd

log  X

β

|J

(x)|



sur U

. Il en r´ esulte facilement que la fonction p.s.h. d´ efinie par

(1.6) ψ(x) = log  X

α,β

|J

(x)|



, x ∈ X, v´ erifie la condition (1.3) puisque X = S

α

U

. Si 1+d

est le degr´ e maximum des polynˆ omes P

, . . . , P

, on en d´ eduit que

(1.7) ψ ≤ d

log(1 + τ ) + c

sur X, o` u c

est une constante absolue.

Puisque X est non singuli` ere, les polynˆ omes P

, . . . , P

, J

n’ont pas de z´ eros communs sur X. Il r´ esulte alors du Nullstellensatz de Hilbert qu’il existe un entier d

≥ 0 et une constante c

tels que

(1.8) ψ ≥ −d

log(1 + τ ) + c

sur X.

Notons que si X = C

, il suffit de prendre ψ ≡ 0 et dans ce cas d

= d

= 0 et le th´ eor` eme pr´ ec´ edent se r´ eduit au th´ eor` eme d’existence de H¨ ormander ([H], thm. 4.4.2).

2. Fonction de Green pluricomplexe sur une vari´ et´ e alg´ ebrique

affine. Rappelons tout d’abord la d´ efinition de la fonction extr´ emale de

Siciak–Zakharyuta ([Si,1], [Si,2], [Za]), que nous appellerons fonction de Green pluricomplexe ` a pˆ ole ` a l’infini.

Si E est un sous-ensemble born´ e de C

, on d´ efinit sa fonction extr´ emale associ´ ee sur C

par la formule

L

(z) := sup{V (z) : V ∈ L(C

), V |E ≤ 0}, z ∈ C

,

o` u L(C

) est la classe des fonctions plurisousharmoniques V sur C

v´ erifiant sup{V (z) − log(1 + |z|) : z ∈ C

} < ∞.

Soit X une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique (non-singuli` ere) de C

de dimension pure n. On posera τ (x) = |x|

pour x ∈ X, o` u | · | est la norme hermitienne sur C

. On d´ esignera par L(X) la classe des fonctions v plurisousharmo- niques sur X v´ erifiant l’estimation

(2.1) v(x) ≤ c

+

log(1 + τ (x)), ∀x ∈ X.

Pour une partie E b X, on pose

(2.2) l

(x) := sup{v(x) : v ∈ L(X), v ≤ 0 sur E}, x ∈ X.

On montre que si E est localement non pluripolaire dans X la r´ egularis´ ee s.c.s. l

est plurisousharmonique sur X et v´ erifie l’´ equation de Monge–

Amp` ere complexe ([Sa], [Ze,2])

(2.3) (dd

l

)

= 0 sur X \ E.

On montre ´ egalement ([Ze,2]) que si E est compact et l

= 0 sur E, alors l

est continue sur X. On dit dans ce cas que E est r´ egulier .

On montre aussi que si K est un compact de X alors L

|X = l

(voir [Sa], [Ze,2]).

Nous aurons ´ egalement besoin de la “version uniforme” suivante du th´ eo- r` eme d’approximation de Bernstein–Walsh.

Rappelons tout d’abord quelques notations :

Soit I = I(X) l’id´ eal polynomial de la vari´ et´ e alg´ ebrique X et A(X) l’alg` ebre des fonctions r´ eguli` eres sur X qui s’identifie ` a C[z

, . . . , z

]/I. Pour chaque entier p ≥ 1, on note A

(X) l’ensemble des fonctions r´ eguli` eres f sur X telle que sup

{(1 + τ (x))

|f (x)|

} < ∞.

Il est clair que si P ∈ A

(X), on a m

log |P | ∈ L(X). De la d´ efinition de l

(voir (2.2)), il r´ esulte l’in´ egalit´ e suivante (dite de Bernstein–Walsh) : (B.W.) |P (x)| ≤ kP k

exp(ml

(x)), ∀P ∈ A

(X), ∀x ∈ X, ∀m ∈ N.

Pour ´ etudier l’approximation polynomiale des fonctions holomorphes sur X, on d´ efinit pour un compact K ⊂ X et f ∈ C(K),

(2.4) ε

(f ; K) := inf{kf − P k

: P ∈ A

(X)}, p ∈ N.

On posera Ω

= Ω(K; r), o` u

(2.5) Ω(K; r) := {x ∈ X : l

(x) < log r}, r > 1.

Th´ eor` eme 2.1 ([Ze,2]). Soit K un compact localement non pluripolaire de X. Alors pour tout r > r

:= sup

exp l

et θ > 1, il existe une constante c(θ, r) > 0 telle que

(2.6) ε

(f ; K) ≤ c(θ, r)r

kf k

rθ

, ∀p ∈ N, ∀f ∈ O(Ω

).

Ici O(E) d´ esignera l’espace des fonctions (resp. germes de fonctions) holomorphes sur E lorsque E est ouvert (resp. compact).

On en d´ eduit ais´ ement le corollaire suivant qui sera utile :

Corollaire 2.2. Soit K un compact localement non pluripolaire de X.

Alors pour tout r

> r

> r

, il existe une constante c(r

, r

) > 0 telle que (2.7) ε

(f ; K) ≤ c(r

, r

)r

ε

(f ; Ω

), ∀p ≥ 1, ∀f ∈ O(Ω

).

3. Une version ` a croissance du th´ eor` eme de Bernstein–Walsh.

Dans toute la suite X sera une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique non singuli` ere de C

, de dimension pure n.

Soit V : X → ]−∞, ∞[ une fonction plurisousharmonique v´ erifiant la condition de croissance suivante :

(3.1) −γ +

log(1 + τ ) ≤ V ≤ γ +

log(1 + τ ), o` u γ > 0 est une constante ne d´ ependant que de V . Posons

D

= D(V ; r) := {x ∈ X : V (x) < log r}, r > 0, (3.2)

r

:= inf{r : D

6= ∅}.

(3.3)

On a alors le th´ eor` eme d’approximation suivant :

Th´ eor` eme 3.1. Soit θ > 1. Alors il existe une constante c(θ) > 0 telle que pour tout r > r

et f ∈ O(D

), il existe une suite (Q

)

de fonctions holomorphes sur X v´ erifiant les deux propri´ et´ es suivantes :

(3.4) R

X

|Q

|

(1 + τ )

β

< ∞, ∀l ∈ N,

(3.5) R

Ds

|f − Q

|

(1 + τ )

β

≤ c(θ)

(s/r)

(1 + r

)

kf k

Drθ

, pour tout l ∈ N et s ∈ ]r

, r] (d

et d

´ etant les entiers intervenant dans les conditions (1.7) et (1.8) respectivement ).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit r > 1, θ > 1 et χ

une fonction telle que χ

∈ L

(X), ∂χ

∈ L

(X, loc) v´ erifiant χ

≡ 1 sur D

et ` a support dans D

, que nous pr´ eciserons plus tard.

Soit f ∈ O(D

). On va chercher une fonction Q

sous la forme

(3.6) Q

= f χ

− u

,

o` u u

∈ L

(X) est ` a d´ eterminer de telle sorte que la fonction Q

soit holomorphe sur X et v´ erifie les conditions voulues. On est donc ramen´ e ` a la r´ esolution de l’´ equation de Cauchy–Riemann suivante :

(3.7) ∂u

= ∂(f χ

) = f ∂χ

sur X, avec un contrˆ ole de la croissance de u

.

Nous allons appliquer le th´ eor` eme de H¨ ormander–Nakano–Skoda (voir §1).

Pour chaque entier l, posons ϕ

:= 2lV + ψ + 2 log(1 + τ ), o` u ψ est la fonction d´ efinie par (1.6) et qui r´ ealise la condition de positivit´ e

dd

ψ + Ricci(β) ≥ 0. Alors ϕ

est p.s.h. sur X et v´ erifie la condition de courbure (1.1) avec λ = (1 + τ )

. Il existe donc une fonction u

∈ L

(X) solution de l’´ equation (3.7) avec l’estimation

(3.8) R

X

|u

|

(1 + τ )

e

β

≤ R

X

|f |

|∂χ

|

e

β

.

Comme χ

est ` a support dans D

b X, le second membre de (3.8) est fini en vertu des hypoth` eses faites sur la fonction χ

. D’autre part, χ

≡ 1 sur D

et V ≥ log r sur X \ D

. Il r´ esulte alors de (3.8) et de la minoration (1.8) sur la fonction ψ que l’on a

(3.9) R

X

|u

|

(1 + τ )

e

β

≤ c(r, θ)

r

(1 + r

)

kf k

Drθ

, o` u c(r, θ) est la constante d´ efinie par la formule suivante :

(3.10) c(r, θ)

:= R

Drθ

|∂χ

|

β

.

Posons Q

= f χ

− u

pour l ∈ N. Alors puisque u

est solution de l’´ equation (3.7), Q

est holomorphe sur X et puisque χ

≡ 1 sur D

, on a u

= f − Q

. Il en r´ esulte d’apr` es (3.9) que si s ≤ r, on a

(3.11) R

X

|f − Q

|

(1 + τ )

e

β

≤ c(r, θ)

r

(1 + r

)

kf k

Drθ

pour tout l ∈ N. Comme V ≤ log s sur D

et que ψ ≤ d

log(1 + τ ) + c

(voir (1.7)), l’estimation (3.11) s’´ ecrit (3.12) R

Ds

|f − Q

|

(1 + τ )

β

≤ c(r, θ)

(s/r)

(1 + r

)

kf k

Drθ

. D’apr` es (3.9) et la majoration sur ψ, on obtient l’in´ egalit´ e (3.4) du th´ eor` eme.

Pour d´ emontrer (3.5), il s’agit de pr´ eciser la fonction χ

et d’en d´ eduire

une majoration convenable de la constante (3.10). Pour ce faire, posons

W = e

et soit χ

une fonction de classe C

sur R telle que χ

≡ 1 sur

[0, 1] et χ

≡ 0 sur [θ, ∞[ . Consid´erons la fonction d´ efinie par (3.13) χ

(x) = χ

(W (x)/r), x ∈ X.

Alors ∂χ

= χ

(W/r)∂W/r sur X. Comme W ≥ 0, W

est p.s.h. sur X et 2dW ∧ d

W ≤ dd

W

au sens des courants sur X. Il en r´ esulte que |∂W |

est localement int´ egrale sur X et v´ erifie

(3.14) R

BR

|∂W |

β

≤ R

BR

dd

W

∧ β

,

o` u B

:= {x ∈ X : τ (x) < R

}, R > 0. Un calcul simple montre que pour tout θ > 1, il existe une constante c

> 0 telle que

(3.15) R

BR

dd

W

∧ β

≤ c

(sup

BRθ

W

)R

R

BR

β

, ∀R > 0.

D’apr` es une in´ egalit´ e classique, X ´ etant alg´ ebrique, on a R

BRθ

β

≤ c

(Rθ)

, o` u c

est une constante ne d´ ependant que de X. Il en r´ esulte compte tenu de (3.1), (3.15) et (3.14) qu’il existe une constante c(θ) > 0 telle que

(3.16) R

BR

|∂W |

β

≤ c(θ)

R

, ∀R > 0.

D’apr` es (3.1) il existe une constante δ > 0 telle que D

⊂ B

. On en d´ eduit compte tenu de (3.16) l’in´ egalit´ e suivante :

(3.17) R

Drθ

|∂W |

β

≤ c(θ)

r

, ∀r > r

.

Il en r´ esulte alors que c(r, θ)

≤ c(θ)

r

; ce qui, compte tenu de (3.12), prouve l’estimation (3.5) du th´ eor` eme.

Nous allons en d´ eduire une version ` a croissance du th´ eor` eme d’approxi- mation de Bernstein–Walsh–Siciak.

Th´ eor` eme 3.2. Soit K un compact localement non pluripolaire de X.

Alors pour tout θ > 1 et r

> r

:= sup

exp l

, il existe une constante c(r

, θ) = c > 0 telle que

(3.18) ε

(f ; K) ≤ c(1 + r)

r

kf k

,

∀r ≥ r

, ∀f ∈ O(Ω

), ∀l ∈ N, o` u d est un entier qui ne d´ epend que de X.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Appliquons le th´ eor` eme 3.1 avec V = l

: on a alors D

= Ω

. Soit θ > 1, % ≥ s > r

> r

et f ∈ O(Ω

). D’apr` es le th´ eor` eme 3.1, on a alors

(3.19) R

Ωs

|f − Q

|

(1 + τ )

β

< c(θ)(s/%)

(1 + %

)

kf k

Ω%θ

,

o` u Q

est une fonction holomorphe v´ erifiant l’estimation (3.4) du th´ eo- r` eme 3.1.

En utilisant une version quantitative du th´ eor` eme des fonctions im- plicites au voisinage de chaque point de X pour se ramener ` a l’in´ egalit´ e de la moyenne sur C

, on peut convertir les estimations L

(3.4) et (3.19) en estimations uniformes sur X (voir [De], lemme 15.7). On en d´ eduit alors qu’il existe un entier N > 0 ne d´ ependant que de d

et une constante c

> 0 tels que

(3.20) |Q

|

≤ c

(1 + τ )

, ∀l ∈ N.

De la mˆ eme fa¸con on montre qu’il existe c

= c(r

, s) > 0 telle que (3.21) kf − Q

k

Ω_r2

≤ c

R

Ωs

|f − Q

|

(1 + τ )

β

.

Il est bien connu que l’estimation (3.20) implique que Q

∈ A(X) (voir [R-W]) et donc Q

∈ A

(X) pour tout l. On en d´ eduit facilement compte tenu de (3.21) qu’il existe une constante c

= c(r

, s, θ) et un entier d ne d´ ependant que de X tels que

(3.22) ε

(f ; Ω

) ≤ c

(s/%)

(1 + %)

kf k

%θ

, ∀l ∈ N.

D’apr` es le corollaire 2.2 il en r´ esulte qu’il existe une constante c

= c(r

, s, θ) telle que

(3.23) ε

(f ; K) ≤ c

 s r

%



(1 + %)

kf k

%θ

, ∀l ∈ N.

En choisissant s = r

θ et r

tel que r

< r

< r

θ et en posant % = rθ dans l’estimation (3.23), on en d´ eduit l’estimation (3.18) du th´ eor` eme avec θ

au lieu de θ. Comme θ > 1 est arbitrairement fix´ e, cela ach` eve la d´ emonstration du th´ eor` eme.

R e m a r q u e. Si X = C

, le th´ eor` eme est valable avec d = 2, car d

= 0 et N = 2.

Le th´ eor` eme 3.1 a une autre cons´ equence concernant l’approximation sur un compact pluripolaire complet de X (voir [Si,3]). Rappelons qu’un ferm´ e Y ⊂ X est dit pluripolaire complet s’il existe u p.s.h. sur X telle que Y = {x ∈ X : u(x) = −∞}.

On peut montrer que la fonction u peut ˆ etre choisie dans la classe L(X) (voir [B-T]).

On a alors le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 3.3. Soit K un compact pluripolaire complet de X. Alors pour

tout f ∈ O(K) on a lim

ε

(f ; K)

= 0, la limite ´ etant uniforme en f

sur toute partie born´ ee de O(K).

D ´ e m o n s t r a t i o n. On peut facilement montrer qu’il existe V ∈ L(X) telle que V

(−∞) = K et V continue sur X − K ([Ze,3]). En tronquant V en dehors d’un voisinage compact de K, on peut supposer que V est ex- haustive sur X et v´ erifie l’estimation (3.1) en dehors d’un compact. Comme le comportement ` a l’infini n’importe pas dans ce th´ eor` eme, la minoration dans (3.1) est inutile.

En reprenant la m´ ethode utilis´ ee dans la d´ emonstration du th´ eor` eme 3.2, on obtient l’estimation suivante :

ε

(f ; K) ≤ c(r, θ)(s/r)

kf k

rθ

, ∀l ∈ N, ∀f ∈ O(D

), pour 0 < s < r et θ > 1, o` u D

:= {x ∈ X : V (x) < log r}.

Soit U un voisinage ouvert de K. On peut alors trouver r > 0 tel que D

b U . L’estimation pr´ec´edente implique alors que lim sup

ε

(f ; K)

≤ s/r uniform´ement pour f appartenant ` a une partie born´ ee de O(U ).

Comme s > 0 est arbitraire, le th´ eor` eme en r´ esulte.

4. Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonc- tions enti` eres. Nous allons appliquer le th´ eor` eme 3.2 pour mettre en

´

evidence le lien pr´ ecis qui existe entre la rapidit´ e de l’approximation poly- nomiale d’une fonction enti` ere et sa croissance.

Soit X une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique lisse de C

, de dimension pure n, K un compact localement non pluripolaire de X et l

sa fonction de Green pluricomplexe d´ efinie au paragraphe 2.

Pour r > r

:= sup

exp l

, posons

(4.1) Ω

:= {x ∈ X : l

(x) < log r}.

Soit f ∈ O(X). On d´ efinit l’ordre de f par la formule

(4.2) %(f ) := lim sup

r→∞

log

log kf k

log r . Cette d´ efinition ne d´ epend pas du compact K.

Si f ∈ O(X) est d’ordre fini % > 0, le nombre

(4.3) σ

(f ) := lim sup

r→∞

log kf k

r

r

d´ epend de K et s’appelle le K-type de f sur X.

Nous allons maintenant utiliser le th´ eor` eme 3.2 pour ´ etablir le r´ esultat suivant qui g´ en´ eralise celui que nous avons obtenu dans [Ze,1].

Th´ eor` eme 4.1. Soit K un compact localement non pluripolaire de X et

% > 0.

1) Si f est une fonction holomorphe sur X d’ordre % et de K-type fini σ, alors

lim sup

l→∞

l

e% ε

(f ; K)

= σ.

2) Inversement , si f est une fonction continue sur K telle que σ

:= lim sup

l→∞

l

e% ε

(f ; K)

< ∞,

alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur X d’ordre % et de K-type fini σ donn´ e par σ = σ

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. 1) Supposons que f soit une fonction enti` ere sur X d’ordre % > 0 et de K-type fini σ. Pour estimer la suite ε

(f ; K), utilisons le th´ eor` eme 3.2. Alors pour tout θ > 1, il existe C

> 0 telle que

(4.4) ε

(f ; K) ≤ c

(1 + r)

r

kf k

rθ

, ∀r > r

, ∀l ∈ N.

Par d´ efinition (voir (4.3)) pour tout σ

> σ, il existe c

> 0 telle que (4.5) (1 + r)

kf k

r

≤ c

e

, ∀r > r

. Il r´ esulte alors de (4.4) et (4.5) que l’on a

(4.6) ε

(f ; K) ≤ c

(θ)r

e

. Par cons´ equent, on en d´ eduit que

(4.7) l

e% ε

(f ; K)

≤ c

(θ)

l

e% r

exp  1 l %σ

r



, ∀r > r

, ∀l ≥ 1.

Pour l fix´ e assez grand, le second membre de (4.7) atteint son minimum pour r v´ erifiant %r

/l = 1/σ

. En reportant cette valeur dans (4.7), nous obtenons l’in´ egalit´ e suivante :

(4.8) l

e% ε

(f ; K)

≤ c

(θ)

σ

, ∀l ≥ l

, o` u l

est un entier assez grand pour que (l

/(%σ

))

> r

.

En passant ` a la limite dans (4.8), on en d´ eduit que σ

≤ σ

, pour tout σ

> σ. D’o` u σ

≤ σ.

2) Supposons maintenant que f est une fonction continue sur K et que σ

< ∞. Nous allons montrer que f se prolonge en une fonction enti` ere sur X d’ordre % et de K-type σ ≤ σ

. En effet, soit β > σ

; il existe alors un entier l

> 1 tel que

(4.9) ε

(f ; K) ≤ (βe%l

)

, ∀l ≥ l

.

On sait qu’il existe P

∈ A

(X) tel que ε

(f ; K) = kf − P

k

pour

chaque l. Il en r´ esulte d’apr` es (4.9) que (P

) converge uniform´ ement vers f

sur K. Autrement dit,

f = P

+

∞

X

l=l0

(P

− P

) sur K.

D’apr` es l’in´ egalit´ e de Bernstein–Walsh sur X (voir §2), on a (4.10) kP

− P

k

r

≤ kP

− P

k

r

, ∀r > r

, ∀l ≥ 1.

Comme kP

−P

k

≤ kf −P

k

+kf −P

k

≤ 2ε

(f ; K), il en r´ esulte compte tenu de (4.9) et (4.10) que l’on a

(4.11) kP

− P

k

r

≤ 2r(βe%r

l

)

, ∀r > r

, ∀l ≥ r

. L’in´ egalit´ e (4.11) implique que la s´ erie P

+ P

l≥l0

(P

− P

) converge uniform´ ement sur tout compact de X vers une fonction holomorphe sur X qui co¨ıncide avec f sur K. Nous noterons encore f ce plongement : f = P

+ P

l=l0

(P

− P

) sur X. Il r´ esulte alors de (4.11) que l’on a (4.12) kf k

r

≤ kP

k

r

+ 2r

∞

X

l=1

(β%er

l

)

, ∀r > r

.

Pour r fix´ e > r

, le maximum du terme g´ en´ eral de la s´ erie du second membre de (4.12) est atteint pour l = β%r

et vaut e

. Posons l

= [2

e%βr

] et d´ ecoupons la somme de la s´ erie en deux termes :

S =

l2

X

l=1

C

+

∞

X

l=l2+1

C

, o` u C

= (βe%r

l

)

. D’apr` es le choix de l

, on a

l2

X

l=1

C

≤ l

e

et

∞

X

l=l2+1

C

≤

∞

X

l=1

1 2

< 1.

Il en r´ esulte compte tenu de (4.12) que l’on a (4.13) kf k

r

≤ Cr

+ (2r)

e%βe

+ 2r, ∀r > r

.

On en d´ eduit facilement que f est d’ordre % et de type σ ≤ β pour tout β >

σ

et donc σ ≤ σ

. Compte tenu de la premi` ere partie de la d´ emonstration, on en d´ eduit que σ = σ

.

R e m a r q u e. Ce r´ esultat g´ en´ eralise le th´ eor` eme que nous avons obtenu dans [Ze,1]. Lorsque X = C, on obtient un th´eor`eme dˆ u ` a Winiarski ([Wi,1]) et lorsque K est un produit de compacts de C, on obtient un r´esultat de Nguyen T. V. ([Ng]).

5. Extension holomorphe avec contrˆ ole de la croissance. Soit X

une sous-vari´ et´ e alg´ ebrique (non singuli` ere) de C

de dimension pure n. Il

est bien connu que toute fonction holomorphe sur X se prolonge en une fonction enti` ere sur C

.

Bj¨ ork a montr´ e qu’il existe un entier b = b(X) tel que toute fonction f holomorphe sur X et v´ erifiant |f (x)| ≤ c(1 + |x|)

pour tout x ∈ X se prolonge en un polynˆ ome sur C

de degr´ e ≤ l + b ([Bj]; voir [No] pour une d´ emonstration plus ´ el´ ementaire).

Djakov et Mityagin ont construit un op´ erateur lin´ eaire continu naturel d’extension de O(X) dans O(C

) qui pr´ eserve certains types de croissance ([D-M]).

Il existe dans la litt´ erature de nombreux r´ esultats concernant le probl` eme d’extension avec contrˆ ole de la croissance et il est difficile de citer tous les r´ esultats connus. Nous renvoyons ` a [R,2] pour une bibliographie plus compl` ete.

Ici nous nous int´ eressons ` a l’extension des fonctions holomorphes avec un contrˆ ole quantitatif pr´ ecis du type de croissance. Nous allons donner une g´ en´ eralisation du th´ eor` eme de Bj¨ ork au cas des fonctions enti` eres (voir th´ eor` eme 5.1).

Soit U

le polydisque de C

d´ efini par U

= {z ∈ C

: |z| = sup

1≤i≤ν

|z

| < r}, r > 0.

Soit F ∈ O(C

) et %(r) un ordre pr´ ecis´ e pour l’ordre % > 0 ([L-G]). On d´ efinit le type de F pour l’ordre pr´ ecis´ e %(r) par la formule suivante : (5.1) σ(F ) = σ(F ; %) = lim

r→∞

log kF k

r

r

.

De la mˆ eme fa¸ con, si f ∈ O(X) on d´ efinit le type de f sur X pour l’ordre pr´ ecis´ e %(r) par la formule

(5.2) σ(f ) = lim

r→∞

log kf k

r

r

.

Th´ eor` eme 5.1. Il existe un op´ erateur lin´ eaire continu d’extension E : O(X) → O(C

) v´ erifiant les estimations suivantes :

∃R > 0, ∀θ > 1, ∃C

> 0 tels que (5.3) kE(f )k

r

≤ C

(1 + r)

kf k

rθ

, ∀f ∈ O(X), ∀r ≥ R, o` u d est un entier ne d´ ependant que de X.

Corollaire 5.2. Soit %(r) un ordre pr´ ecis´ e associ´ e ` a l’ordre %. Alors pour tout f ∈ O(X) de type σ pour l’ordre pr´ ecis´ e %(r), le prolongement E(f ) est une fonction enti` ere sur C

de type σ pour le mˆ eme ordre pr´ ecis´ e

%(r).

Avant de proc´ eder ` a la d´ emonstration de ces r´ esultats, rappelons la con-

struction de Djakov et Mityagin de l’op´ erateur d’extension E.

Notons ≤ l’ordre d´ efini sur N

de la fa¸con suivante : α ≤ β si et seulement si |α| < |β| ou bien |α| = |β| et il existe k, 1 ≤ k ≤ ν, tel que α

< β

et α

= β

pour j = 1, . . . , k − 1 (si k > 2).

Suivant Djakov et Mityagin ([D-M]) posons

S = {α ∈ N

: z

6∈ [z

; β ≤ α] + I},

o` u I = I(X) est l’id´ eal polynomial de X et [z

; β ≤ α] est le sous-espace vectoriel de C[z

, . . . , z

] engendr´ e par z

, β ≤ α. On d´ efinit alors les espaces de Fr´ echet suivants :

O

(C

) :=

n

f ∈ O(C

) : f = X

α∈N^ν

c

z

, c

= 0 ∀α 6∈ S o

, (5.4)

O

(U

) := n

f ∈ O(U

) : f = X

α∈N^ν

c

z

, c

= 0 ∀α 6∈ S o . (5.5)

D’apr` es Djakov et Mityagin ([D-M]) l’op´ erateur de restriction (5.6) O

(C

) → O(X), F 7→ f = F |X,

est un isomorphisme d’espaces de Fr´ echet dont l’isomorphisme inverse d´ efini par

(5.7) E : O(X) → O

(C

) ⊂ O(C

), f 7→ e f ,

est un op´ erateur lin´ eaire continu d’extension “naturel” associ´ e ` a l’ordre ≤ choisi sur N

. C’est cet op´ erateur qui intervient dans le th´ eor` eme 5.1.

On peut expliciter cet op´ erateur : d’apr` es ce qui pr´ ec` ede, si on note e

(x) = x

pour x ∈ X, α ∈ S, alors tout f ∈ O(X) s’´ ecrit de fa¸ con unique

(5.7.1) f = X

α∈S

a

e

dans O(X).

Le prolongement naturel e f = E(f ) s’´ ecrit alors

(5.7.2) f = e X

α∈S

a

z

dans O(C

).

De plus, si R > 0 est assez grand pour que U

rencontre chaque com- posante irr´ eductible de X, l’isomorphisme (5.6) induit les isomorphismes suivants :

(5.8) O

(U

) → O(X ∩ U

), r ≥ R.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u t h ´ e o r ` e m e 5.1. Posons K = X ∩ U

. Il est clair, d’apr` es le choix de R, que K est localement non pluripolaire dans X.

On peut donc appliquer le th´ eor` eme 3.2.

Fixons δ > 1; il existe alors une constante C

> 0 telle que (5.9) ε

(f ; K) ≤ C

(1 + r)

r

kf k

rδ

, ∀l ∈ N, ∀r > r

,

o` u Ω

= Ω(K; rδ).

Fixons f ∈ O(X). On sait (voir [Ze,2]) qu’il existe pour chaque l ∈ N un

“polynˆ ome” Q

∈ A

(X) tel que ε

(f ; K) = kf − Q

k

. D’apr` es Dyakov et Mityagin ([D-M]) (voir aussi [Bj] et [No]), il existe un entier b = b(X) ≥ 0 tel que pour tout Q ∈ A

(X), le prolongement e Q soit un polynˆ ome de degr´ e

≤ l + b. Posons H

= Q

et H

:= Q

− Q

pour l ≥ 1. On a alors kH

k

≤ 2kf k

et kH

k

≤ 2ε

(f ; K), ∀l ∈ N

. Il en r´ esulte alors, compte tenu de (5.9), que l’on a

(5.10) kH

k

≤ 2C

(1 + r)

r

kf k

rδ

, ∀r > 1, ∀l ≥ 0.

D’apr` es la continuit´ e de l’isomorphisme (5.8), pour tout η ∈ ]0, 1[, il existe une constante C

= C

(η) > 0 telle que

(5.11) k e H

k

ηR

≤ C

kH

k

R

, ∀l ≥ 0.

D’apr` es (5.10) et (5.11) et le fait que K = X ∩U

, il existe une constante C

= C

(η, δ) > 0 telle que

(5.12) k e H

k

ηR

≤ C

(1 + r)

r

kf k

rδ

, ∀l ≥ 0, ∀r ≥ r

.

L’in´ egalit´ e de Bernstein–Walsh pour les polynˆ omes sur C

implique ` a partir de (5.12) l’estimation suivante :

(5.13) k e H

k

sR

≤ C

(1 + r)

 s ηr



kf k

rδ

,

∀l ≥ 0, ∀r ≥ r

, ∀s > 1.

Soit θ > 1; on choisit δ = √

θ, r = s √

θ, avec s > r

et η < 1 tel que η √

θ > 1. On a alors (5.14)

∞

X

l=0

k e H

k

sR

≤ C

(1 + s)

kf k

sθ

, ∀s > 1, o` u C

= C

(θ) est ind´ ependante de s et f . La s´ erie P

l=0

H e

converge donc vers une fonction enti` ere g sur C

telle que g = f sur K. Comme K est lo- calement non pluripolaire dans X, on en d´ eduit que g = f sur X. Autrement dit, g = e f est le prolongement de f d´ efini par l’op´ erateur (5.7), et la formule (5.14) implique

(5.15) k e f k

≤ C

(1 + s)

kf k

sθ

, ∀s > r

.

Comme K = X ∩ U

⊂ U

, les fonctions de Green associ´ ees dans C

v´ erifient les in´ egalit´ es L

R

≤ L

sur C

. On sait de plus que L

|X = l

et

donc Ω

⊂ X ∩ U

pour tout r > 1, ce qui d’apr` es (5.15) prouve l’in´ egalit´ e

(5.3) du th´ eor` eme.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u c o r o l l a i r e 5.2. Si f ∈ O(X) est de type σ pour l’ordre pr´ ecis´ e %(r), on a

σ = lim sup

r→∞

log kf k

r

r

.

D’apr` es le th´ eor` eme 4.1, si F = e f est l’extension de f par l’op´ erateur E, on a

lim sup

r→∞

log kF k

r

r

≤ lim sup

r→∞

log kf k

rθ

r

, ∀θ > 1.

Comme lim

(θr)

/r

= θ

(voir [L-G]), on obtient σ(F ) ≤ θ

σ, ∀θ > 1.

D’o` u σ(F ) ≤ σ. Comme ´ evidemment σ(f ) ≤ σ(F ), on obtient σ(F ) = σ = σ(f ).

R e m a r q u e s. 1) Des r´ esultats du type pr´ ec´ edent ont ´ et´ e obtenus par Ronkin dans le cas des hypersurfaces alg´ ebriques de C

([R,1]).

2) Soit Y un cˆ one alg´ ebrique de C

. Alors il est facile de prouver que si K est un compact disqu´ e de Y , on a

ε

(f ; K) ≤ r

r − 1 · kf k

r

r

, ∀f ∈ O(Y ), ∀l ∈ N, ∀r > 1.

On en d´ eduit ais´ ement que le prolongement naturel e f de f ` a C

v´ erifie l’estimation

k e f k

r

≤ C(θ) r

r − 1 k e f k

, ∀r > 1.

Il est naturel de conjecturer que les estimations des th´ eor` emes 3.2 et 5.1 restent valables pour toute vari´ et´ e alg´ ebrique avec ou sans singularit´ es.

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LABORATOIRE D’ANALYSE UNIVERSIT ´E PAUL SABATIER 118, ROUTE DE NARBONNE 31062 TOULOUSE CEDEX, FRANCE

Re¸ cu par la R´ edaction le 7.6.1994