n (t -( J.~(X ~;. :,-;~( ,,, ) ) + l'o ( x,., m)+ o(~>)))+ o( T /2") y·~ .. (n)-k,(iif~ ,- l -

ROMAN RÓŻAŃSKI (Wrocław)

Własności efektywnych planów sekwencyjnych dla procesu urodzin i ^śmierci

(Praca ^przyjęta do druku 18.10.1978)

Problem opisu efektywnych planów sekwencyjnych dla procesu Poissona, Wie- nera, ujemno-dwumianowego został rozwiązany przez S. ^Trybulę w pracy [6].

W artykule [3] Do Sun Bai opisał efektywne plany sekwencyjne dla łańcucha Mar- kowa o skończonej ilości stanów. Następnie, S. Trybula w pracy [7] ^podał charak-

teryzację efektywnych planów sekwencyjnych dla procesu Markowa o skończonej ilości stanów. W niniejszej pracy udowodniono ^własności efektywnych planów sekwencyjnych dla procesu urodzin i ^śmierci o przeliczalnej ^ilości stanów. Porlano

przykłady takich planów.

I. Absolutna ^ciągłość miar generowanych przez proces urodzin i ^śmierci. Przez ()oznaczmy wektor{)., p), gdzie .i. > O, p > O. Niech (Q, !F, P₀₎ będzie przestrzenią probabilistyczną a Xr(w) procesem urodzin i ^śmierci, który spełnia następujące

warunki:

(l) Po({w: X,+.:~,(w) = i+l}IXr(w) =i)= ;.aiL1t+o(Lłt) >O, (2) Po({w: Xt+.ót(w) = i-l}IXr(w) =i)= pbiL1t+o(L1t) >O, (3) . P0({w: Xr+At(w) = i±k}l X,(w) =i)= o(L1t) l1 > 0, k ~ 2, (4) P0({w: ^X,+.:~1^{(w) = i}l X,(w)} =i)= (ł-(J.ai+pb1)L1t+o(Lłt)) >O, ( 5) P o ( {w : Xr + "' (w) < o} ¹ x, ( ^cv) = o) = o,

(6) P0({w: X0(w) =n})= l,

gdzie ai > O, ). > O, ft > O Vi ~ O, b0 = O, b1 > O dla i~ l.

W przypadku gdy a0 = O ^zakładamy dodatkowo, ^że

P0({w: ^{Xr+ ..} 1,(w) > 0}1 X,(w) =O)= O dla ^każdego O.

(7) Ponadto zakładamy, że prawie wszystkie realizacje tego procesu ^mają tylko skończoną liczbę skoków w przedziale [0, t], dla ^każdego t >O.

Niech 00 będzie ustaloną wartością parametru O. Wprowadźmy dalej następujące

oznaczenia:

ha,o(Xk+U x,J = Pe({w: xtk+:(w) = xk+t}l.\"tt(ro) = xk),

Po(Xo, Xt' ... 'x,.) ~ Po( {ro: x,o(w) = ^Xo, Xt/oJ) =X l ' ••• ' Xt"(w) = x,J) =

n-l n-l

=

n

I1

k=O k=O

gdzie (} = t0 < t1 < t2 < ... < ¹11 = T; T> O, a x0 , Xv ... , x" są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Na mocy założeń (1)-(6) miara P8 jest równoważna mierze P₀₀ na a-aJgebrze generowanej przez zmienne losowe ~o, Xr ₁^{, ••• ,} Xr" oraz

dPo (ro) = _g~(X,0(w),XtJw), ... ,_~/w))_

dPo₀ Pe₀(.Yr0(w), Xt1(w), ... , X1"(w)) Niech tk = .~T, k =O, l, ... , 2".

W dalszym ciągu pokażemy, że z prawdopodobieństwem l istnieje lim _ p~J~r~?_>), _{Xt_}1(w), ... , Xt"(w) )___:__

n---"'00 Pe₀(X,₀(w),X,₁(w), ... ,X,"(w)) ·

Prawie wszystkie realizacje procesu xt mają skończoną liczbę skoków na odcinku [0, T]. Dla danej realizacji XtCw) oznaczmy ^ją przez v((J)), a chwile tych skoków oznaczmy przez _'l'1 (w), 'l'2(ro), ... , 'l'"{ w). Niech ki( n), i = l, 2, ... , v(w), będzie taką nieujemną liczbą całkowitą, dla której:

ki(n)T· 2-n < 'l';( ^w)~ (ki(n)+ l )T· 2-~'~.

Połóżmy także k0(n) =O; k,.<w>+1(n) = 2"-1, 't'o(w) =O, 'l'"<w>+t = T. Otrzymamy wówczas

lim p9(X,0(w), X,1(w), ... , Xt"(w))

n-.oo Pe₀ (Xt₀(w), X,₁(w}, ... , x,:(w)) =

= lim

~

n-l 0 ^hk,a(Xtt+1(w); X,"((l)))

k=O · .

n-l 0 ^h~c.o0(Xtt+ (w);X,t(w))

k=O

=

(8)

= li m

[n .

n-+oo k= 1 ( ..1.0(Xr~c<w>-o(w))T/2"+o(T/2") )o(X'~"~c(ro)+o(w); Xr,.<w>-o(w)+ l)+

(1L (Xr₄(ro)-o(w))T/2"+o(T/2"))ó (Xrt<w>+o(w); XrL(w)-o(w) -l)+ o(T/2"))

- - - - -- -· --- --··- - --- -- -·-·---·-·-·-·--- --- --- --- · --··-- ----X

+ (1Lo (XTt<ro>-o(w) )T/2" +a(T/2"))o ( XTL<w>+o( w); XT~.<ro>-o(m) -1 )+o(T/2") v(w) ( (1-(J.(Xr,(w)+O(w)) +p(XT,(w)+O((!))))+o(T/2")r¹⁺¹(n)-k<(n)-l

)l_

X

n ^{(t -(}

,,, ) ) +

^x,.,

T

..

= ^{rrv(w) (} e -(A(XTj(w)+O(w))+I'(XTi(w)+O(w))(ri + t<w)-T,(w)) ) X \' -~)N(T(w)) (-/L ^{)Z(T,w) =}

-(J"O(X'~". (w)+f'o(XT· (w))("~" H J(w)-T;(w)) A ^tL

i=O \ e ^{i(w)+o 1{w)+o O rO}

Tj(w) jest czasem przebywania procesu Xr(w) w stanie j na odcinku [0, T].

N(T, w)-^ilość skoków w prawo procesu X,(c·>) w przedziale [0, T].

Z(T, w)-ilość skoków w lewo procesu Xr(w) w przedziaJe [0, T].

Po~azaliśmy więc, że z pra\vdopodobieństwem l lim Pa(Xr/w); Xr1(w); ... ;Xr"(('>))

n~oo Po₀ (Xr0(w); Xr1 (w); ... ;Xr"(w))

e

Prawie wszystkie realizacje rozpatrywanego przez nas prccesu urodzin i ^śmierci X,(w), t E [0, T], są funkcjami prawostronnie ^ciągłymi, o skokach jednostkowych.

Zbiór tych funkcji oznaczmy przez D1 • Proces Xt(w) generuje miarę /Lo.r określoną

na najmniejszym a-ciele podzbiorów zbioru D₁ zawierającym zbiory cylindryczne, [4]. Oznaczmy to ^a-ciało przez !F T. Niech .?F,. będzie najmniejszym a-ciałem, wzglę-

dem którego funkcje x({,.T): D1 -> R są mierzalne; k =O, l, 2, ... , 2". Niech J.ln,o,r będzie obcięciem miary /Lo.r na !F,.. Na mocy ^założeń (1)-(6) miara ft,.,o,r jest

równoważna mierze fln.oo,T· Z twierdzenia 14.1 z [2] wynika, ^że

U w a g a. dflo. r/dp..fJ₀^, T oznacza tu ^część absolutnie ciągłą miary p_{8 T} względem 1'8o,1' •

W dalszym ^ciągu W) korzystamy następujący lemat:

LEMAT l. Niech a, {1 ^będą dwiema miarami. WóH·czas rniara rx jest absolutnie ^ciągła względem miary {1 ·wtedy i tylko H'tedy, gdy część absolutnie ^ciągła miary {1 ^względem miary a jest funkcją dodatnią a-prawie wszędzie.

Z wzoru (8), twierdzenia 14.1 z [2] i Jematu l otrzymujemy twierdzenie:

TWIERDZENIE l. Niech X5 , s E [0, t], będzie procesem urodzin i śmierci, spełnia­

jącym założenia (1)-(7). Wówczas miara flo.o generou:ana przez ten proces, jest absolutnie ciągła względem miary flo₀,1 i ^gęstość dp.0,1/dp_{00 ,1} wyraża się wzorem:

-L;< a i)· +ba1)T1

_!!Po.t _ =

(-!:--)N(

(_f

dp.₀₀^,₁ ^1.₀ !lo -L;<atlo+bt/lo)Tt- =

e i

= C(N(t), Z(t), P₁(t); P₂(t))J .. N<t>p,Z<t>e-().Pl<tHf.lPl<t>>,

gdzie N( t) jest ^liczbą skoków w prawo realizacji procesu, obseffi·owanyclz w przedziale [0, t], Z(t) -liczba skokóH.' w lewo realizacji procesu, obserwOl,ranych w prze- dziale [0, t],

P1(t)

=L

=L

T;(t)- czas przebywania procesu lV stanie i na odcinku [O, t].

II. Absolutna ciągłość miar generowanych przez czas zatrzymania i statystykę dostateczną. Niech D będzie przestrzenią funkcji rzeczywistych, prawostronnie

ciągłych,

:ff-najmniejsze ^a-ciało podzbiorów zbioru D, względem którego funkcje x(t):

D~ R, t E [0, oo), ^są funkcjami mierzalnymi,

Jf_{1 -} najmniejsze ^a-ciało podzbiorów zbioru D, względem: którego funkcje x(s): ^D~ R, s E [0, t], ^są funkcjami mierzalnymi,

p,8 - miara probabi l i styczna na (D,.#'"), () E A c Rs,

P,o,t-obcięcie miary p₀ do a-ciała .1f_1,

r-czaszatrzymania,tzn: r: ^D~[O,oo]; {w: r(w)~t}E~1^, p0({w: O~ r(w) < oo}) = l VO E A.

Załóżmy, że miara Po.t jest absolutnie ciągła względem miary p_{00 , 1} i gęstość wyraża się wzorem:

-t_fo,t

0,t

gdzie g jest funkcją ciągłą, a St jest odwzorowaniem z D w R1, Jft-mierzalnym~

prawostronnie ciągłym względem t-p₀ prawie ·wszędzie, V() E A .

Przez U oznaczmy [0, oo) xR^{5 3ll} = (t(u),y(u)); t(u) E [0, oo), y(u) ER'.

Niech fAu będzie a-ciałem podzbiorów borelowskich zbioru U. Na (U, f!tłu) możemy określić miarę m₀ w następujący sposób:

m0(B) = ,uo({x( · ); (-r(x( · )); ST(x<·>>(x( ·)))E B}).

Przy powyższych założeniach możemy sformułować następującą modyfikację lematu Sudakowa udowodnioną w pracy [5].

LEMAT 2. A-tiara m0 jest absolutrtie ciąg/a względem miary m₀₀ oraz dnz0

-d-(u) = g(u, O, 00 ) = g(t(u),y(u), O, 00 ).

mo o

Rozpatrzmy teraz proces urodzin i ^śmierci Xt(w), t ^E [0, oo) spełniający założenia

(l )-(7). W tym przypadku

S,= (N(t), Z(t), P1(t), P2(t)), S-r = (N(1:), Z(r), P1(r), P2(r)).

U ^E u = (n(u), z(u), P1(u), P2(u)).

Z twierdzenia l i lematu 2 wynika następujący lemat:

LEMAT 3. Niech Xt(w), t ^E [0, oo) ^będzie procesem urodzin i śmierci, spełniającym założenia (1)-(7). JVówczas miara m0 jest absolutnie ciągła względem miary m00 oraz (9)

Ill. Nierówność Cramera-Rao oraz ^własności efektywnych planów sekwencyjnych dla procesu urodzin i ^śmierci. Niech

a ^n(u)

af lng(u, O, 00 ) = -).-^-P1(u), -t--Ing(u, O, 0_{0 )} = z(u) -Pz(u).

up, fl

Niech p(u, O) będzie funkcją .ału-mierzalną oraz ^m0-całkowalną VO E A, speł­

niającą następujący wanmek:

(lO) V6 ~ rp(u, O)g(u, O, 00)dm₀₀(u) = VoE₀p(7:, S." O) = u

gdzie V,(-) =

{:.1. (. ),

= ~ V6cp(u, O)g(u, O, 00)dmo₀(u), u

Po wykorzystaniu wzoru (9) otrzymujemy ^równość:

(li) E, [ N~o) ^{-P, (} ~)] q.>(-r, S., 8) = :A E0<p(-r, S., 8) -E,[

:J.

oraz

Biorąc q:;( r, Sr. O) = l, otrzymujemy I tożsamość \Valda

E,[-~it)_ ^-P1(r)] =O,

E,[ -

;,r)_

(13)

Podstawiając rp(r, Sn O)= N(r)ji.-P₁(r) otrzymainy:

(14) _Ea [ --;:--P^{N(r) 1(-r)} -12 = ;_2 ^l EoN(r) ^, oraz

(16) Eo [ --- --PZ(r) _!-l 2(r) ]² = - . .;-l EoZ(-r).

p- Podstawiając rp(r, Sr,(J) = N(r) otrzymamy:

(17) E,[-="i>')_P,(r)]N(r) =

:J.

(18) E₀[--Z(-,;l_pP 2(r)]N(r) - = _!_Eop 8"Nlr).

Stąd '''ynika (19)

(20)

Po podstawieniu tp(r, Sn O) = Z(r) otrzymamy:

(21) _E0 [ _{-.- -P}.tV( r) _{1(r) Z(T)} ] _{= ~;;- E}c . . _0Z(r),

l. _Ol.

(22) _{E0 -[} ^Z(r) _{· --P2('r)} ^] _{Z(r) = -... -E}c _0Z(r).

!l cp

Z wzorów (14), (19) mamy (23)

(24)

Analogicznie otrzymujemy:

(25) _E a

0Z 2( -r) = f'2 E0Pi( -r)-EoZ( -r) +2ft a p, ^{EoZ( -r),}

(26) DłZ(-r) = !-'²DłP2(-r) -EoZ(-r)+2f' ap, a ^EoZ(-r).

Na mocy wzorów (14)-(16) oraz twierdzenia 5 z [1], otrzymujemy następujące

twierdzenie:

TwiER.DZENlE 2. Niech -r będzie czasem zatrzymania, takim że dla

zachodzi wzór (lO).

Niech f: ^{U--+- R będzie} odwzorowaniem f11u-mierzalnym, spełniającym następujące

warunki:

(27) ~ f(u)g(u, (), ()o)dmo₀(u) = EJ(-r, S-n())= h(()), u

gdzie h: A --+- R jest funkcją różniczkowalną;

(28) ~ / ²(u)g(u, (), ()o)dmo₀(u) = Eo/2( -r, S,:) < ^oo,

u

(29) VoEJ('r:, S7:) = V0 ~f(u)g(u, (), ()o)dmo₀(u) =

u

= ~ f(u)Vo(g(u, (), eo))dmoo(u) V() E A.

Wówczas otrzymujemy u

(30) Dlf(.:,

S.)~

E~.:) (:p

Otrzymana nierówność (30) przechodzi w równość, przy ustalonej wartości () E A, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała c(()), dla której:

(31) /(p) = c( O) [ {:;, h(O)) E;(.:) :A Ing( u, O, 0⁰)+

mtJ_{0 -} prawie wszędzie.

DEFINICJA l. Planem sekwencyjnym nazywamy ^parę ( -r, f( -r, ST)), gdzie f: ^{U --+- R}

spełnia założenia twierdzenia 2.

W dalszym ^ciągu odwzorowanie f będziemy określać jako estymator funkcji h(()).

DEFINICJA 2. M<)wimy, że plan sekwencyjny (T ,/(T, ^S~) )jest efektywny w punkcie O, jeśli nierówność (30) przechodzi w ^równość, dla tej wartości O. W tym przypadkuf jest efektywnym estymatorem w punkcie O, a funkcja h(O) jest efektywnie estymowalna w tym punkcie.

DEFINICJA 3. Plan sekwencyjny (T, f( T, Sr:)) nazywamy efektywnym, ^jeżeli jest on efektywny dla każdej wartości O E A . Estymator f nazywamy wtedy efektywnym, a funkcję h(O) efektywnie estymowalną.

Niech plan (T, ^f( T, S T:)) ^będzie planem efektywnym dla funkcji h( O). Jest on

więc efektywny w dwóch ^różnych punktach 0_{1 ,} 02 • Na mocy (31) możemy napisać:

~o - prawie wszędzie. Po odjęciu stronami otrzymamy:

+ [ ^c(02)A.ih~(02) E₆₂N(T)

+[

Otrzymujemy więc następujące twierdzenie:

TwiERDZENIE 3. Jeżeli plan (T ,f( T, S~)) jest planem efektywnym dla O E A, to istnieją stale a, {J, y, ^~' e, dla których

rtn(u)+{Jz(u)+yP2(u)+ óP2(u)+ e= O, m_{60 -} prawie ^wszędzie, rt2+y2 :F o, fJ2+ ^ó2 :F o.

Niech/będzie estymatorem efektywnym w punkcie 0_{1 •} Na mocy (31) ^możemy

napisać:

f(u) = c(ll^{1) [}

1.~~~~ (ni:)

~:~~~~~ (z,.~)

h(ll) = E8f(-t, S,)= (c(ll¹⁾

~~~~~

+ (c(ll1)

;;~~~~~ (!'-,.,))

A więc, jeżeli funkcja h( O) jest efektywnie estymowalna w punkcie 01 , to istnieją stałe a 1 , {3 v dla których

(32) h(O) = a.1().-A.1)E⁶P_1(T)+{31(p-p,1)E₉P2(T)+h(01).

Niech funkcja h(O) będzie efektywnie estymowalna w trzech różnych punktach 01, 02,03:

h( O) = a.1(A.-A.t)E8P1(T) + f3t(!-'- P,t)E8P2{7:) + h(Ot)·

h( O) = rx2(). -A.2)EoP1 ( 7:)+{32(1-' -!-'2)EoP2( 1:) +h(02), h(O) = a.3(A.-A.3)EoP1 (T)+ {33(1-'- ft3)EoP z( 1:) + h(03).

Stąd otrzymujemy, że jeżeli funkcja h(O), O ^E A, jest funkcją efektywnie estymowalną,

to istnieją stałe: k_{1 ,} k2 , k3 , k_{4 ,} h, 12 , / 3 , /4 , dla których:

h(O) = k1 J.#+k2A.+k3ft+k4 . /1 A.p + ^12). +/3ft+ /4

PRzYKŁADY. Przyjmijmy b0 = O, ai > O. Oznaczmy:

Tr₀(x(·)) = inf{t: LaiTi(t) =to}, EoP1(-r,0 ) = t0 , i

D2P1(Tto) =O, EoN(Tr₀₎ = A.to, DtN(Tt_{0 )} =).to.

Niech h(O) = h(A., p)= h(A.). Niechestymator /(7:,₀^, S-r,0^)będzie efekty\\ny dla tego planu. Wówczas jest on efektywny w punkcie 01 , a więc

A.ihl(01) ( N( Tro) )

/(T,o, Sr,o) = c(01) Eo1N(T,o) At -to +lz().1).

Otrzymaliśmy więc, że jeżeli estymator f( Tto' sr,) jest efektywny, to:

/(Tr_{0 ,} S-r,_{0 )} = c1N('tr₀)+c2

Funkcją efektywnie estymowalną dla tego planu ^będzie funkcja h().)= C1Ato+cz.

W szczególności estymator f( 7:,₀, S-rt) = N( -,:,)ft0 jest efektywnym estymatorem dla funkcji h(1) = 1.

Oznaczmy przez 'fx₀ czas zatrzymania, jak następuje:

T x₀ ⁽ x( · ) ) = inf {t: N (t, x( · ) ) = x0} ,

h(O) = h(J., p,) = h(1), EoN('fx0 ) = ^Xo,

Z wzorów (13), (24) otrzymujemy, ^że

Eo

(L

x))

; i

Niech estymator f(-,:xo' s'J::J'O) ^będzie efektywny dla funkcji h(J.). Wówczas jest on efektywny w punkcie O 1

1(-r "., x0) = c(01)hi( 11) ;: { ~:

-L

A więc, jeżeli estymator f( ^{T xo,} x0 ) jest efektywny, to istnieją stałe c1 , c2 , dla których f('txo' Xo) = ^Ct

(L

t

Wówczas funkcja efektywnie estymowalna przyjmie ^postać

X o h().)= c1 T+c2.

W szczególności estymator f( T:x , _o x0 ) = L _i ^{a1 T1( 'fx} _o ^)fx0 jest efektywny dla funkcji h(1) = 1/1.

Załóżmy, że a1 = b1, a0 = b0 = O. Przez ^7:~0 ^oznaczmy następujący czas zatrzy- mania:

Ti₀(x(·)) = inf{t: N(t,x(·))+Z(t,x(·)) = x0 },

gdzie x0 jest liczbą naturalną, mniejszą od stanu populacji w chwili O, Eo{N(Ti₀)+Z(Ti_{0) )} = Xo, D~{N(T!0^)+Z(Ti0^{)) =O.}

Z (13) otrzymujemy

Eo(L a,T,(Ti0)) = ).x_; , ^{EoN( T;)} = ).~u. Xo,

t f' r

Eo(Z(T~0^{)) = ).~p Xo.}

Wykorzystując wzory (17), (18), (24), (26), otrzymamy

E"N('r;,)Z(-ri,) =

().t)'

Niech

Estymator ten jest efektywnym, nieobciążonym estymatorem funkcji h(ł., p) =

= ^{1/(ł.+ ft).}

Prace cytowane

[l] )1(. 11. B a p p a, OcHoeoz MameMamut~ecKou cmamucmuKu (nepeB. c cpp~.), MocKBa 1974, str. 52-53.

[2] P. B i ^Ił i n g s l e y, Statistical inference for Markov process, The University of Chicago Press, 1961, str. 65.

[3] D o S u n B a i, E/ficient estimation o/ transition probabilities in a Markov chain, Ann. Math.

Statist. 3 (6) (1975).

[4] 11. r ^{H X M} a H, A. B. c ^I< o p o ^{X o~'} TeopuR CAYtlaUHblX npofłeCC08, T. l, Moci<Ba 1971, str. 600.

[5] R. R 6 ż a ń s k i, A modification o f Sudakov' s /emma and eff';citnt sequentia/ p/ans for the Ornstt!in-Uh/enbeck proctss, Zastosowania Matematyki 17 (1980), p. 73-86.

[6] S. T r y b u ^ł a, Sequential estimation in processes with independent increments, Dissertationes Mathematicae, LX, Warszawa 1968.

[7] -, Sequential estimation in Markov processes with finite number of states, Instytut Matematyki Politechniki Wrocławskiej, Komunikat nr 120.

INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIK.I WROCLA WSKlEJ