Ekonometria, lista zadań nr 8

Ekonometria, lista zadań nr 8

1. Dla danych empirycznych

Lp. Powierzchnia Przychody pieniężne Lp. Powierzchnia Przychody pieniężne UR [ha] na 1 ha UR [zł] UR [ha] na 1 ha UR [zł]

i x_i Y_i i x_i Y_i

1 5.00 5905.2 19 14.15 2465.7

2 3.99 8794.2 20 5.80 7250.0

3 5.50 4349.6 21 15.07 3271.8

4 12.30 4030.2 22 27.70 1969.0

5 7.01 3536.7 23 37.80 1527.6

6 7.52 5650.0 24 18.76 999.7

7 8.30 4900.2 25 42.20 3350.0

8 18.00 1735.0 26 19.52 2800.0

9 5.80 7700.0 27 57.70 3050.0

10 48.30 2100.0 28 20.14 949.2

11 56.90 1600.0 29 46.10 450.0

12 5.40 6450.0 30 42.20 2002.5

13 9.82 3039.7 31 26.35 811.5

14 22.30 2200.0 32 28.01 1394.5

15 11.00 3571.8 33 33.90 839.0

16 11.37 2463.9 34 29.68 3054.4

17 13.07 2900.0 35 59.40 370.4

18 39.60 897.1 36 71.00 926.5

oszacuj metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu Y_i = β₀+ β₁log x_i+ ε_i.

Przetestuj, czy wariancja składnika losowego jest stała niezależnie od powierzchni użytków rolnych. W przypadku odrzucenia hipotezy o homoskedastyczności składnika losowego wyestymuj parametry modelu za pomocą ważonej metody najmniejszych kwadratów, do- bierając wagi tak, aby brak było podstaw do odrzucenia hipotezy o homoskedastyczności składnika losowego w zbudowanym modelu.

2. Dla danych z 12 miesięcy 2000 roku

Lp. Cena mięsa Cena żywca Lp. Cena mięsa Cena żywca wołowego [zł] rzeźnego [zł] wołowego [zł] rzeźnego [zł]

i Y_i x_i i Y_i x_i

1 13.80 2.87 7 13.32 2.75

2 13.20 2.67 8 15.10 2.80

3 12.86 2.67 9 14.15 2.92

4 14.34 2.76 10 14.90 2.92

5 13.70 2.81 11 15.21 3.00

6 14.15 2.69 12 14.44 3.01

za pomocą metody najmniejszych kwadratów oszacuj model liniowy Y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i.

Zweryfikuj hipotezę o występowaniu autokorelacji składnika losowego. Jeśli hipoteza się potwierdzi, dokonaj estymacji parametrów modelu za pomocą metody Cochrane’a-Orcutta.

Sprawdź, czy po dokonaniu takiej estymacji reszty przekształcone zgodnie z metodą Cochrane’a-Orcutta nie są już skorelowane.

3. Dla danych empirycznych

Lp. Plony żyta Nawożenie Lp. Plony żyta Nawożenie

[dt/ha] [kg/ha] [dt/ha] [kg/ha]

i y_i x_i i y_i x_i

1 11.95 42 10 25.50 137

2 15.85 63 11 26.90 131

3 13.20 37 12 24.70 175

4 13.80 75 13 25.60 183

5 15.90 124 14 25.50 214

6 22.50 182 15 22.60 133

7 19.60 157 16 27.30 171

8 22.40 200 17 18.54 97

9 16.50 151

dokonaj estymacji metodą najmniejszych kwadratów modelu liniowego Y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i,

a następnie zweryfikuj hipotezę o homoskedastyczności ε1, ε2, . . . , εn. Jeśli zostanie wy- kazana heteroskedastyczność, dokonaj estymacji paramertów modelu za pomocą ważonej metody najmniejszych kwadratów, tak by nie było podstaw do odrzucenia hipotezy o ho- moskedastyczności ε1, ε2, . . . , εn. Przy ważeniu wypróbuj ˆωii = e²_i oraz jakąś inną postać estymatora wyrazów na przekątnej macierzy kowariancji wektora (ε₁, ε₂, . . . , ε_n)⁰.

4. Dla danych

Lata PKB [mln zł] Inwestycje [mln zł] Lata PKB [mln zł] Inwestycje [mln zł]

1989 11831.8 1886.9 1994 210407.3 33865.1

1990 56027.1 11581.1 1995 306318.3 47144.7

1991 80882.9 16883.7 1996 385448.1 65622.0

1992 114944.2 20159.7 1997 469372.1 90437.7

1993 155780.0 24717.9 1998 549466.7 112813.5

dokonaj oszacowania metodą najmniejszych kwadratów modelu Y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i.

Zbadaj występowanie autokorelacji składnika losowego, a w wypadku pozytywnej od- powiedzi za pomocą metody Cochrane’-Orcutta dokonaj estymacji parametrów modelu.

Sprawdź, czy po takiej estymacji reszty przekształcone zgodnie z metodą Cochrane’a- Orcutta nie są już skorelowane.

5. Zbadaj zależność między średnią ceną detaliczną wędlin w zł/kg (Y_i) a średnią ceną mięsa wieprzowego w zł/kg (xi) na podstawie danych z 10 kolejnych lat:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x_i 0,13 0,79 0,97 1,29 1,64 2,56 2,58 3,01 3,79 3,45 Y_i 1,25 5,49 7,16 8,85 12,34 13,83 14,32 16,62 17,79 17,20

W tym celu dokonaj estymacji parametrów modelu Yi = β0+ β1xi+ εi metodą najmniej- szych kwadratów a następnie sprawdź, czy błędy nie wykazują korelacji. Jeśli tak, dokonaj estymacji parametrów metodą Cochrane’a-Orcutta i sprawdź, czy błędy po przekształce- niu zgodnie z metodą Cochrane’a-Orcutta są zależne.

6. Dla danych

x_i 66 64 20 112 24 128 64 186 140 177 290 223 306 143 207

Yi 10 10 3 14 4 11 9 16 12 15 21 20 23 18 24

zweryfikuj hipotezę o stałości wariancji w modelu Gaussa-Markowa Y_i = β₀ + β₁x_i + ε_i, a jeśli zostanie odrzucona, oszacuj parametry modelu za pomocą ważonej metody najmniejszych kwadratów, wybierając wagi według własnego uznania, jednak tak, aby składniki losowe w ważonym modelu okazał się homoskedastyczne.

7. Rozważamy model postaci Yt = β0 + β1xt + εt; gdzie Yt - zapasy w przemyżle prze- twórczym pewnego kraju w cenach bieżących w mld USD w roku t, x_t - sprzedaż wy- robów przemysłu przetwórczego tego kraju w cenach bieżących w mld USD w roku t, t = 1950, 1951, . . . , 1981. Mamy następujące dane:

t Y_t x_t t Y_t x_t t Y_t x_t t Y_t x_t

1950 31,1 18,6 1958 50,2 27,2 1966 78,0 44,9 1974 157,8 84,8 1951 39,3 21,7 1959 52,9 30,3 1967 84,7 46,5 1975 159,9 86,4 1952 41,1 22,5 1960 53,8 30,9 1968 90,6 50,2 1976 175,2 98,8 1953 43,9 24,8 1961 54,9 30,9 1969 98,2 53,5 1977 189,2 113,2 1954 41,6 23,3 1962 58,2 33,4 1970 101,6 52,8 1978 210,4 126,9 1955 45,1 26,5 1963 60,0 35,0 1971 102,6 55,9 1979 240,9 143,9 1956 50,6 27,7 1964 63,4 37,3 1972 108,2 63,0 1980 264,1 154,4 1957 51,9 28,7 1965 68,2 41,0 1973 124,6 72,9 1981 282,1 168,1 Dokonaj estymacji parametrów metodą najmniejszych kwadratów i zweryfikuj homoske- dastyczność składnika losowego. W wypadku orzeczenia heteroskedastyczności dokonaj estymacji parametrów metodą White’a, przyjmując ω_tt = γ₀+ γ₁x_t+ η_t.

8. Kształtowanie się wydatków (Y_i) i dochodów x_i dla 20 losowo wybranych rodzin przed- stawia się następująco:

xt 22,3 32,3 36,6 12,1 42,3 6,2 44,7 26,1 10,3 40,2 Y_t 19,9 31,2 31,8 12,1 40,7 6,1 38,6 25,5 10,3 38,8 x_t 8,1 34,5 38 14,1 16,4 24,1 30,1 28,3 18,2 20,1 Y_t 8 33,1 33,5 13,1 14,8 21,6 29,3 25 17,9 19,8

Wyestymuj metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu Y_t = β₀ + β₁x_t + ε_t i sprawdź, czy występuje heteroskedastyczność składnika losowego. Jeśli ma ona miejsce, to dokonaj estymacji parametrów za pomocą metody White’a, przyjmując ω_tt = γ₀+γ₁x_t+ γ₂x²_t+η_t. Sprawdź, czy postępując w ten sposób, otrzymamy model z homoskedastycznymi błędami.

Wykonaj to samo zadanie dla modelu log Y_t = β₀+ β₁log x_t+ ε_t.

9. Na podstawie danych zawartych w tabeli za pomocą metody najmniejszych kwadratów dokonaj estymacji parametrów modelu CP_t = β₀ + β₁Y P_t+ ε_t, gdzie CP_t oznacza kon- sumpcję prywatną (w mld zł) w kwartale t, zaś Y P_t - dochody pieniężne gospodarstw domowych (w mld zł) w tymże kwartale.

t CP_t Y P_t t CP_t Y P_t 1989 I kw. 0,761 0,737 1992 III kw. 18,2 21,4 1989 II kw. 0,817 0,933 1992 IV kw. 21,4 24,8 1989 III kw. 1,17 1,64 1993 I kw. 21,4 24,7 1989 IV kw. 2,44 3,51 1993 II kw. 23,8 27,2 1990 I kw. 4,27 6,17 1993 III kw. 24,4 27,9 1990 II kw. 5,07 7,49 1993 IV kw. 28,6 32,4 1990 III kw. 6,91 9,63 1994 I kw. 29,2 33,2 1990 IV kw. 10,6 13,5 1994 II kw. 32,1 36,4 1991 I kw. 11,2 13,6 1994 III kw. 34,7 41,4 1991 II kw. 11,6 13,8 1994 IV kw. 39,5 45,5 1991 III kw. 11,9 14,2 1995 I kw. 40,4 49,7 1991 IV kw. 13,3 15,8 1995 II kw. 42,6 52,2 1992 I kw. 14,9 17,7 1995 III kw. 45,3 55,1 1992 II kw. 16,5 19,6 1995 IV kw. 53,2 63,4

Zbadaj heteroskedastyczność składnika losowego. Jeśli przypuszczenie o heteroskedastycz- ności się potwierdzi, dokonaj estymacji parametrów metodą White’a, przyjmując ω_tt = γ₀+γ₁Y P_t+η_t. Sprawdź, czy w modelu ważonym heteroskedastyczność już nie występuje.

Zrób to samo dla ω_tt= γ₀+ γ₁Y P_t+ γ₂Y P_t²+ ϑ_t.