MATEMATYKA
lista zadań nr 8
1. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych prostokątach a)
Z Z
P
dx dy
2x − 3y + 1, P = [−2, 3] × [−3, 2], b)
Z Z
P
e2x−3ydxdy, P = [−3, 2] × [−2, 3].
2. Obliczyć całkę
Z Z
D
(x − 2y) dxdy
gdzie obszarem całkowania D jest trójkąt o wierzchołkach A = (1, 1), B = (2, −2), C = (−1, 1).
3. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach a)
Z Z
D
xy dxdy, D : 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4, x 0, b)
Z Z
D
(x2+ y2) dxdy, D : 2y ¬ x2+ y2 ¬ 4y.
4. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi
a) y2 = 4x, x + y = 3, y = 0 (y 0), b) x + y = 4, x + y = 6, x − 3y = 0, x − 3y = 5.
5. Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami
a) x2+ y2 = 2y, z = x2+ y2, z = 9, b) x + y + z = 3, x2+ y2 = 3, z = 0.
6. Obliczyć pola podanych płatów
a) z = x2+ y2, x2+ y2 ¬ 4, b) x2+ y2 + z2 = 9, x2 + y2 ¬ 6x, z 0.
7. Obliczyć masę obszaru
D = { (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x } przy gęstości powierzchniowej σ(x, y) = x.
8. Wyznaczyć środek masy obszaru
D = { (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2x } przy gęstości powierzchniowej σ(x, y) = 1.
9. Obliczyć momenty bezwładności obszaru
D = { (x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ¬ 4, y 0 } przy gęstości powierzchniowej σ(x, y) =√
x2+ y2.
10* Obliczyć siłę, z jaką jest przyciągany ładunek punktowy q przez ładunek Q rozłożony równo- miernie na kwadracie o boku a. Ładunek punktowy jest położony na wysokości h nad jednym z wierzchołków kwadratu.
