Ekonometria, lista zadań nr 7
1. Na podstawie danych z 12 lat oszacowano dwa modele różniące się doborem zmiennych niezależnych, przy czym w obu modelach jedną ze zmiennych jest czas mierzony w latach.
Reszty z oszacowania obu modeli widnieją w poniższej tabeli:
Rok 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Reszty w modelu I 2 -3 1 2 4 3 -1 -4 -2 1 2 3 Reszty w modelu II -7 -5 -8 -4 1 2 4 3 2 -1 -4 -5 Który model lepiej oddaje zależność?
2. Po oszacowaniu modelu liniowego otrzymano: ˆYi = 2 + 3xi, i = 1, 2, . . . , 10. Reszty po uporządkowaniu ze względu na zmienną objaśniającą wynoszą: -10, -8, -9, -6, -1, -2, 1, 2, 5, 8. Czy są podstawy, by wątpić, że rozkład błędów jest losowy?
3. Dla pewnego liniowego modelu tendencji rozwojowej otrzymano następujący ciąg reszt odpowiadających kolejnym latom badanego okresu: -6, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 2, 4, -1, -3, -4.
Czy są podstawy, by wątpić, że rozkład błędów jest losowy?
4. W pewnym modelu, którego parametry zostały oszacowane na podstawie 14 obserwacji, wartość statystyki Shapiro-Wilka dla reszt wynosi 0,923. Czy na poziomie istotności 0,05 należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego?
5. Dany jest ciąg reszt z oszacowania pewnego modelu za pomocą metody najmniejszych kwadratów: 12, -2, 0, -1, 1, 0, 10, -4. Zweryfikuj za pomocą testu Shapiro-Wilka hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego na poziomie 0,05.
6. Na poniższych rysunkach przedstawiono trzy realizacje reszt otrzymanych po zastosowa- niu metody najmniejszych kwadratów do modelu Yt = β0+ β1xt+ εt, gdzie t oznacza czas, εt= ρ1εt−1+ut, dla ρ1 = −0, 99, ρ1 = 0 oraz ρ1 = 0, 99. Dopasuj rysunki do odpowiednich wartości ρ.
7. Na podstawie 15-elementowej próby oszacowano metodą najmniejszych kwadratów model Yt = β0+ β1x1,t+ β2x2,t+ εt, gdzie t oznacza czas. Po dokonaniu oszacowania obliczono wartość statystyki Durbina-Watsona dla reszt uporządkowanych względem t. Wyniosła ona 3,34. Zakładając, że innowacje w procesie reszt są niezależnymi zmiennymi o rozkła- dzie normalnym, na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezy dotyczące autokorelacji rzędu 1 składnika losowego.
8. Czy na podstawie testu Durbina-Watsona, na poziomie istotności 0,05, można sądzić, że w modelu, który po oszacowaniu na podstawie 40 obserwacji przyjmuje postać: ˆYt = 2+0, 1ut+0, 3vt−4wta statystyka Durbina-Watsona obliczona dla reszt uporządkowanych względem t oznaczającego czas przyjmuje wartość 2, 5, nie występuje autokorelacja rzędu 1 składnika losowego? Zakładamy, że innowacje w procesie reszt są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym.
9. Dla modelu liniowego opisującego zależność zmiennej objaśnianej od jednej zmiennej ob- jaśniającej otrzymano ciąg reszt (obserwacje są indeksowane czasem):
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
et 5 0 -1 2 -3 8 1 -2 -4 -1 0 1 2 2 -1
Na poziomie istotności 0,05 sprawdź, czy występuje autokorelacja składnika losowego.
10. Model Yi = β0+ β1xi,1 + β2xi,2 + β3xi,3 został oszacowany na podstawie 50-elementowej próby. Po uporządkowaniu próby ze względu na zmienną X1 dokonano estymacji modelu dla dwóch skrajnych podprób 20-elementowych. Sumy kwadratów reszt tych oszacowań wyniosły 4 i 14. Czy można przypuszczać, że składniki losowe modelu, którego parametry oszacowano na podstawie całej próby, są heteroskedastyczne?
11. Kształtowanie się wielkości przychodów i wartości sprzedaży w 14 firmach przedstawia się następująco (przychody i wartość sprzedaży w tys. zł):
Nr firmy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Przychody 10 12 8 20 26 30 18 22 30 9 15 21 30 14
Sprzedaż 85 82 50 100 132 138 105 90 110 70 120 125 150 90 Oszacowano model opisujący wielkość przychodów w zależności od wartości sprzedaży.
a) Na poziomie istotności 0,05 przetestuj, czy są podstawy do odrzucenia hipotezy o normalności błędów w tym modelu.
b) Czy są podstawy, aby przeczyć, że założenie o homoskedastyczności składnika lo- sowego zostało w tym modelu spełnione? Poziom istotności wybierz stosownie do użytej metody i własnego uznania.
