Filozofia rozmytości a matematyka losowości

Tadeusz Gestenkorn, Jacek Mańko

Filozofia rozmytości a matematyka

losowości

Studia Philosophiae Christianae 30/2, 83-97

ATK 30 (1994)2

TADEUSZ GERSTENKORN, JACEK MAŃKO

FILOZOFIA ROZMYTOŚCI A MATEMATYKA I.OSOWOŚC1 1. Idea zbioru rozmytego. Uwagi metodologiczne. 2. Podejście Zadeha. 3. Definicje aksjomatyczne. 4. P-miara. 5. Ujęcie Yagera. 6. B(n) - prawdopodobieństwo. 7. Koncepcja Chenga i Liu. 8. Dwoista rozmytość. 9. Uwagi końcowe.

1. IDEA ZBIORU ROZMYTEGO. UWAGI METODOLOGICZNE Koniec wieku X IX zainicjował badania nad pojęciem zbioru. Pionierami tych badań byli G. Boole i G. C antor. Kiedy w roku 1871 ukazała się praca G. C an tora dotycząca pojęcia zbioru, chyba nikt nie przewidywał, że to pojęcie zrewolucjonizuje m atem atykę. Dzisiaj pojęcie zbioru jest podstawowym pojęciem m atem atyki i żaden jej dział nie może się obejść bez wprowadzenia tego pojęcia na początku wykładu. Opierając się na standardow ym aparacie logiki dwuwartoś- ciowej, tradycyjne ujęcie m atem atyki przez zbiór A w pewnej przestrzeni rozważań X rozumie obiekt postaci

gdzie χΑ jest tzw. funkcją charakterystyczną zbioru A.

Zgodnie z tym ujęciem element x z przestrzeni X może do zbioru A należeć (χΑ 00 = 1) lub'nie należeć (χΑ (x) = 0) i innej możliwości nie ma. Alternatyw a należenia bądź nienałeżenia elementu do zbioru jest niekiedy zbyt uboga na to, by wiernie oddać opisywane zjawisko. Dzieje się to szczególnie wtedy, gdy rozwiązywane zagadnienia zawierają pojęcia opisane nieprecyzyjnie bądź zadania sformułowane niejednoznacznie. Klasyczna m atem atyka prowadzi wówczas do rozwiązywania skomplikowanych modeli m atematycznych przy uży­ ciu tak dużych mocy obliczeniowych, które pow odują ogrom ną trudność lub ,wręcz nieopłacalność samego procesu rozwiązywania.

W celu zmniejszenia tych niedogodności w roku 1965 L.A. Zadeh z Berkeley (USA) wprowadził pojęcie zbioru rozmytego [33] jako

uogólnienie pojęcia zwykłego zbioru znanego z teorii mnogości G. C antora. Uogólnienie to polega na dopuszczeniu możliwości należe­ nia elementu do zbioru w pewnym stopniu, począwszy od wartości 1 (pełna przynależność) do wartości 0 (całkowita nieprzynależność), poprzez wszystkie wartości pośrednie między 0 i 1 oznaczające należenie do zbioru w pewnym stopniu. T ak więc zbiór rozmyty zostaje określony, gdy każdem u jego potencjalnem u elementowi przypiszemy pewną liczbę z przedziału < 0 , 1 > , tj. gdy utworzymy funkcję μ , która każdem u elementowi x z przestrzeni rozważań X przyporządkowuje liczbę μ (x) e < 0 , 1 > będącą stopniem należenia tego elementu do opisywanego zbioru rozmytego. F orm al­ nie, zbiorem rozmytym A w przestrzeni X nazywamy obiekt postaci

gdzie μ Α: -* < 0, 1 > jest tzw. funkcją przynależności tego zbioru. W niektórych pracach przez zbiór rozmyty rozum ie się jego funkcję przynależności (np. [9]), a teoria zbiorów rozmytych jest niczym innym jak teorią pewnych funkcji opisujących liczbowo terminy wyrażone językiem nieprecyzyjnym bądź pojęcia rozum iane niejed­ noznacznie.

Rozważmy dla przykładu zbiór ludzi w wieku średnim [23]. Dla przejrzystości przyjmujemy tylko pełne, całkowite lata wspom nia­ nych osób. Nazwa „średni” jest oczywiście niejednoznaczna i, jako taka, może być sform alizowana w postaci zbioru rozmytego. F u n k ­ cja przynależności tego zbioru jest określona na przykład n a­ stępująco: X 39 40 4i 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 μ ( x ) 0 0 0,3 0,5 О С o ' 0,9 1 1 1 ł 0,9 O cc 0,7 0,5 0,2 0 0

W edług tej funkcji ludźmi rzeczywiście w wieku średnim są ludzie w wieku 44, 45, 46 i 47 lat (μ (x) = 1), ludzie w wieku 43 i 48 lat są uznani za ludzi w średnim wieku w stopniu 0,9 itd.

Niech teraz X = (-oo, + o o ). Rozważmy rozm yty zbiór liczb „trochę większych od 100” . Jego funkcja przynależności, określona jak i wyżej w sposób arbitralny (istnieją jednak obiektywne m etody wyznaczania takich funkcji [5], [8], może być dana wzorem:

μ (χ)

{

Teoria zbiorów rozmytych zyskuje obecnie ogrom ną popularność na świecie, rozwija się bardzo burzliwie, szczególnie na zachodzie Europy, w USA i Japonii. Jest wykorzystywana przez większość znaczących firm światowych produkujących sprzęt techniczny wszel­ kiego rodzaju, służy jak o narzędzie do sterowania rakietam i i pilota­ żu okrętów, m a ogrom ne znaczenie w naukach tzw. miękkich, ja k np. medycyna, ekonom ia, socjologia, lingwistyka i filozofia oraz we wszelkiej działalności praktycznej człowieka.

Jednym z pierwszych popularyzatorów teorii zbiorów rozmytych w Polsce był M. Lubański. W swoich artykułach ([20-23]) M. Lubański postawił sobie za cel poinform ow anie czytelnika o istocie „rozm ytości” oraz podstawowych operacjach na zbiorach rozm y­ tych i ich zastosowaniu w nauce o jężyku otwierając tym nowe horyzonty badawcze w zakresie przedm iotowym , metodologicznym i filozoficznym ([14]) § 3,4 i 3,5). Z drugiej strony prace M. Lubańskiego były przeciwwagą dla przeciwników teorii zbiorów rozmytych. W początkowym okresie swojego istnienia teoria i m eto­ dy teorii zbiorów rozmytych były niekiedy przedm iotem kontrow er­ syjnych dyskusji. Powodem sceptycyzmu była nieznajomość tej teorii i błędne interpretow anie funkcji przynależności zbioru rozmytego. Fakt, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział < 0,1 > pow odo­ wał zarzut, że rozmytość jest pewną zakam uflow aną postacią przypadkowości, a w związku z tym teoria zbiorów rozmytych jest tylko innym ujęciem probabilistyki. Było to jednak nieporozumienie, które początkow o wpłynęło ham ująco na rozwój teorii zbiorów rozmytych. Podstaw ow ą różnicą między losowością i rozmytością jest to, że losowość dotyczy zjawisk opisanych wyraźnie i ściśle, a występująca niepewość dotyczy tylko tego, czy się pojawią. Rozm ytość natom iast zajmuje się samą nieprecyzją tkwiącą w opisie zjawiska, a nie w jego pojaw ianiu się.

Losowość więc dotyczy niepewności związanej z przynależnością lub nieprzynależnością elementu do zbioru, rozm ytość zaś dotyczy stopnia przynależności takiego elementu do zbioru. Rzecz jasna, zjawiska te, choć różne i inaczej opisywane,' m ogą występować razem. Interesujące może być przecież pytanie o praw dopodobieńst­ wo wystąpienia „ładnej pogody” , wybranie człowieka w „wieku średnim ” z danej grupy osób, zdobycia „trochę więcej niż 100 punktów ” w jakiejś grze liczbowej itp.

W klasycznej teorii praw dopodobieństw a zdarzeniem nazywamy element σ-ciała F podzbiorów pewnej przestrzeni rozw ażań Ω. M iarą praw dopodobieństw a P nazywamy wtedy unorm ow aną m iarę na przestrzeni mierzalnej (Ω, F), tzn. tak ą funkcję P : F -*· R, że:

A 1) P(A) ^ 0 dla dowolnego AeF, A 2) Ρ(Ω) = 1,

00 - 00

A 3) P(U A n) — Σ P (A„) dla param i rozłącznych zdarzeń

n = l n = 1 да

(An) e F.

n = i

W dalszej części pracy prezentujemy przekrój różnych podejść d problem u łączenia losowości i rozmytości. Staraliśmy się to przedstawić jednolitym językiem w celu ich łatwiejszego porów nania oraz ukazać wkład m atem atyków polskich w rozwiązywanie tego zagadnienia.

2. PODEJŚCIE ZADEHA

Jako pierwszy zagadnieniem praw dopodobieństw a zdarzeń roz­ mytych zajął się L.A. Zadeh [34]. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech A e F będzie dowolnym zdarzeniem z σ-ciaîa F podzbiorów zbioru Ω. Praw dopodobieństw o P(A) tego zdarzenia m ożna wyrazić jako

P(A) = J dP (2.1)

lub, równoważnie, jako

P(A) = W d p 0 ) ’ (2·2) J

Ω

gdzie χΑ jest funkcją charakterystyczną zdarzenia (zbioru) A. Rów ność (2.2) pozwala w sposób naturalny rozszerzyć powyższe rozumowanie na grunt zbiorów rozmytych zastępując funkcję charak­ terystyczną χ funkcją przynależności μ.

Zgodnie z [34] rozważamy przestrzeń praw dopodobieństw a (Ω,

B, P) z σ-ciałem В borelowskich podzbiorów zbioru Ω. Rozmytym

zdarzeniem A w Ω nazywamy każdy rozm yty zbiór A w Ω, którego funkcja przynależności μΑ : Ω -» < 0, 1 > jest m ierzalna po

borelowsku. Prawdopodobieństwem P (A) zdarzenia rozmytego A nazywamy wtedy całkę Lebesgue’a-Stieltjesa postaci

P ( A) Ma (x) dP (x). (2.3)

Ω

Powyższa równość wyraża praw dopodobieństw o zdarzenia roz­ mytego jak o wartość oczekiwaną jego funkcji przynależności. Ist­ nienie tej całki jest zagw arantow ane założeniem mierzalności funkcji

μΑ. Z własności całki wynikają, dla tak określonego praw dopodo­

bieństwa, m.in. poniższe konsekwencje:

1) 0 < P ( A ) < 1, (2.4) 2) А с В -* P (A) ^ P (B), (2.5) 3) P (A и B) = P (A) + P (В) - P (A n B), (2.6) 4) P (A ’) = 1 - P (A), (2.7) gdzie relacje zawierania i równości w nich występujące są natury rozmytej, tj.

a) Α ε Β ^ μ Α ( χ ) < Mb (x), (2.8) b) A = В ^ μ Α (x) = μ Β (x), (2.9) a operacje mnogościowe dopełnienia, sumy i przekroju zbiorów rozmytych opisują trzy poniższe wzory, dla wygody wyrażone w term inach funkcji przynależności takich zbiorów:

c) μΑ·, (x) = 1 - ma (x) , (2.10)

d) μ au u (x) = m ax {μΑ (χ), μ Β (x)}, (2.11) e) Maqb W = mm {Ma (x), Mb (x)} (2.12)

dla wszystkich argum entów x.

Przyjmując jak o rozm yty zbiór pusty o taki zbiór rozmyty, którego funkcja przynależności μ„ jest stałe rów na 0, otrzymujemy ponadto kolejną własność praw dopodobieństw a (2.3)

5) P (o) = 0. (2.13)

Koncepcja Zadeha [33] pozwala także na określenie niezależności zdarzeń rozmytych i praw dopodobieństw a w arunkowego, a także m om entów i. entropii takich zdarzeń.

3. DEFINICJE AKSJOMATYCZNE

Pom im o tego, że podejście Z adeha zyskało sobie dużą popularność jak o zwięzłe i proste rachunkow o, to pojawiły się bardziej sfor­ malizowane koncepcje rachunku praw dopodobieństw a dla zdarzeń rozmytych.

I tak C; N egoita i D. Ralescu [26] zdefiniowali tzw. rozm ytą przestrzeń praw dopodobieństw a (Ω, K, q ) , gdzie К oznacza σ-ciało zdarzeń rozm ytych rozum iane jak o rodzina zbiorów rozmytych

{AJJL, takich, że μΑ.: Ω -* < 0 , 1 > , dla i = 1, 2, 3 przy czym 1) П еК ' oo (3.1) 2) A e K dla i = 1, 2, 3, ... =>υ_ΑρΚ, (3.2) 3) A e K -► A ’eK, (3.3) a q : К -* < 0 , 1 > jest praw dopodobieństw em takich zdarzeń określonym poprzez układ aksjom atów:

1) q (Ω) = 1, (3.4)

2) q (A) ^ 0 dla dowolnego A e K , (3.5)

00 00

3) q (U A k) = X q (Ak) dla dowolnego ciągu

k=l k=1

rozmytych zdarzeń z К param i rozłącznych. (3.6) W pracy E.P. Klem enta [17] zamiast w arunku (3.1) używa się bardziej ogólnego w arunku:

A[pJ e К dla dowolnego p e < 0 , 1 > , (3.7) gdzie A [p] oznacza rozmyty zbiór o stałej funkcji przynależności μΑ : Ω -> {p}, gdzie p jest konkretną w artością z przedziału < 0,1 > . Wówczas rodzinę K* spełniającą (3.7), (3.2) i (3.3) nazywamy σ-ciałem zdarzeń rozmytych.

Koncepcja ta posłużyła do określenia praw dopodobieństw a zda­ rzenia rozm ytego jak o funkcji m : K* -* < 0,1 > spełniającej warunki (E.P. Klement, W. Schwyhla, R. Lowen [18]):

1) m ( 0 ) '= 0, m (Ω) = 1, (3.8) 2) m(A u B) + (A η B) = m(A) + m(B), (3.9) 3) m (lim A„) = lim m (A J dla dowolnego ciągu

П - » CC П —► CO n

wstępujących (patrz (7.5) zdarzeń rozm ytych z K*. (3.10) Trójkę (Ω, K*, m) nazywamy wtedy rozm ytą przestrzenią prob abi­ listyczną. W arunki (3.8) oznaczają ograniczoność, (3.9) - addytyw- ność w postaci tzw. waluacji (np. [9]), a warunek (3.10) - ciągłość z dołu funkcji m.

Podobną koncepcję, ale z warunkiem zstępującego ciągu zdarzeń rozm ytych zam iast (3.10) prezentuje praca [31].

Zarów no koncepcja C. Negoity i D. Ralescu [26], jak i prace [18] i [31] nie zapewniają zachodzenia w arunku

m (A ’) = 1 - m (A) (3.11) tak charakterystycznego dla zwykłego praw dopodobieństw a.

W celu uniknięcia tej niezgodności, S. Eleilpern w [13] zdefiniował tzw. g-rozmyte prarydopodobnieństwo. ^ o w arunków (3.4), (3.5) i (3.6) dodał warunek

gdzie g : < 0 , 1 > -*■ < 0 ,1 > jest rosnącą i ciągłą funkcją rzeczywistą taką, że g (0) = 0 i g (1) = 1, Α α oznacza α-przekrój zbioru rozmytego A, tzn. nierozmyty zbiór postaci

a zapis a * A« określa rozmyty zbiór o funkcji przynależności danej wzorem [35] :

to warunek (3.11) jest spełniony. Jako przykłady funkcji g S. Heiłpern w [13] podaje g (x) = x i g (x) = 4x2 - 6x2 + 3x.

Innym pomysłem na to, by równość (3.11) była prawdziwa w budowanej teorii, jest idea K. Piaseckiego tzw. P-miary.

W pracy [28] K. Piasecki zdefiniował tzw. P-miarę, tj. praw ­ dopodobieństw o zdarzeń rozmytych, które spełniałoby wszystkie naturalne własności praw dopodobieństw a (2.4) - (2.7) i (3.11). K. Piasecki zanegował dotychczasowe definicje zbioru rozmytego pus­ tego (patrz warunek (2.13)), przestrzeni rozmytej (zbioru rozmytego o funkcji przynależności stale równej 1) i rozłączności zbiorów rozmytych. Zastąpił je pojęciami analogicznymi, które nazwał W -pojęciami (od ang. „w eak” - słaby) [27]:

a) każdy zbiór rozmyty V taki, że V’ с V nazywamy W -rozm ytą przestrzenią;

b) każdy zbiór rozm yty Y taki, że Y c Y ’ nazywamy W -rozmytym zbiorem pustym;

c) rozmyte zbiory U i Z nazywamy W -rozłącznymi, gdy U c 'Z ' lub Z c U ’.

(Operacie zawierania ( cz ) i dopełnienia (’) są tutaj rozum iane w sensie definicji (2.8) i (2.10)).

Używając powyższe W -pojęcia, K. Piasecki wprowadził definicję miękkiego rozmytego σ-ciała K, tj. rozmytego σ-ciała К określonego własnościami (3.7), (3.2), (3.3) i takiego, że nie zawiera zbioru A j

A a = (xeO : μΑ (x) ^ a, ae < 0 , 1 > } , (3.13)

(3.14) W przypadku gdy g spełnia warunek

g (1 - x) = g (x) dla x e < 0 , 1 > ,

4. P - M I A R A

* ‘ Ч А ф } (4.1)

Wówczas każde odwzorowanie p : К -» < 0 , + oo) spełniające warunki

1) p (A u A ’) . . = 1 dla A e K (4.2) co 00

2) p (U A„) = £ P (A„) dla ciągu (An)“=1 W -rozłącz- (4.3)

n + ł n j ^

cznych param i zbiorów rozm ytych z К nazywamy rozm ytą P-m iarą na K, a trójkę (Ω, K, p) nazywamy m iękką rozm ytą przestrzenią probabilistyczną.

W arunek (4.2) oznacza unorm ow anie, a (4.3) stwierdza W -ad- dytywność P-miary.

W pracy [28] K. Piasecki udowodnił, że P-m iara jest ciągłą i niemalejącą funkcją spełniającą także warunki:

ł) p (A n A ’) = 0, (4.4)

2) р(А ’) = 1 - p(A), (4.5)

3) p(A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B), (4.6) 4) p(A u B) = p(A) p(B) = 0, (4.7) 5) p(A n B) = p(A) ^ p(B) = 1, (4.8) 6) p(A n B) = 0 p(A) = p(B) i B c A . (4.9) Więcej informacji o P-mierze i jej zastosowaniach znajduje się w [29]. Pewną modyfikację W-pojęć m ożna znaleźć w [30].

5. UJĘCIE YAGERA

Opisane wcześniej praw dopodobieństw a zdarzeń rozm ytych ce­ chuje pewna niekonsekwencja. O tóż niepokojące jest to, że praw ­ dopodobieństw o zdarzenia rozmytego jest liczbą. Jest to, co praw da, zgodne z definicją praw dopodobieństw a, do której jesteśmy przy­ zwyczajeni, ale może bardziej naturalne byłoby wymagać od niego pewnej rozmytości. Przecież bardzo często m ożna usłyszeć kom en­ tarze typu: „Jest wysoce praw dopodobne, że „Jest mało praw dopodobne, że które wyrażają rozm ytą informację o poję­ ciu praw dopodobieństw a. T aka też była idea R. Yagera [32]. Koncepcja ta bazuje n a pojęciu a-przekroju zbioru rozmytego (3.13) oraz twierdzeniu o dekompozycji i zasadzie rozszerzania [35]. Twierdzenie o dekompozycji stwierdza, że każdy zbiór rozm yty A m ożna zapisać jak o rozm ytą sumę (2.11) jego a-przekrojów w postaci

A = U a * A*, (5.1)

gdzie symbol U oznacza operację supremum, a a * A x opisuje wzór (3.14). Z asada rozszerzania pozwala wówczas przenieść funkcję określoną na zbiorach zwykłych na funkcję przekształcającą zbiory rozmyte według wzoru

f (A) = U a * f (A,), (5.2)

a = 0

gdzie f (Aa) jest obrazem nierozmytego zbioru A a (3.13) przy zadanej funkcji f.

Niech (X, B, P) będzie zatem pewną przestrzenią praw dopodo­ bieństwa i niech A będzie zdarzeniem rozm ytym w sensie Zadeha (patrz rozdział 2). Wówczas wszystkie ж-przekroje zbioru A są zbioram i borelowskimi, a więc elementami σ-ciała В (nierozmytego σ-ciała podzbiorów borelowskich zbioru X). Stosując do równości (5.1) zasadę rozszerzania (5.2) w przypadku funkcji P, otrzymujemy tzw. rozm yte praw dopodobieństw o P(A) rozm ytego zdarzenia A p o ­

staci ~

gdzie P (A«) jest praw dopodobieństw em nierozmytego zdarzenia A*. T raktując liczbę Р(АЯ) e < 0,1 > jako jednoelem entowy podzbiór {P(Aa)} przedziału < 0 , 1 > m ożna łatwo zauważyć, że związek (5.3) przedstawia zbiór rozm yty określony na < 0 , 1 > . W tym ujęciu rozmyte praw dopodobieństw o P jest zbiorem rozm ytym, a nie liczbą rzeczywistą z przedziału < 0 , 1 > .

Idea Yagera pozwala wprowadzić pojęcia niezależności i praw ­ dopodobieństw a w arunkowego zdarzeń rozmytych, pozwala także na analizę rozm ytego praw dopodobieństw a jak o stosunku mocy odpowiednich zbiorów rozmytych. Ciekawe propozycje i przykłady zawiera też praca [36].

Jeszcze inną koncepcję praw dopodobieństw a przedstawili R. Antoniewicz i W. Ostasiewicz w [1]. Zaproponow ali oni nową definicję zbioru rozmytego. W artością funkcji przynależności takie­ go zbioru m iałby być n-elementowy ciąg zer i jedynek. Kolejne wyrazy tego ciągu miałyby informować o posiadaniu lub nie kolejnej i-tej cechy (i = 1, 2,...,n) opisującej dany element. Tak więc przez B(n)-rozmyty zbiór rozumiemy teraz każdą funkcję a : X -* (0, 1 }n, gdzie {0, l}n oznacza iloczyn prosty dwupunktowej algebry Boole’a {0, 1} z działaniami:

P (A) = U a * P (Aa), a = 0

(5.3)

V 0 1 ν 0 1

0 0 1 , 0 0 0 , 0е = 1, Iе = 0. (6.1)

1 1 1 1 0 1

Dla η — 1 B(n)-rozmyty zbiór jest zbiorem w ujęciu C antora i w tym sensie to podejście jest także uogólnieniem pojęcia zbioru. Dla B(n)-rozmytych zbiorów na Ω, wykorzystując wzory (6.1),

przyjmujemy [2]:

1) (« u β) (x) = a (χ) ν β (x), (6.2) 2) (a η β) (x) = a (x) a β (x), (6.3)

3) ac (x) = a ’ (x). (6.4)

Rodzina F(Q) wszystkich B(n)-rozmytych zbiorów na Ω z działania­ mi (6.2)-(6.4) tworzy ciało. Niech (Ω, A, P) będzie zwykłą przestrzenią probabilistyczną zaś p : (0, l} n -> < 0 , 1 > pewną m iarą praw ­ dopodobieństw a na algebrze Boole’a {0,1 }n. Przez zdarzenie rozmyte a rozumiemy każdy B(n)-rozmyty zbiór a e F (Ω) taki, że złożenie p o a jest funkcją borelowską w (Ω, A). Zbiór B(n)-rozmytych zdarzeń w (Ω, A) oznaczamy B(A). Rodzina B(A) jest borelowskim σ-ciałem. W ówczas funkcja Q : B(A) < 0 , 1 > określona wzorem

Q (a) = Jn P 0 a dP (6.5) jest m iarą praw dopodobieństw a na (Ω, B(A)) zdarzenia rozm ytego a. Trójkę (Ω, B(A), Q) nazywamy B(n)-rozmytą przestrzenią probabili­ styczną.

7. KONCEPCJA CHENGA I LIU

Kolejną próbą konstrukcji rozmytego praw dopodobieństw a jest teoria Chenga i Liu [6]. Używają oni dla zbiorów rozmytych A i В na Ω następujących operacji rozmytych:

1) Pa©b = min (μΑ (χ) + μ Β (x), 3 }, (7.1) 2)

μΑΘΒ

6) An I A μΑχ (x) ^ μΑ2 (x) > ... i lim μΑ„ (x) = Pa (x),(7.6)

dla wszystkich x e Ω.

W ówczas klasę zbiorów rozmytych zam kniętą ze względu na działa­ nia (2.10), (2.11), (2.12) oraz (7.1) i (7.2) i operacje (7.5), (7.6) nazywamy rozmytym σ-ciałem zbiorów rozmytych na Ω i oznaczamy L. K ażde odwzorowanie π: L -+ < 0 , 1 > spełniające warunki

1) π (Ω) = 1, (7.7)

00 00

2) π (® A n) = £ π (An) dla A B e L i © A„ e L (7.8)

n — j n = ] n = ]

nazywamy rozmytym praw dopodobieństw em , a trójkę (Ω, L, π) rozm ytą przestrzenią probabilistyczną. Tak określona funkcja speł­ nia te wszystkie własności, które posiada zwykłe praw dopodobieńst­ wo. Przy tym, jeśli, (Ω, F, P) jest klasyczną przestrzenią probabilis­ tyczną, to rodzina zbiorów rozmytych

С = {A : μΑ jest A-mierzalna) jest rozm ytym σ-ciałem, a funkcja

n (A) = jo μΑ dP (7.9) jest dla А e С m iarą praw dopodobieństw a.

W arto zauważyć, że równość (7.9) jest identyczna z tym co Zadeh nazwał praw dopodobieństw em zdarzenia rozm ytego (2.3).

8. DWOISTA ROZMYTOŚĆ

Jeszcze inne ujęcie rozmytości zaproponow ał K. A tanassov w pro­ wadzając pojęcie zbioru dwoistorozmytego [3], Takim zbiorem w przestrzeni X nazywamy, przez analogię do (1.2), obiekt postaci

A = {(x, μ a (x), vA (x) : x e X}, (8.1) gdzie μ a, vA : X -> < 0 , 1 > są funkcjami odpowiednio przynależności

i nieprzynależności zbioru dwoistorozm ytego, przy czym musi zachodzić warunek 0 < μ л ) + vA (x) ^ 1.

Problem korelacji takich^zbiorów opisuje praca [11], a dyskretną wersję rachunku praw dopodobieństw a zdarzeń dwoistorozmytych m ożna znaleźć w [12]. Przypadek ogólny przedstaw iono w [24]. Zgodnie z tą pracą zakładam y, że dana jest klasyczna przestrzeń praw dopodobieństw a (Ω, F, P).

Zdarzeniem dwoistorozmytym A w zbiorze Ω nazywamy wtedy każdy taki zbiór dwoistorozmyty A, którego funkcje przynależności

μ a i nieprzynależności vA są F-mierzalne. W ówczas całkę Lebes- gue’a-Stieltjesa postaci

P (A) =

[

Ω ₂

nazywamy jego praw dopodobieństwem . Tak określona funkcja

P posiada te wszystkie własności, które przypisujemy praw dopodo­

bieństwu zwykłych zdarzeń. W przypadku upraszczania się sytuacji dwoistorozmytej do sytuacji rozmytości zadehowskiej, tj. wtedy, gdy vA = 1 - μa', wzór (8.2) redukuje się do wzoru (2.3), a przez to ujęcie

praw dopodobieństw o opisane wzorem (8.2) obejmuje najszerszą klasę zdarzeń rozmytych. W pracy [24] oprócz m iary probabilistycz­ nej zdarzeń dwoistorozmytych rozważa się także m iary entropowe i energetyczne takich zdarzeń oraz ich powiązania korelacyjne będące rozszerzeniem idei z pracy [11].

W powyższym artykule zaprezentowaliśmy różne koncepcje ra ­ chunku praw dopodobieństw a zdarzeń rozmytych i ich ewolucję od początków teorii zbiorów rozmytych. Chcieliśmy przy tym zwrócić uwagę na ich różnorodność i bogactwo, a przy tym wskazać wkład polskich m atem atyków w rozwiązywanie tego problem u. D uża ilość prezentow anych idei jest dowodem na to, że zagadnienie łączenia rozmytości z losowością jest wciąż żywe, i że nieustannie trw ają poszukiw ania rozwiązania optymalnego. Z braku miejsca nie om ó­ wiliśmy tutaj innych koncepcji rozmytej propabilistyki (np. [4]) i innych jej ujęć, jak chociażby pojęcia rozmytej zmiennej losowej ([12], [25], [29]), pojęcia zbiorów probabilistycznych [7], [15], czy też idei praw dopodobieństw a lingwistycznego i lingwistycznej zmiennej losowej [35], [10]. Chcieliśmy jedynie przekonać czytelnika o odm ien­ ności idei rozmytości i losowości oraz zasygnalizować rolę M. Lubańskiego w rozpowszechnieniu „rozm ytości” w Polsce już we wczesnym stadium istnienia tej teorii.

[1] R. Antoniewicz i W. Ostasiewicz , Koncepcja rozmytego rachunku

prawdopodobieństwa. Badania operacyjne w praktyce gospodar­ czej, Akadem ia Ekonom iczna, Katowice 1983, 5-12.

[2] R. Antoniewicz i W. Ostasiewicz, On fu z z y events, Proc. Polish Symp. on Interval and Fuzzy M athem atics in Poznań 1983. Instytut M atem atyki Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985, 17-22, ed by J. Albrycht and FI. Wiśniewski.

9. UWAGI KOŃCOWE

[3] К . A tanassov i S. Stoeva, Intuitionistic fu zzy sets, wydawnictwo jak w [2], 23-26.

[4] J.F. Baldwin i B.W. Pilsworth, A theory o f fu z z y probability, Univ. o f Bristol, Engineering M athem atics D epartm ent, Rese­ arch R eport, EM /FS/15 (1978), 53-61.

[5] A.N . Borisov i J. Osis, M etodika ocenki fu n kc ji prinadleżnosti

elementov rozmytego mnożestwa, K ibernetika i diagnostika, Riga

1970, wyd. 4, 125-134 (w jęz. rosyjskim).

[6] S. Cheng i D. Liu, Fuzzy probability space and extension theorem, J. M ath. Anal. Appl. 113 (1986), 188-198.

[7] E. Czogala i W. Pedrycz, Elementy i metody teorii zbiorów

rozmytych, PW N, W arszawa 1985.

[8] H. D iskhant, About membership functions estimation, Fuzzy Sets and Systems 5 (1981), 141-147.

[9] J. D rewniak, Podstawy teorii zbiorów rozmytych, skrypt Uniwe- sytetu Śląskiego, N r 347, Katowice 1984.

[10] T. G erstenkorn, E. R akus, O użyteczności pojęć zmiennej

rozm ytej i zmiennej lingwistycznej w naukach przyrodniczych,

Listy Biometryczne 27, 1-2 (1990), 3-12.

[11] T. G erstenkorn, J. M ańko, Correlation o f intuitionistic fu zz y

sets, Fuzzy Sets and Systems 44, (1991), 39-43.

[12] T. G erstenkorn, J. M ańko, Probability o f fu zzy intuitionistic

sets, Bulletin p o u r les Sous Ensembles Flous et Leurs A p­

plications 45, (1990/1991), 128-136.

[13] S. Heilpern, Wybrane zagadnienia z teorii zbiorów rozmytych, M atem atyka Stosowana 16 (1980), 27-28.

[14] M. Heller, M. Lubański, Sz.W. Ślaga, Zagadnienia filozoficzne

współczesnej nauki - Wstęp do filo zo fii przyrody, A kadem ia

Teologii Katolickiej, W arszawa 1982.

[15] K. H irota. Concept o f probabilistic sets, Fuzzy Sets and Systems 5 (1981), 31-46.

[16] J. Kacprzyk, Zbiory rozmyte w analizie systemowej, PW N , W arszawa, 1986.

[17] E.P. Klement, Fuzzy σ-ałgebras and fu z z y measurable functions, Fuzzy Sets and Systems 4 (1980), 83-93.

[18] E.P. Klement, W. Schwyhla i R. Lowen, Fuzzy probability

measures, Fuzzy Sets and Systems 5 (1981), 21-30.

[19] H. K w akernaak, Fuzzy random variables - definitions and

theorems, Inform . Sei. 15 (1978), 1-29,

[20] M. Lubański, Die Soft-Algebra u n d Fuzzy-M engen, Proceedings

o f the Polish Symposium on Interval and Fuzzy M athematics in Poznań 1983 ed. by J. Albrycht and H. Wiśniewski, Institute o f

M athem atics Techn, University o f Poznań, W ydawn. Politech­ niki Poznańskiej 1985, 125-129.

[21] Μ . Lubański, Nazw y nieostre a zbiory rozmyte, Studia Philosop­ hiae Christianae, A kadem ia Teologii Katolickiej, W arszawa

14,1 (1978), 31-48.

[22] M. Lubański, Zbiory i algebry, Studia Philosophiae Christianae, A kadem ia Teologii Katolickiej, W arszawa 18,1 (1982), 199-207. [23] M. Lubański, Zbiory rozmyte i operacje na nich, Roczniki

Filozoficzne 26,3 (1978), 77-87.

[24] J. M ańko, Prawdopodobieństwo, entropia i energia w teorii

zbiorów dwoistorozmytyc, rozpraw a doktorska, Uniwersytet

Łódzki, Łódź 1992.

[25] S. Nahm ias, Fuzzy variables, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978), 98-110.

[26] C. V. Negoita i D.A. Ralescu, Application o f fu z z y sets to system

analysis, Birkhäuser, Basel 1975.

[27] K. Piasecki, New concept o f fu z z y sets, Proc. Polish Symp. on

Interval and Fuzzy M athematics in Poznań 1983, Instytut

M atem atyki Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985, 193-196. [28] K. Piasecki , Probability o f fu z z y events defined as denumerable

additivity measure, Fuzzy Sets and Systems 17 (1985), 271-284.

[29] K. Piasecki, Fuzzy P-measures and their application in decision

making, Combining Fuzzy Imprecision with Probabilistic Uncer­ tainty in Decision M aking, J. Kacprzyk i M. Fedrizzi (eds.),

Springer Verlag 1988.

[30] К . Piasecki i Z. Świtalski, A remark on the definition o f fu zz y

P-measure and the Bayes form ula, Fuzzy Sets and Systems 27

(1988), 379-383.

[31] P. Smets, Probability o f fu z z y events: an axiomatic approach, Fuzzy Sets and Systems 7 (1982), 153-164.

[32] R. Yager, A note on probabilities o f fu zzy events, Inform . Sei. 18 (1979), 113-129.

[33] L.A. Zadeh, Fuzzy sets, Inform. Control 8 (1965), 338-353. [34] L.A. Zadeh, Probability measures o f fu z z y events, J. M ath. Anal.

Appl. 23 (1968), 421-427.

[35] L.A. Zadeh, The concept o f a linguistic variable and its ap­

plication to approximate reasoning - parts I, II, HI, Inform . Sei.

8 (1975), 199-249 i 301-357, Inform. Sei. 9 (1976), 43-80. [36] L.A. Zadeh, Fuzzy probabilities, Inform . Proc. and M anage­

T H E P H IL O S O P H Y O F FU Z Z IN E S S AND T H E M A TH EM A TICS O F R A N D O M N ESS

Summary

In the article we present various conceptions of the probability o f fuzzy events as well as their evolution from the beginnings o f fuzzy set theory. We w ant to call one’s attention to their great variety and, with that, show the contribution o f Polish m athem aticians to the solving o f this problem . The large num ber o f ideas presented here withnesses the fact th at the question o f the connecting o f fuzziness with random ness is still vivid, and th at the search for an optim al solution is being continued w ithout cease.

We wish to convince the reader o f the dissimilarity o f the ideas o f fuzziness and random ness as well as to stress the role o f M. Lubański in the propagation of „fuzziness” in Poland at the very early stage o f the existence o f this theory.