Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 9. GRANICE FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 9.

GRANICE FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Definicja (sąsiedztwa punktu)

1) Sąsiedztwo o promieniu r>0 punktu x₀

0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ).

S x r  x r x  x x r

2) Sąsiedztwo lewostronne S x r_( , )₀ (x₀ r x, ₀).

3) Sąsiedztwo prawostronne S x r_( , )₀ ( ,x x_{0 0}r).

Definicja (Heinego granicy właściwej w punkcie)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S x( ₀). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x₀, co zapisujemy

0

lim

x x

f x g



 , wtedy i tylko wtedy, gdy

0 0

( ){ } ( ) (

lim

lim

n n

n n n n

x x S x x x f x g

 

 

      

Obrazowo: funkcja f ma w punkcie x₀ granicę właściwą g, gdy jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do x₀ dążą do liczby g.

Definicja (Heinego granicy niewłaściwej w punkcie)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S x( ₀). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x₀, co zapisujemy

0

lim

x x

f x



 , wtedy i tylko wtedy, gdy

0 0

( ){ } ( ) (

lim

lim

n n

n n n n

x x S x x x f x

 

 

       

Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji)

Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcje x₀^{, to} 1)

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( );

lim lim lim

x x x x x x

f x g x f x g x

  

   ²⁾

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( );

lim lim lim

x x x x x x

f x g x f x g x

  

  

3)

0 0

( ) ( );

lim lim

x x x x

cf x c f x

 

 gdzie c ; 4)

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( ) ;

lim lim lim

x x x x x x

f x g x f x g x

  

   

    

   

5) ⁰

0

0

( ) ( )

( ) ,

( ) ( )

lim

lim lim

x x

x x

x x

f x f x

g x g x







 o ile

0

( ) 0;

lim

g x



 6) ⁰

0 0

( ) ( )

lim

( ( )) ( ) .

lim lim

x x

x x x x

g x

f x g x f x ^

 

 

  

 

Uwaga

Podobnie jak dla ciągów, symbole

   0  0

0





1^ ⁰ 0 ⁰

nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci funkcji je tworzących.

Przykład

Obliczyć podane granice

a)

5

1 2 5 ;

lim

x

 x

 

 ^{b) 2} ;

lim

x

x x

  ^c)

( 2 1 );

lim

x x x



  ^d)

0

2 1 ln

2 .

lim

x

x x

 

  

 

 

Fakt (granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych)

0

sin 1

lim

x

 x



0

tg 1

lim

x

 x



0

1 ln , 0

lim

x

ax

x a a



   1

lim

x

x

x e



   

 

 

 

0

1

lim

x

x x e



 

0

ln(1 )

lim

x

x

 x

 

0

arcsin

lim

x

x

 x



0

arctg

lim

x

x

 x



Przykład

Obliczyć podane granice

a)

0

sin 7 sin 5 ;

lim

x

 x

b)

7 2 1 2

2

2 5

2 7 .

lim

x

x x

 x

   

  

 

ASYMPTOTY FUNKCJI Definicja (asymptota pionowa lewostronna)

Prosta xa jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli:

( ) albo ( ) .

lim lim

x a x a

f x f x

 

 

   

Podobnie definiuje się asymptotę pionową prawostronną.

Definicja (asymptota pionowa obustronna)

Prosta jest asymptotą pionową obustronna, gdy jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną

Fakt (o lokalizacji asymptot pionowych funkcji)

Funkcja może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą (w punktach nie należących do dziedziny poza    i )

Przykład

Wyznaczyć asymptoty pionowe podanych funkcji a)

1

( ) ^x; f x e b)

3 1

( ) 1

f x x x

 



Definicja (asymptota ukośna funkcji)

Prosta y AxB jest asymptotą ukośną funkcji f w  wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli:

 

( ) oraz B= ( ) .

lim lim

x x

A f x f x Ax

 x 

 

Fakt (warunek istnienia asymptot poziomych)

Prosta yB jest asymptotą poziomą funkcji f w B=

lim

x

f x



 

Uwaga

Analogicznie wyglądają warunki istnienia asymptot w .

Uwaga

Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą, to nie posiada ukośnych.

Przykład

Znaleźć asymptoty poziome i ukośne funkcji a) ( ) ; 1 f x x

 x

 ^b)

3 2

( ) 8

4 f x x

x

 

 Definicja (funkcja ciągła w punkcie)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O x( ).₀ Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

0 0

( ) ( ) ( 0).

lim lim

x x x x

f x f x f x

 

 

 

Funkcja ciągła w punkcie Funkcja nieciągła w punkcie

Obrazowo: funkcja jest ciągłą w punkcie, gdy jej wykres nie „przerywa” się w tym punkcie.

Przykład

Zbadać ciągłość funkcji

2 1

dla 1 1

( ) .

2 dla 1

x x

x f x

x

  

  

 



Przykład

Dobrać parametry a b,  tak, aby funkcja

sin dla 1

( ) .

x+b dla 1

x x

f x ax

x

 

 

 



była ciągła.

Definicja (funkcja ciągła na zbiorze)

Funkcja jest ciągła na zbiorze, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Nieciągłość funkcji

Nieciągłość typu „skok” Nieciągłość typu „luka”

0 0

( ) ( ).

lim lim

x x x x

f x f x

 

 



0 0

( ) ( ) ( 0).

lim lim

x x x x

f x f x f x

 

 

 

Twierdzenie (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcje x₀, to

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x₀, to funkcje , , , f f g f g f g

   g (o ile g x( )₀ 0) są ciągłe w punkcie x₀.