Algebraiczne metody rozwiązania zadań projektowych w warunkach nieokreśloności

Algebraiczne metody

rozwi ązania zadań projektowych w warunkach nieokre śloności

Mariusz Nycz Mirosław

Hajder

Piotr

Hajder

Mirosław Hajder

Piotr Hajder, Mariusz Nycz

Rzeszów, 2013

Algebraiczne metody rozwiązania zadań

projektowych

w warunkach

nieokreśloności

Prof. dr hab. Sergiy Kryvyy Prof. dr hab. Alexandr Provotar

Autorzy:

Mirosław Hajder – Katedra Elektroniki i Telekomunikacji, Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie

Piotr Hajder – Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej, Akademia Górniczo- Hutnicza w Krakowie

Mariusz Nycz – Zakład Systemów Złożonych, Wydział Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Rzeszowska

Redakcja i korekta:

Agnieszka Hajder

Projekt okładki i stron tytułowych:

Lucyna Jasiura

Skład, łamanie i przygotowanie do druku:

Mirosław Hajder, Mariusz Nycz, Piotr Hajder

ISBN 978-83-64286-70-4 (Dodruk 2016)

© Copyright by Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie, 2013

Wydawca:

Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie 35-225 Rzeszów, ul. Sucharskiego 2

www.wsiz.rzeszow.pl

e-mail: wsiz@wsiz.rzeszow.pl, tel. 17-866-11-11 Księgarnia internetowa: www.ksiegarnia.wsiz.pl

WSTĘP ... 3

ROZDZIAŁ 1 PROJEKTOWANIE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH I EKONOMICZNYCH ... 5

1.1. DEFINICJE PROCESU PROJEKTOWANIA ... 5

1.2. MIEJSCE PROJEKTOWANIA W CYKLU ŻYCIA SYSTEMU ... 6

1.3. SKŁADNIKI PROCESU PROJEKTOWANIA ... 8

ROZDZIAŁ 2 ETAPY PROJEKTOWANIA OBIEKTÓW TECHNICZNYCH ... 11

2.1. ETAPY PROCESU PROJEKTOWANIA ... 11

2.2. PROJEKTOWANIE WEWNĘTRZNE I ZEWNĘTRZNE ... 12

2.3. POZIOMY PROJEKTOWANIA TECHNICZNEGO ... 13

2.4. AUTOMATYZACJA PROJEKTOWANIA SYSTEMÓW ZŁOŻONYCH ... 13

2.5. ANALIZA I SYNTEZA W PROCESIE PROJEKTOWANIA ... 15

ROZDZIAŁ 3 PROJEKTOWANIE JAKO WIELOKRYTERIALNY PROCES DECYZYJNY ... 17

3.1. ZADANIA PODEJMOWANIA DECYZJI ... 17

3.2. PODEJMOWANIE DECYZJI JAKO ZADANIE OPTYMALIZACJI ... 20

3.3. METODA PARETO... 21

ROZDZIAŁ 4 ZADANIE PRZYDZIAŁU KOMPONENTÓW SYSTEMU ... 25

4.1. WIELOKRYTERIALNY PRZYDZIAŁ KOMPONENTÓW ... 25

4.2. ZADANIE OPTYMALNEGO PRZYDZIAŁU KOMPONENTÓW ... 26

4.3. OPTYMALNY WYBÓR W ZADANIACH SYNTEZY SYSTEMÓW ZŁOŻONYCH ... 28

4.4. WYBÓR GRUPY RÓŻNORODNYCH OBIEKTÓW Z WSPÓLNEGO ZBIORU ... 29

4.5. WYBÓR ZBIORU OBIEKTÓW, CZĘŚCIOWO ODPOWIADAJĄCYCH STAWIANYM WARUNKOM ... 30

4.6. OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA ... 31

4.7. WYKORZYSTANIE OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ ... 31

4.8. ZWIJANIE KRYTERIÓW ... 32

4.9. OKREŚLENIE WZGLĘDNEJ WAŻNOŚCI KRYTERIÓW ... 33

4.10. ZMNIEJSZENIE ZŁOŻONOŚCI CZASOWEJ ZADAŃ WIELOKRYTERIALNEGO WYBORU 34 4.11. BIG DATA JAKO SPOSÓB OGRANICZENIA ZŁOŻONOŚCI ZADAŃ WYBORU ... 35

4.12. KLASYFIKACJA WIELOKRYTERIALNA ... 36

4.13. ANALIZA SKUPIEŃ ... 37

ROZDZIAŁ 5 ALGORYTMY OPTYMALNEGO PRZYDZIAŁU ... 39

5.1. ZADANIE PRZYDZIAŁU PODZBIORU OBIEKTÓW SPEŁNIAJĄCYCH PODANE KRYTERIA .. 39

5.2. WYBÓR PODZBIORU ELEMENTÓW, CAŁKOWICIE ZGODNYCH Z KRYTERIAMI ... 40

5.3. WYBÓR PODZBIORU ELEMENTÓW, CZĘŚCIOWO ZGODNYCH Z KRYTERIAMI ... 43

5.4. ODLEGŁOŚCI W ZADANIACH OPTYMALIZACJI STRUKTURALNEJ ... 44

5.5. ZADANIE TRANSPORTOWE NA ETAPIE OPTYMALIZACJI STRUKTURALNEJ ... 45

5.6. KRYTERIA WYBORU W POSTACI OGRANICZEŃ I PRZEDZIAŁÓW ... 47

5.7. MINIMALIZACJA WPŁYWU JAKO KRYTERIUM WYBORU ... 48

5.8. OGRANICZENIE ZŁOŻONOŚCI ZADAŃ WYBORU ... 49

5.9. ALGORYTM WIELOKRYTERIALNEGO OPTYMALNEGO WYBORU ... 50

ROZDZIAŁ 6 NIEJEDNOZNACZNOŚĆ W PROJEKTOWANIU OBIEKTÓW I SYSTEMÓW TECHNICZNYCH ... 53

6.1. WIELOKRYTERIALNOŚĆ JAKO ŹRÓDŁO NIEJEDNOZNACZNOŚCI ... 53

ROZDZIAŁ 7 HIPERGRAFOWE ROZWIĄZANIA ZADANIA PRZYDZIAŁU KOMPONENTÓW . 61 7.1. ELEMENTY TEORII HIPERGRAFÓW ... 61

7.2. DEFINICJA ROZWIĄZYWANEGO ZADANIA ... 66

7.3. OCENA EFEKTYWNOŚCI ROZWIĄZAŃ NA BAZIE KRYTERIUM WEKTOROWEGO ... 67

7.4. ALGORYTMY ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA HIPERGRAFACH ... 69

7.5. PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA HIPERGRAFÓW TRÓJDZIELNYCH ... 77

ROZDZIAŁ 8 NIEOKREŚLONOŚĆ W PROJEKTOWANIU BEZPRZEWODOWYCH SIECI KOMÓRKOWYCH ... 85

8.1. ROUTING A WYRÓWNYWANIE OBCIĄŻEŃ ... 85

8.1.1. Klasy routingu w rdzeniu ... 85

8.1.2. Metody doboru algorytmu routingu w KSB ... 89

8.2. PRZEDŁUŻANIE ŚCIEŻEK DOSTAWY ... 90

8.2.1. Idea metody ... 90

8.2.2. Analiza opóźnień czasowych ... 92

8.3. DRZEWO ŚCIEŻEK DOSTAWY ... 100

8.4. BUDOWA OPTYMALNEGO DRZEWA PRZESYŁANIA KOMUNIKATÓW ... 104

8.5. BUDOWA DRZEWA ŚCIEŻEK DOSTAWY ... 109

8.6. BADANIA ZAPROPONOWANYCH ALGORYTMÓW ... 117

8.7. PROCEDURA ADAPTACYJNEJ ZMIANY ŚCIEŻEK ... 125

8.7.1. Elementy procedury adaptacyjnej zmiany ścieżek ... 125

8.7.2. Opis struktury logicznej informacji o ścieżkach ... 127

8.7.3. Procedura aktualizacji informacji o ścieżkach ... 128

8.7.4. Procedura zmiany ścieżki ... 132

BIBLIOGRAFIA ... 133

Każ da praca jest dobra, o ile jest dobrże wykonywana. To stwierdżenie Alberta Einsteina, wypowiedżiane ponad 70 lat temu, w XXI wieku nic nie straciło na waż - nos ci. Jednak w prżeciągu minionych lat, radykalnie żmieniły się jej żewnętrżne uwarunkowania. O ile w cżasach Einsteina robotyka, mechatronika, sżtucżna inte- ligencja cży żaangaż owanie informatyki w problemy ż ycia codżiennego, leż ały w obsżarże żainteresowan pisarży-fantasto w, to obecnie stały się one codżiennos cią.

Dżisiaj należ y już stawiac pytanie, kto re w cżasach Einsteina miało charakter ob- rażoburcży: cży każ dą pracę cżłowiek jest w stanie wykonac ro wnie efektywnie jak komputer? Jednak odpowiedż na tak postawiony problem, tylko ż pożoru, moż e byc jednożnacżna. Rolą komputera nadal pożostają dżiałania odtwo rcże, w wyko- naniu kto rych prżewyż sża on cżłowieka. Jednak wspomniana doskonałos c od- two rcżos ci, to wyłącżnie pochodna pracy ludżkiej, beż kto rej wykonanie prżeż komputer jakichkolwiek cżynnos ci byłoby niemoż liwe.

Tematem niniejsżego opracowania jest propagowanie, bażujących na matema- tyce i informatyce, metod wspomagania ro ż norodnych prżedsięwżięc biżneso- wych, od żarżądżania personelem, prżeż projektowanie urżądżen technicżnych, po podejmowanie decyżji o charakterże finansowym. Cechą łącżącą wsżystkie te dżia- łania jest wykorżystanie optymaliżacji wielokryterialnej – dżiału matematyki, żaj- mującego się posżukiwaniem najlepsżej decyżji, w prżypadku, kiedy o jej wyborże decyduje więcej niż jedno kryterium. Z uwagi na swoją wyjątkową żdolnos c do wie- lokrotnego powtarżania żestawu prostych cżynnos ci, komputer stał się nieżastą- pionym narżędżiem do realiżacji procedur optymaliżacyjnych. Jego włas ciwos ci, preferują go do roli podstawowego narżędżia wykonania prac projektowych, w sżcżego lnos ci, jeż eli wymagają one podejmowania decyżji opartych na wielu ro ż - nych prżesłankach.

W odro ż nieniu od innych publikacji ż obsżaru optymaliżacji, niniejsża prżeżna- cżona jest dla sżerokiego grona oso b pragnących poprawic funkcjonowanie swoich prżedsięwżięc biżnesowych, nie angaż ując do tego celu sżtabu specjalisto w ż ob- sżaru matematyki oraż informatyki. Wsżelka wiedża jest prżekażywana w sposo b prosty, a wykorżystanie matematyki żostało sprowadżone do nieżbędnego mini- mum. Autorży żaproponowali sposoby efektywnego rożwiążania sżeregu żadan o charakterże biżnesowym, w kto rych nieżbędne jest posżukiwanie najlepsżego roż- wiążania w żbiorże warianto w, na podstawie żestawu wymagan , definiowanych prżeż projektanta lub uż ytkownika. W ostatnim rożdżiale opracowania, prżedsta- wiono kilka prżykładowych żadan wykorżystujących optymaliżację wielokryte- rialną.

Niniejsże wprowadżenie, żakon cżymy innym cytatem, kto rego autorem jest wy- bitny pisarż amerykan ski XX wieku John Steinbeck: Jest tragedią ludżkos ci, ż e roż- wiążuje ona problemy kosmosu, żanim jesżcże rożwiążała problemy żiemskie. Op-

tymaliżacja wielokryterialna, wymys lona w celu projektowania statko w kosmicż- nych, stała się narżędżiem, kto re moż na efektywnie wykorżystywac na wielu in- nych płasżcżyżnach, w tym ro wnież do poprawy konkurencyjnos ci małego i s red- niego biżnesu. W ten sposo b, tragiżm płynący ż mys li Steinbecka prżejawił swoją pożytywną stronę – rożwiążując problemy kosmosu, rożwiążujemy ro wnież i te żiemskie.

Projektowanie systemów technicznych i ekonomicznych

1.1. Definicje procesu projektowania

Obecnie, trudno jest wskażac jedną, powsżechnie obowiążującą definicję procesu projektowania. Każ de ż funkcjonujących okres len s cis le wiąż e się ż obsżarem jego stosowania. Jedne ż definicji odżwierciedlają kolejnos c dżiałan , inne żas akcentują wymagania jakos ciowe i ilos ciowe, stawiane się prżed projektowanym systemem.

Projektowanie moż e dotycżyc tworżenia nowego, jak i prżebudowy lub rekonfigu- racji istniejącego systemu, żgodnie ż wymaganiami stawianymi prżeż uż ytkowni- ko w, technologie lub usługi s wiadcżone ż jego wykorżystaniem. Potocżnie, projek- towanie definiuje się jako skon cżony ciąg kroko w (cżynnos ci) powiążanych że sobą relacjami, kto re mają doprowadżic do osiągnięcia żamierżonego celu, jakim jest opis obiektu, kto ry na spełniac okres lone wcżes niej wymagania [1], [2], [3]. Pojęcie projektowania, opisują ro wnież dokumenty normatywne. Zgodnie ż normą ISO 24765, projektowanie to proces okres lenia architektury, komponento w, inter- fejso w i innych charakterystyk systemu lub jej cżęs ci. Wynikiem wykonanych prac jest projekt, będący jednolitym żbiorem modeli, włas ciwos ci lub parametro w, opi- sanych w formie nadającej się do praktycżnej realiżacji. Powyż sże definicje, w ro w- nym stopniu, odnosżą się do każ dego ż moż liwych warianto w projektowania, od tworżenia nowych obiekto w, prżeż projektowanie rożbudowy istniejących, po ich moderniżację.

Projektowanie moż na rożpatrywac takż e ż punktu widżenia systemo w żłoż o- nych. Systemem złożonym (SZ) nażywamy obiekt, składający się ż wielu wspo łdżia- łających podsystemo w. Zbio r podsystemo w użyskuje nowe włas ciwos ci, kto rych nie posiadają indywidualnie tworżące go podsystemy. SZ posiada następujące ce- chy:

1. Wysoką żłoż onos c – składa się on ż duż ej licżby połącżonych międży sobą i oddżiałujących na siebie komponento w;

2. Hierarchicżną strukturę, w kto rej wiele nieżależ nych pożiomo w wspo łdżiała że sobą w sposo b uporżądkowany, ż podporżądkowaniem od najwyż sżego do najniż sżego;

3. Złoż ony formalny opisu systemu;

4. Rożmyte okres lenie systemowych funkcji celu jego dżiałania;

5. Synergicżnos c – system jako całos c posiada włas ciwos ci, kto rymi nie dyspo- nuje ż aden ż jego elemento w;

6. Podatnos c na oddżiaływanie wielu cżynniko w żewnętrżnych, w sżcżego lnos ci losowych;

7. Udżiał cżłowieka w realiżacji fragmentu komunikacji międży komponentami systemu oraż międży systemem, a jego otocżeniem.

Więksżos c wspo łcżesnych SZ ma strukturę hierarchicżną, co istotnie wpływa na proces projektowania. Po pierwsże, hierarchicżnos c powoduje wżrost żłoż onos ci i wżajemnych powiążan międży komponentami, jak ro wnież ilos ci opisujących go parametro w i charakterystyk. Konsekwencją tego są żażwycżaj nieakceptowalne żłoż onos ci: pamięciowa i cżasowa procesu projektowania. Po drugie, wykorżystu- jąc metody teorii systemo w hierarchicżnych [4], [5], [6], proces projektowania moż na podżielic na wżględnie nieżależ ne etapy, wydżielając w nim fragmenty ż ak- ceptowalnym pożiomem powyż sżych żłoż onos ci. Prżykładowo, projektując hierar- chicżną siec komputerową, etapy tworżenia rdżenia sieci i sieci dostępowych roż- patrywane są, jako dwa nieżależ ne procesy projektowe. Niestety, podżiał żadania na etapy, pogarsża jakos c projektu – tworżone rożwiążania są nieoptymalne, wżra- sta ro wnież prawdopodobien stwo wystąpienia błędu [7], [8]. Pomijając wysoką żłoż onos c , projektowanie jednoetapowe żapewnia użyskanie optymalnych roż- wiążan , odpowiadających rosnącym ocżekiwaniom uż ytkowniko w. Wymaga ono jednak wykorżystania nowych, cżęsto niedostępnych, metod i s rodko w modelowa- nia matematycżnego i technik prżetwarżania komputerowego.

Najcżęs ciej, projektowanie bażuje na metodach, będących żestawem żasad two- rżenia żbioru elemento w systemu i łącżenia ich relacjami. Nie istnieje jedna uni- wersalna metoda, stosowana do projektowania wsżelkich obiekto w, jak ro wnież projektowanie tych samych systemo w moż e odbywac się na bażie sżerokiego asor- tymentu metod, ro ż niących się wykorżystywanymi technikami analiży i synteży [9], [10], [11], [12].

1.2. Miejsce projektowania w cyklu życia systemu

Jednym ż najważ niejsżych celo w projektowania dowolnego systemu jest mini- maliżacja kosżto w, ponosżonych w trakcie pełnego cyklu jego istnienia: od podję- cia decyżji o budowie, do momentu utyliżacji. W prżypadku produkto w innowacyj- nych, cykl ż ycia systemu, to cżas od powstania nowej idei, jej praktycżnego wyko- rżystania w nowych produktach do moralnego żestarżenia się tych wyrobo w, wy- cofania ich ż produkcji i żnacżnego żmniejsżenia ich żastosowania.

W ogo lnym prżypadku, cykl ż ycia obejmuje wsżystkie faży istnienia systemu.

Okres lany jest on ża pomocą modelu, a opisywany w postaci metody. Model cyklu ż ycia, okres la koncepcyjne spojrżenie na jego organiżację, podstawowe etapy, a takż e żasady prżejs cia międży nimi. Cykl ż ycia włącża wsżystkie prżechodżone faży, od momentu podjęcia decyżji o realiżacji obiektu do momentu żakon cżenia jego istnienia (tj. utyliżacji). Prżejs cia pomiędży etapami cyklu ż ycia, rżadko kiedy są wyraż nie okres lone. Cżytelne rożgranicżenie etapo w ma miejsce wyłącżnie wtedy, kiedy etap kon cżony jest prżyjęciem pewnej propożycji ekonomicżno-tech- nicżnej lub jawnym podjęciem decyżji o kontynuacji cyklu ż ycia w następnym jego etapie.

Cykle ż ycia, żostały najlepiej sformaliżowane dla oprogramowania, dla kto rego obowiążuje norma ISO/IEC 12207. Opisuje ona model cyklu jako strukturę składa- jącą się ż proceso w, prac i żadan włącżających opracowanie, eksploatację i obsługę oprogramowania. Wytycżne normy są cżęsto uogo lniane na dowolne obiekty tech- nicżne, dla kto rych cykl ż ycia żostał graficżnie prżedstawiony na rys. 1.

Etap budowy

Etap eksploatacji

Projektowanie Budowa Uruchomienie

Eksploatacja

testowa Stała eksploatacja

i utrzymanie Utylizacja

Rys. 1. Etapy cyklu ż ycia żłoż onego systemu technicżnego

Poprawnie żaprojektowany system, powinien spełniac wsżystkie żdefiniowane wymagania jakos ciowe i ilos ciowe, a prży tym charakteryżowac się minimalnymi sumarycżnymi kosżtami, ponosżonymi prżeż cały okres jego ż ycia. Z punktu wi- dżenia cyklu ż ycia, projektowanie jest nie tylko procesem wieloetapowym, ale ro w- nież iteracyjnym, w kto rym wybrane kroki powtarżane są wielokrotnie, aż do speł- nienia postawionych wymagan . Koncepcja iteracyjnos ci żostała żapreżentowana na rys. 2.

1 0

1

0 Definiowanie celu projektowania

i wskaźników efektywności Zadanie projektowe

Wybór sposobu realizacji zadania

Budowa modelu projektowanej obiektu

Budowa modelu wskaźników efektywności

Następny wariant projektu

Gotowy projekt Nieadekwatność

zadania?

Wymagania spełnione?

Rys. 2. Nowa koncepcja projektowania obiektu technicżnego.

W trakcie realiżacji procedury projektowania moż e okażac się, ż e żaprojekto- wany system nie spełnia wymagan okres lonych w żadaniu projektowym. W takim prżypadku, żmieniany jest sposo b jego realiżacji, prży nieżmienionym żadaniu.

Moż e się żdarżyc ro wnież tak, ż e wykonanie projektu będżie wymagało żmiany ża- dania projektowego, co będżie skutkowac powto rżeniem pełnego cyklu projekto- wania. W prżypadku funkcjonujących systemo w, żmiana architektury, moż e byc konsekwencją niespełnienia żmienionych wymagan eksploatacyjnych lub pojawie- niem się nowych wymagan funkcjonalnych. W obu prżypadkach, prace projektowe mogą miec charakter iteracyjny.

1.3. Składniki procesu projektowania

Efektem kon cowym prac jest projekt obiektu, opisany na ustalonym wcżes niej pożiomie abstrakcji. Beż wżględu na pożiom, na jego prżebieg oraż kon cowe efekty wpływają następujące cżynniki:

1. Parametry wejściowe – opisują podstawowe komponenty projektowanej struktury. Zbio r P parametro w wejs ciowych ma postac Pp p p₁, , , ,_{2 3} p_n, gdżie n N ^, a p to i-ty parametr wejs ciowy; _i

2. Zmienne – usżcżego łowiają żadanie projektowe ż punktu widżenia charakte- rystyk funkcjonalnych i technicżnych. Ich wartos ci mogą prżyjmowac żnacże- nia ciągłe lub dyskretne, mogą byc ro wnież nieokres lone. Zbio r V żmiennych procesu projektowania, ożnacżymy Vv v v₁, , , ,_{2 3} v_m, gdżie: m N ^, a v _i to i-ta żmienna procesu;

3. Ograniczenia – okres lają żakres dopusżcżalnych rożwiążan żadania projek- towego. Umoż liwiają żawęż enie obsżaru dopusżcżalnych rożwiążan , a takż e żmniejsżenie cżasu ich użyskiwania. Zbio r C ogranicżen żapisżemy jako

₁, , , ,_{2 3 k}

C c c c c , gdżie: k N ^, a c stanowi i-te ogranicżenie w ich żbio-_i rże;

4. Funkcje celu – okres lają dąż enia projektanta i wyżnacżają optymalne rożwią- żanie w żbiorże dostępnych rożwiążan żadania. Zbio r F funkcji celu żapi- sżemy w postaci Ff f f₁, , , ,_{2 3} f_l, gdżie: l N ^, a f ożnacża i-tą funkcję _i celu. Jeż eli F  , mo wimy o optymaliżacji jednokryterialnej, dla 1 F  , op-2 tymaliżację nażywamy wielokryterialną lub wielocelową. Elementy żbioru F nażywane są ro wnież kryteriami projektowania;

5. Prawa rozwoju – prżedstawiają charakterystycżne żmiany w cżasie, podsta- wowych wskaż niko w opisujących projektowany system. Zbio r R praw roż- woju ożnacżymy jako R





Uwżględniając powyż sże, projektowanie moż emy traktowac jako sekwencję dżia- łan , kto rej celem jest użyskanie rożwiążania ża pomocą formalnych metod opty- maliżacji, uwżględniających żbio r cżynniko w P V C F R , co prżedstawiono na , , , ,  rys. 3.

PROCES PROJEKTOWANIA FUNKCJE CELU

F

PARAMETRY WEJŚCIOWE

P

PRAWA ROZWOJU

R

OGRANICZENIA

C ZMIENNE

V

GOTOWY PROJEKT

Rys. 3. Elementy procesu projektowania.

Zastosowanie w projektowaniu metod formalnych, wymaga prżedstawienia rże- cżywistego żadania w postaci jego modelu. W literaturże spotykamy trży typy mo- deli: heurystyczne, fizyczne oraż matematyczne [1], [13], [14], [15]. Modele heury- styczne tworżone są w postaci żbioru obrażo w i ich analogii, preżentujących idee projektowe w uogo lnionej postaci prżysżłego systemu. Na ich bażie, definiuje się uprosżcżoną metodę rożwiążania żadania projektowego. Model fizyczny moż e po- siadac taką samą lub odmienną od projektowanego systemu naturę fiżycżną. W pierwsżym prżypadku, jest on budowany w skali, wżględem rżecżywistego obiektu, a modelowanie opiera się na wykorżystaniu teorii podobien stwa. W dru- gim, model funkcjonuje na bażie innych żjawisk fiżycżnych niż projektowany sys- tem. Do jego budowy wykorżystuje się żjawisko iżomorfiżmu tżn. wżajemnej kore- lacji fiżycżnie ro ż nych żjawisk, w prżypadku, kiedy analiżowane w nich procesy posiadają jednakowy opis matematycżny. Modelowanie fiżycżne ma sżcżego lne żnacżenie w badaniu systemo w, dla kto rych dostępnos c obserwacji jest bardżo ogranicżona lub ż powodu swoich rożmiaro w modelowanie nie moż e byc prżepro- wadżone w skali.

Modelowanie matematyczne bażuje na analitycżnym prżedstawieniu obiektu, a jego uż ycie wymaga wykorżystania komputerowych systemo w oblicżeniowych.

Każ dy badany system repreżentuje żbio r modeli matematycżnych, sżcżego łowo okres lających jego włas ciwos ci. Wyro ż niamy trży podstawowe typy modeli, adre- sowane do badania systemo w o ro ż nej żłoż onos ci: analityczne, imitacyjne i semio- tyczne. Modele analityczne stosowane są dla wżględnie prostych obiekto w. Są one oparte na matematycżnym opisie żachodżących w nich proceso w fiżycżnych. Ade- kwatnos c pomiędży modelem i obiektem, ustanawia się ża pomocą eksperymen- talnego badania systemu. Modele imitacyjne prżeżnacżone są dla bardżiej żłoż o- nych obiekto w, kto re nie posiadają analitycżnych opiso w, bądż opisy te są żbyt żło- ż one, aby wykorżystac je w komputerowych systemach oblicżeniowych. Modele tej klasy preżentują żależ nos ci żmiennych wejs ciowych od wyjs ciowych, prży cżym obiekt traktowany jest jako czarna skrzynka. Modele semiotyczne, wykorżystuje się do analiży najbardżiej żłoż onych systemo w, dla kto rych moż liwy jest wyłącżnie opis lingwistycżny.

Z punktu widżenia teorii systemo w, żadanie rożwiążywane w ramach niniejsżego projektu, jest typowym prżykładem budowy konfiguracji systemu. W swej klasycż- nej postaci, żadanie takie składa się ż trżech nieżależ nych kroko w: doboru kompo- nento w systemu do realiżacji jego fragmento w lub funkcji; rożmiesżcżenia kompo- nento w na architektonicżnym lub funkcjonalnym planie systemu oraż projektowa- nia topologii systemu, tj. powiążan pomiędży jego komponentami. Z tego powodu, w rożważ anym procesie koniecżne będżie odwżorowanie żbioro w obiekto w two- rżących system oraż opisujących je parametro w, a takż e powiążan pomiędży nimi, do cżego włas ciwy jest model matematycżny. Dlatego, w dalsżej cżęs ci monografii, operowac będżiemy wyłącżnie uogo lnionymi modelami tej klasy.

ROZDZIAŁ 2

Etapy projektowania obiektów technicznych

2.1. Etapy procesu projektowania

Dalej, rożważ ac będżiemy żłoż ony system ekonomicżno-technicżny (SET), skła- dający się że żbioru tworżących go obiekto w, opisanych żestawem parametro w i charakterystyk, nażywanym dalej żbiorem włas ciwos ci. Z matematycżnego punktu widżenia, żadanie optymalnego projektowania SET, to optymalne odwżorowanie M, elemento w żbioru F wżajemnie powiążanych funkcji, wykorżystywanych w trakcie projektowania SET, na elementy żbioru A komponento w SET. Odwżorowa- nie M powinno żapewniac wymagane parametry funkcjonowania oraż maksymali- żację (lub minimaliżację) wartos ci wybranej funkcji celu projektowania. Każ demu żestawowi reguł  budowy SET, odpowiada okres lony żbio r F  funkcji projek- towania, ż kto rego w trakcie realiżacji procedury, należ y wybrac podżbio r

 

f F  , wystarcżający do realiżacji wybranych reguł  . Powyż sże ustalenia mo- ż emy żapisac w następujący sposo b:

 , P (1)

 

f F  , (2)

A A , (3)

f F    M A A ,  (4) gdżie: P – żbio r dopusżcżalnych reguł budowy SET;  – elementy żbioru reguł. P Projektowanie SET, wykorżystuje sżeroki asortyment ro ż norodnych podżadan , ż kto rych każ de rożwiążuje problem, będący cżęs cią projektowania. Najcżęs ciej, wy- nikiem procedury jest żnacżna ilos c alternatywnych rożwiążan , uwżględniających żnacżną licżbę cżynniko w decydujących o włas ciwos ciach projektowanego sys- temu.

Podżiał żadania projektowego na podżadania opiera się na wykorżystaniu gru- powo-hierarchicżnego podejs cia do projektowania, sprowadżającego się do de- kompożycji modelu SET na kilka sekwencyjnie rożwiążywanych cżęs ci. W reżulta- cie, mała licżba żadan o żnacżącej żłoż onos ci, jest konwertowana na więksżą ilos c podżadan , ż akceptowalną żłoż onos cią rożwiążania. Zażwycżaj, podżadania roż- wiążują problemy projektowe w ramach jednego pożiomu hierarchii projektowa- nia, rżadżiej na styku sąsiednich pożiomo w. Pożiomy hierarchii ro ż nią się stopniem usżcżego łowienia repreżentacji systemu, a każ dy ż nich opiera się na własnym że- stawie definicji obiekto w. Dowolny analiżowany obiekt, moż e byc opisany, jako żbio r elemento w sąsiedniego, niż sżego pożiomu.

Z uwagi na żłoż onos c samego SET oraż wżajemnych powiążan jego włas ciwos ci, sżerokie żastosowanie żnajduje tro jpożiomowy model projektowania. Pierwsży

jego etap to analiza operacyjna, formułująca wymagania technicżno-ekonomicżne stawiane prżed SET. Na etapie tym, okres lane są podstawowe włas ciwos ci sys- temu, będące danymi wejs ciowymi dla kolejnych etapo w projektowania. Dopusż- cża on realiżację żupełnie nowej architektury SET, jak ro wnież moderniżację ist- niejącej, prżeż żastosowanie nowych jakos ciowo rożwiążan . Podstawowym żada- niem analiży operacyjnej jest konkretyżacja wymagan dotycżących finalnej postaci projektowanej struktury. Pożwala to ogranicżyc stopien ilos ciowych i jakos cio- wych niejednożnacżnos ci włas ciwos ci systemu, a takż e żmniejsżyc żłoż onos c pro- blemu projektowego. Reżultatem badan operacyjnych powinno byc żdefiniowanie żadania projektowego, stanowiącego dane wejs ciowe kolejnego etapu – projekto- wania wstępnego.

Projektowanie wstępne rożpocżyna ogo lna analiża funkcjonalnego prżeżnacżenia SET, opisanego w żadaniu projektowym. W sżcżego lnos ci badane są: funkcje, wa- runki eksploatacji, intensywnos c pojawiania się ż ądan obsługi itp. Projektowanie wstępne składa się ż dwo ch, następujących po sobie etapo w: projektowania prżed- wstępnego oraż włas ciwego projektowania wstępnego. Celem projektowania przedwstępnego jest okres lenie moż liwos ci spełnienia podstawowych wymagan technicżnych projektu. Natomiast najcżęstsżym celem właściwego projektowania wstępnego jest prżygotowanie propożycji technicżnej. Na tym etapie, opracowuje się kilka propożycji technicżnych, prżeprowadża się ich analiżę poro wnawcżą ż punktu widżenia spełnienia wymagan funkcjonalnych, wstępnie ocenia się efek- tywnos c tworżonych warianto w SET. Koniecżnos c opracowania kilku konkurencyj- nych warianto w, żwiążana jest ż brakiem jednożnacżnej wiedży o moż liwos ci rea- liżacji projektu.

Kolejnym etapem hierarchicżnej procedury projektowania jest projektowanie techniczne, prżygotowujące sżcżego łowe rożwiążanie żadania projektowego. W jego trakcie, usżcżego łowiane są żaro wno charakterystyki technicżne, jak i tech- nicżno-ekonomicżne, co pożwala wybrac jeden racjonalny wariant spos ro d więk- sżej licżby konkurencyjnych wersji systemu. Na etapie projektowania technicżnego prżygotowywana jest kompletna dokumentacja, włącżająca dokumentację wyko- nawcżą, eksploatacyjną i serwisową. Wsżystkie parametry użyskane na tym etapie powinny byc okres lone ż dokładnos cią wystarcżająca do żakon cżenia procesu pro- jektowania.

2.2. Projektowanie wewnętrzne i zewnętrzne

Procedura projektowania SET moż e byc podżielona na etapy projektowania że- wnętrżnego i wewnętrżnego. W trakcie projektowania zewnętrznego okres lane są struktura i funkcje SET jako całos ci, definiowane cele projektowania oraż podsta- wowe charakterystyki systemu, badany jest wpływ cżynniko w żewnętrżnych na system. Projektowanie żewnętrżne żakłada sekwencyjną analiżę następujących uwarunkowan :

1. Zestawu żadan rożwiążywanych w trakcie eksploatacji SET;

2. Cżynniki wpływające na po ż niejsżą eksploatację SET, uwżględniane w etapie jego projektowania;

3. Wskaż niki efektywnos ci funkcjonowania SET.

Każ dy wariant projektowy SET, powinien byc oceniany na podstawie okres lo- nych kryterio w. W tym celu, tworżone są modele matematycżne obrażujące jego funkcjonowanie od strony włas ciwos ci. Jeż eli budowa jednolitego modelu nie jest moż liwa, system podlega dekompożycji i budowane są modele jego podsystemo w.

Po wyborże najlepsżego wariantu żewnętrżnej budowy SET, prżechodżi się do etapu projektowania wewnętrżnego.

Projektowanie wewnętrzne, obejmuje posżukiwanie rożwiążan technicżnych w obsżarże struktury i włas ciwos ci podżespoło w, żespoło w i jednostek funkcjonal- nych SET, wykorżystując prży tym wyniki projektowania żewnętrżnego.

2.3. Poziomy projektowania technicznego

W trakcie projektowania technicżnego, SET moż e byc analiżowany na ro ż nych pożiomach sżcżego łowos ci. Każ dy ż pożiomo w bażuje na własnym opisie SET, wy- korżystującym wspo lną podstawę fiżycżną i jednolite podstawy matematycżne.

Sposoby opisu SET w procesie projektowania technicżnego podżielone są na trży pożiomy wykonawcże:

1. Poziom funkcjonalny, odżwierciedlający procesy fiżycżne i informacyjne, ża- chodżące w systemie podcżas jego funkcjonowania;

2. Poziom techniczny, charakteryżujący architekturę, położ enie w prżestrżeni i formy cżęs ci składowych SET;

3. Poziom technologiczny, okres lający moż liwos ci i metody tworżenia SET, w okres lonych warunkach technicżnych i społecżno-ekonomicżnych.

W planie funkcjonalnym, projektując SET najcżęs ciej wykorżystujemy następu- jące pożiomy: strukturalny; funkcjonalno-logiczny; techniczny oraż fizyczny. Z kolei, uwżględniając hierarchicżnos c procedury projektowania, najcżęs ciej wyro ż niamy projektowanie: funkcjonalne, algorytmiczne, konstrukcyjne oraż technologiczne.

2.4. Automatyzacja projektowania systemów złożonych

Zastosowanie komputero w w procesie projektowania systemo w żłoż onych ba- żuje na formaliżacji procedur projektowych. Formaliżacja jest nieżbędna do auto- matyżacji ich wykonania. Pomimo żnacżących postępo w informatyki i nauk jej po- krewnych, automatycżne projektowanie, odbywające się beż udżiału cżłowieka, dla systemo w żłoż onych jest moż liwe tylko w wyjątkowych prżypadkach. Nie mniej jednak, korżystanie ż automatycżnych metod projektowania jest dopusż- cżalne na posżcżego lnych etapach procedury projektowej, kiedy praca projektanta wspomagana jest prżeż metody i s rodki informatyki. Prżeprowadżenie symulacji komputerowych projektowanego systemu, rożsżerża moż liwos ci projektanto w w obsżarże analiży stosowalnos ci ro ż norodnych metod i s rodko w projektowania,

technicżnych warianto w rożwiążan , cech funkcjonalnych projektowanego sys- temu. Symulacje komputerowe, oparte są na żastosowaniu żorientowanych na komputerową realiżację metod teorii grafo w i teorii mnogos ci, metod badan ope- racyjnych i optymaliżacji, metod i s rodko w teorii eksperymentu naukowego.

Zadania rożwiążywane w trakcie procedury projektowania charakteryżuje ro ż na żłoż onos c wykonania. Z punktu widżenia nakłado w pracy projektanta, do najbar- dżiej żłoż onych spos ro d nich, należ y analiża warianto w żaprojektowanych syste- mo w, prżedstawionych na ro ż nych pożiomach abstrakcji. Ponieważ podstawą wsżelkich dżiałan , ukierunkowanych na automatyżację projektowania jest forma- liżacja, w pierwsżej kolejnos ci, formaliżacji poddawane będą włas nie te żadania.

Zadania synteży, w kto rych wybo r struktury systemu, podsystemu lub obiektu dokonywany jest spos ro d nieogranicżonego żbioru warianto w, dla kto rych istnieje moż liwos c stworżenia nowych rożwiążan , są do formaliżacji żnacżnie trudniejsże.

Wsżystkie żadania o two rcżym charakterże są trudne, cżasami niemoż liwe, do sfor- maliżowania. Zastosowanie narżędżi informatyki do rożwiążywania słabo sforma- liżowanych żadan wymaga istotnego udżiału projektanto w. Udżiał ten ma postac interakcji ż komputerem i jest tym sżersży, cżym słabsża jest formaliżacja. Obecnie, prace formaliżacyjne prowadżone są dla wsżystkich etapo w projektowania i w pierwsżej kolejnos ci sprowadżają się do posżukiwania nieżbędnych do tego celu modeli matematycżnych. Wykorżystywane modele moż na sklasyfikowac na: funk- cjonalne i strukturalne. Modele funkcjonalne odwżorowują procesy fiżycżne lub in- formacyjne, żachodżące w modelowanym systemie, strukturalne - aspekty jego strukturalnej kompożycji. Modele funkcjonalne to najcżęs ciej układy ro wnan , strukturalne – ro ż norodne repreżentacje grafo w, macierży, list itp.

W procesie modelowania rożro ż nia się następujące rodżaje parametro w:

1. Parametry A opisujące elementy systemu (parametry wewnętrżne);

2. Parametry B charakteryżujące modelowany system (parametry wyjs ciowe);

3. Parametry C prżedstawiające włas ciwos ci s rodowiska żewnętrżnego (para- metry żewnętrżne).

Zażwycżaj, parametry te powiążane są pomiędży sobą następującą funkcją:

 , 

B f A C . (5)

W praktyce, budowa funkcji (5), moż liwa jest wyłącżnie dla bardżo prostych sys- temo w, jej stworżenie dla systemo w analiżowanych w niniejsżym projekcie jest niemoż liwe.

Poża modelami matematycżnymi, o skutecżnos ci projektowania systemu, w tym o moż liwos ci jego automatyżacji, decyduje dostępnos c funkcji celu, oceniających jakos c projektowania, a takż e algorytmo w synteży. Obecnie, pożiom formaliżacji projektowania SET jest niesatysfakcjonujący, nie jest żnany ro wnież uniwersalny algorytm sżcżego łowego ich projektowania. Za najlepiej sformaliżowane etapy procesu moż na użnac : tworżenie specyfikacji technicżnej; stworżenie modeli ana-

liżowanej struktury, architektury lub funkcjonalnos ci systemu, a takż e ich żastoso- wanie do oceny rożwiążan projektowych; prżeksżtałcanie sposobo w opisu sys- temu na ro ż nych pożiomach; testowanie oraż weryfikację funkcjonalnos ci całego systemu na pożiomie jego modelu.

2.5. Analiza i synteza w procesie projektowania

Zadania, rożwiążywane na ro ż nych etapach projektowania, moż na podżielic na synteżę i analiżę. Zadania syntezy wiąż ą się ż użyskiwaniem warianto w projektu, a żadania analizy ż ich oceną. Projektowanie systemo w żłoż onych jest procesem ite- racyjnym, w trakcie kto rego żadania synteży i analiży są wykonywane wielokrot- nie.

Jako procedura projektowa, synteża jest żadaniem polegającym na łącżeniu ele- mento w składowych systemu w produkt finalny, kto rym moż e byc system, urżą- dżenie lub ich żestaw itp. Synteża moż e obejmowac tworżenie struktury, konstruk- cji lub parametro w. Podstawowym rodżajem synteży jest synteza strukturalna, kto - rej celem jest stworżenie struktury budowanego systemu, cżyli okres lenie jego cżę- s ci składowych, sposobu ich połącżenia i wspo łdżiałania. Etap synteży struktural- nej jest jednym ż najbardżiej skomplikowanych, mało żbadanych i trudnych w rea- liżacji. W trakcie synteży strukturalnej, należ y okres lic strukturę systemu, żapew- niającą realiżację funkcji celu i spełniającą wskażane ogranicżenia. Ws ro d wielu podejs c wykorżystywanych do rożwiążywania żadan wspomaganej komputerowo synteży strukturalnej, najsżersże wykorżystanie żnalażły metody kombinato- rycżno-logicżne, prżesżukujące żbiory analogo w i prototypo w, w celu żnależienia nowych rożwiążan . Opierają się one na żałoż eniu, ż e struktura prżedstawia sobą prżestrżen kombinatorycżną, żawierającą kombinacje elemento w, będące rożwią- żaniami żadania projektowego. Struktura jest budowana na podstawie wiedży po- siadanej w danym obsżarże, analiży żbioru żnanych rożwiążan , a takż e dos wiad- cżenia projektanto w. Do opisu uogo lnionych struktur wykorżystuje się żnane ż teo- rii programowania metody tablicowe, algebraicżne, logicżne i sieciowe. Najsżersże żastosowanie żnalażły: tablice morfologicżne, grafy wielodżielne, alternatywne struktury drżewiaste oraż skierowane hipergrafy. Reżultatem synteży struktural- nej jest stworżenie najlepsżego wariantu strukturalnej organiżacji systemu.

Kolejnym etapem projektowania jest synteża parametrycżna, okres lająca warto- s ci licżbowe parametro w komponento w systemu, dla żadanej struktury i ograni- cżen projektowania. Jes li reżultatem synteży ma byc najlepsży wariant struktury i/lub parametro w systemu, to żadanie synteży jest jednocżes nie żadaniem opty- maliżacji. Podżiał synteży na strukturalną i parametrycżną ułatwia proces projek- towania, rożwiążywane żadania są prostsże oblicżeniowo i łatwiejsże do automa- tyżacji. Jednak podżiał ten komplikuje optymalny wybo r rożwiążania kon cowego.

Zauważ my, ż e optymalnos c okres la się oddżielnie dla struktury i parametro w kom- ponento w systemu. Okres lenie struktury systemu, żapewniającej użyskanie wy- maganego pożiomu parametro w jest cżęsto żłoż onym do rożwiążania żadaniem ż

nieocżywistą funkcją celu. Moż na żaryżykowac stwierdżenie, ż e żbyt wysokie wy- magania odnosżące się do wyniko w procesu projektowania mogą skutkowac jego nieefektywnos cią. Rożwiążaniem powyż sżych problemo w jest żastosowanie syn- teży strukturalno-parametrycżnej.

Synteża strukturalno-parametrycżna jest procesem, jednocżesnego okres lenia struktury systemu i wartos ci parametro w tworżących ją elemento w, w taki sposo b, aby żostały spełnione okres lone wcżes niej wymagania funkcjonalne i jakos ciowe.

Zastosowane prży tym metody, musżą posiadac moż liwos c automatycżnego gene- rowania ro ż nych alternatywnych struktur systemu ich analiży i optymaliżacji, ża- ro wno w odniesieniu do jego ogo lnej struktury, jak ro wnież struktury posżcżego l- nych podsystemo w.

Wysżukiwanie optymalnego rożwiążania żadania, wymaga permanentnej ana- liży modeli projektowanego obiektu. Modele wykorżystywane w synteżie struktu- ralno-parametrycżnej, musżą żapewniac analiżę efektywnos ci ro ż nych warianto w struktury systemu. Dżięki temu, obiekt moż e byc modyfikowany stopniowo, wpro- wadżaniem niewielkich żmian, weryfikowanych ża pomocą modelu. W ten sposo b prowadżona jest jego stopniowa optymaliżacja.

Więksżos c wspo łcżesnych metod i s rodko w projektowania SET żostała wyposa- ż ona w moż liwos c optymaliżacji parametrycżnej. Modelując strukturę stworżoną na etapie synteży strukturalnej, stosuje się okres lone kryterium efektywnos ci i okres la optymalne parametry komponento w systemu. Ponieważ optymaliżacja pa- rametrycżna wykonywana jest na wstępnie okres lonej, nieżmiennej w trakcie syn- teży strukturże systemu, wykorżystanie optymaliżacji parametrycżnej nie rożwią- żuje problemu wyboru najlepsżego wariantu struktury SET. Rożwiążaniem powyż - sżego problemu, byłoby połącżenia etapo w synteży strukturalnej i parametrycż- nej, żapewniające jednocżesną optymaliżację struktury i parametro w wchodżą- cych w jej skład żestawo w elemento w.

Synteża strukturalno-parametrycżna wymaga podejmowania licżnych decyżji o ro ż nym charakterże, klucżowych dla wyniku procesu projektowania. Znacżna cżęs c decyżji, moż e żostac sprowadżona do żadania optymalnego wielokryterial- nego wyboru, będącego ż oblicżeniowego punktu widżenia, żadaniem wyjątkowo żłoż onym. Celowym jest żatem dąż enie do ogranicżania żłoż onos ci żadania projek- towego, na prżykład, poprżeż redukcję licżby rożpatrywanych warianto w.

ROZDZIAŁ 3

Projektowanie jako wielokryterialny proces decyzyjny

3.1. Zadania podejmowania decyzji

Projektowanie systemo w żłoż onych, kojarży się żażwycżaj ż prowadżeniem skomplikowanych oblicżen , kto rych celem jest okres lenie włas ciwos ci tworżonego systemu i jego komponento w. Jednak w praktyce, żnacżnie cżęs ciej podejmuje się, ro wnie żłoż one oblicżeniowo, decyżje wyboru gotowych rożwiążan , że żbioru do- pusżcżalnych warianto w. Każ dy wybo r jest nierożerwalnie żwiążany ż koniecżno- s cią poro wnania konkurujących że sobą że sobą rożwiążan . Poro wnanie takie, na- leż y oprżec się na konkretnym wskaż niku, okres lającym włas ciwos ci posżcżego l- nych rożwiążan . Podstawą dalsżych rożważ an jest grupa pojęc żwiążanych ż efek- tywnos cią, kto re okres lają poniż sże definicje.

Definicja 1

Efektywność, to najbardziej ogólna właściwość dowolnej ukierunkowanej działal- ności, która z poznawczego punktu widzenia przejawia się poprzez kategorię celu i jest obiektywnie wyrażona stopniem jego osiągnięcia, z uwzględnieniem niezbędnych do tego nakładów czasu i zasobów.

Definicja 2

Kryterium efektywności, to zasada lub sposób podejmowania decyzji z uwzględnie- niem efektywności.

Powsżechnie prżyjęto, ż e efektywnos c jest podstawową cechą operacji. Efektyw- nos c w odniesieniu do operacji okres la poniż sża definicja.

Definicja 3

Efektywność operacji, to stopień zgodności rzeczywistego (faktycznego lub przewi- dywanego) wyniku operacji z wymaganym, inaczej – stopień osiągnięcia celu opera- cji.

Efektywnos c operacji, to stopien jej prżygotowania do wykonania stojących prżed nią żadan . Ponieważ analiżowane systemy, występują w samej operacji jako aktywne narżędżie osiągania celu, to efektywnos c powinna byc utoż samiania że żdefiniowaną niż ej efektywnos cią technicżną.

Definicja 4

Efektywność techniczna, to stopień przystosowania systemu do realizacji przewi- dzianych dla niego zadań, uwarunkowany parametrami technicznymi oraz nieza- wodnością elementów systemu.

Definicja 5

Parametr systemu, to wskaźnik, którego wartość liczbowa określana jest właściwo- ściami systemu, którego on dotyczy.

Ocena efektywnos ci operacji wymaga żdefiniowania jej celu, a takż e wyboru wskaż niko w efektywnos ci (WE) oraż sposobo w okres lania ich wartos ci.

Definicja 6

Wskaźnik efektywności, to parametr wyrażający ilościowo stopień zgodności rze- czywistego wyniku operacji z wynikiem oczekiwanym, tj. określający liczbowo po- ziom efektywności.

Wskaż niki efektywnos ci, będżiemy nażywac ro wnież kryteriami efektywnos ci lub optymalnos ci. WE są podstawą optymaliżacji, w kto rej żmiany wprowadżane w systemie mają na celu ich maksymaliżacją lub minimaliżację. Wskaż niki wyko- rżystywane w projektowaniu dowolnych systemo w, powinny: a. Byc dostatecżnie proste i komunikatywne; b. Posiadac jednożnacżny i żrożumiały sens fiżycżny;

c. Byc wraż liwe na żmianę uwżględnianych prżeż niego parametro w; d. Odpowia- dac rżecżywistemu procesowi pracy systemu; e. Dopusżcżac okres lenie jego war- tos ci na podstawie danych eksperymentalnych, modelowania oraż badan staty- stycżnych.

Aby wskaż nik efektywnos ci posiadał powyż sże cechy, należ y: a. Wykorżystywac wskaż niki, beżpos rednio odżwierciedlające specyfikę systemu i odpowiadające jego prżeżnacżeniu; b. W strukturże kryterium wyro ż nic żmienne parametry i wy- korżystując je prżeprowadżic badania efektywnos ci systemu; c. Zweryfikowac ade- kwatnos c modelu, wykorżystywanego do oceny efektywnos ci najważ niejsżych kryterio w; d. Stworżyc narżędżia do sżybkiego okres lenia (ż żadaną dokładnos cią) wartos ci wskaż niko w efektywnos ci.

W praktyce, dobo r wskaż nika decyduje o skutecżnos ci procesu projektowania, jeż eli żostanie on nieodpowiednio wybrany, użyskiwane rożwiążania nie będą spełniac ocżekiwan uż ytkowniko w. Decyżja moż e byc podejmowana na podstawie jednego wskaż nika, bądż ich żbioru. W pierwsżym prżypadku, mo wimy o jedno- kryterialnym, tj. skalarnym, w drugim o wielokryterialnym, inacżej wektorowym podejmowaniu decyżji.

Rożwiążanie żadan poro wnania efektywnos ci jest dżiałaniem żłoż onym i praco- chłonnym. Wynika to następujących prżesłanek: a. Zastosowanie jakichkolwiek wskaż niko w efektywnos ci do oceny rożwiążan projektowych, wymaga precyżyj- nego żdefiniowania metod okres lania ich wartos ci. Z uwagi na ro ż norodnos c wy-

korżystywanych wskaż niko w i rodżajo w obiekto w, dżiałanie to jest trudne w uni- fikacji i moż e okażac się pracochłonne; b. Ponieważ wskaż niki mogą miec postac ciągłą lub dyskretną, opierac się na metodach jakos ciowych bądż ilos ciowych, ich poro wnanie moż e byc skomplikowane i wymagac budowy specjalnych modeli ma- tematycżnych.

Złoż onos c wyboru najlepsżego rożwiążania żależ y, prżede wsżystkim, od ilos ci rożważ anych jego warianto w. Istnieje wiele żadan , dla kto rych uwżględnienie wsżystkich moż liwych lub prżynajmniej żnacżnej cżęs ci dopusżcżalnych rożwią- żan jest nierealne, ż uwagi na wielkos c potrżebnych do tego żasobo w oblicżenio- wych. Prżykładowo, licżba ro ż nych topologii, 𝑛 wężowej sieci wynosi 𝑛^𝑛2. Ponadto, w więksżos ci prac projektowych, akceptowalny cżas ocżekiwania na decyżję jest bardżo ogranicżony. Z reguły, decyżja musi byc podjęta nieżwłocżnie, a po jej pod- jęciu, ewentualne analiża optymalnos ci jest już beżprżedmiotowa. Z psychologii pracy wiadomo, ż e maksymalny akceptowalny cżas ocżekiwania uż ytkownika (w tym prżypadku projektanta) na wynik nie moż e prżekracżac 3-5 s [12], [16]. Z ko- lei, maksymalny akceptowalny cżas ocżekiwania prżeż system komputerowy nie powinien prżekracżac 200 ms [16], [17].

Na żłoż onos c podejmowania decyżji, istotnie wpływa ro wnież ilos c wykorżysty- wanych kryterio w. Zastosowanie jednego wskaż nika efektywnos ci powoduje, ż e poro wnywanie warianto w jest żażwycżaj stosunkowo proste, jednak stopien do- stosowania wyniku do wymagan uż ytkowniko w moż e byc daleko niewystarcża- jący. Zauważ my, ż e jednym ż obligatoryjnych kryterio w projektowania jest kosżt budowy i eksploatacji obiektu (systemu). Jego optymaliżacja wżględem innych pa- rametro w (na prżykład: gabaryto w, trwałos ci, żuż ycia energii, prostoty obsługi i in.) wymaga żastosowania kolejnych kryterio w, a tym samym skomplikowania pro- cedury wyboru. Wżrost licżby kryterio w, cżyli jednocżesna ocena optymalnos ci rożwiążan ż ro ż nych punkto w widżenia, sprawia, ż e żadanie staje się nietrywialne oblicżeniowo.

Formalnie, każ de żadanie D podejmowania decyżji, moż e żostac żapisane w po- niż sżej postaci [18], [19]:

, , , ,

D F A X G P , (6)

gdżie: F – definicja żadania, żawierająca żwarty opis problemu, okres lenie celu lub celo w, kto re mają byc osiągnięte, a takż e wymagania dotycżące wyniku kon co- wego; A – żbio r moż liwych warianto w, spos ro d kto rych dokonywany jest wybo r rożwiążania; X – żbio r włas ciwos ci (atrybuto w lub parametro w) opisujących wa- rianty rożwiążania i ich cechy charakterystycżne; G – żbio r warunko w ogranicża- jących obsżar dopusżcżalnych warianto w rożwiążania; P – preferencje podmiotu (osoby, programu) podejmującego decyżje (PPD), stanowiące podstawę oceny i po- ro wnania moż liwych warianto w rożwiążania, selekcji dopusżcżalnych oraż wysżu- kiwania najlepsżego lub akceptowalnego wariantu rożwiążania żadania. Opis pre- ferencji PPD moż e byc okres lony ża pomocą konkretnej wartos ci parametru lub ogranicżen nałoż onych na nią [7], [20], [21].

Cżynniki charakteryżujące rożwiążywaną sytuację problemową, mogą byc : okre- ślone (deterministycżne), że żnanymi dokładnymi charakterystykami; losowe (sto- chastycżne), że żnanymi, okres lonymi losowo charakterystykami oraż nieokreślone (nieżnane), ż niedokładnie okres lonymi lub nieżnanymi charakterystykami, ale prawdopodobnie że żnanym żakresem wartos ci [18].

W niekto rych żadaniach, moż liwy jest wybo r preferowanego rożwiążania beż analiży parametro w technicżnych posżcżego lnych warianto w [22]. W tym prży- padku, ich żbio r jest prżesżukiwany na podstawie jednego wybranego, ilos ciowego lub jakos ciowego kryterium. W projektowaniu systemo w żłoż onych, podejs cie ta- kie jest nieakceptowalne, żalecana jest analiża ro ż nych aspekto w funkcjonowania żaro wno całego systemu, jak i jego komponento w (podsystemo w). W procesie pro- jektowania SET, wybo r ma żdecydowanie charakter wielokryterialny. Dostępne kryteria oraż metody ich poro wnania, wyżnacża stopien formaliżacji rożwiążania żadania. Pożiom ten sżacuje ro wnież pracochłonnos c tworżenia modelu matema- tycżnego sytuacji problemowej, a takż e okres lania wartos ci kryterio w oceny.

3.2. Podejmowanie decyzji jako zadanie optymalizacji

Więksżos c żadan wyboru polega na posżukiwaniu najlepsżego lub preferowa- nego wariantu w żbiorże dopusżcżalnych rożwiążan . Jeż eli stworżenie matema- tycżnego modelu procesu decyżyjnego, to rożwiążywany problem jest łatwy do sformaliżowania, a żadanie moż e byc żdefiniowane jako żadanie optymaliżacji funkcji, będącej wskaż nikiem efektywnos ci rożwiążania. Model matematycżny ża- dania optymalnego wyboru, powinien żawierac następujące podstawowe kompo- nenty: a. żbio r moż liwych warianto w rożwiążania żadania projektowego; b. ogra- nicżenia żbioru dopusżcżalnych warianto w, opisane ża pomocą ro wnan lub nie- ro wnos ci; c. jeden lub kilka wskaż niko w efektywnos ci, traktowanych jako funkcje celu optymaliżacji.

Jeż eli istnieje jasny sposo b oceny warianto w oraż poro wnania ich pomiędży sobą, a pojęcie lepszego wariantu moż na sformaliżowac poprżeż okres lenie jed- nego lub kilku licżbowych wskaż niko w efektywnos ci, okres lających pożiom prefe- rencji, to żadanie wyboru moż e żostac żapisane w następujący sposo b:

  max, ,

f x  x X X W  , (7)

gdżie: W – prżestrżen rożwiążan żadania; X – żbio r dopusżcżalnych rożwiążan ;

 

f x – kryterium optymaliżacji.

Opierając się na wyraż eniu (7), moż na prżyjąc , ż e rożwiążaniem żadania jest wa- riant x^ , x^ , jeż eli x XX   , ^{f x} ^{ f x}

 

  max

f x  lub f x   min ) pojedyncżej funkcji, to rożwiążanie problemu, sprowadża się do żadania optymaliżacji skalarnej.

Wybo r konkretnej metody optymaliżacji żależ y od postaci funkcji opisującej kry- terium. W sżcżego lnos ci, żależ y od: moż liwos ci prżedstawienia funkcji w postaci analitycżnej; licżby jej żmiennych; jej unimodalnos ci i ro ż nicżkowalnos ci [23]. Je- ż eli funkcja nie jest ro ż nicżkowalna lub kryterium nie moż e byc sformułowane w postaci analitycżnej, to do żnależienia rożwiążania stosowane są metody beżpo- s rednie (np. metoda połowienia odcinka). Jes li funkcja jest ro ż nicżkowalna, to sku- tecżnos c wysżukiwania żnacżnie wżrasta, w wyniku żastosowania metod oblicżen wariacyjnych i analiży matematycżnej. Ro ż nicżkowalnos c kryterium pożwala wy- korżystac pochodne do wysżukiwania rożwiążan granicżnych (metody: punktu s rodkowego, cięciw, Newtona) [20], [24]. Zadanie optymaliżacji jednokryterialnej jest stosunkowo proste oblicżeniowo, tj. żasoby potrżebne do jej wykonania są nie- wielkie.

Znacżnie trudniejsże jest żadanie, w kto rym kryterium to funkcją wielu żmien- nych, a rożwiążaniem jest wektor postaci x^





Z punktu widżenia postaci ocżekiwanego reżultatu, optymaliżację wielokryte- rialną moż na podżielic na cżtery poniż sże klasy: a. Ze żbioru dopusżcżalnych roż- wiążan , wybierany jest jeden wariant o najwyż sżych preferencjach. Dopusżcża się ro wnież okres lenie żbioru ekwiwalentnych rożwiążan o najwyż sżym pożiomie preferencji; b. Porżądkowanie żbioru rożwiążan wżględem wartos ci oceny efek- tywnos ci; c. Ocena efektywnos ci warianto w rożwiążan w skali prżedżiałowej;

d. Wydżielenie że żbioru dopusżcżalnych rożwiążan , podżbioru efektywnych wa- rianto w według Pareto.

Optymalnos c według Pareto to taki stan systemu, w kto rym wartos c dowolnego cżąstkowego wskaż nika efektywnos ci nie moż e byc poprawiona beż pogorsżenia innych. Takie podejs cie jest odżwierciedleniem sło w samego Pareto: każda zmiana, która nikomu nie przynosi strat, a niektórym ludziom przynosi korzyść (według ich oceny), jest poprawą.

3.3. Metoda Pareto

Rożwiążując żadanie optymaliżacji wielokryterialnej, w pierwsżej kolejnos ci po- dejmowana jest pro ba jego żredukowania do postaci żadania jednokryterialnego, poprżeż żwinięcie kryterio w cżąstkowych do jednego integralnego. Istnieje wiele sposobo w prżeprowadżenia żwijania kryterio w, lecż ż punktu widżenia matema- tyki i logiki metody te najcżęs ciej nie opierają się ż adnej krytyce. Ponadto, żwinię- cie kryterio w optymaliżacji nie żawsże jest moż liwe. Dlatego, w cżęs ci prżypad-

ko w, jedynym moż liwym dżiałaniem jest rożwiążanie żadania w oryginalnej wie- lokryterialnej postaci. Do odrżucenia jawnie nieakceptowalnych warianto w roż- wiążania moż na żastosowac żasadę żaproponowaną jesżcże w 1904 roku prżeż włoskiego ekonomistą V. Pareto. Zgodnie ż nią dopusżcżalnych rożwiążan wielo- kryterialnych żadan optymaliżacji należ y sżukac pos ro d warianto w niepoprawial- nych, tj. takich, w kto rych poprawa jednego kryterium prowadżi do pogorsżenia wartos ci innych.

Rożważ my prżedstawiony na rys. 4. prżykład żastosowania żasady Pareto, do po- sżukiwania kompromisu w prżypadku dwo ch kryterio w.

f2

f1 max

f2

min

f2

min

f1 f₁^max

A

B F

E D

x1 x₂

Rys. 4. Zbio r Pareto dla wypukłego obsżaru D dopusżcżalnych rożwiążan x Prżyjmijmy, ż e oba kryteria f oraż ₁ f należ y maksymaliżowac , tj.: ₂

1  max,

f x  x D , (8)

2  max,

f x  x D . (9)

Rożważ my rożwiążanie 𝑥₁ żlokaliżowane wewnątrż obsżaru D. Wtedy, dowolne rożwiążanie 𝑥₂ rożmiesżcżone na prawo, będżie dla tej samej wartos ci kryterium 𝑓₂, lepsże wżględem kryterium 𝑓₁. Ożnacża to, ż e dane rożwiążanie moż na ulepsżyc i nie moż e byc ono traktowane jako optymalne w rożumieniu Pareto. Analiżują wiele kolejnych rożwiążan ż obsżaru D, dochodżimy do wniosku, ż e elementami żbioru Pareto będą wyłącżnie rożwiążania rożmiesżcżone na łuku AB. Jeż eli posżu- kiwac będżiemy minimo w dla kryterio w 𝑓₁ oraż 𝑓₂ (tj. 𝑓₁𝑓₂→ 𝑚𝑖𝑛), to żbiorem Pa- reto będżie krżywa EF. Dla ro ż nych kryterio w (jeden minimaliżowany, drugi mak- symaliżowany) żbiorem Pareto będą krżywe AF oraż BE.

Zasada Pareto nie pożwala wydżielic jednego optymalnego rożwiążania, a wy- łącżnie pomaga żawężic obsżar dopusżcżalnych rożwiążan i wyłącżyc ż niego ewi-

dentnie nieakceptowalne warianty. Ostatecżny wariant rożwiążania jest wybie- rany na podstawie dodatkowych informacji oraż nieformalnych procedur wyko- rżystujących PPD. Okres lenie efektywnych punkto w Pareto jest żatem pierwsżym etapem procesu optymaliżacji. Zbio r D nażywany jest żbiorem dopusżcżalnych roż- wiążan [23], [24]. Zbiory Pareto nażywamy ro wnież obszarem kompromisów lub frontami Pareto.

Pomimo swojej prostoty, żasada Pareto jest jednym ż fundamento w teorii opty- maliżacji wielokryterialnej. Koncepcja optymalnos ci według Pareto stanowi uogo l- nienie pojęcia ekstremum funkcji licżbowej na prżypadek kilku kryterio w. Metoda ta ma jednak poważ ną wadę. W sżeregu prżypadko w, żbio r Pareto jest na tyle duż y, ż e żnależienie w nim optymalnego rożwiążania jest niemoż liwe. Jeż eli ilos c roż- wiążan w żbiorże Pareto jest ogranicżona, to jego prżesżukiwanie moż e byc wyko- nywane metodą prżesżukiwania par alternatyw. Do rożwiążania żadan tego typu wykorżystuje się ro wnież metody gradientowe, losowe oraż simpleksowe. Jes li funkcje celu i ogranicżenia są liniowe, moż na żastosowac algorytmy oparte na me- todach simpleksowych, pożwalających uporżądkowac wsżystkie efektywne skrajne punkty żbioru rożwiążan [14], [24].

Podsumowując, stwierdżamy, ż e rożwiążanie żadan okres lania najlepsżych (ż punktu widżenia wykorżystywanych kryterio w) struktur i/lub wartos ci parame- tro w ma charakter żadania optymaliżacyjnego. Jes li optymaliżacja żwiążana jest wyłącżnie ż okres leniem licżbowych wartos ci włas ciwos ci systemu prży żadanej jego strukturże, wykorżystywana jest optymaliżacja parametrycżna. Z kolei wybo r optymalnej struktury jest żadaniem optymaliżacji strukturalnej.

ROZDZIAŁ 4

Zadanie przydziału komponentów systemu

4.1. Wielokryterialny przydział komponentów

Aby produkt maksymalnie spełniał ocżekiwania uż ytkowniko w, w trakcie jego projektowania należ y uwżględniac wiele jego cech. Dowolny system, w trakcie opracowania kto rego bażowano wyłącżnie na jednej jego włas ciwos c , nie moż e do- brże spełniac ro ż norodnych ocżekiwan uż ytkowniko w. Nieżbędne jest uwżględ- nienie wielu jego charakterystyk, tj. wykorżystanie podejs cia wielokryterialnego.

W odro ż nieniu od podejs cia jednokryterialnego, kiedy stopien osiągnięcia celu pro- jektowania opisuje pojedyncże kryterium, w podejs ciu wielocelowym wykorżystuje się żbio r kryterio w cżąstkowych postaci f f₁, , ,₂ f_m, okres lonych w prżestrżeni rożwiążan X. W praktyce, pod wżględem skali wykorżystania, modele wielokryte- rialne dominują nad modelami jednokryterialnymi. Więksżos c klucżowych roż- wiążan ż obsżaru nauki, techniki i ekonomii, to kompromis pomiędży sprżecżnymi celami stawianymi w trakcie ich posżukiwania.

Powyż sże rożważ ania dotycżą ro wnież jednego ż najważ niejsżych żadan projek- towania – prżydżiału komponento w systemu. Elementami wielokryterialnej wersji takiego żadania są: żbio r dopusżcżalnych rożwiążan X; kryterium wektorowe

 ₁, , ,_{2 m}

F f f f będące żbiorem kryterio w cżąstkowych oraż relacja preferencji , okres lona na żbiorże X. Jego rożwiążanie sprowadża się do posżukiwania wa- riantu, kto rego pożiom preferencji będżie najwyż sży.

Okres limy dokładniej istotę relacji preferencji. W tym celu rożważ my dwa roż- wiążania x i ₁ x należ ące do żbioru rożwiążan X (tj.: ₂ x x₁, ₂ ) oraż kryterium X

fi , F i1, ,m. Definicja 7

Rozwiązanie x jest korzystniejsze niż ₁ x , jeżeli ₂ f x_i ₁  f x_i ₂ , i1, ,m , przy czym przynajmniej jedna nierówność musi być ostra. Preferencje takie oznaczamy

1 2

x x . Definicja 8

Rozwiązania x x₁, ₂ będą ekwiwalentne, jeżeli X  i 1, ,m , f xi 1  f xi 2 . Ekwiwalentność rozwiązań oznaczać będziemy jako x₁x₂.

Jeż eli wsżystkie funkcje kryterialne mają postac licżbową, tj. żestaw kryterio w jest wektorem prżyjmującym wartos ci w prżestrżeni m-wymiarowych wektoro w Rm, to żadanie prżydżiału wielokryterialnego, moż e byc rożpatrywane jako żada- nie optymaliżacji wielokryterialnej. Ze żbioru rożwiążan X, należ y wybrac pewien

podżbio r najlepsżych rożwiążan , tj.: SelX . Zastosowanie optymaliżacji do roż-X wiążania żadania prżydżiału pożwala wykorżystac elementy teorii optymaliżacji do użyskiwania efektywnych wyniko w w akceptowalnym cżasie.

Wsżystkie moż liwe wektorowe oceny obiektu, tworżą żbio r Y moż liwych ocen:

 





Yf x  y R y f x x X  . (10) Posżukiwanie rożwiążania, powinno prowadżic do utworżenia żbioru wybiera- nych ocen, repreżentującego podżbio r prżestrżeni kryterialnej R : ^m

 





SelYf SelX  y R ^m|y f x x , SelX . (11) W procesie wielokryterialnego prżydżiału komponento w pojawia się nieokres lo- nos c , kto rą moż emy żmniejsżyc ża pomocą procedur wyklucżenia i kompensacji.

Procedury wykluczenia, nażywane ro wnież metodą kolejnych przeszkód, polegają na sekwencyjnym żawęż eniu żbioru dopusżcżalnych warianto w, na podstawie okre- s lonych dodatkowych wymagan . Procedury kompensacyjne wykorżystują żasadę sprawiedliwego kompromisu, w kto rym pogorsżenie jakos ci rożwiążania dla jed- nego ż kryterio w, powinno żostac żrekompensowane wżrostem jakos ci rożwiąża- nia dla innego ż kryterio w. Procedury te są sżeroko wykorżystywane, na prżykład, w procesie rekrutacji pracowniko w [25], [26].

4.2. Zadanie optymalnego przydziału komponentów

Typowe żadanie teorii podejmowania decyżji, wykonywane podcżas projektowa- nia SET, polega na wyborże jednego lub kilku najlepsżych warianto w rożwiążania że żbioru dopusżcżalnych rożwiążan . Najcżęs ciej jako żbio r warianto w, wykorży- stuje się żestaw obiekto w posiadających okres lone charakterystyki. Zadania prży- dżiału komponento w żostały prżedstawione graficżnie na rys. 5.

Analiza właściwości

Wybrane komponenty

Zbiór komponentów bazowych

Rys. 5. Graficżna ilustracja żadania prżydżiału