Analiza dynamiczna mechanizmu podnoszenia z uwzględnieniem luzu w sprzęgle przybębnowym

ZBSŻYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a s M e c h a n i k a z . 47

_________1972 Nr k o l . 339

J ó z e f WOJNAROWSKI, Z b i g n i e w KACPRZAK I n s t y t u t M e c h a n i k i 1 P o d s t a w

K o n s t r u k o j i Maszyn

ANALIZA DYNAMICZNA MECHANIZMU PODNOSZENIA Z UWZGLĘDNIENIEM LUZU W SPRZĘGLE PRZYBĘBNOWYM

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e a n a l i z o w a n o d r g a n i a m e o h a n i z - mu p o d n o s z e n i a m aszyny d ź w ig o w e j z u w z g l ę d n i t n l e m l u z u k ą ­ to w e g o s p r z ę g ł a . U k ł a d z e s p o ł u m aszyny s p r o w a d z o n o do u k ł a ­ du p o ł o k r e ś l o n e g o i ) o t r z e c h s t o p n l a o h s w o b o d y . W o p a r c i u

o m etodę l i n e a r y z a o j i h a r m o n i o z n e j p r z e p r o w a d z o n o a n a l i z ę d r g a ń sw obodnyoh o r a z d r g a ń w ym uszonyoh, ze s z o z e g ó l n y m u - w z g l ę d n i e n l e m o h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d o w o —c z ę s t o t l i w o ś c i o ­ w e j .

1 . W stęp

A n a l i z a z e s p o ł u m aszyny w o p a r o i u o l i n i o w e modele p r o w a d z i c z ę s t o do n i e d o k ł a d n e j ooeny w ł a s n o ś c i d y n a m i c z n y c h u k ł a d u , J e ś l i w J e g o ł a ń o u o h u k i n e m a t y o z n y m i s t n i e j ą o z ł o n y o n i e l i n l o w y o h o h a r a k t e r y s t y k a o h .

Je dnym z w a ż n y c h pro blemów p o w s t a j ą c y c h p r z y a n a l i z i e d y n a m i c z n e j ma­

s z y n y , J e s t ooena wpływu n i e l i n i o w o ś o i , w y n i k a j ą c e j z i s t n i e n i a l u z u w j a ­ k i m ś c z ł o n i e r o z p a t r y w a n e g o u k ł a d u , na c h a r a k t e r y s t y k ę a m p l l t u d o w o - o z ę s t o - t l l w o ś o l o w ą .

R o z p a tr z m y u k ł a d p o d n o s z e n i a [ i ] m aszyny d ź w i g o w e j . U k ła d t e n ( r y s . 1 ) z a w i e r a : s i l n i k a a y n o h r o n l o z n y ( 1 ) , p r z e k ł a d n i ę z ę b a t ą ( 2 ) , b ę b e n [3] , w a ł s z y b k o o b r o t o w y (4) i s p r z ę g ł o p r z y b ę b n o w e ( 5 ) .

U k ł a d t e n , p o p r z e z r e d u k c j ę s i ł z e w n ę t r z n y o h , momentów b e z w ł a d n o ś c i 0- r a z s z t y w n o ś o i wałów [2, 3] możemy zam ode lo w aó w p o s t a o l u k ł a d u p ó ł o k r e - ś l o n e g o o t r z e o h s t o p n l a o h sw obody z n i e l i n i o w y m o z ło n e m AB ( r y s . 2 ) .

C z ł o n AB, k t ó r y r e z p r e z e n t u j e s p r z ę g ł o p r z y b ę b n o w e z lu z e m obwodowym, p o s i a d a o h a r a k t e r y s t y k ę n i e l i n i o w ą F ( y ) . J e ż e l i u k ł a d t e n t w o r z y ł a ń o u o h k i n e m a t y c z n y z d o s t a t e o z n i e s p r ę ż y s t y m i w a ł k a m i , t o p r z y r u o h u u s t a l o n y m m aszyny p o w s t a n ą w nim d r g a n i a w s k u t e k u d e r z e ń o z ę ś o i n a p ę d z a j ą c e j o n a p ę ­ d z a n ą . W d a l s z y m o i ą g u b ę d z i e m y a n a l i z o w a ć d y n a m i c z n y m odel u k ł a d u z n i e ­ l i n i o w y m o z ło n e m s p r ę ż y s t y m .

^ W ł a d , k t ó r y p o s i a d a z e r o w ą p i e r w s z ą o z ę s t o ś ó d r g a ń w ł a s n y o h i pod w p ły ­ wem s i ł m ożliw y J e s t j e g o r u o h j a k o o l a ł a s z t y w n e g o , nazywamy u k ł a d e m p ó ł o k r e ś l o n y m .

16 J ó z e f W o j n a r o w s k i , Z b ig n i e w K a o p r z a k

i

R y s . 1 . S ch em at u k ł a d u p o d n o s z e n i a maszyny d źw ig o w ej

J f J * O i

R y s . 2 . U k ł a d p o d n o s z e n i a zred u k o w a n y na w a ł s i l n i k a z n i e l i n i o w y m o z ł o - nem s p r ę ż y s t y m

2 . N i e l i n i o w a s p r ę ż y s t a o h .a r a k t e r .y s t .y k a s p r z ę g ł a

Dla p r z e p r o w a d z e n i a a n a l i z y d y n a m i c z n e j u k ł a d u u s t a l i m y c h a r a k t e r y s t y ­ k ę s p r ę ż y s t ą s p r z ę g ł a p rz y b ę b n o w e g o ( r y s . 3 a ) . P r z y j m u j ą c , żei s p r z ę g ł o j e s t p o ł ą c z e n i e m s p r ę ż y s t y m z lu z e m kątowym A ( r y a . 3 b ) , możemy j e g o c h a ­ r a k t e r y s t y k ę n a p i s a ć w p o s t a c i :

A n a l i z a d y n a m i o z n ą m echaniz m u p o d n o s z e n i a , . . 17

g d z i e :

Cg - s z t y w n o ś ć s p r z ę g ł a z r e d u k o w a n a na w a ł p r z e k ł a d n i 2 ^, A - l u z obwodowy s p r z ę g ł a .

R y s . 3 . S p r z ę g ło z ę b a te 1 J eg o o h .a r a k te r y s ty k a s p r ę ż y s t a

D la d a l s z e j a n a l i z y o b a r a k t e r y s t y k ę o p is z e n y a n a l i t y o z n i e [ * ] p r z y po~

mooy f u n k c j i je d n o s tk o w e j 1 ( x - a ) . O trzy a u jeB y s

- o2 (y - ) - oz (y - v 1 ) 1 (y - » 1 ) +

+ o 2 (y - ) 1 Cy - i*2

W r o z p a tr y w a n y « przypadku d r g a n ia swobodne n a k ła d a j ą s i ę na r u o h je d n o ­ s t a j n i e o b r o to w y , p r z y k tó r y « a n a liz o w a n y u k ła d p r z e k a z u je s b a ł ą s k ła d o ­ wa U « o n en tu s i l n i k a zredukow anego na w a ł p r z e k ł a d n i .n a s t ę p u j e w ię o fcr*e-

^ n

2 ^Rozumie«y r ó w n i e ż p o d t y n te r m i n e m s z t y w n o ś ó w a łu ł ą o z ą o e g o s p r z ę g ł o s p r z e k ł a d n i ą .

18 J ó z e f W o j n a r o w s k i , Z b ig n i e w K a c p r z a k

s u n i ę o i e p u n k t u u s t a l o n e g o o w i e l k o ś ć momentu z e w n ę t r z n e g o MQ ( r y s . 4) i c h a r a k t e r y s t y k a s p r ę ż y s t a p r z y j m u j e p o s t a ć :

F ( r ) = F (y ) - Mq . (2 )

O z n a c z a t o , że w r u c h u j e d n o s t a j n i e obrotowym s k ł a d o w a MQ l i k w i d u j e l u z i u k ł a d z a c h o w u j e s i ę J a k l i n i o w y d l a r > b2 .

W y k o r z y s t u j ą c f u n k o j ę j e d n o s t k o w ą u z y s k u j e m y :

F ( x ) = - Mq + o 2 (x - b 1 ) - o2 (x - b 1 ) . K r - b1 ) +

( 3 ) + o2 ( r - b2 ) . 1 ( r - b2 ) ,

g d z ie

b 2 - b 1 - A , ! (4>

( 5 )

x - p r z e m ie s z c z e n ie k ą to w e .

R y s . 4. S p r ę ż y s t a c h a r a k te r y s ty k a n i e l in i o w e g o o z ło n u

A n a l i z a d y n a m i c z n a m echa nizm u p o d n o s z e n i a » . 19

D la a n a l i z o w a n e g o u k ł a d u p r z y j ę t o n a s t ę p u j ą c e w a r t o ś c i l i c z b o w e

0 , 0 0 8 7 r d , MQ = 142 . 10 kGm.

3 , D r g a n i a u k ł a d u

D la p r z e a n a l i z o w a n i a d r g a ń wym usz onych z e s p o ł u mas zy ny w o b s z a r z e r e ­ z o n a n s u , celowym j e s t z b a d a n i e d r g a ń sw obodnych t e g o u k ł a d u . W p r z y p a d k u l i n i o w y c h u k ła d ó w m e o h a n i o z n y o h można w p r o o e s l e b a d a n i a z a s t o s o w a ć me­

t o d ę t e o r i i l i n i o w y c h ró w n a ń r ó ż n i c z k o w y c h .

B a d a n i e d r g a ń u k ła d ó w n i e l i n i o w y c h j e s t b a r d z i e j z ł o ż o n e . W s z e r e g u j e d n a k napędów m a s z y n , s t o p i e ń wpływu n i e l i n i o w o ś c i j e s t n i e z n a c z n y i p r z e z t o j e s t m o ż liw a a n a l i z a z l i n i o w y m p r z y b l i ż e n i e m . Dla w i e l u p o ł ą ­ c z e ń s p r z ę g ł o w y o h można w s k a z a ó w a r u n k i , w k t ó r y c h w z u p e ł n o ś c i w y s t a r c z a o g r a n i o z y ó s i ę do l i n i o w e j c h a r a k t e r y s t y k i [ s j . D l a t e g o w d a l s z y m c i ą g u z l i n e a r y z u j e m y n a j p i e r w n i e l i n i o w ą c h a r a k t e r y s t y k ę s p r z ę g ł a F ( x ) w o c a r - o i u o m etodę l i n e a r y z a o j i h a r m o n i o z n e j .

3 . 1 . M etoda l i n e a r y z a o j i h a r m o n i c z n e j

Z g o d n i e z t ą m e t o d ą u w z g l ę d n i a s i ę t y l k o p o d s t a w o w ą h a r m o n i c z n ą n i e s i ­ n u s o i d a l n e g o p r z e b i e g u i d o b i e r a s i ę j e j p a r a m e t r y w t a k i s p o s ó b , by s p e ł ­ n i o n e b y ł o p i e r w o t n e r ó w n a n i e r ó ż n i c z k o w e ( 6 ) . Rozważmy w d a l s z y m c i ą g u r ó w n a n i e

x + f | x ( t ) , x ( 1 1J « <)> ( t 3, ( 6 1

¿ - i Z i e :

f £ x ( t 1, x ( t l ] j e s t f u n k c j ą n i e l i n i o w ą . ( 7 1

W m e t o d z i e t e j f u n k c j ę n i e l i n i o w ą w r ó w n a n i u ( 6 ) z a s t ę p u j e m y t a k ą f u n k c j ą l i n i o w ą ( 9 1 , by o t r z y m a ć t o samo r o z w i ą z a n i e oo p r z y f u n k c j i n i e l i n i o w e j , a l e w p o s t a c i :

x = a 0 + a s i n W t . ( 8 1

F u n k c j ę l i n i o w ą

f L j x ( t l , x ( t ) J = f 0 + q ( x - a 0 ) + r x , ( 9 1 g d z i e

t , q , r — w s p ó ł c z y u n i k i t e j f u n k o j i ,

p r z y r ó w n u j e m y do r o z w i n i ę t e j w s z e r e g F o u r i e r a f u n k o j i n i e l i n i o w e j f [ x {1 1, x ( t i j .

O trz y m u je m y w te d y w s p ó ł o z y n n i k ! l i n e a r y z a o j i f u n k c j i (71

_20__________________________________________ J ó z e f W o j n a r o w s k i . Z b ig n i e w K a c p r z a k

f o _cCo i a o>a ) »

^ 1 ( a o>a ) 1 =

_ oCi t a 0 »a 1

( 101

g d z i e oć0 , A ^ f oc1 - w s p ó ł c z y n n i k i s z e r e g u F o u r i e r a r o z w i n i ę o i ą f u n k c j i n i e l i n i o w e j ( w z . 7 1 ,

a 0 , a - w s p ó ł c z y n n i k i p r z e w id y w a n e g o r o z w i n i ę c i a (w z . 8 1 . Z t e o r i i s z e r e g ó w F o u r i e r a w iad o m o , że d l a f u n k c j i n i e l i n i o w e j r o z w a ż a n e ­ g o t y p u ( r ó w . 31 w s p ó ł c z y n n i k i l i n e a r y z a o j i o b l i o z a m y ze w zoró w :

2 t

f o iao ’ a)

- < V ao’a > ■

[ f(a0 + a (111

O

Ca )

» ( . o , . ! - [ f ( a 0 + a 3 i n f l j s i n ' / ’d'/’, (12 1

o

g d z i e ' f = U j t .

Po l i n e a r y z a o j i h a r m o n i c z n e j r o z p a t r y w a n a n i e l i n i o w a f u n k c j a p r z y j m i e p o - a t a ó :

f ( x 1 ~ f b ( a 0 , a l + q ( a 0 , a l [ x - a 0 ] , (1 3 1

g d z i e ; x j e s t r ó ż n i o ą p r z e m i e s z c z e n i a k ą to w e g o p o m ięd zy końoam i A i B e l e ­ m e n tu n i e l i n i o w e g o ( r y s . 2 1 .

Zauważmy, ż e w r ó w n a n i u (1 3 1 w s p ó ł o z y n n i k f 0 ( a 0 , a l r e p r e z e n t u j e nam s i ­ ł ę u o g ó l n i o n ą , a w s p ó ł o z y n n i k q 0 ( a 0 , a l s z t y w n o ś ó e l e m e n t u . . P o n i e w a ż f u n k ­ c j a t a j e s t l i n i o w a , można z a s t o s o w a ó t u z a s a d ę s u p e r p o z y o j i o b l i c z a j ą c o s o b n o f Q i q .

D la u z y s k a n i a f Q można p o s ł u ż y ó s i ę m e t o d ą m a o i e r z y f u n d a m e n t a l n y c h l u b m e t o d ą s p r ę ż y s t o ś o l d y n a m i c z n e j [ 6 ] .

Z n a j d u j e m y , że d l a u k ł a d u , w k t ó r y m o h o o i a ż J e d e n k o n i e o J e s t sw obodny s i ł a u o g ó l n i o n a ( w s p ó ł o z y n n i k f 1 m usi byó ró w n a z e r o :

f o ( a o»a ) “ ° - (1 4 1

A n a l i z a d y n a m i c z n a m echaniz m u p o d n o s z e n i a . . 21

P o t w i e r d z a t o t e ż n a s t ę p u j ą c e r o z u m o w a n i e :

Wiadomo, ż e d l a u k ł a d u , k t ó r y p o z o s t a j e w r ó w n o w a d z e , s i ł y u o g ó l n i o n e p o k a ż d e j s t r o n i e r o z w a ż a n e g o p r z e k r o j u muszą byó s o b i e r ó w n e . D l a t e g o p r z y p r ę d k o ś o i k ą t o w e j to = 0 , gdy n i e w y s t ę p u j ą s i ł y d y n a m i o z n e , we w s z y - s t k l o h p r z e k r o j a c h u k ł a d u p o w in n a w y s tę p o w a ć s i ł a u o g ó l n i o n a o w i e l k o ś c i f 0 ( a 0 , a ) . J e ż e l i j e d n a k u k ł a d j e s t p ó ł o k r e ś l o n y , t o s i ł a u o g ó l n i o n a w tym p r z e k r o j u j e s t ró w n a z e r o . P ak w lę o w s z y s t k i e s i ł y u o g ó l n i o n e w u k ł a d z i e p r z y to = 0 w y n o s z ą z e r o , oo p o t w i e r d z a w zór ( 1 4 ) .

W nasz ym p r z y p a d k u f u n k c j a n i e l i n i o w a ma o h a r a k t e r n i e c i ą g ł y i l l n e a - r y z a c j ę p r z e p r o w a d z a m y d l a p o s z o z e g ó l n y c h o doin ków c h a r a k t e r y s t y k i o d ­ d z i e l n i e .

Oznaczymy o d p o w i e d n i o o d o i n k l c h a r a k t e r y s t y k i F ( x ) p r z e z A, B , C ( r y s . 4 ) . P o n i e w a ż r o z w i ą z a n i e r ó w n a n i a ( 6 ) p o s i a d a p o s t a ó x » a Q + a s i n t o t ) , t o w l e l k o ś o i w o p ó ło z y n n ik ó w a Q, a o r a z i c h z n a k d e t e r m i n u j ą o d o l n e k c h a r a k ­ t e r y s t y k i , na k t ó r y m o d b y w a j ą s i ę d r g a n i a . D la i d e n t y f i k a o j i n a r y s u j e m y n a p ó ł p ł a s z c z y ź n i e o z t e r y p r o s t e

a Q + a = t> i, a 0 + a = b 2 , a Q - a = b . , , a Q - a = b 2 ,

k t ó r e n a n i e s i e m y w u k ł a d z i e w s p ó ł r z ę d n y o h a Q = f ( a ) ( r y s . 5 ) .

H y s . 5 . P ó ł p ł a s z o z y z n a a > 0

Te p r o s t e o g r a n i c z a j ą s z e ś ć p ł a s z c z y z n , a m i a n o w i o i e :

2 2 _______________________________________J ó z e f W o jn a r o w s k i » Z b ig n i e w K a c p r z a k

I . a Q + a < b .

d r g a n i a na o d c i n k u A, I I . a0 + a < b? ,

d r g a n i a na o d o l n k u B, I I I . a Q - a > b2

d r g a n ia na o d o in k u C,

I V . a Q - a < b2 , a Q + a > b 1 , a 0 - a < b .,, d r g a n ia na o d o ln k u A ,B ,

V. a Q + a > b2 , a Q - a < b 1f d r g a n i a na o d o i n k u A , B , C,

V I . a Q + a b2 , a 0 - a > b 1 f a Q - a < b 2 , d r g a n i a na o d c i n k u B , C.

W t e n s p o s ó b na p ó ł p ł a s z o z y ź n i e a > 0 u z y s k u j e m y t a k i e o b s z a r y , « k t ó r y c h a n a l i t y o z n e w y r a ż e n i a f ( a 0 , a ) p r z y j m u j ą o d d z i e l n ą p o s t a ć ;

P r z e p r o w a d z a j ą c l i n e a r y z a c j ę wg wzorów ( 1 1 ) o r a z C1A-■> u z y s k u j e m y z a l e ż ­ n o ś ć f u n k c y j n ą f ( a 0 , a ) . Dla z a d a n e j c h a r a k t e r y s t y k i z a l e ż n o ś ć t ę p o k a z a n o na r y s . 6 .

K o r z y s t a j ą c z r ó w n a n i a ( 1 2 ) o r a z w y k r e s u ( 6 ) b uduje m y g r a f i o z n ą z a l e ż ­ n o ś ć z l i n e a r y z o w a n e j s p r ę ż y s t o ś c i ą w f - j n k o j i a m p l i t u d y d r g a ń ( r y s . 7 ) .

3 . 2 . D r g a n i a swobodne u k ł a d u

W y k o r z y s ltu j ą o z l i n e a r y z o w a n ą c h a r a k t e r y s t y k ę s p r ę ż y s t ą F ( x ) r o z w a ż a n y u k ł a d ( r y s . 8 ) możemy o p i s a ć l i n io w y m u k ła d e m r ó w n a ń r ó ż n i c z k o w y c h . Mamy

^ i + 0 i [ v i - v z ] a 0 *

' * 2 ^ 2 + ° 1 [ V2 “ V l ] + < l ( a o » a { ^ “ ^ 3 ] = ° * ( 1 5 )

I3W- 3 + <ł(aQ, a - V2 ] = °*

P r z y r ó w n u j ą c do z e r a w y z n a c z n i k c h a r a k t e r y s t y c z n y u k ł a d u ró w n a ń (15 d o t r z y ­ mujemy

- [ i - , Q ( I 2 + I 3 ) + I 3 o 1 ( I 1 + I 2 ) ] x 4 + + ( l . | + I2 + I3) 0^ <ł ^ ^ “ 0.

A n a l i z a d y n a m i c z n a m echa nizm u p o d n o s z e n i a . . 23

-:r ' t . ...•:.... .. —T-n

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U¡W&- i źL'3z£iym ~

B M l i « % Si N d

R y a . 6 . Z a l e ż n o ś ć f u n f c o y jn a a í a Q)

R y s . 7 . Z a l e ż n o ś ć w s p ó ł c z y n n i k a l l n e a r y z a o j i od- a m p l i t u d y d r g a ń

J ó z e f W o j n a r o w s k i , Z b i g n i e w g ą o p r z ą k

R y s . 8 . Zredukowany u k ła d p o d n o sz e n ia

O bniżaJąo r z ą d rów n an ia 1 d z i e l ą e p r z e z o 2 u zy sk u jem y :

( 1 6 )

Krzywą s z k i e l e t o w ą u k ła d u zn ajd u jem y r o z w lą z u ją o ró w n a n ie '(16 ) p r z e z w s ta ­ w ia n ie k o le j n y c h w a r t o ś c i s p r ę ż y s t o ś c i ą . P on iew aż w a r to śc io m ą odpow iada­

j ą o k r e ś lo n e w i e l k o ś o i a m p litu d ( r y s . 7 ) , możemy zbudować w yk res a m p lit u ­ dy w f u n k c j i o z ę s t o ś o l j L . D la ro zw a ża n eg o u k ład u p o d n o sz e n ia maszyny dźw i­

g o w ej po p r z e p r o w a d z e n iu r e d u k c j i na w a ł s i l n i k a s a n y :

1 1 - 2 5 ,6 k&oms2 I 3 = 1 9 ,1 kGns2

1 2 - 1 5 ,0 kGoms2 o^ « 74 . 10* kG o*/rd

P o d s ta w ia j ą o t e w i e l k o ś c i do ró w n a n ia ( 1 6 ) o r a z r o z w lą z u ją o go z e w zg lęd u na A. otrzym ujem y

W o p a r c iu o r ó w n a n ie ( 1 7 ) w yznaozany krzyw ą s z k i e l e t o w ą d la r o zw a ża n eg o u k ła d u ( r y s . 9 ) . W ie lk o ś ć A, 3 odrzuoono z u w agi na f a k t , ż e l e ż y p o w y żej p r ę d k o ś o i obrotow yoh s iln ik ó w a sy n o h r o n io z n * o h , sto so w a n y o h a u k ła d a ch p o d n o s z e n ia . Krzywą s z k i e l e t o w ą o tak im p r z e b ie g u uzyskam y d la k a żd eg o

a2 “ 7 ,1 10* kGom /rd.

A.2c.f j o - ( 4 ,2 5 § - + 3 9 ) . 103 +wg

A o a lij a a d y n a m i c z n a meo hanizmu p o d n o s z e n i a . . 25

u k ł a d u p o s i a d a J ą o e g o l u z y . I n t e r e a u j ą o y J e s t j e j p r z e b i e g , k t ó r y można wy- t ł u m a o z y ó w n a s t ę p u j ą o y s p o s ó b .

Wiemy, że p u n k te m u s t a l o n y m u k ł a d u J e s t p u n k t 0 ( r y s . 4 1 . J e ż e l i w u k ł a ­ d z i e p o j a w i ą s i ę d r g a n i a , k t ó r y c h p ołow a a m p l i t u d y n i e p r z e k r o c z y w i e l k o ś ­ c i j b 2 - s 1 j , t o u k ł a d z a c h o w u j e s i ę J a k l i n i o w y , czemu o d p o w ia d a o d c i n e k a a r y s u n k u 9 . Z c h w i l ą w z r o s t u a m p l i t u d y d r g a ń <rbejmują one J u ż swo­

im z a s i ę g i e m l u z na e l e m e n o i e n i e l i n i o w y m i a ż do p u n k t u n a s t ę p u j e z m n i e j s z e n i e s z t y w n o ś o i u k ł a d u , ozemu o d p o w ia d a o d o i n e k k r z y w e j s z k i e l e t o w e j . P r z y d a l s z y m w z r o ś o i e a m p l i t u d y n a s t ę p u j e p o w o ln e z w i ę k s z e ­ n i e s z t y w n o ś o i , ozemu o d p o w i a d a o d o i n e k l e ż ą o y p o w y ż e j p u n k t u na k r z y ­ w ej s z k i e l e t o w e j .

R y s . 9 . Krzyw a s z k i e l e t o w a u k ł a d u

3 . 3 . D r g a n i a wymuszone u k ł a d u

D la w y z n a c z e n i a w y k r e s u r e z o n a n s o w e g o ro zw ażymy d r g a n i a u k ł a d u wymusza­

ne momentem h a r m o n ic z n y m [ i , s t r . 1 0 2 ] .

26 J ó z e f W o j n a r o w s k i , Z b ig n i e w K a o p r z a k

Wtedy r ó w n a n i a ( 1 5 1 p r z y j m u j ą p o s t a ó :

I i . i i , + - t > 2 ] = O,

! z . \ + 0 l . j y 2 + q.(a0 , a ) ^ 2 - = M0 . s i n ( u t ) (1 8)

I 3 .V3 + ł ( a 0 , a ) .[ l > 3 - ^ 2 ] = 0 .

R y s . 1 0 . U k ł a d z n i e ­ l i n i o w y » o z ło n e m s p r ę ­ ż y s t y » wymuszony mo-

» e n t e » o a m p l i t u d z i e M_

P o s ł u g u j ą c s i ę m e t o d ą m a c i e r z y f u n d a m e n t a l n y o b o b l i c z a m y a m p l i t u d ę p r z e m i e s z c z e ń w p u n k c i e K u k ł a d u ( r y s . 1 0 ) od a m p l i t u d y momentu w y m u s z a - j ą o e g o . U z y s k u je m y :

U

( 1 9 )

g d z i e

% -

ajj - a m p l i t u d a p r z e m l e s z o z e ń w p u n k c i e N, - s p r ę ż y s t o ś ć d y n a m i o z n a . . ( s t o s u n e k a m p l i ­

t u d y momentu do a m p l i t u d y p r z e m i e s z c z e ń w danym p u n k o i e ) na praw o do p u n k t u N, s p r ę ż y s t o ś ó d y n a m i o z n a na lew o od p u n k t u N,

Mo = 77 kGom - p r z y j ę t a a m p l i t u d a momentu w y m u s z a j ą o e g o .

W i e l k o ś c i D^, Djj! o r a z a m p l i t u d ę w p u n k c i e B u k ł a d u w y lic z a m y m etodą s p r ę - ż y s t o ś o i d y n a m i c z n e j | 6 | • Zauważmy, t e :

M B a B " aN* ( 2 0 )

g d z i e

a - r ó ż n i o a p r z e m i e s z c z e ń k ą to w y o h p o m ię d z y k o ń c a m i e l e m e n t u n i e l i n i o ­ w e g o .

Po w s t a w i e n i u do r ó w n a n i a ( 2 0 ) w y r a ż e ń na a m p l i t u d y w p r z e k r o j a o h B i l o t r z y m u j emy:

- 1 I , o - 1

T )

<ł - I 3oj °1 ~

(^{2 1})

Rów nanie ( 2 1 ) z a w i e r a n ie w ia d o m ą a w p o s t a c i u w i k ł a n e j - j e s t ona bowiem f u n k o j ą w s p ó ł o z y n n i k a l i n e a r y z a o j i . q ( a 0 , a ) . R o z w ią z u je m y j e w y k r e ś l n i e na- n o s z ą o na w y k r e s ( 7 ) d l a z a d a n y o ń p r ę d k o ś o i "w " w ę r t o ś o i " a " b ę d ą c e f u n k -

Analiza dynamiczna mechanizmu podnoszę Dla.«« 27

o j ą w s p ó ł c z y n n i k a l l n e a r y z a o j i ą ( a 0 , a ) . P u n k t y p r z e o i ę o i a k r z y w y c h o k r e - ś l o n y o h r ó w n a n i e n ( 2 1 ) z k r z y w ą p r z e d s t a w i o n ą n a r y s u n k u 7» o k r e ś l a j ą nam w a r t o ś o i a m p l i t u d p r z y z a d a n y o h p r ę d k o ś o l a c h k ą t o w y c h e j . I n t e r e s u j ą c e s ą t y l k o a m p l i t u d y n i e w i ę k s z e od w i e l k o ś o l a e ( r y s . 7 ) , bowiem w i ę k s z e n i e w y s t ą p i ą ze w z g l ę d u na z j a w i s k o " p r z e s k o k u " , k t ó r e z a i s t n i e j e w u k ł a d z i e z c h a r a k t e r y s t y k ą o d olnkow o l i n i o w ą [7J .

O trzy m an e t ą d r o g ą w a r t o ś o i p o z w a l a j ą na w y k r e ś l e n i e c h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d a l n o - c z ę s t o t l i w o ś o l o w e j u k ł a d u , k t ó r ą z u w z g l ę d n i e n i e m p r z e s k o k ó w p o k a z a n o na r y s . 1 1 . Z r y s u n k u t e g o w y n i k a , że i s t n i e j e p r z ę d z i a ł z m i a n y o z ę s t o ś o l ó J , w k t ó r y m u k ł a d może d r g a ó J e d n ą z dwóoh m o ż l iw y c h a m p l i t u d . W z a l e ż n o ś o i od w z r o s t u c z y s p a d k u c z ę s t ó ś c i momentu w y m u s z a j ą c e g o u k ł a d może d r g a ó z m n i e j s z ą xu b z w i ę k s z ą a m p l i t u d ą .

R y s . 1 1 . C h a r a k te r y sty k a a m p lit u d o w o - c z ę s t o t llw o ś o io w a

4 . W n i o s k i

C złon z lu z e m , k tó r y p r z e n o s i moment nom inalny Mfl, ma o h a r a k te r y s ty k ę s p r ę ż y s t ą F ( x ) o k s z t a ł c i e p rzed sta w io n y m na r y s . 4 i d r g a n ia u k ła d u z ta k im ozłon em o p isu je m y n ie l in i o w y m i rów naniam i r u c h u . W t a k i c h p rzyp ad ­ k ach p r z y b a d a n iu d rg a ó można w y k o r z y s ta ć m etodę h a r m o n ic z n e j l i n e a r y z a - o J i n i e l i a l o w y o h o h a r a k t e r y s t y k s p r ę ż y s t y o h .

28 J ó z e f W o J n a r o w a k i , Z b ig n i e w K a o p rz a k

C h a r a k t e r k r z y w e j s z k i e l e t o w e j ( r y s . 7 ) d l a u k ł a d u p o s i a d a j ą o e g o l u z z n a ­ m i o n u j e t y p c h a r a k t e r y s t y k i m i ę k k i e j do w a r t o ś c i a m p l i t u d y a G i t y p o h a - r a k t e r y s t y k i t w a r d e j ( p o w y ż e j w a r t o ś c i t e j a m p l i t u d y ) . P r a k t y o z n e z n a c z e ­ n i e ma t y l k o z a k r e s k r z y w e j s z k i e l e t o w e j p o n i ż e j a m p l i t u d y a G, z u w a g i na z j a w i s k o " p r z e s k o k u " . J e ś l i w z i ą ć pod u w a g ę , że k a ż d y l u z w u k ł a d z i e p r o ­ w a d z i do c h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d a i n o - o z ę s t o t l i w o ś c i o w e j j j a k na r y s . (11 ) , j t o w pew n y ch p r z y p a d k a c h a n a l i z a d r g a ń u k ł a d u p r z y p o m i n i ę c i u wpływu lu zów w s k a z u j e na z n a c z n i e w i ę k s z e a m p l i t u d y , n i ż hy t o w y n i k a ł o z r o z w i ą z a ń p r z e p r o w a d z o n y c h p r z y z a ł o ż e n i u l i n i o w o ś c i . A n a l i z o w a n y p r z y p a d e k p r a c y u k ł a d u p o d n o s z e n i a z lu z e m kątowym w s p r z ę g l e może z a c h o d z i ć w r ó ż n y m p r z e d z i a l e o z ę s t o ś o i momentu w y m u s z a j ą c e g o , a p r z e z t o mogą p o w s t a ć w u - k ł a d z i e d r g a n i a z m n i e j s z ą l u b z w i ę k s z ą a m p l i t u d ą . Gdy u k ł a d p r a o u j e p o ­ w y ż e j c z ę j t o ś c i W Q, a n a s t ę p n i e p o n i ż e j t e j c z ę s t o ś o i a l e po w y żej o z ę s t o ś - o i O J g , t o a m p l i t u d a d r g a ń b a r d z o z n a o z n i e p r z e k r a o z a w i e l k o ś c i w y l i c z o n e p r z y z a ł o ż e n i u w c z ł o n i e z lu z e m c h a r a k t e r y s t y k i l i n i o w e j . P o n a d t o ' d l a k a ż d e g o u k ł a d u r z e c z y w i s t e g o p r a c u j ą c e g o p o w y ż e j C J n b ę d z i e w y s t ę p o w a ł o n i e k o r z y s t n e z j a w i s k o g w a łto w n e g o s k o k u a m p l i t u d y . W p r z y p a d k u n a r a s t a n i a c z ę s t o ś o i a m p l i t u d a d r g a ń J e s t m ała i p u n k t , w k t ó r y m n a s t ą p i skokowy w z r o s t a m p l i t u d y d r g a ń o d p o w ia d a na r y s . ( 1 1 ) o z ę s t o ś o i j ^ .

A n a l i z o w a n e z a g a d n i e n i e n a b i e r a s z c z e g ó l n e j w a g i p r z r o z w a ż a n i u d r g a ń u k ł a d u z małymi s z t y w n o ś o i a m i c z ło n ó w na s k r ę o a n i e lu b p r z y z n a c z n y c h w a r- t o ś o i a o h a m p l i t u d y momentu w y m u s z a j ą c e g o . C a ły Bowiem s z e r e g z j a w i s k , k t ó ­ r e mogą w y s t ą p i ć w p r o c e s i e d r g a ń można j e d y n i e o p i s a ć p r z y u w z g l ę d n i e n i u n i e l i n i o w o ś c i c h a r a k t e r y s t y k i ozło nów w y n i k a j ą o e j z i s t n i e n i a l u z u .

LITERATURA

1 . A . PIETKIEWICZ, R . SOBOLSKI - D ź w i g n i c e , WNT, W arszawa 1 9 6 9 .

2 . I . R . CURRERI, I . N . Mao DTJFF — D r g a n i a w t e c h n i c e , PWN, W ars zawa 1 9 6 0 . 3 . I . KOŻESZNIK - Dynamika M a s z y n , NT, W arszawa 1 9 6 3 .

4 . E . TARNAWSKI - M a t e m a t y k a , PWN, Warszawa 1 9 6 3 .

5 . W .L. WIEJC - D in a m ik a m a s z i n n y o h a g r i e g a t ó w , M a s z i n o s t r o j e n i e , L e n i n ­ g r a d 1 9 6 9 .

6 . I . I . WULFSON,M.Z. KOŁOWSKIJ - N i e l i n i e j n y j e z a d a o z i d i n a m i k i m a s z i n , I z d a t . M a s z i n o s t r o j e n i e , L e n i n g r a d 1 9 6 8 .

7 . J . A . MITROPOLSKI - P ro b l e m y a s i m p t o t i o z e s k o j t i e o r i i n i e s t a c j o n a r n y c h k o l e b a n i j , I z d . N a u k a , Moskwa, 1 9 6 4 , 2 0 5 .

A n a l i z a d y n a m i c z n a m e o h a n i z o u p o d n o s z e n i a . . 29

HKHAlUftECiOUl AHAJIK3 IIOflLEMHurO MEXAKE3MA C yVËTOil A i* T A B IIPKBAPAEAHHCÜ My®TE CLHIJIEHLA

P e 3 b m e

B pafiOTe aH£uiK3ycTCH K oaeCanaa nosïëM H oro MexaHHaua noiBëiiHoft a a i M B c yxjëTou Kpyro Boro Jno$Ta wyifTH cuenaeH H a» ÜHCieMa y 3 a a uamHHH c b o s î t c s x noaynpexeaëH H oa OHCTeue c T p e u a C T e n e a ta u B c b o 6 o k u „ O n u p a a c t a a a e i o s u n - Heapn3auHH rapMOHii'iecxoâ S tu i nponsB eaeH aHanu3 c b oCo x h h x K o aegaa/.a a s j j-

HyxxëHHux KoaeôaHHH c ocoSum y'tëTou aunaHTy^Ho-'iacToTHOK xapajiT epüCTViXH .

THE DYNAMICAL ANALYSIS OF A HOSTING MECHANISM WITH REGARD TO A CIRCUMFERENTIAL BACKLASH IN A GEAR-TYPE COUPLING

S u m m a r y

The p ap er a n a l y s e s th e v i b r a t i o n s o f a h o s t i n g meohanlsm w it h r e g a r d t o t h e o i r o u m f e r e n t i a l b a o k la s h o f th e d m « g e a r - t y p e o o u p li n g .

The a s s e n b ly o f th e m aohine h a s b een red u o ed t o a h a lf - d e t e r m i n a t e s y s ­ tem w it h t h r e e d e g r e e s o f fr e e d o m . The a n a l y s i s o f f o r o e d v i b r a t i o n s h a s b een r e a l i z e d by means o f t h e method h a r m o n io a l l i n e a r i z a t i o n s p e o i a l a t ­ t e n t i o n t o th e o h a r a o t e r i s t i o s o f t h e a m p litu d e p a y in g fr e q u e n o y .