Optymalizacja oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend firmy ubezpieczeniowej

Pełen tekst

(1)Uniwersytet Jagielloński W yd ział Matematyki i Informatyki Zakład Matematyki Finansowej ROZPRAWA DOKTORSKA. Optymalizacja oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend firmy ubezpieczeniowej Sebastian Baran Promotor: prof. dr hab. Armen Edigarian Kraków, 2018.

(2)

(3) D edykuję tę pracę m ojej żonie Sylwii, b ez której wsparcia ta praca nigdy by nie powstała..

(4)

(5) Profesorowi Arm enow i Edigarianowi składam serdeczne podziękowania za cierpliwość i wyrozum iałość oraz wszelkie wskazówki, które pom ogły mi napisać tę pracę..

(6)

(7) Spis treści. W s tę p. 1. 1. M o d e l d y s k r e tn y. 7. 1.1. W prow adzenie.................................................................................................. 7. 1.2. Równanie B e llm a n a ........................................................................................ 9. 1.3. W łasności przekształcenia kontrakcyjnego. ............................................ 13. 1.4. Twierdzenie w e ry fik a c y jn e .......................................................................... 17. 1.5. W łasności rozwiązania i optymalnej s tr a te g i i ......................................... 19. 1.6. W łasności rozw. przy dodatkowych założeniach. .................................. 27. 1.7. Model z nieograniczoną funkcją u ż y te c z n o śc i......................................... 31. 2. 3. M o d e l d y s k r e tn y z w p ła ta m i k a p ita łu. 37. 2.1. W prowadzenie .................................................................................................. 37. 2.2. Równanie Bellm ana ........................................................................................ 41. 2.3. W łasności przekształcenia kontrakcyjnego. ............................................ 44. 2.4. Twierdzenie w e ry fik a c y jn e .......................................................................... 47. 2.5. W łasności rozwiązania i optymalnej strategii ......................................... 51. M o d e l c ią g ły z d y s k r e tn y m i d y w id e n d a m i. 57. 3.1. W prowadzenie .................................................................................................. 57. 3.2. W łasności funkcji w a r to ś c i.......................................................................... 59. 3.3. C harakteryzacja funkcji wartości. 62. vii. .............................................................

(8) 3.4 4. 5. Podejście z wykorzystaniem QVI. ............................................................ 67. M o d e l c ią g ły. 75. 4.1. W prow adzenie................................................................................................. 75. 4.2. W łasności funkcji w a r to ś c i.......................................................................... 77. 4.3. Równanie H am iltona-Jacobiego-B ellm ana............................................... 79. K o ń c o w e u w ag i i m o żliw o ści u o g ó ln ie n ia. B ib lio g ra fia. 97 103.

(9) Streszczenie. Tematyka pracy doktorskiej stanowi naturalne połączenie teorii oczekiwanej użyteczności oraz problemu optymalizacji wypłacanych dywidend przez firmę ubez pieczeniową. L iteratura z zakresu m atem atyki aktuarialnej i finansowej bogata jest w prace podejm ujące tem atykę optymalnej strategii w ypłat dywidend. Jednak jeśli chodzi o zagadnienie optymalnej oczekiwanej użyteczności w ypłat dywidend, to ta praca jest jedną z nielicznych. P raca zawiera rezultaty, opublikowane przez autora, dotyczące optymalizacji oczekiwanej użyteczności w ypłat dywidend w klasycznym ciągłym modelu Cram era-Lundberga. Ten problem optymalizacyjny był rozważany przy założe niu, że intensywność w ypłat dywidend jest ograniczona przez pew ną dowolną sta łą. Przy takim warunku pokazano, że funkcja wartości jest różniczkowalna oraz spełnia równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellm ana. Zidentyfikowano również postać strategii optymalnej. W rozprawie doktorskiej rozważono również problem optymalizacji oczekiwa nej użyteczności w ypłat dywidend w dyskretnej wersji m odelu Cram era-Lundberga bez oraz z w płatam i kapitału. W tych modelach, korzystając z twierdzenie B ana cha o punkcie stałym , pokazano, że funkcja wartości spełnia równanie Bellmana. Ponadto udowodniono pewne własności funkcji wartości. P raca została również uzupełniona o znane rezultaty oraz o potencjalne moż liwości uogólnienia rozważanego problemu.. ix.

(10)

(11) Abstract. The subject of the thesis is a natu ral com bination between the expected utility theory and the problem of optimizing dividend paym ents of an insurance company. There is a lot of papers in actuarial and financial m athem atics literature covering the topic of optim al expected dividend paym ents. However, if we consider the problem of optim al expected utility of dividend paym ents, this PhD thesis is one of the few sources. This work includes results, published by author, concerning the problem of maximizing the expected utility of dividend paym ents of an insurance company whose reserves are modeled as a classical C ram er-L undberg risk process. This optim ization problem was investigated under the constraint th a t the dividend rate is bounded. In this set up it was proved th a t the value function is differentiable and satisfies the H am ilton-Jacobi-B ellm an equation. Moreover, the optim al dividend strategy was identified. In this PhD thesis, also the subject of optim al expected utility of dividend paym ents in discrete version of C ram er-L undberg model w ithout and w ith capital injections was considered. In these models, using Banach fixed point theorem, it was shown th a t the value function satisfies Bellman equation. Moreover, some properties of the value function were proved. This dissertation summarizes known results and shows potential possible ge neralizations of the considered problem.. xi.

(12)

(13) Wstęp. Rezerwy firmy ubezpieczeniowej modelujemy zwykle przez proces Cram eraLundberga Nt Rt = x + ß t —. Yi,. ( 0 . 0 . 1). i=1 gdzie x > 0 jest kapitałem początkowym, ß > 0 oznacza intensywność w płaty składki, zaś Y 1 ,Y 2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz kładzie, reprezentującym i wielkość roszczeń, które są zgłaszane do firmy ubezpie czeniowej zgodnie z niezależnym procesem Poissona N t ze stałą intensywnością A > 0. Często zakładamy, że spełniony jest warunek ”net profit” : ß > A E (Y ) który pozwala na nieograniczony wzrost rezerw firmy ubezpieczeniowej. Oprócz procesu rezerw firmy ubezpieczeniowej drugim często rozważanym składnikiem procesu nadwyżki finansowej są wypłacane dywidendy. Pojęcie to zo stało zaproponowane przez B. de Finettiego [7] już w 1957 roku celem ograniczenia w zrostu rezerw firmy ubezpieczeniowej w klasycznym modelu ryzyka w czasie dys kretnym . W modelu ciągłym problem optymalizacji dywidend był po raz pierwszy rozważany w 1979 roku przez H. U. G erbera [8]. M atem atycznie rzecz ujmując proces nadwyżki finansowej firmy ubezpieczenio wej definiujemy jako X t = Rt — Ct,. t ^ 0,. gdzie Ct oznacza nieujemny, adaptow any oraz niemalejący proces reprezentujący łączną ilość dywidend wypłaconych do czasu t. Proces X t obserwujemy do czasu 1.

(14) 2 ruiny T = in f{t > 0: X t < 0}. Problem optymalizacji wypłacanych dywidend był wielokrotnie rozważany w m a tem atyce ubezpieczeniowej. W klasycznym podejściu jako funkcjonał celu rozważa się średnie zdyskontowane łączne dywidendy wypłacone do czasu ruiny VC (x) = E x. QTe-ßtd. C ,. gdzie ß > 0 to stopa dyskonta w czasie ciągłym, zaś dolny indeks przy wartości oczekiwanej oznacza, że proces nadwyżki finansowej startuje z kapitału początko wego X 0 = x. Wówczas w zbiorze strategi dopuszczalnych C, szukamy optymalnej strategii C *, która maksymalizuje vC(x). Funkcję zdefiniowaną jako v(x) = sup v C (x), c ec nazywamy wtedy funkcją wartości. Zwróćmy uwagę, że w tym modelu maksym ali zujemy zysk z w ypłat dywidend, a więc koncentrujem y się na optymalizacji w ypłat dywidend z punktu widzenia ubezpieczonego. W literaturze z zakresu m atem atyki finansowej i aktuarialnej można znaleźć wiele prac podejm ujących tem at optymalnej strategii w ypłat dywidend. W książce H. Schmidliego [15] z 2008 roku oraz artykule H. Albrechera i S. Thonhausera [1] z 2009 roku można znaleźć podsumowanie uzyskanych rezultatów. W znacznej części tych wyników okazuje się, że optym alną strategią w ypłat dywidend jest strategia barierowa. W 2004 roku F. Hubalek oraz W. Schachermayer [10] zaproponowali pewną ciekawą wariację klasycznego podejścia opierającą się na funkcji użyteczności. Otóż założyli oni, że Ct jest absolutnie ciągłe względem miary Lebesgue’a. Wówczas Ct =. 0. csds. p.n... W tym przypadku funkcjonał celu zdefiniowali jako Vc(x) = Ex ^. e-ß tU (ct)d^j ,.

(15) 3 gdzie U (x) jest pewną z góry ustaloną funkcja użyteczności. Głównym celem jest wówczas znalezienie w zbiorze wszystkich strategii dopuszczalnych C optymalnej strategii c*, która maksymalizuje funkcjonał celu vc(x) . W ten sposób uzyskujemy funkcję wartości v(x) = sup vc(x). cec F. Hubalek oraz W. Schachermayer zaproponowali, aby zam iast maksymalizacji oczekiwanego zysku z samych tylko w ypłat dywidend rozważać sytuację, gdy m ak symalizujemy oczekiwaną użyteczność w ypłat tych dywidend dla pewnej funkcji użyteczności U : R ^ 0 ^ R ^0. Jednak, w odróżnieniu od klasycznego modelu, gdzie proces rezerw firmy ubezpieczeniowej opisany jest procesem Cram era-Lundberga (0.0.1) , F. Hubalek oraz W. Schachermayer, rozważali sytuację, gdy proces rezerw jest ruchem Browna W t z dryfem, tj. R t = x + ßt + a W t. P raca F. Hubaleka oraz W. Schachermayera stanow iła dla mnie n atu raln ą in spirację, aby zaproponowany przez nich problem optymalizacji oczekiwanej uży teczności w ypłat dywidend rozpatrzyć w modelu, w którym proces rezerw opisany jest klasycznym procesem Cram era-Lundberga (0.0.1) . W spólny artykuł z prof. Zbigniewem Palmowskim [5] z 2017 roku, jest rezultatem prac nad problemem optymalizacji oczekiwanej użyteczności w ypłat dywidend w klasycznym, ciągłym modelu C ram era-Lundberga. W Rozdziale 4 tej rozprawy doktorskiej zostały szcze gółowo przedstawione i omówione wyniki z tego artykułu. Mianowicie pokażemy, że jeśli intensywność w ypłat dywidend jest ograniczona przez dowolną stałą, to funk cja wartości spełnia równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellm ana. Przy tym założeniu zidentyfikujemy również optym alną strategię w ypłat dywidend. W naturalny sposób pojaw ił się również pomysł, aby rozważany problem roz patrzyć w modelu dyskretnym . W Rozdziale 1 niniejszej pracy przedstawiony zo stał problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności w ypłat dywidend w dyskret nej wersji procesu nadwyżki finansowej opisanego procesem Cram era-Lundberga. W arto tu ta j zauważyć, że również D. Socha w swojej procy doktorskiej [16] w podrozdziale dotyczącym możliwych uogólnień rozważanego przez siebie proble.

(16) 4 mu optymalnej w ypłaty dywidendy w dyskretnym modelu nadwyżki firmy ubez pieczeniowej, zauważył potrzebę rozpatrzenia problemu maksymalizacji średniej użyteczności wypłacanych dywidend. D. Socha podał nawet kilka pierwszych re zultatów , w szczególności rezultaty dotyczące własności rozwiązania i optymalnej strategii, a także sformułował pewną hipotezę dotyczącą zagadnienia jednoznacz ności poziomu w ypłat dywidend przy danym kapitale. R ezultaty D. Sochy zostały przedstawione i omówione w podrozdziale 1.5, począwszy od Lem atu 1.5.4 do koń ca tego podrozdziału. Ponadto w podrozdziałach 1.1, 1.4 oraz Lem atach 1.3.4, 1.3.5 z podrozdziału 1.3, wykorzystując podobne techniki, uogólniłem rezultaty uzyskane przez D. Sochę na model, w którym maksymalizowane są nie tylko sa me dywidendy, ale ich użyteczność. Podrozdział 1.3 uzupełniłem o pewne własne, dodatkowe wyniki dotyczące własności przekształcenia kontrakcyjnego (w szcze gólności Lem at 1.3.7) . W podrozdziale 1.6 omówiłem własności rozwiązania przy dodatkowych założeniach dotyczących funkcji użyteczności oraz postaci rozkładu szkód w procesie nadwyżki. W szczególności założenia te są spełnione, gdy mamy do czynienia z wykładniczym rozkładem szkód. W podrozdziale 1.7 rozważyłem sytuację, gdy funkcja użyteczności w funkcjonale celu jest nieograniczona. W tej sy tuacji nie można bezpośrednio skorzystać z twierdzenia B anacha o punkcie stałym w dowodzie istnienia i jednoznaczności rów nania Bellmana, tak jak w podrozdzia le 1.2. Możemy jednak pokazać, że w tym wypadku funkcja wartości jest funkcją ciągłą jako granica pewnego jednostajnego ciągu funkcji ciągłych. W Rozdziale 2 zaproponowałem przeniesienie uzyskanych rezultatów z Roz działu 1 na model dyskretny z w płatam i kapitału. W płaty kapitału pozw alają zabezpieczyć się przed bankructwem , jednak wiążą się z dodatkowymi karami za wpłaty, które uwzględniamy w funkcjonale celu. Przy odpowiednich założeniach dotyczących funkcji użyteczności oraz współczynnika kary pokazałem, że funk cja wartości w tym modelu jest funkcją wklęsłą. Konsekwencją tego jest fakt, że w spom niana wcześniej hipoteza dotyczącą zagadnienia jednoznaczności poziomu w ypłat dywidend przy danym kapitale, w m odelu z w płatam i kapitału okazuje się być prawdziwa. Stanowi to główny wynik tego rozdziału. Rozdział 3 stanowi naturalne uzupełnienie między Rozdziałami 1 i 2 rozważa.

(17) 5 jącym i model dyskretny, a Rozdziałem 4 , w którym omówiony został model ciągły. Mianowicie w Rozdziale 3 przedstawiony został problem optymalizacji oczekiwa nej użyteczności w ypłat dywidend w modelu, w którym rezerwy modelowane są ciągłym procesem Cram era-Lundberga, ale dywidendy wypłacane są dyskretnie. R ezultaty opisane w tym rozdziale pochodzą w pełni z pracy S. Thonhausera oraz H. Albrechera [2] z 2011 roku. Jednakże, zam iast rozważać potęgową funkcję uży teczności, tak jak oryginalnie było to zrobione w pracy [2 ], wyniki w tej rozprawie zostały przedstawione dla pewnej szerszej klasy funkcji użyteczności, do których funkcja potęgowa w szczególności należy. Rozdział 5 stanowi podsumowanie oraz omawia potencjalne możliwości uogól nienia rezultatów zaprezentowanych w tej rozprawie doktorskiej..

(18) 6.

(19) R ozdział. 1. A ___ ". Model dyskretny 1.1. W p row ad zen ie. Przedm iotem naszych rozważań jest proces nadwyżki ubezpieczyciela modelo wany w postaci równania rekurencyjnego X n+1 — X n. Cn + Yn+1 j. z kapitałem początkowym X 0 — x > 0, gdzie X n oznacza proces nadwyżki fi nansowej zakładu ubezpieczeniowego po n okresach czasu. Firm a pobiera składki od klientów oraz w ypłaca odszkodowania. Przez Yn rozumiemy bilans między wy płaconymi odszkodowaniami a otrzym anym i składkami na koniec n-tego okresu. Oczywiście bilans na zakończenie każdego okresu może być ujemny. W m odelu za kładamy, że bilans na koniec każdego okresu jest opisany przez ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Przez v oznaczymy rozkład tych zmiennych losowych, a przez Y zmienną losową o tym rozkładzie. Przyjm ujem y ponadto naturalne założenie, że E |Y | < to . Towarzystwo ubezpieczeniowe po dejmuje decyzję o wysokości wypłacanej dywidendy Cn na koniec n-tego okresu. Przyjm ujemy naturalne założenie 0 < Cn < X n dla dowolnego n G N, tj. w ypłata dywidendy nie może prowadzić do bankructw a. Decyzje dotyczące wysokości wy płacanych dywidend podejmowane są w oparciu o dostępną informację. Przez £ n oznaczamy a-ciało generowane przez X n , tj. £ n — a (X 0, X i , . . . , X n). Zakładamy, 7.

(20) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 8. że proces stochastyczny {Cn : n = 1 , 2 , . . . } jest adaptow any względem E n. Proces nadwyżki obserwujemy do m om entu bankructw a t = in f{n E N : X n < 0} zwane go również m om entem ruiny. Oczywiście dywidendy nie są wypłacane, gdy ruina już nastąpi, czyli Cn = 0 dla n > t . Oznaczmy przez I ( X n) przedział [0,X n] jeśli X n > 0, a gdy X n < 0 niech I ( X n) = 0. D e fin ic ja 1.1.1. K ażdą S n m ierzalną zm ienną losową Cn E I ( X n) nazywamy decyzją w chwili n, zaś przez Cn oznaczamy zbiór wszystkich możliwych decyzji w chwili n . D e fin ic ja 1.1.2. Ciąg decyzji (Cn) = ( C o ,C i,...) taki, że Ci E Ci nazywamy strategią dopuszczalną, zaś przez C = C1 x C2 x . . . oznaczamy zbiór wszystkich strategi dopuszczalnych. Dla ustalonej strategii (Cn) definiujemy funkcjonał celu jako wartość oczekiwa ną wszystkich zdyskontowanych na chwilę 0 użyteczności dywidend wypłaconych do m om entu ruiny, tj. ~r—1 V (Cn)(x) = E ] T Yn U(Cn) | Xo = x , .n=0 gdzie y G (0,1) jest czynnikiem dyskontującym, zaś U : [0, to ) ^. ( 1 . 1 . 1) [0, to ) jest. funkcją użyteczności. W rozdziale tym będziemy zakładać, że funkcja użyteczności spełnia następujące warunki: 1. U jest ograniczona, 2. U (0) = 0, 3. U jest ściśle rosnąca, 4. U jest ściśle wklęsła, 5. U jest klasy C 1((0, to )). Poza wymienionymi wyżej własnościami funkcji U , będziemy w niektórych miej scach tej pracy dodatkowo zakładać, że funkcja użyteczności spełnia warunki Inady, to znaczy lim U'(x) = to oraz lim U'(x) = 0. Jednak w takiej sytuacji, każdorazowo będzie to zaakcentowane..

(21) 1.2. R Ó W N A N I E B E L L M A N A. 9. Naszym celem jest znalezienie strategii optymalnej (Cn), która maksymalizuje funkcjonał celu ( 1 . 1. 1 ) oraz scharakteryzowanie funkcji wartości opisanej następu jącą formułą V (x) =. 1.2. ~r—1 sup V (Cn)(x) = sup E ^ YnU(Cn) | X 0 = x . (Cn)e<t (cn)ec |_n=o. (1.1.2). R ów n an ie B ellm a n a. W tym podrozdziale wykażemy, że funkcja wartości V zdefiniowana w (1.1.2) jest rozwiązaniem następującego rów nania Bellmana: V (x) = sup \ U (c) + y E V ( x — c + Y )x{x—c+Yô}} , x > 0 , O^c^x k J V(x) = 0 , x < 0. Powyższe równanie jest równoważne następującem u V ( x ) = sup \ u (c) + y [ V (x — c + y ) v ( d y ) \ . O^c^x [ J—(x—c) J. ( 1.2 . 1). Udowodnimy istnienie jednoznacznego rozwiązania rów nania (1.2.1) w odpowied nio dobranej przestrzeni funkcyjnej oraz istnienie optymalnej strategii. W tym celu zdefiniujemy operator T jako (T V )(x) = sup l u (c) + y f V (x — c + y )v (dy) 1. O^c^x [ J —(x—c) J. (1.2.2). Wykażemy, że zdefiniowany powyżej operator T jest kontrakcją w przestrzeni B([0, to ), R) ograniczonych funkcji mierzalnych określonych na półprostej [0, to). Przy dodatkowym założeniu ciągłości rozkładu opisującego szkody operator T jest również kontrakcją w przestrzeni CB ([0 , to ),R ) ograniczonych funkcji ciągłych określonych na półprostej [0, to). T w ie rd z e n ie 1.2.1. Niech U będzie funkcją ograniczoną. Wówczas: (i) Operator T zdefiniowany w (1.2.2) jest kontrakcją ze stałą y w przestrze ni ograniczonych funkcji mierzalnych B([0, to ),R ). Istnieje zatem dokładnie jedno mierzalne i ograniczone rozwiązanie V równania ( 1.2 . 1) ..

(22) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 10. (ii) Jeśli V ma rozkład ciągły, to operator T jest kontrakcją w przestrzeni ograni czonych funkcji ciągłych CB ([0, to ), R). Istnieje zatem dokładnie jedno ciągłe i ograniczone rozwiązanie V równania ( 1 .2 . 1) . Dowód. Ad (i). Rozważmy normę \\f || =. sup If (x)|. Niech f E B ([0, to ), R). xG[0,œ). Wówczas T f (x) = sup U J (c) + y f f (x - c + y ) v (d y ) | O^c^x [ J—(x—c) J « sup \ U (c) + y f sup If (w) IV( d y ) \ O^c^x ^ J —(x—c) mç[0)œ) ) « sup { U (c) + y \\f ||} « U (x) + Y\\f \l < TO, O^c^x gdzie ostatnie dwie nierówności w ynikają odpowiednio z monotoniczności oraz ograniczoności funkcji U . Dowodzi to, że T jest operatorem działającym w prze strzeni funkcji mierzalnych i ograniczonych. Weźmy teraz f , g E B ([0, to ), R). Na podstawie ( 1.2 .2 ) otrzymujemy |T f(x ) - T g ( x ) I «. sup <U (c) + y f f ( x - c + y)v(dy) O^c^x [ J —(x—c). (1.2.3). - U (c) - y [ g(x - c + y )v ( d y ) \ J —(x—c) I œ If (x - c + y) - g(x - c + y )|v (dy) ~(x—c) œ sup If (w) - g(w)Iv(dy) -(x—c) w^[0,œ). / /. « y \\f - g\\. Dowodzi to, że operator T jest kontrakcją w przestrzeni ograniczonych funkcji mie rzalnych. B([0, to ), R).. Tym. samym. na. podstaw ie. twierdzenia. Banacha. o punkcie stałym istnieje dokładnie jedno odwzorowanie V E B([0, to ), R) takie, że T V (x) = V (x), co w konsekwencji oznacza, iż V jest jedynym rozwiązaniem rów nania (1.2.1) . Przypomnijmy, że nie mogłyby istnieć dwa różne rozwiązania V1 ,V2 rów nania ( 1.2 . 1) , bo wówczas oba byłyby punktam i stałym i dla operatora T . Z faktu, że T jest kontrakcją otrzymalibyśmy wówczas IVM-t) - V2(x)j| = |T V ( x ) - T 2( i) || « Y IV'1(x) - V2(x)j|..

(23) 1.2. R Ó W N A N I E B E L L M A N A. 11. W tedy z faktu, że 7 G (0,1) wynika natychm iast, że V = V2. Ad (ii). Wykażemy, że T : CB ([0, to ), R) ^ CB ([0, to ), R). Fakt, że T jest opera torem działającym w przestrzeni funkcji ograniczonych został wykazany w pod punkcie (i). Celem wykazania, że operator T przekształca funkcje ciągłe w funkcje ciągłe zauważmy, że ciągłość ÿ(c) implikuje ciągłość sup ÿ (c). W ystarczy zatem 0^c^x wykazać, że jeśli V jest funkcją ciągłą, to wyrażenie, z którego obliczane jest su prem um w (1.2.2) jest funkcją ciągłą względem c. Ponieważ U jest funkcją ciągłą, zatem pierwszy składnik sumy pod supremum w (1.2.2) jest ciągły. Zdefiniujmy teraz funkcję n(c) := x - c. Jeśli v m a rozkład z gęstością f v, to drugi składnik sumy pod supremum w ( 1 .2 .2 ) jest równy. /. _ ro _ ro _ V ( x - c + y)v(dy) = V (n(c) + y ) f v(y)dy = V ( t ) f v (t - n(c))dt -(x-c) J-v(c) J0 00. =. L. V (t)V(v(c ) - t)dt =. (V * V )(n (c)),. gdzie V (x) = f v ( - x). Splot ciągłej funkcji V z całkowalną funkcją f v jest funkcją ciągłą. D odając do tego fakt, iż złożenie ciągłego splotu V * f v z ciągłą funkcją n jest funkcją ciągłą, otrzymujemy, że drugi składnik sumy pod supremum w ( 1.2 .2 ) również jest funkcją ciągłą. Stwierdzamy zatem , że istotnie T : CB ([0, to ), R) ^ CB ([0, to ), R). Fakt, że T jest kontrakcją zachodzi na mocy nierówności (1.2.3) , która zachodzi również w przestrzeni CB ([0, to ), R).. □. W n io s e k 1.2.2. Dla dowolnego rozkładu v rozwiązanie V (x) równania (1.2.1) jest prawostronnie ciągłe. Dowód. Zauważmy,. że. TV(x). jest. prawostronnie. ciągła,. ponieważ. T V (x) = sup0^c^x ÿ (c), a funkcja ÿ jest prawostronnie ciągła. Ustalm y teraz do wolny punkt x > 0 oraz e > 0 i rozpatrzm y ciąg x n I x. Ponadto, niech T n0 będzie n -tą iteracją funkcji tożsamościowo równej zero przy operatorze T . Dla dostatecznie dużego n mamy wówczas \ V (xn) - V (x )\ < \V(xn) - T n0(xn)\ + \Tn0(xn) - T n0(x)\ + \Tn0(x) - V (x )\ < e. Powyższa nierówność kończy dowód faktu, że V (x) jest funkcją prawostronnie ciągłą.. □.

(24) 12. R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y Udowodnimy teraz istnienie selektora maksymalizującego c(x) w równaniu. ( 1 *2 . 1). T w ie rd z e n ie 1.2.3. Niech V będzie ciągłym rozwiązaniem równania (1.2.1) . Zde finiujmy (x - c). V (x —c + y) v (dy). oraz c(x) = in f{c > 0 : V (x) = 0 (c)}, c(x) = sup{ 0 < c < x : V (x) = 0 (c)}. Wówczas c(x) jest półciągłym z dołu selektorem maksymalizującym prawą stronę równania ( 1 .2 . 1) , zaś c(x) jest półciągłym z góry selektorem maksymalizującym. Dowód. Zauważmy, że z samej definicji c(x) oraz c(x) wynika, że są to selekto ry maksym alizujące prawą stronę rów nania ( 1.2 . 1) o ile zbiór po którym liczymy infimum oraz suprem um w definicjach c(x) oraz c(x) odpowiednio jest zbiorem niepustym. W celu wykazania niepustości wspomnianego zbioru zauważmy, iż cią głość V oraz U implikuje ciągłość 0 . Ponadto z twierdzenia W eierstrassa funkcja ciągła 0 na zbiorze zwartym [0 ,x] osiąga swoje kresy, czyli musi istnieć przynaj mniej jedno c G [0,x] takie, że 0 (c) =. sup 0 (c). Z kolei z Twierdzenia 1.2.1 O^c^x (ii) wiemy, iż to supremum wynosi V (x). Dzięki tem u istnieje co najm niej jedno. c G [0,x] takie, że 0(c) = V (x). To kończy dowód niepustości rozważanego zbioru. W celu udowodnienia półciągłości z dołu c(x) ustalm y x 0 > 0 i niech x n będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x0. Zdefiniujmy ciąg cn = c(xn). Zauważmy, że ciąg ten jest poprawnie zdefiniowany, gdyż jak wykazywaliśmy wyżej zbiór po którym liczymy infimum w definicji c jest zbiorem niepustym . Ponieważ ciąg cn jest ograniczony, możemy wybrać podciąg cnk, który jest zbieżny do pewnego c. Mamy wówczas V ( x nk ) = 0 (cnk ) . Biorąc pod uwagę, że V oraz 0 są ciągłe, możemy przejść do granicy otrzym ując V (xo) = lim inf V ( x n k ) = lim inf 0 (cnk ) = 0 (c)..

(25) 1.3.. W Ł A S N O Ś C I P R Z E K S Z T A Ł C E N IA K O N T R A K C Y J N E G O. 13. Zatem c(xo) < c = lim Cnk.. k —ôo. Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnego cnk podciągu zbieżnego ciągu cn stwierdzamy c(x 0) < lim in f cn = lim in f c(xn). To kończy dowód faktu, że c jest półciągła z dołu w punkcie x 0. Ponieważ punkt x 0 był dowolnie wybrany stwierdzamy, iż c(x) jest półciągła z dołu. Dowód górnej półciągłości c jest podobny.. 1.3. □. W ła sn o ści p rzek szta łcen ia k ontrakcyjnego. W tym podrozdziale udowodnimy kilka własności przekształcenia kontrakcyj nego T zdefiniowanego w (1.2.2) , a także wyprowadzimy ograniczenie górne na funkcję V wynikające wprost z równania Bellmana (1.2.1) . Na początek zauważmy, że rozważana przez nas funkcja użyteczności U jest subaddytyw na. Istotnie U spełnia założenia poniższego lem atu, a zatem jest subaddytywna. L e m a t 1.3.1. Jeśli funkcja f : [0, to ) ^ R jest wklęsła oraz f (0) > 0, to f jest subaddytywna, to znaczy f (x + y) < f (x) + f (y) dla dowolnych x , y G [0, to ). Dowód. Zauważmy, że biorąc dowolnego x > 0 oraz y = 0 z definicji wklęsłości oraz nierówności f (0 ) > 0 otrzymujemy f (tx) = f (tx + (1 - t) • 0 ) > t f (x) + (1 - t ) f (0 ) > t f (x ), dla dowolnego t G [0,1]. Wówczas dla dowolnych (x,y) G [0, to ) x [0, to )\{ (0 , 0)} f (x) + f (y ) = f. \x + y. (x + y ^ + f (x + y)l J \x + y ). > ~^— x + y f ( x + y ) + x~ +^ y f ( x + y) = f ( x + y ) . W przypadku x = y = 0 subaddytywność jest oczywista.. □.

(26) 14. R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. L e m a t 1.3.2. Połóżmy 0(c) = U (c) + y f —°(x-c) U (x - c + y) v (dy). Wówczas 0(0) < 0 (x ) . Dowód. K orzystając kolejno z faktów U (0) = 0, subaddytywności U oraz faktu, iż Y G (0,1) otrzymujemy. /. œ U (x + y ) v (dy) = yE[U (x + Y )+] « yE[U (x + Y +)] x. « YU (x) + yE[U (Y +)] < U (x) + yE[U (Y +)] = 0(x).. W n io s e k 1.3.3. Supremum w T 20(x) nie może być osiągane w punkcie 0. Dowód. W ynika to wprost z Lem atu 1.3.2 oraz z faktu, że T 20(x) = sup 0(c). O^c^x L em at. 1.3.4.. Operator. T. jest. operatorem. monotonicznym,. tj.. □ jeśli. g , h G CB ([0, to ), R) spełniają nierówność g(x) « h(x) dla dowolnego x > 0, to T g(x ) « T h ( x ) . Dowód. Połóżmy. /. œ g(x - c + y)v(dy). (x- c). Wówczas z faktu, że g (x ) « h (x ) natychm iast wynika 0 g (c) « $h(c),. c > 0.. Stąd Tg( x) = sup 0 g(c) « sup 0 h(c) = T h( x) , O^c^x O^c^x co kończy dowód lem atu.. □. L e m a t 1.3.5. Dla dowolnegox > 0,ciąg (Tn0(x))œ=Ojest ciągiem niemalejącym. Dowód. Zauważmy, że T 0(x). = sup U (c) = U (x) > 0,gdyż U jest funkcją ściśle O^c^x rosnącą oraz U (0) = 0. Wówczas korzystając z Lem atu 1.3.4 T n+10 (x) > T n0(x), co kończy dowód lem atu.. □.

(27) 1.3.. W Ł A S N O Ś C I P R Z E K S Z T A Ł C E N IA K O N T R A K C Y J N E G O. 15. U w a g a 1.3.6. Zauważmy, że natychm iastow ym wnioskiem z faktów, iż ciąg (Tn0(x ))^=0 jest niemalejący oraz T 0(x) = U (x) jest fakt, iż spełniona jest nie równość V (x) > U (x). W Lemacie 1.5.1 podam y mocniejsze oszacowanie dolne na funkcję wartości. Ponieważ funkcja U jest nieujem na otrzymujemy również, że V (x) > 0, czyli rozwiązanie rów nania Bellm ana (1.2.1) jest funkcją nieujemną. Podam y teraz lem at, z którego skorzystamy w dowodzie twierdzenia weryfika cyjnego. L e m a t 1.3.7. Niech Y+ = max(Y, 0). Jeśli P[Y > 0] > 0, to rozwiązanie V (x) równania Bellmana (1.2.1) spełnia nierówność V (x) < U '(E Y + )(x — EY +) + U (E Y + ). 1 —Y. (1.3.1). Dowód. W celu wykazania nierówności zauważmy najpierw , że T 0(x) = U (x) ze względu na fakt, iż U jest rosnąca. Funkcja U jako funkcja wklęsła spełnia nierów ność U (z) — U (w) < U '(w)(z — w) dla dowolnych z, w > 0. Stąd wynika, że T 20(x) = sup \ u (c) + y [ U (x — c + y ) v (dy) 1 0^c^x [ J-(x-c) J. (1.3.2). < sup \ U (EY +) + U'(E Y + )(c —E Y +) + y U (E Y +) 0^c^x [ + y U '(E Y +) / (x — c + y — EY +)v(dy) 1 - (x - c) < sup f(Y + 1)U (EY +) + U ' ( E Y +)(c —E Y +) 0^c^x L + y U ' ( E Y +) ( e [(x — c + Y )+] —E Y +) } < sup f(Y + 1)U (EY +) + U ' ( E Y +)(c —E Y +) 0^c^x 1 + y U ' ( E Y +) (x — c + EY + —E Y +) } = sup f(Y + 1 ) U (E Y +) + U '(EY +)(c(1 —y) —EY + + y x ) | 0^c^x 1 J = (Y + 1)U (EY +) + U '(E Y + )(x —E Y +). O statnia równość w (1.3.2) wynika z faktu, że 1 —y > 0. Z uzyskanego ograniczenia.

(28) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 16 górnego na T 20(x) otrzymujemy. T 30(x) < sup \ u ( c ) + y (°° [(y + 1 )U (E Y + ) O^c^x [ J—(x—c). (1.3.3). + U;(E Y +)(x — c + y — E Y +)] v(dy) j < sup \ U (EY +) + U ' ( E Y + )(c —E Y +) + y U (EY +) o^c^x y œ ^ (x — c + y — E Y +)v ( d y ) \ + y 2U (E Y +). -(x—c) \. /. Zauważmy, że składnik pod suprem um w nierówności powyżej pojaw ił się już w nierówności (1.3.2) i m a takie samo ograniczenie górne jak T 20(x). Możemy zatem zapisać, że T 30(x) < (y + 1)U (EY +) + U1 (E Y +)(x —E Y +) + y 2U (EY +) = (Y2 + Y + 1)U (EY +) + U ' (E Y +)(x —E Y +). Stąd indukcyjnie n—1 T n0(x) < U ' ( E Y +)(x —E Y +) + ^ Yk U ( E Y +). k=0. (1.3.4). Zauważmy, że powyższe oszacowanie jest spełnione również dla n = 1 , gdyż z wklęsłości funkcji U wynika, że T 0(x) = U (x) < U (EY +) + U'(EY+)(x — E Y +). Przechodząc do granicy w (1.3.4) , korzystając z faktu, iż T jest kontrakcją, mamy V (x) < U \ E Y +)(x —E Y +) + U (EY + ) . 1 —Y. Zauważmy, że jeśli P[Y > 0] > 0, to EY + > 0. Wówczas U;(E Y +) < to , a zatem ograniczenie. górne. na. V (x). w. Lemacie. 1.3.7. jest. skończone,. nawet. w w ypadku, gdy U;(0) = to. Ponadto założenie P[Y > 0] > 0 jest dość n atu ral ne. W przeciwnym wypadku oczywiście optym alną strategią jest w ypłata całego kapitału początkowego x w chwili 0. (por. Lemat 1.5.1) ..

(29) 1.4.. T W IE R D Z E N IE W E R Y F IK A C Y J N E. 17. U w a g a 1.3.8. W bardzo podobny sposób można wykazać, że rozwiązanie F (x ) równania Bellmana (1.2.1) spełnia nierówność. / ( x ) < U' (0 )x + YU' (0)EY +. 1- Y Jednakże nierówność ta wymaga przyjęcia dodatkowego założenia U;(0) < to. Dla tego oszacowanie z Lem atu 1.3.7 jest bardziej wartościowym wynikiem i będziemy korzystać z niego w dalszej części pracy, w szczególności w dowodzie twierdzenia weryfikacyjnego.. 1.4. T w ierd zen ie w eryfikacyjne. W tym podrozdziale wykażemy, że rozwiązanie rów nania Bellm ana (1.2.1) jest równe funkcji wartości zdefiniowanej w (1.1.2). Zaczniemy od udowodnienia n astę pującego lematu.. L e m a t 1.4.1. Jeśli V jest rozwiązaniem równania Bellmana (1.2.1) , a c* jest mierzalnym selektorem maksymalizującym ( 1.2 . 1), to dla dowolnego n > 1 zachodzi min(n,T)—1 V(x) = E — YkU(c*(Xk)) I Xo = x k=0. + E [7 min(nT^ ( X m in ^ r )) | Xo = x . (1.4.1). Dowód. Udowodnimy teraz, że lem at jest prawdziwy dla n = 1 . Jeśli t < 1, to wówczas x < 0, co implikuje F (x ) = 0. K orzystając z faktu, że. —=0 = 0 prawa. strona równania (1.4.1) jest wówczas równa. E — — 1 YkU(c*(Xk)) I Xo = x + E [y0/ (Xo) | Xo = x] = Ù(x) = 0. -k=0.

(30) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 18. Jeśli t > 1, to prawa strona (1.4.1) wynosi i-i 1 E E YkU(c*(Xk)) | Xo = x + E [y 1v (X i) | Xo = x k=o = U(c*(x)) + yE [v ((Xo —c*(Xo) + Y i ) x {tziy) I Xo = x] œ _ V (x —c*(x) + y )v (dy) -(x—c*(x)). /. = sup ( U (c) + y [ V (x — c + y ) v ( d y ) \ = V (x), o^c^x [ J—(x—c) J co kończy dowód w przypadku n = 1 . Załóżmy teraz, że lem at jest prawdziwy dla n, czyli. równanie (1.4.1) zachodzi dla n. Pokażemy, że (1.4.1) jest spełnione. również dla n + 1. W. tym celu rozpiszemy drugi składnik sumy po prawej stronie. w równaniu (1.4.1) . E [y min(n,T) V (X m;n(n,T)) I Xo = x = E [y min(n,T) (x{t ^n} + X{t ^n+1})V (Xmin(n,T)) | Xo = x] = E [x{t<,n}YT0 + X{t^n+i}Yn (U(c*(Xn)) + YV (Xn+l)) | Xo = x] = E [x{t^n}YT0+X{t=n+1}Yn (U(c*(Xn))+Y0)+X{T>n+1}Yn (U(c* (X n))+Y V(Xn+l))] = E [x{tÇ n r f 0+X{T=n+1}Yn+10+X{T>n+1}Yn+1V(Xn+1) + X{t^ n + ^ U (c*(Xn))] = E [y min(n+1,T)V(Xmin(n+1,T)) + X{t^n + ^ U (o*(X„))' . Uwzględniając tę równość w (1.4.1) otrzymujemy min(n+1,T)—1 V (x )= E E YkU(c*(Xk))|Xo = x + E [Ymin(n+1,T)V(Xmin(n+1,T))|Xo = x . k=o To dowodzi, że (1.4.1) zachodzi dla n + 1 i kończy dowód indukcyjny.. □. Sformułujemy teraz twierdzenie weryfikacyjne. T w ie rd z e n ie 1.4.2. Niech V (x) będzie rozwiązaniem równania (1.2.1) . Wówczas V (x) = V ( x ) , czyli rozwiązanie równania Bellmana pokrywa się z funkcją wartości daną wzorem ( 1. 1.2 ) . Co więcej strategia stacjonarna (Cn)œ=o £ C jest strategią optymalną, tzn. istnieje funkcja mierzalna c* taka, że (C*n) œ <=o = (c*(Xn))œ=o, gdzie c* jest mierzalnym selektorem, dla którego spełnione jest równanie ( 1.2 . 1) ..

(31) 1.5.. W Ł A S N O Ś C I R O Z W IĄ Z A N IA I O P T Y M A L N E J S T R A T E G II. 19. Dowód. Na podstaw ie Twierdzenia 1.2.3 istnieje mierzalny selektor c* równania (1.2.1) . Wówczas na mocy Lem atu 1.4.1 mamy min(n,T)—1 V(x) = E £ YkU(c*(Xk)) IXo = x k=0. + E Y min(n,T) V (Xmin(n,T)) | Xo = x . (1.4.2). Rozpatrzm y teraz drugi składnik z prawej strony powyższego równania 0 « E [ymin(n,T)V(Xmin(n,T)) | X 0 = x]. = E [x{T<n}YTV ( X t ) I X 0 = x] + E [x{tïn}YnV ( X n ) | X 0 = x' = 0 + E [x{Tźn}YnV ( X n ) I X 0 = x] = YnE [x{T^n}V (Xn) | X 0 = x' « YnE U'(E Y +)(X n - E Y +) + U(EY+) I X 0 = x L 1- y « Yn ( u ' ( E Y +)(x + (n - 1)EY +) +. ,. gdzie przedostatnia nierówność zachodzi na podstawie (1.3.1) , zaś ostatnia na pod stawie faktu X n « X 0 + n E Y +. Ponieważ U'(E Y +) < to oraz EY + < to , przecho dząc z n do to widzimy, że Üm Yn ( u ' ( E Y +)(x + (n - 1)EY+) + U( EY + ^ = 0. Wykazaliśmy zatem , iż nlim ^œ E Y L min(n,T)V(Xmin(n,T)) | X 0 = x] = 0 . Dlatego, przechodząc z n do to w równości (1.4.2) otrzymujemy V (x) = E. YkU(c*(Xk)) I X 0 = x = V(x). k=0. 1.5. W ła sn o ści rozw iązan ia i op tym aln ej stra teg ii. W poprzednich podrozdziałach wykazaliśmy, że problem maksymalizacji funk cjonału celu (1.1.1) jest równoważny analizie rów nania Bellmana (1.2.1) . W tym.

(32) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 20. podrozdziale udowodnimy kilka własności funkcji wartości oraz zastanowimy się nad postacią strategii optymalnej. Oznaczmy p+ = P(Y > 0). L e m a t 1.5.1.. (i) Funkcja wartości V (x) spełnia następujące nierówności u. (. x. ) + 1 - P+Y. < V (x) < U (x ) + Y E iU fł:+ ) i 1- Y. (1.5.1). (ii) Jeśli P[Y > 0] = 0, to V (x) = U(x), oraz optymalna strategia jest zdefinio wana jako C0 = x oraz Cn = 0 dla n > 1. Dowód. Ad (i). Zauważmy, że funkcja wartości nie może przekroczyć wartości wy nikającej z pseudo-strategii polegającej na natychmiastowej wypłacie całego ka pitału, a następnie w ypłacaniu w każdej chwili n maksimum z zera oraz wartości zmiennej losowej Y bez zatrzym yw ania w momencie ruiny. Mamy więc następującą pseudo-strategię x. dla n = 0 ,. Yn+. dla n = 1, 2, . . .. {. oraz wynikające z niej oszacowanie œ "I rœ V (x) < E — Yn U (Cn) I Xo = x = U (x) + E — - nU (Y+) _n=0 J Ln=1 œ 1 Y < U ( x ) + E U ( Y +) — Yn = U (x) + - - E[U (Y +)]. n=i j 1- y W oszacowaniu powyżej skorzystaliśmy z faktu, iż zmienne losowe Y1, Y2, . . . m ają ten sam rozkład. W celu wykazania oszacowania dolnego rozpatrzm y równanie Bellmana (1.2.1) oraz strategię polegającą na w ypłaceniu w każdej chwili n całej wysokości środków jako dywidendy tzn. c = x. Wówczas z rów nania (1.2.1) mamy pœ V (x) > U (x) + y / V (y)v (dy). Jo. (1.5.2). Z powyższej nierówności wnioskujemy, iż istnieje pew na stała C > 0 taka, że V (x) > U (x) + C . Podstaw iając tą nierówność do (1.5.2) otrzymujemy pœ V (x) > U (x) + W (U (y) + C )v (dy) = U (x) + -E [U (Y +)] + C-P+. Jo.

(33) 1.5.. W Ł A S N O Ś C I R O Z W IĄ Z A N IA I O P T Y M A L N E J S T R A T E G II. 21. Iterując tę procedurę n-krotnie, stwierdzamy n V (x) > U (x) + — y kP+—1E[U (Y +)] + CYnp+ k=1 n = U (x) + Y — (YP+)k—‘E[U ( Y +)] + C (YP+)n. k=1 Przechodząc z n do nieskończoności, dostajem y wówczas V (x) » U (x) + YE[U (Y +>'. 1 - P+Y Ad (ii). Jeśli P[Y > 0] = 0, to wówczas, ze względu na dyskontowanie oczywistym jest, że chcemy wypłacić kapitał początkowy jak najszybciej czyli w chwili 0. Om a wiany wynik można uzyskać również z nierówności z podpunktu (i). Mianowicie, jeśli P[Y > 0] = 0, to wówczas Y + = 0 poza zbiorem miary 0, co z kolei implikuje, że E[U (Y +)] = 0, korzystając z faktu U (0) = 0.. □. W n io s e k 1.5.2. V (x) < U ( x ) + y u e y + 1 1- Y Dowód. W niosek jest natychm iastow ą konsekwencją nierówności Jensena dla funk cji wklęsłej U oraz Lem atu 1.5.1.. □. Zwróćmy uwagę, że oszacowanie dolne na V (x) w nierówności (1.5.1) można wykazać bezpośrednio z postaci równania Bellmana (1.2.1) . Zostanie to zrobione w kolejnym lemacie, który zapiszemy w nieco innej formie, aby móc skorzystać z niego w dalszej części pracy. L e m a t 1.5.3. Jeśli supremum w definicji T 20(x) jest osiągane w punkcie x, to V (x) = U (x) + i — + + !. Dowód. Skoro supremum w T 20(x) jest osiągane w punkcie x, to f‘œ T 20(x) = U (x) + - / U (y)v (dy) = U (x) + -E [U (Y +)]. o Wówczas T 30(x) = U (x) + yE[U (Y +)] + y 2P+E[U (Y +)].

(34) 22. R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. i iterując tę procedurę n -krotnie, stwierdzamy n—1 T n0(x) = U ( x ) + y E[U (Y +)] £ (YP+)k—1. k=1 Przechodząc z n do nieskończoności, otrzymujemy V (x) = U (x) + Y f f i Y + l . 1 - P+Y. Powyższy lem at jest o tyle istotny, że jeśli uda nam się wykazać, że dla pew nej konkretnej funkcji użyteczności i konkretnego rozkładu zmiennej Y suprem um T 20 (x) jest osiągane w punkcie x, to wówczas znamy dokładny wzór na funkcję wartości V (x). W dalszej części pracy zostanie przedstawiony konkretny przykład odnoszący się do tego lematu. W kolejnym lemacie wykażemy kilka własności dotyczących przyrostów funkcji wartości. Przypomnijmy, że przez c*(x) rozumiemy mierzalny selektor m aksym a lizujący równanie Bellmana (1.2.1) . L e m a t 1.5.4.. (i) V (x) - V (z) > U (x) - U (z ) dla x > z.. (ii) V jest ściśle rosnąca w [0, to ). (iii) Jeśli z E [x - c*(x), x], to V (x) - V (z) « U(x - z). (iv) V (x) - V (z) > U(c*(z) + x - z ) - U(c*(z)) dla x > z. Dowód. Ad (i). Zauważmy, że po podstaw ieniu c := x - c równanie Bellmana ( 1 .2 . 1) jest równoważne równaniu V (x) = sup <U(x - c) + y f' V (c + y ) v (dy)} . 0^ë^x I J—c J Zdefiniujmy teraz.

(35) 1.5.. W Ł A S N O Ś C I R O Z W IĄ Z A N IA I O P T Y M A L N E J S T R A T E G II q. 23. := inf {U (x — c) — U (z — c)} = U (x) — U (z), o^c^z. gdzie ostatnia równość wynika z faktu, iż U jest silnie wklęsła, a stąd funkcja pod infimum jest funkcją rosnącą względem zmiennej, po której infimum jest liczone. K orzystając z faktu, że q jest skończone oraz z faktu, że suprem um podzbioru jest mniejsze bądź równe niż suprem um zbioru, w którym ten podzbiór się zawiera, dla x > z mamy V (x ) —V (z ) = = sup <U(x—c)+Y V ( c + y ) v (dy)[ — sup <U(z—c)+Y V ( c + y ) v (dy) [ o^c^x I J—c J o^c^z I J—c J > sup <U(x—c)+Y f V ( c + y ) v (dy)} — sup <U(z—c)+Y f V ( c + y ) v (dy)} o^c^z I J—c J o^c^z I J—c J = sup <U(x—c)—U ( z —c )+ U ( z —c)+Y [ V ( c + y ) v (dy)} o^c^z I J—c J — sup <U(z—c)+Y V ( c + y ) v (dy) [ o^c^z I J—c J > sup ( q + U ( z —c)+Y f V ( c + y ) v (dy)} — sup \ U ( z —c)+Y f V ( c + y ) v (dy)} o^c^z I J—c J occ^z I J—c J =Q + sup <U(z—c)+Y V ( c + y ) v (dy) [ — sup <U(z—c)+Y V ( c + y ) v (dy) [ o^ë^z I J—c J o^c^z I J—c J =Q = U (x) — U (z). Ad (ii). Z faktu, iż U jest ściśle rosnąca oraz nierówności z podpunktu (i) natych m iast wynika, że V jest ściśle rosnąca. Ad (iii). Należy wykazać, że V (x) —V (z) < U(x — z). Z nierówności x — c*(x) < z wynika, że 0 < z —x+c*(x). Z drugiej strony z c*(x) < x mamy, że z —x+ c*(x) < z. Dlatego, korzystając z faktu, iż c*(z) jest punktem , w którym osiągane jest supre mum, otrzymujemy. /. OO V (z — c* (z) + y ) v (dy) -(z—c*(z)). / /. 00. V (z — (z — x + c*(x)) + y ) v (dy) ~(z—(z—x+c* (x))) 00 V (x — c*(x) + y )v (dy). ~(x—c*(x)).

(36) 24. R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. Wówczas. /. œ V ( x - c*(x) + y)v(dy). ~(x—c*(x)). /. œ V ( x - c*(x) + y)v(dy) -(x—c*(x)). = U(c*(x)) - U(c*(x) - (x - z )) « U(c*(x) - (x. - z)) + U(x - z) - U(c*(x) - (x - z )) = U(x - z).. O statnia nierówność wynika z Lem atu 1.3.1. Ad (iv). Z nierówności 0 « c*(z) « z wynika, że 0 « x - z « c * ( z ) + ( x - z ) « x . Dlatego, korzystając z faktu, iż c*(x) jest punktem w którym osiągane jest supremum, dostajem y. /. œ V ( x - c*(x) + y)v(dy) ~(x—c*(x)). /. œ V ( x - (c*(z) + (x - z)) + y)v(dy) -(x—(c*(z)+(x—z))) œ V ( z - c*(z) + y)v(dy). -(z—c*(z)). / Wówczas. / /. œ. œ V ( z - c*(z) + y)v(dy). -(z—c*(z)). V ( z - c*(z) + y)v(dy). -(z—c*(z)). = U(c*(z) + (x - z)) - U(c*(z)). Konsekwencją powyższego lem atu są następujące wnioski. W n io s e k 1.5.5. Jeśli z E (x - c*(x),x], to c*(z) > 0. Dowód. Dla potrzeb dowodu nie wprost załóżmy, że c*(z) = 0. Wówczas, korzysta jąc z faktu, iż U (0) = 0, otrzymujemy, że V (z) = y f —°z V ( z + y)v(dy). Z podpunktu (iii) Lem atu 1.5.4 otrzymujemy wtedy, że V (x) « U (x - z) + y f™ V (z + y ) v (dy). Z drugiej strony 0 « x - z « x i z definicji supremum zachodzi nierówność.

(37) 1.5.. W Ł A S N O Ś C I R O Z W IĄ Z A N IA I O P T Y M A L N E J S T R A T E G II. 25. V (x) > U(x — z) + y — V ( z + y)v(dy). To jednak oznacza, iż x — z jest se lektorem m aksym alizującym dla rów nania Bellm ana z kapitałem początkowym x . Stąd wynika, że x — z = c*(x), a w konsekwencji z = x — c*(x). Otrzymujemy zatem sprzeczność z założeniem z G (x — c*(x),x].. □. W n io s e k 1.5.6. Jeśli c*(z) = 0, to dla x > z mamy x — c*(x) > z. Dowód. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że x — c*(x) < z. W tedy na p o d sta wie W niosku 1.5.5 zachodzi nierówność c*(z) > 0, czyli otrzymujemy sprzeczność z założeniami udowadnianego wniosku.. □. W n io s e k 1.5.7. Jeśli c*(z) = 0, to dla z G [x — c*(x),x] zachodzi równość c*(x) = x — z. Dowód. Bezpośrednio z założeń dostajem y x — c*(x) < z. Na podstaw ie W niosku 1.5.6 otrzymujemy nierówność przeciwną, co kończy dowód.. □. W poniższym lemacie pokażemy, że jeśli dla pewnego x optym alną strategią jest w ypłata całego kapitału w danej chwili, to dla wszystkich z < x optym alną strategią również musi być w ypłata całego obecnego kapitału. L e m a t 1.5.8. Jeśli c*(x) = x, to dla z < x mamy c*(z) = z . Dowód. Skoro c*(x) = x, to V (x) = U (x) + y fo° V (y)v (dy). Wówczas, na mocy Lem atu 1.5.4 podpunktu (i) dla z < x m amy y fo° V(y) v(dy) = V (x) — U (x) > V (z) — U (z). Z drugiej strony, z definicji suprem um oczywiście V (z) > U (z) + Y fo° V (y)v (dy). O trzymujemy zatem , że V (z) = U (z) + y Jo° V (y)v (dy), skąd wynika, iż c*(z) = z.. □. W celu uproszczenia notacji zapiszmy równanie Bellmana (1.2.1) w następują cej postaci V (x) = sup 0 (c) = sup { U (c) + y Z(c)} , gdzie Z(c) := f-°(x-c) V ( x — c + y)v(dy). W poniższym lemacie udowodnimy, że Z jest funkcją ściśle monotoniczną. L e m a t 1.5.9. Funkcja Z (c) = f-°(x-c) V ( x —c + y ) v (dy) jest funkcją ściśle malejącą..

(38) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 26. Dowód. Niech x > c2 > c1. Wówczas - (x - c2) > - (x - c1) oraz x + y - c2 < x + y - c1. Otrzym ujem y wtedy œ rœ V (x - c2 + y)v(dy) V ( x - c1 + y)v(dy) -(x—C2) J-(x —Ci) œ [V(x - c2 + y) - V (x - c1 + y)] v(dy) -(x—C2) Ç—(x—C2) V ( x - c1 + y)v(dy) < 0 . J —(x—c1). /. /. O statnia nierówność wynika z faktu, iż V jest funkcją nieujem ną oraz ściśle rosnącą. Z założenia funkcja U jest funkcją ściśle rosnącą. Nasz problem optymalizacyjny polega zatem na znalezieniu suprem um funkcji ÿ będącą sum ą dwóch funkcji, z których jedna jest ściśle rosnąca, zaś druga ściśle malejąca. W poniższym lemacie pokażemy, że przy dodatkowym założeniu różniczkowalności funkcji Z, dla dostatecznie małych x optym alną strategią jest w ypłata całego kapitału jaki posiadamy. L e m a t 1.5.10. Jeśli funkcja U spełnia warunki Inady, to znaczy lim U'(x) = to xô oraz lim U'(x) = 0 oraz Z jest różniczkoujalna w [0,x], to dla dostatecznie małych x zachodzi c*(x) = x. Co więcej dla x > x zachodzi c*(x) < x. Dowód. Ponieważ pochodne funkcji U oraz Z istnieją, możemy zapisać, że ÿ'(c) = U'(c) + - Z ;(c), gdzie U'(c) > 0 oraz 0 > Z;(c) > - t o . Ponadto U' maleje od to do 0. Dlatego istnieje pewne otoczenie prawostronne 0, w którym ÿ(c) jest funkcją ściśle rosnącą. Dlatego jeśli wybierzemy x dostatecznie małe, to optym alną strategią będzie c*(x) = x. Dodatkowo dla dostatecznie dużych x istnieje przynaj mniej jedna taka wartość c(x), że ÿ'(c(x)) = 0 oraz ÿ zmienia znak z plusa na minus w c(x). Innymi słowy w c(x) < x osiągane jest maksimum lokalne będące jednocześnie maksimum globalnym na przedziale [0,x]. Wówczas optym alna stra tegia c*(x) m a postać c*(x) = c(x). Biorąc pod uwagę Lem at 1.5.8 uzyskujemy, że x = sup{x : c*(x) = x}. Zwróćmy uwagę, że problem jednoznaczności odwzorowania x ^. □ c*(x) w po. wyższym lemacie nie został ostatecznie rozstrzygnięty. O ile dla dostatecznie ma-.

(39) 1.6.. W Ł A S N O Ś C I R O Z W . P R Z Y D O D A T K O W Y C H Z A Ł O Ż E N IA C H. 27. łych x, to znaczy x « x, mamy jednoznacznie wyznaczoną strategię optym alną c*(x) = x, to dla x > x problem jednoznaczności nie jest rozwiązany. W ynika to z faktu, iż wiemy, że istnieje przynajm niej jedna (a nie dokładnie jedna jakbyśm y oczekiwali dla dowodu jednoznaczności) wartość c(x) taka, że ÿ'(c(x)) = 0 oraz ÿ zmienia znak z plusa na minus w c(x). Dlatego do rozstrzygnięcia wciąż pozostaje poniższa hipoteza. H ip o te z a 1.5.11. Odwzorowanie x ^ c*(x) jest jednoznacznie określone.. 1.6. W ła sn o ści rozw iązan ia p rzy d od atk ow ych za ło żen ia ch. Przyjm iemy teraz kilka dodatkowych założeń dotyczących funkcji użyteczno ści U oraz funkcji gęstości f v dla rozkładu v . W celu uproszczenia notacji, do końca tego rozdziału, zam iast f v będziemy po prostu pisać f . Przy przyjętych za łożeniach wykażemy pewne własności T 20 (x), wynikające z nich konsekwencje dla funkcji wartości V oraz omówimy krótko pewien przykład. Mianowicie zakłada my, że U G C2([0, to )) skąd w szczególności wynika, że U '(0) < to . Zauważmy, iż z założenia U'(0) < to w szczególności wynika, że Lemat 1.5.10 nie musi być prawdziwy. W lemacie tym mocno korzystaliśmy z założenia U'(0) = to i bez nie go nie jesteśm y w stanie powtórzyć toku rozumowania zawartego w dowodzie tego lem atu. Ponadto zakładamy, że U' i U'' są ograniczone, U'(to ) = 0 oraz f jest ograniczona, różniczkowalna i niemalejąca. Zwróćmy tu ta j uwagę, że są to d o d at kowe założenia, których spełnienia wymagamy od funkcji użyteczności. W szystkie założenia zdefiniowane na początku tego rozdziału wciąż są n a obecnym etapie wymagane, w szczególności założenie U (0 ) = 0 oraz założenie o ograniczoności funkcji U . Założenie, że gęstość f rozkładu zmiennej losowej Y jest niem aleją ca, jest uzasadnione. Zmienna losowa Y opisuje bilans między stratam i, a zyskami towarzystwa ubezpieczeniowego. Z punktu widzenia towarzystwa ubezpieczeniowe go, fakt, iż prawdopodobieństwo zysków nie jest mniejsze niż prawdopodobieństwo strat jest jak najbardziej pożądane. Z resztą klasyczny przykład ze stałą składką.

(40) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 28. oraz wykładniczym rozkładem roszczeń, który przedstawimy poniżej jak n ajb ar dziej wpisuje się w tę sytuację. Niech 0(c) = U (c) + y f —°(x-c) U(x — c + y ) f (y)dy oraz T 20 (x) = sup 0 (c). ü^c^x T w ie rd z e n ie 1.6.1. Przy powyższych założeniach 0 jest ściśle wklęsła w przedziale [0,x] oraz istnieje dokładnie jeden punkt z przedziału [0,x] realizujący supremum. w definicji T 20 (x). Dowód. Przy powyższych założeniach, korzystając z twierdzenia Leibniza o róż niczkowaniu pod znakiem całki, możemy wyznaczyć pochodne 0 '(c) oraz 0 ''(c) dla c G [0,x]. Mianowicie. /. 0 U'(x — c + y ) f (y)dy (x c). oraz 0''(c) = U ''(c) + y ( f U''(x — c + y ) f (y)dy + U '(0 )f (—(x — c))^ - (x-c). (1.6.1). K orzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, w arunku U'(<x>) = 0 oraz ograniczoności f , możemy wyliczyć, że 00 ro U''(x — c + y ) f (y)dy = —f (—(x — c))U'(0) — U'(x — c + y ) f '(y)dy, (x-c) - ( x-c). /. co po podstaw ieniu do ( 1.6 . 1) daje nam O. /. U'(x — c + y ) f '(y)dy. (x-c ). Ponieważ f jest niemalejąca, U ściśle rosnąca oraz ściśle wklęsła otrzymujemy, że 0''(c) < 0 dla dowolnego c G [0, x]. Oznacza to, że 0 jest ściśle wklęsła w przedziale [0 , x] a zatem istnieje dokładnie jeden punkt z tego przedziału, w którym osiągane jest supremum. Fakt, iż T 20(x) = sup 0(c) kończy dowód. ü^c^x. □. Zwróćmy uwagę, że na podstawie Lem atu 1.3.2 zachodzi 0(0) < 0(x). Oznacza to, że suprem um 0 (c) na przedziale [0 ,x] może być osiągane w punkcie x albo w pewnym punkcie należącym do (0 ,x ), w którym osiągane jest m aksim um lo kalne silnie wklęsłej funkcji 0. Przy powyższych założenia oznacza to, że pierwsza sytuacja będzie zachodzić, gdy 0'(x) > 0, zaś druga, gdy 0'(x) < 0. Możemy więc zapisać następujące wnioski..

(41) 1.6.. W Ł A S N O Ś C I R O Z W . P R Z Y D O D A T K O W Y C H Z A Ł O Ż E N IA C H. 29. L e m a t 1.6.2. Przy powyższych założeniach oraz spełnionym warunku f‘œ U'(x) - Y. U ' ( y ) f (y)dy > 0 ,. JO. ( 1 . 6 .2 ). supremum funkcji 0 (c) na przedziale [0,x] osiągane jest w punkcie x oraz V (x) = U (x) + ï j - E[U (Y +)]. Dowód. Wiemy, że 0 jest silnie wklęsła oraz 0(0) < 0(x). Dlatego, aby udowodnić, że suprem um funkcji 0 (c) na przedziale [0 ,x] osiągane jest w punkcie x wystarczy wykazać, że 0'(x) > 0. Wiemy, że. /. œ U'(x - c + y ) f (y)dy. (x- c). Stąd. fœ 0' (x) = U'(x) - y. ■Jo. U ' ( y ) f (y)dy > 0 ,. gdzie ostatnia nierówność wynika z założeń tego lem atu. Otrzym ujem y zatem , iż supremum funkcji 0(c) na przedziale [0, x] osiągane jest w punkcie x. Na podstawie Lem atu 1.5.3 dostajem y wówczas, że V (x) = U (x) + 7E- ; ^ + )].. □. W n io s e k 1.6.3. Przy powyższych założeniach oraz spełnionym warunku Çœ U' (x) - y U' (y ) f (y )dy < ° ■JO supremum funkcji 0 (c) na przedziale [0,x] osiągane jest w pewnym punkcie nale żącym do zbioru (0 ,x ). Oczywiście powyższy lem at i wniosek możemy również zapisać w przypadku, gdy gęstość f jest zdefiniowana na pewnym zbiorze ( - t o , A]. Dla potrzeb dalszej pracy zapiszmy Lemat 1.6.2 w omawianej obecnie sytuacji. L e m a t 1.6.4. Przy powyższych założeniach oraz spełnionym warunku /■A U'(x) - Y. Jo. U ' ( y ) f (y)dy > 0 ,. (1.6.3). supremum funkcji 0 (c) na przedziale [0,x] osiągane jest w punkcie x oraz V (x) = U (x) + 1- p+YE[U (Y +)]..

(42) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 30. Przedstaw im y teraz konkretny przykład spełniający powyższe założenia. Roz ważymy sytuację, w której do ubezpieczyciela co okres wpływa stała składka ß > 0 , zaś szkody m ają rozkład wykładniczy o param etrze £ > 0. Wówczas proces Y ma rozkład dany gęstością f (y) = £e^(y—^ X { y^'}. Ponadto będziemy rozważać wy kładniczą funkcję użyteczności U (x) = 1 - 1 e—ex, gdzie 9 > 0. W konsekwencji, na podstaw ie Lem atu 1.6.4, otrzymujemy następujące W n io s e k 1.6.5.. wnioski.. Niech f (y) = £e^(y—ß)X{y^ß} oraz U (x)= 1 - 1 e~dx, gdzie. ß , £ , 9 > 0. Jeśli £ = 9 oraz spełniony jest warunek e—0x + 7 ^ (e—iß - e—0ß) > 0, £- 9 v 7. (1.6.4). to . V(x) = 1 - 1 e—ex + -------Y— — f 1 (1 - e—e^) - - 1 - (e—e^ - e—l^ 9 9 1 - y + -e \9 £- 9 ^ ') Dowód. Przy powyższych założeniach warunek (1.6.3) przyjm uje postać U'(x) Y lo U ' ( y ) f (y)dy > 0. Obliczając, że. U ' ( y ) f (y)dy = — (e—e^ - e—^ ) oraz. U'(x) = e—ex otrzymujemy warunek (1.6.4) . Na podstaw ie Lem atu 1.6.4 otrzy mujemy, że V (x) = U (x) + 1—y+yE[U (Y +)]. Obliczenia p+ = P ( Y > 0) = 1 - e— oraz E[U (Y +)] = 1 ^1 - e—. - — (e— - e—^. kończą dowód wniosku.. □. W sytuacji, gdy param etry funkcji użyteczności oraz funkcji gęstości są sobie rów ne, powyższy wniosek przyjmuje następującą postać. W n io s e k 1.6.6. Niech f (y) = 9ee(y—ß)X{y^ß} oraz U (x) = 1 - 1 e—ex, gdzie ß , 9 > 0. Wówczas, jeśli 0 < x < ß - - ln (-9 ß ), 9. (1.6.5). to V (x) = 1 - 1 e—ex + -------- Y e- ( \ (1 - e—^ ) - ß e —e^ . v 9 9 1 - y + Ye—eß \ 9 ^ ^ J Dowód. Zwróćmy uwagę, że w tym przypadku warunek (1.6.4) przyjm uje postać e—ex - y 9ße—eß > 0. Rozwiązując tę nierówność otrzymujemy (1.6.5) . Teza wnio sku jest oczywista po dokonaniu odpowiednich przeliczeń analogicznych do tych z powyższego wniosku.. □.

(43) 1.7. M O D E L Z N IE O G R A N IC Z O N Ą F U N K C JĄ U Ż Y T E C Z N O Ś C I. 31. Zwróćmy uwagę, że e—0x w nierówności (1.6.4) jest funkcją m alejącą do zera, zaś drugi składnik po lewej stronie tej nierówności jest zawsze pew ną skończoną ujem ną stałą. Dlatego nierówność ta może być spełniona tylko dla pewnych dosta tecznie małych x. Podobną sytuację mamy oczywiście w nierówności (1.6.5) . W arto tu ta j nadmienić, iż ten warunek nie jest pusto spełniony. To znaczy można znaleźć zbiór takich param etrów ß,Y,C oraz 9, taki, aby warunki (1.6.4) oraz (1.6.5) były spełnione. Można tego dokonać nawet przy założeniu, że E[Y] > 0 ^ ß > 1, które odpowiada często zakładanem u w pracach aktuarialnych warunkowi „net profit” .. 1.7. M o d el z n ieogran iczon ą funkcją u ży teczn o ści. W tym podrozdziale wracamy do standardowego zbioru założeń dla funkcji uży teczności, to znaczy do założeń 1. -5. zdefiniowanych w podrozdziale 1.1. Opuścimy jednak pierwsze z tych założeń, czyli nie będziemy zakładać, że funkcja użytecz ności jest ograniczona. Założenie to było niezbędne przy formułowaniu równania Bellmana (1.2.1) , gdyż gwarantowało nam, że funkcjonał T zefiniowany w (1.2.2) jest operatorem działającym w przestrzeni funkcji ograniczonych i ciągłych. Prze strzeń funkcji ciągłych i ograniczonych jest przestrzenią B anacha i umożliwia nam zastosowanie twierdzenia B anacha o punkcie stałym . Przy opuszczeniu założenia o ograniczoności funkcji U operator T byłby operatorem działającym w przestrzeni funkcji ciągłych. Jednakże przestrzeń funkcji ciągłych nie jest przestrzenią B ana cha i nie możemy w tym wypadku bezpośrednio zastosować twierdzenia Banacha o punkcie stałym , tak jak to zrobiliśmy we wcześniejszej części tego rozdziału. Pokażemy jednak, że funkcja wartości opisana formułą V(x)=. "T—1 sup E £ YnU(Cn) I X 0 = x , (Cn)*EC _n=0. (1.7.1). gdzie U jest nieograniczona, jest niemal jednostajną granicą ciągu następujących funkcji wartości Vm ( x ) =. "t —1 sup E £ Yn UAM(Cn) | X 0 = x , (C„)eC _n=0. gdzie M E N oraz U A M (c) := m in(U ( c ) , M ).. (1.7.2).

(44) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 32. W tym celu, dla potrzeb tego podrozdziału, zdefiniujmy operator T jako (t Vm )( x ) = sup \ U A M (c) + y [ Vm (x — c + y ) v ( d y ) \ . o^c^x [ J —(x—c) ). (1.7.3). Wówczas operator T jest kontrakcją w przestrzeni funkcji ciągłych i ograniczonych CB ([0, to ), R). Dowód tego faktu jest analogiczny do tego z Twierdzenia 1.2.1. Mo żemy zatem skorzystać z twierdzenia Banacha o punkcie stałym i zapisać równanie Bellmana Vm (x) = sup i U A M (c) + y f' Vm (x — c + y ) v (dy) 1. o^c^x [ J —(x—c) J. (1.7.4). Oczywiście na podstaw ie twierdzenia Banacha o punkcie stałym rozwiązanie po wyższego równania jest jednoznaczne. W analogiczny sposób jak we wcześniejszej części tego rozdziału, jesteśmy w stanie sformułować i udowodnić następujące lem aty i twierdzenia. T w ie rd z e n ie 1.7.1. Niech VM będzie ciągłym rozwiązaniem równania (1.7.4) . Zdefiniujmy. /. OO. _. Vm (x — c + y )v (dy) -(x—c). oraz c(x) = in f{c > 0 : VM(x) = ÿ(c)}, c(x) = sup {0 < c < x : VM(x) = ^(c)}. Wówczas c(x) jest półciągłym z dołu selektorem maksymalizującym prawą stronę równania (1.7.4) , zaś c(x) jest półciągłym z góry selektorem maksymalizującym. L e m a t 1.7.2. Operator T , zdefiniowany w (1.7.3) , jest operatorem monotonicznym, tj. jeśli g , h E CB ([0 , to ), R) spełniają nierówność g(x) < h(x) dla dowolnego x > 0 , to T (g(x)) < T( h( x )). L e m a t 1.7.3. Rozwiązanie VM (x) równania Bellmana (1.7.4) spełnia nierówność V M Vm (x) < -------. 1 —Y.

(45) 1.7. M O D E L Z N IE O G R A N IC Z O N Ą F U N K C JĄ U Ż Y T E C Z N O Ś C I. 33. L e m a t 1.7.4. Jeśli VM jest rozwiązaniem równania Bellmana (1.7.4) , a c* jest mierzalnym selektorem maksymalizującym (1.7.4) , to min(n,T)—1 VM (x )= E £ Yk U A M (c*(Xk )) | X 0 = x + E [y ^ ^ V m (Xmin(n,T))|X0 = x . k=0 T w ie rd z e n ie 1.7.5. Niech VM (x) będzie rozwiązaniem równania (1.7.4) . Wówczas VM (x) = VM (x), czyli rozwiązanie równania Bellmana pokrywa się z funkcją warto ści daną wzorem (1.7.2) . Co więcej strategia stacjonarna (Cn)œ=0 E C jest strategią optymalną, tzn. istnieje funkcja mierzalna c* taka, że (Cn)œ=0 = (c*(Xn))œ=0, gdzie c* jest mierzalnym selektorem, dla którego spełnione jest równanie (1.7.4) . Otrzymujemy zatem , że rozwiązanie równania Bellm ana (1.7.4) jest równe funkcji wartości zdefiniowanej w (1.7.2) . Sformułujemy teraz pewne twierdzenia dotyczące zbieżności ciągu funkcyjnego (VM (x))MeN oraz ciągłości funkcji V (x). Zaczniemy od udowodnienia zbieżności niemal jednostajnej (VM) do V przy M — to , czyli zbieżności jednostajnej na każdym podzbiorze zwartym K C [0, to). T w ie rd z e n ie. 1.7.6. Niech K. C. [0, to ) będzie zbiorem zwartym.. Wówczas. VM ^ V na K , czyli (VM) zbiega do V jednostajnie na K . Dowód. Ustalm y e > 0. W tedy " OO. |V (x) - Vm ( x ) | «. sup Ex £ y i IU (Ci) - U A M (Ci)| . (Cn)eC _i=0. Ponieważ K jest zbiorem zwartym, to jest zbiorem ograniczonym. W ynika stąd, że istnieje N > 0, takie, że 0 « x « N dla dowolnego x E K . Ponadto wielkość wypłacanych dywidend w chwili i jest nie większa niż wartość procesu nadwyżki w chwili i. Ta wartość z kolei nie przekracza wartości x + iEY +. Otrzymujemy zatem 0 « Ci « X i « x + iEY + « N + iE Y +. Dodatkowo. U (t)> U A M (t) dla dowolnego t > 0, U A M jest nieujemna, U jest. rosnąca oraz subaddytyw na. W ynika stąd œ œ œ £ Yi IU (Ci) - U A M (Ci) I « £ Yi (U ( N + iE Y + ) - 0 ) « £ f ( u (N ) + iU (EY +)) . i=0 i=0 i=0.

(46) R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y. 34. Zwróćmy uwagę, że 0 < U ( N ) < to , 0 < U (E Y +) < to oraz szeregi £0=o Y% i są zbieżne, gdyż y. E. (0,1).. W ynika stąd,. 0=o Y%,. że również szereg. E0=o Y%( U ( N ) + i U (EY +)) jest zbieżny. Skoro powyższy szereg jest zbieżny, to istnieje pewne l E N takie, że CO _ E YY (U (N ) + iU (EY +)) < i=l+1 A stąd |V (x) — Vm ( x ) | <. r l 1 e sup Ex E YYU (Ci) — U A M (Ci)| + - . (Cn)ec Li=o J 2. Wówczas dla pierwszego składnika prawej strony powyższego równania zachodzi 0 < C y < N + lE Y +. Ponadto (UM) jest niemalejącym ciągiem funkcji ciągłych określonym na zbiorze zwartym [0, N + lE Y +], zbiegającym punktowo do funkcji ciągłej U określonej na zbiorze zwartym [0, N + lE Y +]. Na podstaw ie Twierdzenia Diniego wynika, że (UM) zbiega do U jednostajnie na [0, N + lE Y +]. Dla ustalonego wcześniej e > 0 istnieje zatem M o E N, takie, że dla dowolnego M > Mo mamy U (Cy) — U A M (Cy)| < 1——. • | . Zwróćmy uwagę, że Mo jest dobrane wyłącznie. do e i nie zależy od x. W ynika stąd, że ,Tr. . . .. y 1 —Y e 1 —Yl+1 1 —Y e |V (x) — Vm (x)| < i>oY Y — Y + i • 2 + 2 = • T— Yi+r • 2 + 2 = ^ co kończy dowód jednostajnej zbieżności (VM) do V na K .. □. Jako, że granica niemal jednostajnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, możemy zapisać następujący lemat. L e m a t 1.7.7. Funkcja wartości V jest ciągła w [0, to ). Dowód. W ykażemy ciągłość V. w dowolnym punkcie xo. E. [0, to ). Niech. x n E [0, to ), x n ^ xo. Trzeba wykazać, że V ( x n) ^ V (xo), przy x n ^ x o. Mamy, V (xn) — V (xo)| ^ V (xn) — VM ^ ^ ^ ^ M (xn) — VM (xo)| + \VM (xo) — V (xo) |. (1.7.5).

(47) 1.7. M O D E L Z N IE O G R A N IC Z O N Ą F U N K C JĄ U Ż Y T E C Z N O Ś C I. 35. Zwróćmy uwagę, że istnieje pewien zwarty podzbiór K C [0, to ) taki, że x n E K dla n większych od pewnego N 0 E N oraz x E K . Ustalm y e > 0. Ponieważ (Vm ) zbiega jednostajnie do V na zbiorze zwartym K , to jesteśm y w stanie dobrać takie M 0 E N, że dla M > M 0 zarówno pierwszy jak i trzeci składnik w (1.7.5) jest mniejszy od | . Ponieważ W M jest ciągła w x 0, zatem dobierzemy takie n 0 E N, że dla n > n 0 drugi składnik w (1.7.5) jest mniejszy od | . Wówczas dla dowolnego n > m ax{n 0 , N 0} mamy \V (xn) — V (x0)| < e, co kończy dowód.. □.

(48) 36. R O Z D Z IA Ł 1. M O D E L D Y S K R E T N Y.

(49) Rozdział. 2. Model dyskretny z wpłatami kapitału 2.1. W p row ad zen ie. Dotychczas rozważaliśmy model, w którym wartość procesu nadwyżki finan sowej w chwili n + 1 była sum ą rozważanego procesu w chwili n , bilansu między wypłaconymi odszkodowaniami a otrzym anym i składkami n a koniec n-tego okresu, a także wielkością wypłacanych dywidend w chwili n. W tym rozdziale będziemy zakładać, że oprócz wypłaconych dywidend n a wielkość procesu nadwyżki finanso wej będą wpływać w płaty kapitału dokonywane przez towarzystwo ubezpieczenio we na koniec n + 1 okresu. Proces nadwyżki finansowej ubezpieczyciela modelowany jest zatem w postaci następującego równania rekurencyjnego X n(C,Z) X +1. C + + Y + 77n+1 , XXn — Cn Yn+1 +. X o(C,Z) X. xx — 77 0,. X o(C,Z) X —. xx. z kapitałem początkowym x G R, gdzie Z n oznacza w płatę kapitału dokonywaną na koniec n-tego okresu. W tym zmodyfikowanym modelu towarzystwo ubezpie czeniowe musi podjąć decyzję nie tylko o wysokości wypłacanej dywidendy Cn na koniec n-tego okresu, ale także o wysokości w płaty kapitału Z n+1 na koniec (n + 1) okresu. Obie zmienne są zatem sterowaniami w rozważanym modelu. Powiemy, że strategia (C, Z ) = (Cn , Zn)neN jest strategią dopuszczalną jeśli P x Xnc z ) > 0 dla dowolnego n G N = 1, 37.

(50) R O Z D Z IA Ł 2. M O D E L D Y S K R E T N Y Z W P Ł A T A M I K A P IT A Ł U. 38. gdzie Px(-) = P (•|x 0 -,Z) = x). Innymi słowy strategia w ypłat dywidend i w płat kapitału jest dopuszczalna, jeśli dla tej strategii z prawdopodobieństwem 1 proces nadwyżki finansowej ubezpieczyciela jest nieujemny. Przez CZx oznaczmy zbiór wszystkich strategii dopuszczalnych dla kapitału początkowego x. Dla ustalonej strategii (Cn , Zn) definiujemy funkcjonał celu OO. V (Cn,Zn)(x) = Ex £ Yn (U(Cn) - KZn) , n=0. (2.1.1). gdzie k > 0 jest współczynnikiem kary, y E (0,1) jest czynnikiem dyskontującym, zaś U : [0, to) — [0, to) jest funkcją użyteczności zdefiniowaną jak w podrozdziale 1. 1.. Naszym celem jest znalezienie strategii optymalnej (C*n,Z*n), która m aksym a lizuje funkcjonał celu (2 . 1 . 1) oraz scharakteryzowanie funkcji wartości opisanej form ułą OO. V (x) =. sup V (Cn,Zn)(x) = sup Ex £ Yn (U(Cn) - KZn) . (Cn,Zn)^C‘5x (Cn,Zn)^CZx _n=0. (2 . 1 .2 ). W tym podrozdziale będziemy zakładać, że U '(0) « k < to. Przy takim za łożeniu nie opłaca się wpłacać pieniędzy do modelu, o ile nie jest to konieczne. Zdefiniujmy R n+1 := X n - Cn + Yn+ 1 . Wówczas możemy zapisać następujący le m at. L e m a t 2 .1.1. Jeśli U'(0) « k < to, to strategia Z ^ := m a x { - R n , 0} dla n E N jest optymalną strategią wpłaty kapitału. Dowód. Dla potrzeb dowodu wystarczy ograniczyć swoje rozważania do strate gii opartych na w płacaniu kapitału do modelu na zapas, tak, aby uniknąć ruiny. Wykażemy, że są one mniej opłacalne niż strategia polegająca na wpłacie gotów ki, gdy jest to konieczne, to znaczy, gdy musimy dopłacić, aby utrzym ać proces powyżej zera. Oszacowania dla pozostałych strategii w płat kapitału są podobne do oszacowań przedstawionych w treści tego dowodu. Dla potrzeb dowodu wy starczy rozważyć okres do pierwszego m om entu K E N, w którym R K < 0. Dla uproszczenia możemy przyjąć, że R K = - N < 0. Rozważymy teraz dwie strate gie. Pierwsza strategia (C , Z) polega n a wpłacie do modelu kapitału tylko wtedy,.

(51) 2.1.. W P R O W A D Z E N IE. 39. gdy jest to potrzebne, czyli Z K = N , skąd natychm iast wynika CK = 0 . Ponadto mamy Zn = 0 oraz Cn jest dowolne dla n = 0, . . . , K - 1 . D ruga strategia ( C , Z) polega na wpłacie do modelu w chwili j < K pewnej kwoty kapitału M > N , to znaczy Zj = M oraz wypłacie nadwyżki wpłaconego kapitału M nad wartość N w pewnej chwili k > j wraz z podstawową kwotą taką jak dla strategii C w chwili k, to znaczy Ck = ( M - N ) + Ck. Ponadto mamy Cn = Cn dla n G {0 , . . . , K }\{k} oraz Z = 0 dla n G { 0 , . . . , K } \{ j} . Zwróćmy uwagę, że nie zakładam y tu ta j czy k jest mniejsze czy większe od K . Poniższy dowód w żaden sposób tego nie wymaga, a więc nie m a znaczenia czy kwotę (M - N ) + Ck wypłacimy przed, w momencie K , czy też po nim. Aczkolwiek ze względu na dyskontowania bardziej optymalne wydaje się to zrobić jak najszybciej. Jeśli dla tak zdefiniowanych strategii ( C , Z) oraz ( C , 7 ) rozpatrzym y sumę pod w artością oczekiwaną w równaniu (2 . 1.2 ) , to otrzym am y następującą równość. Ex — Y n (U (Cn) - KZn) = Ex — - n U (Cn) + Yk U ((M - N ) + Ck ) - Yj KM . n=o n=o n= k K orzystając z wklęsłości U oraz w arunku U'(0) < k < to otrzymujemy U ( ( M - N ) + Ck) < U (Ck ) + U'(Ck )(M - N ) < U (Ck ) + U'(0)(M - N ) ^ U (Ck ) + k ( M — N ). Podstaw iając to do równania powyżej i korzystając z faktów y k ^ Yj oraz - K ^ Yj otrzymujemy -K 1 rK Ex — Yn (U(Cn) - KZn) < Ex — n=o n=o rK. (Cn) + Yk k ( M - N ) - Yj KM 1. rK. 1. < Ex — y n U ( C n ) - Y j k N <Ex — YnU ( C n ) - - K k N n=o n=o rK 1 = Ex — Yn (U(Cn) - KZn) . n=o Oznacza to, że strategie oparte na w płacaniu kapitału do modelu na zapas, tak, aby uniknąć ruiny są co najwyżej ta k opłacalne jak w płaty gotówki, gdy jest to konieczne. Co biorąc pod uwagę wcześniejsze rozważania kończy dowód.. □.

(52) R O Z D Z IA Ł 2. M O D E L D Y S K R E T N Y Z W P Ł A T A M I K A P IT A Ł U. 40. Ze względu na Lemat 2.1.1, w dalszej części tego rozdziału będziemy używać uproszczonych oznaczeń ( X ^ ) oraz V C (x) dla procesu nadwyżki finansowej ubez pieczyciela oraz funkcjonału celu rozważanych dla strategii (Cn , Z <C). Zauważmy, że jeśli kapitał początkowy x jest ujemny, wówczas Z 0 _ |x|. To znaczy, że V (x) _ V (0 ) - k Ix I dla x < 0 . W poniższym lemacie pokażemy, iż funkcja wartości w rozważanym modelu jest funkcją ściśle wklęsłą. L e m a t 2 .1.2. Funkcja wartości V jest wklęsła dla x € R. Dowód. Poniższy dowód oparty jest na dowodzie [11, Lem at 1]. Niech x , y € R oraz a € [0,1]. Rozważmy strategie (C x, Z x) oraz (Cy , Z y) dla kapitałów początkowych x oraz y. Zdefiniujmy strategię ( C , Z) dla kapitału początkowego z _ a x + (1 - a )y następująco Cn _ aC x + (1 - a ) C l ,. Zn _ a Z x + (1 - a ) Z ny .. Pokażemy teraz, że X (^ ,Z) _ a X ^ ,Zx) + (1 - a ) X C , z y ) dla dowolnego n € N 1. Dowód przeprowadzimy indukcyjnie. Dla n _ 1 otrzymujemy X f ' Z) _ z + a Z 0x + (1 - a)Z0y - a C 0x - (1 - a )C 0y + Y1 + a Z x + (1 - a)Z y _ a (x + Z 0x - C 0x + Y1 + Zx) + (1 - a ) (y + Z y - C% + Y1 + Z y ) _ a X 1CX'ZX) + (1 - a ) X 1Cy'Zy). Załóżmy teraz, że X (C'Z') _ a X (CX,ZX) + (1 - a ) X (cy,Zy) dla pewnego n € N 1. Pokażemy, że X,(+'1Z) _ aX ^ + 1’Z ) + (1 - a ) X (C+1'Zy). Mianowice X ( +Z) _ X LC'Z - aCx - (1 - a)C y + Yn+1 + aZ x +1 + (1 - a)Zyy+1 _ a X nC ,Z ) + (1 - a )X f. ,Z ) - a C n - (1 - a )C n + Yn+1 + a Z n+1 + (1 - a ) Z n+1. _ a X C ,Z ) - Cn + Yn+1 + Zn+1) + (1 - a ) (X nC ,Z' ) - Cn + Yn+1 + Zn+1) _ a X C 1'Zx) + (1 - a)Xn+y{Zy). Powyższe. równanie. kończy. dowód. indukcyjny.. Zauważmy,. że. X (C'Z) _ a X (^ X,ZX) + (1 - a)X,(Cy,Zy) > 0, co wynika z faktu, iż strategie (Cx , Z x).