AKTYWIZOWANIE UCZNIÓW NA LEKCJACH MATEMATYKI - propozycja ćwiczeń do pracy w grupach - krzyżówki, jako wprowadzenie lub podsumowanie lekcji Opracowała: Lucyna Doroba

AKTYWIZOWANIE UCZNIÓW NA LEKCJACH MATEMATYKI - propozycja ćwiczeń do pracy w grupach

- krzyżówki, jako wprowadzenie lub podsumowanie lekcji

Opracowała:

Lucyna Doroba

Wstęp.

Praca w grupach – to jedna z najczęściej stosowanych na lekcjach matematyki metod aktywizujących.

Uważam, że metoda ta daje oczekiwane efekty (aktywizuje nawet najsłabszych uczniów, integruje grupę, kształci umiejętność planowania i organizowania pracy, wyrabia poczucie współodpowiedzialności za pracę itp.) pod warunkiem, że lekcja zostanie bardzo dokładnie zaplanowana a ćwiczenia dla grup przemyślane i właściwie dobrane.

Z własnego doświadczenia wiem, że przygotowanie jednostki lekcyjnej, na której uczniowie pracować będą w grupach, wymaga od nauczyciela bardzo dużego wkładu pracy i czasu. Związane jest to z koniecznością przygotowania, odpowiednich do celów lekcji ,ćwiczeń, ich „technicznym” opracowaniem, przygotowaniem plansz, na których grupy prezentować będą wyniki swojej pracy itp.

Planując pracę w grupach, zwykle stosuję następujące zasady:

- przygotowuję polecenia dla tylu grup, aby w skład jednej wchodziło do 8 osób,

- podziału klasy na grupy dokonuję wg różnych kryteriów, zależnie od rodzaju ćwiczeń i ich celu (np.w sposób losowy ,albo celowo tak, by w grupie był chociaż jeden uczeń „mocny”, lub pozostawiam decyzję samym uczniom”), - dla każdego członka grupy przygotowuję jedną kopię ćwiczeń, aby każdy

miał jednakowy dostęp do poleceń,

- staram się ułożyć takie zadania, które uwzględniają różne przypadki – także

„skrajne” (np. gdy ćwiczenia dotyczą rozwiązywania równań, to wśród nich znajdą się też równania sprzeczne czy tożsamościowe),

- bardzo dużą wagę przywiązuję do czasu w którym grupy będą miały wykonać ćwiczenia (zwykle do 20 minut),

- ustalam kryteria oceny z którymi zapoznaję klasę (zwykle oceniam najaktywniejszych przedstawicieli grupy,których wyłaniają sami jej członkowie albo oceniam pracę całej grupy oceniając jednakowym stopniem każdego jej członka).

Prowadząc lekcje metodą pracy w grupach zaobserwowałam, że:

- uczniowie chętnie pracują tą metodą czego dowodem są pytania typu „kiedy znowu będzie taka lekcja?”,

- pracując w zespołach uczniowie wymieniają między sobą uwagi, dyskutują, nawzajem się pouczają i przekonują o swojej racji,

- „rozdają” między siebie zadania uwzględniając swoje „możliwości matematyczne” – często najsłabszy w zespole uczeń pełni rolę „sekretarza”

zapisując wyniki pracy grupy na odpowiedniej planszy – w ten sposób każdy wkłada „swoje trzy grosze”,

- grupy rywalizują między sobą – która z nich będzie najlepsza lub najszybsza, - uczniowie zdecydowanie lepiej pamiętają treści poznane na takiej lekcji.

W związku z tym uważam, że warto ponieść trudy związane z przygotowaniem lekcji, gdyż efekty (niekoniecznie tylko „matematyczne”) są bardzo cenne i trudne do osiągnięcia metodami wykładu lub pogadanki.

Mam nadzieję, że moje propozycje ćwiczeń dla grup okażą się przydatne także innym nauczycielom na konkretnych lekcjach lub staną się źródłem własnych pomysłów.

W drugiej części opracowania przedstawiam przykłady opracowanych przeze mnie krzyżówek matematycznych.

O tym, czy warto układać krzyżówki, wypowiada się wielu autorów

(„Matematyka 6 ‘97”).Moim zdaniem-warto, pod warunkiem, że:

- stosujemy je niezbyt często,

- są to krzyżówki mające konkretny cel np. podsumowanie lekcji, działu, wprowadzenie do tematu.

Przedstawione propozycje, to krzyżówki na „początek lekcji” z hasłem końcowym, którym jest temat tej lekcji, lub krzyżówka „na koniec lekcji” z

hasłem o charakterze wychowawczym.

Układając krzyżówki przyjmuję zasadę, że poszczególne pytania dotyczą przypomnienia ostatnich wiadomości niezbędnych do zrozumienia danej lekcji, lub dotyczą treści tej lekcji, której krzyżówka jest podsumowaniem.

Uważam, że krzyżówki nie tylko uatrakcyjniają lekcję matematyki i wprowadzają element relaksu , ale też mogą działać motywująco na pracę ucznia.

Na podstawie własnych doświadczeń wiem, że uczniowie (bardzo często ci „słabsi”) chętnie rozwiązują takie krzyżówki a także sami je układają wykonując pracę domową w tej właśnie formie.

I. PRZYKŁADY ĆWICZEŃ DO PRACY W GRUPACH

1. Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Uwaga: Praca odbywa się na zasadzie konkursu. Grupy pracują przez 20 minut.

Przed rozpoczęciem pracy zostają zapoznani z kryteriami ocen:

0 – 6 pkt – niedostateczny, 7 – 9 pkt – dopuszczający, 10 – 13 pkt – dostateczny, 14 – 17 pkt – dobry,

18 i więcej pkt – bardzo dobry,

co najmniej 18 pkt oraz zadanie E – celujący.

GRUPA I A). Równania za 1 pkt:

1/ 3(x + 2) + 5 = 1 + 3x 2/ 4 – 3(2u – 1) = u – 7 3/ 12 – 7x + 8x – 18 = 3x – 8 4/ -2(z + 1) + 4 = 2 – 2z B). Równania za 2 pkt:

1/

2

1 x +

3

2

x = x – 1

2/ 0,7y – 2y = 9 + 1,3(2 – y) 3/ 1,5(x + 2) = 0,6(2x + 7) – 0,3 C). Równania za 3 pkt:

1/ 12 – 2(z – 1)² = 4(z – 2) – (z – 3)(2z – 5) 2/

2 , 1

8 8 ,

1  x

- 2 3 3 , 1  x

= 0,3 4 , 0 5x

D/. Równania za 4 pkt:

1/ (a – 3)(a – 2)(a + 2) = (a – 1)³ + 6 2/ 3 2+ 3 – 2x = 2x + 4 2+ 5 E/. Równanie na szóstkę:

3

1 x²12x36 - 2(x +1 ) = 1

3 2- 2x

GRUPA II

A). Równania za 1 pkt:

1/ 14 – 9x + 2x – 17 = 3 – 10x 2/ y – 3 = -3(1 + y) + 4y

3/ a – 4(2a + 2) = 9a - 12 4/ -2(1 – x) = 2x + 3 B). Równania za 2 pkt:

1/ x +

5

1 x =

2

6 x

2/ 0,9(3a – 2) = 0,4(6a – 5) + 0,6 3/ 3z – 0,9z – 1 = 2,1(3 + z) C). Równania za 3 pkt:

1/ (x + 3)² – (x – 5)² = 16(x – 1) + 2 2/

5 , 1

4 , 3 8 , 0 z

- 0,3 1 2 , 0 z

= 5

4 5 , 0  z

D/. Równania za 4 pkt:

1/ (t – 2)³ + 10t² = (t – 2)(t +3)² 2/ 2 5 + 5 – 2x = 3 5 + 7 + 5x E/. Równanie na szóstkę:

3(x – 1) -

2

1 x² 10x25= 3x - 7

GRUPA III

A). Równania za 1 pkt:

1/ 4m – 5 – 6m + 2 = 3 – 4m 2/ 6 – 2(y – 3) = y + 27 3/ 3(x – 2) + x = 4x - 6 4/ 2(t – 4) – 1 = 3 + 2t B). Równania za 2 pkt:

1/

4

3

x - 2 =

3

2 x

2/ 0,3(t – 2) = 0,5(4 – t) – 0,2 3/ 0,2y – 4y = 7 – 3,8(1 + y) C). Równania za 3 pkt:

1/ (x – 4)² – (3 – x)² = 1 – 12(x + 2) 2/

8 , 1

5 5 ,

1  a

= 6 2 2 , 0 a

- 0,9 3 6 ,

1  a

D/. Równania za 4 pkt:

1/ (x – 2)³ – x³ = (2x – 1)(1 – 3x) 2/ ( 2- x)( 2+ 1) = 2 2 +3 E/. Równanie na szóstkę:

2

1(4 – 2x) + 8 =

3

2 x²6x9 - x

GRUPA IV

A). Równania za 1 pkt:

1/ 2x – 9 – 6x + 3 = 4x + 2 2/ 10 – 3(z + 4) = 6 – 5z 3/ p – 2(1 + p) = -2 - p 4/ 4(x – 3) + 6 = 2 + 4x B). Równania za 2 pkt:

1/

3

2 m =

5

1 m - 1

2/ 0,5(x + 3) = 0,7(10 – x) + 0,5 3/ 2z – 0,3z – 2 = 1,7(5 + z) C). Równania za 3 pkt:

1/ 2,4 1 , 6 1 ,

0  x

= 8 4 , 0 4 x

- 0,6 5 ,

0 x

2/ (a + 1)² – 3a² = 2(1 – a)(1 + a) + 2 D/. Równania za 4 pkt:

1/ ( 3 - 3)(x – 2) = 6 - 2 3

2/ (y + 1)³ = (y + 3)(y – 3)(y – 1) + 4y² E/. Równanie na szóstkę:

-3(x + 2) + 5 = -

7

1 x² 8x16 - 3x

2. Interpretacja geometryczna układów równań.

GRUPA I

1. Rozwiąż dane układy równań:

I).

3

1 x -

2

3 y =

6 3 5 y

II). y +

2 2x =

2 3

3(x -

3

2) + y =

2

1(4x + 2y) 2(x + 2y) = 6

2. W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy obu równań tworzących układ:

y y

I. II.

1 1

1 x 1 x

2a). Ile punktów wspólnych mają narysowane pary prostych?

2b). Odczytaj współrzędne punktów wspólnych (o ile to możliwe)

3). Wyniki przedstaw w tabeli.

Układ I. Układ II.

Rozwiązanie algebraiczne Liczba rozwiązań Liczba punktów wspólnych prostych – wykresów równań Współrzędne punktów wspólnych

4). Czy dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć inną niż w powyższych przykładach liczbę punktów wspólnych? (ile?)

5). Dane jest równanie prostej k: 5x – y = 4 5a). Narysuj tę prostą

5b). Podaj przykład równania takiej prostej l, która ma z prostą k wskazaną w punkcie 4) liczbę punktów wspólnych.

5c). Wykaż, posługując się rysunkiem, że twój przykład jest właściwy.

y

₁

1 x

5d). Ile rozwiązań ma układ równań, których wykresami są proste l i k ? 6). Podsumuj ćwiczenia odpowiadając na pytanie:

Jak w zależności od wzajemnego położenia prostych, będących wykresami równań układu, zależy liczba jego rozwiązań?

Wzajemne położenie prostych Liczba rozwiązań układu

GRUPA II

1. Rozwiąż dane układy równań:

I).

3 2x y

- 4 3x=

2

3 II). (x + 2)² + y = x(x + 2) +

2

1(2y + 20)

2(y -

2

1x) + 9 = 1 - x 3x -

3 1 y =

3

1(27 - 3 y)

2. W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy obu równań tworzących układ:

y y

I. II.

1 1

1 x 1 x

2a). Ile punktów wspólnych mają narysowane pary prostych?

2b). Odczytaj współrzędne punktów wspólnych (o ile to możliwe).

3). Wyniki przedstaw w tabeli.

Układ I. Układ II.

Rozwiązanie algebraiczne Liczba rozwiązań Liczba punktów wspólnych prostych – wykresów równań Współrzędne punktów wspólnych

4). Czy dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć inną niż w powyższych przykładach, liczbę punktów wspólnych? (ile?).

5). Dane jest równanie prostej m: -6x + 4y = 1 5a). Narysuj tę prostą.

5b). Podaj przykład równania takiej prostej n, która ma z prostą m, wskazaną w punkcie 4) liczbę punktów wspólnych.

5c). Wykaż, posługując się rysunkiem, że twój przykład jest właściwy.

y

₁

1 x

5d). Ile rozwiązań ma układ równań, których wykresami są proste m i n ? 6). Podsumuj ćwiczenia odpowiadając na pytanie:

Jaki jest związek między wzajemnym położeniem prostych – wykresów równań układu i liczbą rozwiązań tego układu?

Wzajemne położenie prostych Liczba rozwiązań układu

GRUPA III

1. Rozwiąż dane układy równań:

I). 2x + 3y - 2= 6 + 2(x – 1) II). (y + 1)² – x(4x + 5)=(y + 2x)(y – 2x)

2 y x

- 8 3 =

4 2x y

0,2(x – y) + 0,8 = 1 – 0,2y

2. W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy obu równań tworzących układ:

y y

I. II.

1 1

1 x 1 x

2a). Ile punktów wspólnych mają narysowane pary prostych?

2b). Odczytaj współrzędne punktów wspólnych (o ile to możliwe).

3). Wyniki przedstaw w tabeli.

Układ I. Układ II.

Rozwiązanie algebraiczne Liczba rozwiązań Liczba punktów wspólnych prostych – wykresów równań Współrzędne punktów wspólnych

4). Czy dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć inną niż w powyższych przykładach, liczbę punktów wspólnych? (ile?)

5). Dane jest równanie prostej p: 3x – 2y = 5 5a). Narysuj tę prostą.

5b). Podaj przykład równania takiej prostej q, która ma z prostą p, wskazaną w punkcie 4) liczbę punktów wspólnych.

5c). Wykaż, posługując się rysunkiem, że twój przykład jest właściwy.

y

₁

1 x

5d). Ile rozwiązań ma układ równań, których wykresami są proste p i q?

6). Podsumuj ćwiczenia odpowiadając na pytanie:

Jaka jest zależność między liczbą rozwiązań układu i wzajemnym położeniem prostych będących wykresami równań tego układu?

Liczba rozwiązań układu Wzajemne położenie prostych

3. Twierdzenie Bezouta.

GRUPA I Dany jest wielomian W(x) = 2x³+ x² - 5x + 2

1. Oblicz wartość tego wielomianu dla x = p jeśli:

a) p = 2 ; W( ) = b) p = -2; W( -2 ) = c) p = ¹

2 ; W( ) = i wpisz wyniki.

1A. Podkreśl tę liczbę, która jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

2. Dla poszczególnych wartości p zapisz dwumian postaci (x-p) p (x-p)

a) 2

b) -2 (x+2) c) ¹

2

3. Podziel wielomian W(x) przez poszczególne dwumiany postaci (x - p) i zapisz wyniki wg wzoru:

a) W(x) : ( ) = ... reszta: ...

b) W(x) : ( x + 2 ) = ... reszta: ...

c) W(x) : ( ) = ... reszta: ...

3A. Przez które dwumiany wielomian W(x) dzieli się bez reszty? Podkreśl właściwy podpunkt.

4. Porównaj wyniki ćw. 1A i 3A. Co zauważasz?

Zapisz spostrzeżenie uzupełniając zdanie:

„Jeżeli liczba p jest ... wielomianu W(x), to wielomian ten dzieli się bez reszty przez ... .”

GRUPA II

Dany jest wielomian W(x) = -x³+ x² + 5x + 3

1. Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) przez następujące dwumiany postaci (x-p):

a) ( x + 1 ) ; W( x ) : ( x + 1) = ... reszta ...

b) ( x - 3 ) ; W( x ) : ( ) = ... reszta ...

c) ( x + ¹

2 ) ; W( x ) : ( ) = ... reszta ...

i wpisz wyniki obok.

1A. Podkreśl ten dwumian postaci ( x - p ), przez który wielomian W(x) dzieli się bez reszty.

2. Dla poszczególnych dwumianów postaci ( x - p ) wskaż liczbę p.

( x-p ) p a) ( x + 1 ) -1 b) ( x - 3 )

c) ( x + ¹

2 )

3. Oblicz wartość wielomianu W(x) dla poszczególnych wartości p.

a) W( ) = ...

b) W( 3 ) = ...

c) W( ) = ...

3A. Która liczba jest pierwiastkiem wielomianu W(x)? Podkreśl właściwy podpunkt.

4. Porównaj wyniki ćw. 1A i 3A. Co zauważasz Zapisz spostrzeżenie uzupełniając zdanie:

„Jeżeli wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez ... , to liczba p jest ... wielomianu W(x).”

GRUPA III

Dany jest wielomian W(x) = x⁴ -3x³+ 4x² - 6x + 4 1. Oblicz wartość tego wielomianu dla x = p jeśli:

a) p = 1 ; W( ) = b) p = -1; W( -1 ) = c) p = 2 ; W( ) = i wpisz wyniki.

1A. Podkreśl tę liczbę, która jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

2. Dla poszczególnych wartości p zapisz dwumian postaci (x-p) p (x-p)

a) 1 b) -1

c) 2 ( x - 2 )

3. Podziel wielomian W(x) przez poszczególne dwumiany postaci (x - p) i zapisz wyniki wg wzoru:

a) W(x) : (x - 1) = ... reszta: ...

b) W(x) : ( ) = ... reszta: ...

c) W(x) : ( ) = ... reszta: ...

3A. Przez które dwumiany wielomian W(x) dzieli się bez reszty? Podkreśl właściwy podpunkt.

4. Porównaj wyniki ćw. 1A i 3A. Co zauważasz?

Zapisz spostrzeżenie uzupełniając zdanie:

„Jeżeli ... jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian ten ... przez dwumian ( x - p )”.

GRUPA IV Dany jest wielomian W(x) = -2x⁴ + x² + 6x + 7

1. Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) przez następujące dwumiany postaci (x-p):

a) ( x - 2 ) ; W( x ) : ( ) = ... reszta ...

b) ( x + 1 ) ; W( x ) : ( ) = ... reszta ...

c) x ; W( x ) : x = ... reszta ...

i wpisz wyniki obok.

1A. Podkreśl ten dwumian postaci ( x - p ), przez który wielomian W(x) dzieli się bez reszty.

2. Dla poszczególnych dwumianów postaci ( x - p ) wskaż liczbę p.

( x-p) p a) ( x - 2 )

b) ( x + 1 )

c) x 0

3. Oblicz wartość wielomianu W(x) dla poszczególnych wartości p.

a) W( 2 ) = ...

b) W( ) = ...

c) W( ) = ...

3A. Która liczba jest pierwiastkiem wielomianu W(x)? Podkreśl właściwy podpunkt.

4. Porównaj wyniki ćw. 1A i 3A. Co zauważasz?

Zapisz spostrzeżenie uzupełniając zdanie:

„Jeżeli wielomian W(x) ... przez dwumian ( x - p ), to ...jest pierwiastkiem wielomianu W(x).”

4. Ciąg arytmetyczny.

GRUPA I

Dane są trzy ciągi:

A/. B/.

a1 = 3 bn =

2 4n

( , , , , ...) an+1 = an + 4 ( , , , , ...)

C/.

( , , , , ...)

1⁰. Oblicz 5 początkowych wyrazów każdego ciągu i wpisz je w odpowiednie nawiasy.

2⁰. Zwróć uwagę jak powstają kolejne wyrazy każdego ciągu. Co zauważysz?

3⁰. Scharakteryzuj zaobserwowaną własność wspólną dla tych ciągów, uzupełniając zdanie:

W podanych ciągach każdy wyraz, oprócz ...

różni się od ... .

4⁰. Zbuduj tabelkę innego ciągu, mającego również taką własność:

n 1 2 3 4 5 ...

dn -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 1 2 3 4 5 6

n

Cn

GRUPA II Dane są trzy ciągi:

A/. u_n = 5n - 1 ( , , , , ...) B/.

n 1 2 3 4 5 ...

v_n -4 -1,5 1 3,5 6 ...

( , , , , ...) C/.

w₁ = -2

wn+1 = wn - 3 ( , , , , ...)

1⁰. Oblicz 5 początkowych wyrazów każdego ciągu i wpisz je w odpowiednie nawiasy.

2⁰. Zwróć uwagę jak powstają kolejne wyrazy każdego ciągu. Co zauważysz?

3⁰. Scharakteryzuj zaobserwowaną własność wspólną dla tych ciągów, uzupełniając zdanie:

W podanych ciągach różnica między ...

...

... . 4⁰. Przedstaw wykres innego ciągu, mającego również taką własność:

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0 2 4 6 8 10

n

Pn

GRUPA III Dane są trzy ciągi:

A/.

n 1 2 3 4 5 ...

fn 12 6 0 -6 -12 ...

( , , , , ...)

B/.

( , , , , ...) C/.

gn =

2 1 3n

( , , , , ...)

1⁰. Oblicz 5 początkowych wyrazów każdego ciągu i wpisz je w odpowiednie nawiasy.

2⁰. Zwróć uwagę jak powstają kolejne wyrazy każdego ciągu. Co zauważysz?

3⁰. Scharakteryzuj zaobserwowaną własność wspólną dla tych ciągów, uzupełniając zdanie:

W podanych ciągach każdy wyraz oprócz ... , powstaje przez ... .

4⁰. Przedstaw wykres innego ciągu, mającego również taką własność:

t1 = tn+1 =

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

n h_n

5. Ciąg geometryczny

GRUPA I

Dane są trzy ciągi:

1). an =3(

2

1)ⁿ ( , , , , ... )

2).

n 1 2 3 4 ...

bn 1 3 9 27 ...

3).

C1 = 8 ( , , , , ... ) Cn+1 = -

4

1 Cn ( , , , , ... )

1⁰ . Oblicz cztery początkowe wyrazy każdego ciągu i wpisz je w odpowiednie nawiasy.

2⁰. Zwróć uwagę jak powstają kolejne wyrazy każdego ciągu. Co zauważysz?

3⁰. Scharakteryzuj zaobserwowaną własność, wspólną dla tych ciągów, uzupełniając zdanie:

„ W podanych ciągach stały jest ...”.

4⁰. Przedstaw wykres innego ciągu mającego również taką własność.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 1 2 3 4 5

dn

n

GRUPA II Dane są trzy ciągi:

1).

n 1 2 3 4 ...

e_n

4 1

2

1 1 2 ...

( , , , , ... ) 2).

( , , , , ... ) 3).

g

= (-3)

1⁰ . Oblicz cztery początkowe wyrazy każdego ciągu i wpisz je w odpowiednie nawiasy.

2⁰. Zwróć uwagę jak powstają kolejne wyrazy każdego ciągu. Co zauważysz?

3⁰. Scharakteryzuj zaobserwowaną własność, wspólną dla tych ciągów, uzupełniając zdanie:

„ W podanych ciągach dowolny wyraz ciągu powstaje przez ...”.

4⁰. Zaproponuj wzór rekurencyjny innego ciągu mającego również taką własność:

h₁ = ...

hn+1 = ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5

fn

n

GRUPA III Dane są trzy ciągi:

1). u1 = - 1

un+1 = - 2un ( , , , , ... )

2).

w

= (

4

1

)

( , , , , ... ) 1⁰ . Oblicz cztery początkowe wyrazy każdego ciągu i wpisz je w odpowiednie nawiasy.

2⁰. Zwróć uwagę jak powstają kolejne wyrazy każdego ciągu. Co zauważysz?

3⁰. Scharakteryzuj zaobserwowaną własność, wspólną dla tych ciągów, uzupełniając zdanie:

„ Aby otrzymać dowolny wyraz takiego ciągu, należy ...”.

4⁰. Przedstaw tabelkę innego ciągu mającego również taką własność.

n 1 2 3 4 ...

xn ...

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

0 1 2 3 4 5

n v_n

6. Zdarzenia losowe.

Uwaga: Polecenie dla grup jest wspólne:

„Zilustruj przebieg doświadczenia losowego za pomocą drzewka”.

Podział klasy na grupy wyznacza numer ucznia w dzienniku w sposób następujący - reszta jaką otrzymamy z dzielenia tego numeru przez 4 odpowiada grupie.

GRUPA I - „reszta 3”

DWUKROTNY RZUT KOSTKĄ DO GRY

Rzucamy dwa razy kostką sześcienną i obserwujemy, która ze ścianek ukaże się u góry za pierwszym razem, a która za drugim razem.

GRUPA II - „reszta 2”

BUDOWANIE WIEŻY

W pudełku mamy 4 klocki: 2 niebieskie i 2 czerwone. Losujemy trzykrotnie bez zwracania jeden klocek, budując z kolejno wyciągniętych klocków parter, I i II piętro wieży. Obserwujemy z jakich klocków zbudowana jest wieża.

GRUPA III - „reszta 1”

POLOWANIE NA KACZKI

Na polowanie udało się trzech myśliwych. Załóżmy, że są to strzelcy wyborowi – każdy z nich zawsze trafia w upatrzony cel. Nagle ukazało się stado 4 kaczek. Każdy z myśliwych wycelował w jedną z nich i oddał strzał. Każdy zrobił to tak szybko, że przypadek (a nie wybór) zadecydował o tym, którą kaczkę trafił. Obserwujemy, do której kaczki strzelił każdy z myśliwych.

GRUPA IV - „reszta 0”

WSIADANIE PASAŻERÓW DO TRAMWAJU

Na przystanku tramwajowym stoi 3 nie znających się panów X, Y i Z.

Wszyscy czekają na ten sam tramwaj. Zajechał tramwaj składający się z trzech wagonów i panowie zajęli miejsca wybierając przypadkowo wagon.

Obserwujemy, do którego wagonu wsiadł każdy z panów.

Następnie każda z grup wykonuje ćwiczenia związane z odpowiednim doświadczeniem losowym np.

Ćwiczenia do doświadczenia losowego: WSIADANIE PASAŻERÓW DO TRAMWAJU :

1/. Wypisz zbiory wyników sprzyjających zdarzeniom:

A – „pan X wsiądzie do środkowego wagonu”,

B – „do wagonu nr 1 nie wsiądzie ani jeden z tych panów”, C – „wszyscy panowie wsiądą do jednego wagonu”,

D – „wszyscy panowie wsiądą do wagonu nr 2”.

2/. Określ słownie zdarzenie E zakodowane zbiorem:

112,121,211,311,131,113  3/. Przedstaw drzewo zdarzenia:

F – „każdy z panów wsiądzie do innego wagonu”

4/. Opisz słownie zdarzenie G, którego drzewo przedstawiono:

1 2

11 12 21

112 121 211

G

– „ ...”

5/. Podaj przykład zdarzenia pewnego w tym doświadczeniu.

6/. Podaj przykład zdarzenia niemożliwego w tym doświadczeniu.

7/. Jaka zależność występuje między zdarzeniami G i E?

II. KRZYŻÓWKI MATEMATYCZNE.

1. Podsumowanie lekcji: „Interpretacja geometryczna układów równań”.

1. Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi to ...

tych równań.

2. Dwie proste na płaszczyźnie, które pokrywają się lub są rozłączne, to proste ... .

3. Układ, który ma dokładnie jedno rozwiązanie to układ ... .

4. Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, to układ równań ... .

5. Proste będące wykresami równań układu nieoznaczonego ... .

6. Rozwiązaniem układu oznaczonego są ... punktu, w którym przecinają się proste układu.

7. Układ równań zależnych, to układ ... .

8. Układ, który nie ma rozwiązań nazywamy układem ... .

9. Proste układu, który ma dokładnie jedno rozwiązanie ... .

10. Jedna z algebraicznych metod rozwiązywania układów równań.

11. Układ oznaczony to inaczej układ równań ... . 12. Wyznacznik główny układu sprzecznego jest równy ... . 13. W równaniu ax + by = c : x i y to ... .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

2. Wprowadzenie do lekcji: „Twierdzenie Bezouta”.

1. Najwyższy wykładnik zmiennej w wyrazie o współczynniku różnym od zera to ... wielomianu.

2. Liczba dla której wartość wielomianu wynosi zero to ...

wielomianu.

3. Jednomiany: -¹

2x², 2x² , x², 100x² to tzw. wyrazy ...

4. Ostatnio poznane działanie na wielomianach to ...

wielomianów.

5. Wiadomo, że: Dla dowolnych wielomianów W(x),P(x) 0 istnieją wielomiany Q(x) i R(x) takie, że: W(x) = P(x)^.Q(x)+R(x)

Wielomian R(x) to ... z dzielenia wielomianów W(x) i P(x).

6. Każde wyrażenie postaci: -²

3x, a, 0,27x³, 5, -¹

7x⁴ to tzw. ...

7. Natomiast wyrażenia typu: x-3, y+7, x²+4, z - ³

4 to ...

8. Funkcja postaci y = ax²+bx +c, a0 to ...

kwadratowy.

9. Jeżeli W(x)=3x³-2x²+x-4, to W(1) = -2 oznacza ...

wielomianu W dla x = 1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

3. Wprowadzenie do lekcji: „Ciąg geometryczny”.

1. Funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych to ...

2. Ciąg (a_n), w którym różnica a_n+1 – a_n jest liczbą stałą dla każdego n, to ciąg ... .

3. Decyduje o niej znak różnicy ciągu arytmetycznego.

4. Sn to ... n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

5. Wzór, wg którego do obliczenia dowolnego wyrazu ciągu konieczna jest znajomość wyrazu poprzedniego, to wzór ... .

6. Jeżeli w ciągu arytmetycznym r=0, to ciąg jest ... . 7. Jeżeli r>0 to ciąg arytmetyczny jest ... .

8. Wartość funkcji będącej ciągiem, zapisana symbolem an, to n-ty ... ciągu.

9. Gdy r<0, to ciąg arytmetyczny jest ... .

10. Ciągi liczbowe określamy na ogół podając ... na ogólny wyraz ciągu, np. a_n = 3n-5.

11. Ciąg arytmetyczny jest określony jednoznacznie, gdy dany jest jego wyraz pierwszy i ... .

12. Graficzne przedstawienie ciągu to jego ... . 9

2 3 5

1 11

4

6 8 10 12

7

4. Wprowadzenie do lekcji: „Graniastosłupy”.

1.Wielościan to ...przestrzenna.

2. Egipski model ostrosłupa czworokątnego.

3. Wielokąty tworzące powierzchnie wielościanu to jego ... . 4. Płaszczyzna na którą rzutujemy.

5. Wielościan o najmniejszej liczbie ścian.

6. Wspólne boki wielokątów w wielościanie.

7. Zbiór wszystkich punktów jakie można sobie wyobrazić.

8. Geometria przestrzeni.

9. Wyróżniony wielokąt w ostrosłupie.

10. Jest nim czworościan foremny.

11. Jeśli podstawą jest wielokąt foremny, to ostrosłup jest ... . 12. Kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany wielościanu.

13. Punkt wspólny wysokości ostrosłupa i płaszczyzny jego podstawy.

14. Figura przestrzenna

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10 11 .

. 12

. 13 14 . .