Seria: BU D O W N ICTW O z. 102 N r kol. 1644
Alicja KO W A LSK A ’ Politechnika Krakowska
ANALIZA I OCENA WYZNACZANIA PARAMETRU TŁUMIENIA DRGAŃ BUDOWLI NA PODSTAWIE JEJ ODPOWIEDZI NA DZIAŁANIE WIATRU
Streszczenie. Opisano najczęściej stosowane metody wyznaczania param etru tłum ienia drgań budowli na podstaw ie w yników pom iarów drgań tych budowli wywołanych działaniem wiatru. Zaprezentowano główne założenia i algorytmy postępowania, dotyczące poszczególnych metod. Przedstaw iono ocenę tych metod, biorąc pod uwagę możliwości ich zastosowania i jakość otrzym anych wyników.
THE ANALYSIS AND ASSESSMENT OF DETERMINATION OF DAMPING PARAMETER OF THE STRUCTURE FROM WIND-INDUCED VIBRATION RESPONSE
Summary. M ost frequently used methods o f dam ping param eter determ ination from the wind-induced dynamic m easurem ents o f the structure have been presented and described in this paper. M ain assum ptions and algorithms o f these methods have been also presented. The methods have been assessed taking into account possibilities o f their application and the quality o f results.
1. Wprowadzenie
W łaściwości dynam iczne budow li najczęściej charakteryzuje się kilkom a początkowymi częstotliwościami drgań własnych i odpowiadającymi im postaciam i (formami) drgań oraz wartością współczynnika tłum ienia. Tłumienie drgań budow li w yraża się przeważnie za pom ocą dwóch wielkości: logarytmicznego dekrementu tłum ienia S albo ułam ka tłum ienia krytycznego D. Logarytmiczny dekrem ent tłum ienia drgań wyraża logarytm naturalny stosunku kolejnych am plitud drgań. D wiąże z 5 zależność:
D = ( ó / 2 n ) (1)
* Opiekun naukowy: Prof. dr hab. inż. Janusz Kawecki
210 A. Kowalska
W modelach obliczeniowych wygodnie je st m acierz tłum ienia [C] występującą w równaniu ruchu przedstaw ić jako liniow ą kombinację macierzy sztywności [K] i bezwładności [M] w postaci:
[c\
= a [ M ] + p \ K ] (2)Jest to opis tzw. tłum ienia bezw ładnościowo - sztywnościowego. W spółczynniki a i p można - przy częstotliwości kołowej raj - związać z 8 i D zależnościami:
a + P - w ]
5, = 71- D a + p - m ,
(3)
m i 2 ■ ET,
gdzie: rni , e t,- częstości kołowe drgań własnych tłum ionych i nietłumionych; er, = 2 n - , er, = 2 n ■ f i; f i f - i-te częstotliwości drgań własnych.
W ykres funkcji D(ra) przedstawiono za [2] na rys. 1. Funkcja ta osiąga wartość m inim alną przy er = - ] a t P i w ów czas D mjn= - J ^ P .
Rys. 1. Wykres funkcji D(ra) Fig. 1. Diagram o f D(ro) function
W ielkości charakteryzujące tłum ienie budowli (np.D) m ożna wyznaczyć zarówno w wyniku eksperymentu czynnego, ja k i biernego. Stosunkowo rzadziej wyznacza się tłumienie budowli na podstaw ie eksperymentu biernego, w szczególności w w yniku działania wiatru na budowlę. Spowodowane je st to koniecznością stosowania długiego czasu rejestracji, trudnościami w analizow aniu dużej liczby danych oraz interpretow aniu wyników. W niniejszej pracy podjęto próbę oceny praktycznej przydatności wyników pom iarów drgań budowli wzbudzonych działaniem wiatru do wyznaczania param etru tłum ienia drgań. Podano kolejno metody w yznaczania param etru tłumienia, zestawiono ich wady oraz zalety.
Przedstawiono również problem y związane z interpretacją uzyskanych wyników.
2. Metody wyznaczania tłumienia drgań budowli na podstawie jej odpowiedzi na działanie wiatru
2.1. W yznaczanie w spółczynnika tłumienia krytycznego z funkcji autokorelacji
Funkcje autokorelacji px*(x) i py*(x) uzyskuje się w wyniku analizy zarejestrowanych wibrogramów. A naliza polega tu na wyznaczeniu estym atorów unorm owanych funkcji autokorelacyjnych px(x) i py(x), a następnie na odfiltrow aniu przez filtr wąskopasmowy innych - poza analizow aną - częstotliwością. Uzyskuje się w ten sposób odpowiednio do danej częstotliwości funkcje autokorelacyjne.
Wartości D (odpowiednio w kierunku x i y) wyznacza się z następujących zależności (por.
[2] i rysunek 2):
£> = —1 ln „ 2 m _
x\ 1 P y\
£> = — ln y 2 m * y n
(4)
gdzie: n - liczba cykli branych pod uwagę w tej analizie; pxi \ pxn*, Pyt*, pyn* - wartości funkcji autokorelacji odpowiadające analizowanej częstotliwości.
N a rysunku 2 za [2] przedstaw iono przykładowe wykresy estym atorów unormowanych funkcji autokorelacji px(x) i py(x) oraz funkcje autokorelacji px*(x) i py*(x) odpowiadające analizowanej częstotliwości drgań własnych.
19». M KICftUNCK >
J O » * n**C O C X C C *r e »
• V ' n . Ki£RU»eK Y
°\ \ r1 Yfo -.oj!
/CO 1s o
to o 'S O
K/ítXJMCK X
vywwwwv-
too ISO
K O ISO
Rys. 2. Przykładowe unormowane funkcje autokorelacyjne w postaci umożliwiającej wyznaczenie parametru tłumienia drgań
Fig. 2. An example of the normalized autocorrelation function of the first natural frequency
2.2. M odel autoregresji
M etoda ta je st używ ana przy stosunkowo krótkich czasach rejestracji w przeciwieństwie do poprzedniej, gdzie jakość w yników je st zależna od długości czasu rejestracji.
212 A. Kowalska
Odpowiedź budow li na działanie w iatru je st tu analizow ana jako liniowy proces losowy.
Może więc być przedstaw iana w postaci modelu autoregresji m-tego rzędu (por. [1]):
x , = a r x,_, + a 2 ■ x,_2 + ... + a m ■ x ,.m + a, (5) gdzie: a, - biały szum ze średnią zero i w ariancją er] , aj (j = 1,2.. .m) - parametry, m - rząd
modelu.
Rząd m odelu w yznacza się z w arunku minimalizacji błędu przewidywania (finał prediction error- FPE), który definiuje się następująco (por. [1]):
F P E = E [ ( x , - i , ) 2] = (l + • cr2a (6)
gdzie: N - liczba danych punktów.
Jak ważny je st dobór rzędu m odelu m, widać na rys. 3 podanym tu za [1]:
Rys. 3. Spektrum modelu AR otrzymane przy użyciu różnych wartości „m”
Fig. 3. AR spectra obtained using different values of “m”
Po przyjęciu rzędu m m ożna parametry otj wyznaczyć z następujących równań (por.[lj):
& , , = — (7a)
JJ Bj
(7b)
Bj = k(Q) - ^ ( 1 ) .. .^ . ^ ., k U ~ 1) (7c)
gdzie: R(j) - autokow ariancja procesu xt.
Model autoregresji często w swoich badaniach wykorzystuje Jeary A. P. (por.[3,5j), wskazując na jego zalety. Ellis B. R. zaś do wartości param etrów tłum ienia otrzymywanych na podstawie eksperym entu biernego podchodzi z du żą rezerwą. W [1] wraz ze
współautorami przedstaw ił wyniki porównania m odelu autoregresji (AR) z metodami opartymi na szybkiej transform acie Fouriera (FFT) i metodam i eksperymentu czynnego - wzbudzenie siłą (FVT). W yniki tego porównania przywołano tu w tabeli 1.
Tabela 1 Porównanie charakterystyk dynam icznych otrzym anych trzem a m etodam i (wg [11)
Para metry
FVT FFT
przy V = 1 1,61 m/s
AR przy V = 1 1,48 m/s W artość NS1
siły [kN]
W artość EW1 siły [kN]
NS1 EW1 NS1 EW1
f.
[Hz]
10,01 1,104
4.04 1,110
1.04 1,210
6,77 0,906 2,74 0,911
0,70 0,919
1,149 0,937 1,164 0,952
D [%]
10,01 1,20
4.04 1,13-1,15 1.04 0,97-1,05
6,77 0,89-0,98 2,74 0,89-0,90 0,70 0,70-0,83
1,14 0,96 1,49 0,65
Wartości podane w tabeli 1 św iadczą o tym, że charakterystyka dynam iczna wyznaczona z eksperymentu czynnego zależy od am plitudy użytej siły wymuszającej. Wyniki otrzymane z szybkiej transform aty Fouriera są zbliżone do wyznaczonych z eksperymentu czynnego, jednakże ich uzyskanie wym agało aż 100 rejestracji. Model autoregresji natom iast dobrze sprawdził się w odniesieniu do częstotliwości drgań własnych. Tłum ienie zaś wyznaczone za pom ocą AR uzyskano m niejsze przy drganiach w kierunku EW i w iększe w kierunku NS od wyznaczonego podczas eksperym entu czynnego. Autorzy [1] podkreślają jednak, że model autoregresji prowadzi do dość dobrego przybliżenia charakterystyki dynamicznej przy korzystaniu z relatywnie małej liczby danych (rejestracja trw ała ok. 17 minut).
2.3. Technika dekrem entu losowego
W tej m etodzie do określenia tłum ienia drgań wykorzystuje się zbiór średnich z kolejnych przedziałów czasowych odpowiedzi. O dpowiedź układu m ożna wyrazić jako złożenie odpowiedzi na początkowe przem ieszczenie i początkow ą prędkość oraz odpowiedź drgań wymuszonych. Zapisuje się to w następujący sposób (por. [4]):
* , = * » + * »
W tej metodzie doprow adza się pow yższą formułę do takiego stanu, w którym wpływ składowych wynikających z początkowej prędkości i wym uszenia siłowego w wartościach średnich redukował się do zera. M etoda dekrementu losowego jest zilustrow ana na rys. 4 (za [4]), na którym składowe sygnału są uśredniane oddzielnie, aby pokazać zm ianę z sygnału otrzymanego od w ym uszenia siłą do rozkładu drgań własnych.
214 A. Kowalska
Initial displacement Initial velocity + Input forcing process
1 10 11 JO 15 JO M « ’ O S IO IS M IS M 3J 40* 5 IO IS SO XS 10 IS 40
'* " id i r tit i s IO ss 40 ■ ° '
v V ^ | I \ M A 7
S 10 1» so as so IS 40*
■M M r n
is so as so js 4o
S 10 is 20 2S SO SS
W v v - | \ / \ M 7
O S IO IS 20 2S 10 SS 40 S 10 IS 20 2S SO IS 40 O S 10 IS 20 25 SO )S 40
Rys. 4. Technika dekrementu losowego Fig. 4. The random decrement technique
Technika ta wykazuje zalety w stosunku do metody autokorelacji i metod widmowych.
Nie je st obciążona ograniczeniem dotyczącym amplitudy w ejścia i rozdzielczości sygnału.
Podawane są (por. [3,5]) propozycje zastosowania tej metody do wyznaczania tłumienia budowli poddanej działaniu wiatru. Do dobrego oszacowania param etru tłum ienia wymagana jest jednak duża liczba danych i wygenerowany w ten sposób rozkład drgań własnych nie prowadzi w wielu przypadkach do oszacowania rzeczywistej wielkości tłumienia. Autorzy [4]
wyjaśniają, co je st tego przyczyną. Otóż, rozwiązanie równania (8) je st następujące:
XT W = xo e -ąmnt
cos m t + sin m t
a nj a
d /
+ — ^ Wnt sin nr .( + \h(t - T ) f { r ) d r
& j n
(9)
gdzie: m„ = -ik / m , m d = m n - /l - £ 2 , x 0 i X„ - początkowe przem ieszczenie i prędkość, a h(t) - j e s t funkcją odpowiedzi impulsowej.
W artość oczekiwana tego równania uw arunkowana je st przez uśrednione początkowe wartości z każdego składnika sumy i przedstaw ia się jako (por.[4]):
E[xT (t)lxo , i 0 ] = xoe -Ęwrf
C0SG7 .t + sin® I
d d + E
- Ę n j l
Kmd ( 10)
+ \h (t - r ) £ [ / ( r ) /x , i )dr
O ° °
Pierw sza składow a powyższego równania wyraża odpow iedź układu na zadane początkowe przem ieszczenie. Druga składowa zależy od początkowego przyspieszenia. Jej wartość średnia zm ierza do zera. Redukcja trzeciej składowej powinna nastąpić wówczas, gdy
jej wartość średnia zm ierzać będzie do zera. Dopóki jednak ona będzie zależna od warunków początkowych, to ten w arunek nie będzie spełniony.
W [4] podano wyniki pom iaru drgań budowli wzbudzonych wzbudzeniem impulsowym.
Otrzymano wartość tłum ienia krytycznego rów ną 5%, podczas gdy m etodą dekrementu losowego z pom iarów w zbudzenia wiatrem otrzymano wartość tłum ienia 2,9 - 3,1%. Na podstawie własnych dośw iadczeń autor [4] podkreśla, że m etoda ta dobrze się sprawdza w przypadku w zbudzenia drgań wiatrem , którego spektrum je st szerokopasm owe.
3. Zalety i wady metod wyznaczania tłumienia w wyniku eksperymentu biernego w porównaniu z metodą wzbudzenia czynnego
W tabeli 2 zestaw ione zostały zalety i wady m etod opisanych powyżej.
Tabela 2
^ -'» « 3 1 e to d a Cecha
Funkcje autokorelacji
Model autoregresji
Technika dekrem entu losowego
Eksperyment czynny (ogólnie) Łatwość
wzbudzenia
duża duża duża różna w zależności
od obiektu Komplikacja
obliczeń
średnia duża duża mała
Jakość rezultatów
średnia-im dłuższa rejestracja i ilość danych,
tym lepsza
średnia-im dłuższa rejestracja i ilość
danych, tym lepsza
słaba: dobra przy spec. warunkach w zbudzenia i
podatności konstrukcji
bardzo dobra przy odpowiedniej
interpretacji
Liczba danych
bardzo duża duża duża mała
Czas rejestr. bardzo długi długi długi krótki
Warto zauważyć, że realizacja wym uszenia w metodach wyznaczania param etru tłum ienia z reakcji budow li na porywy w iatru je st stosunkowo prosta, to same metody są skomplikowane obliczeniowo. W ym agają one również przed przystąpieniem do badań ocenienia w ielkości tłum ienia. Bez tych informacji nie m ożna bow iem określić czasu rejestracji powyższej liczby próbek. To zaś wpływa na dobre oszacowanie tłumienia. Przy braku dośw iadczenia w tym zakresie m ożna uzyskać wyniki budzące wątpliwości.
216 A. Kowalska
4. Uwagi końcowe i wnioski
W niniejszej pracy opisano najważniejsze z metod w yznaczania param etru tłum ienia na podstawie pom iarów drgań budowli poddanych eksperymentowi biernem u (np. porywom wiatru). Przedstaw iono główne założenia i algorytmy postępow ania w poszczególnych metodach. Podano ocenę tych metod pod względem łatwości ich stosowania i jakości uzyskanych za ich pom ocą rezultatów. N a końcu dokonano porów nania metod wyznaczania tłum ienia z eksperymentu biernego w stosunku do eksperymentu czynnego.
M ożna stwierdzić w podsum owaniu, że: metody wyznaczania tłum ienia na podstawie jej odpowiedzi na działanie w iatru s ą przydatne szczególnie w przypadku budowli wrażliwych na oddziaływanie wiatru. Chcąc uzyskać wiarygodne wyniki, trzeba spełnić podstawowe warunki. W ich zbiorze ważne miejsce zajmuje czas rejestracji oraz m etoda analizy wyników badań.
LITERATURA
1. Cao H., Ellis B. R., Littler J.D.: The use o f the maximum entropy m ethod for the spectral analysis o f wind-induced data recorded on buildings. Journal o f wind engineering and industrial aerodynamics, vol. 72, 1997, 81-93.
2. Flaga A.: M etoda wyznaczania parametrów tłum ienia drgań z odpowiedzi budowli na obciążenie wiatrem. Prace Komisji Mechaniki Stosowanej, M echanika 15, PAN Oddział w Krakowie 1 9 9 1 ,2 5 - 3 3 .
3. Jeary A. P.: D am ping in structures. Journal o f w ind engineering and industrial aerodynamics, vol. 72, 1997, 345-355.
4. Kareem A., Gurley K.: Damping in structures: its evaluation and treatm ent o f uncertainty.
Journal w ind engineering and industrial aerodynamics, vol. 59, 1996, 131-157.
5. Li Q. S., Yang Ke., W ong C. K., Jeary A. P.: The effect o f am plitude-dependent damping on wind-induced vibrations o f a super tall building. Journal o f w ind engineering and industrial aerodynamics, vol. 91, 2003, 1175-1198.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Tadeusz Chmielewski
