Funkcje pojęcia wielkości w badaniach temporalności matematyki

Jerzy Dadaczyński

Funkcje pojęcia wielkości w

badaniach temporalności

matematyki

Studia Philosophiae Christianae 37/2, 119-137

JERZY D A D A C ZY Ń SK I Wydział Filozofii, P A T Kraków

FUNKCJE POJĘCIA W IELKOŚCI W BADANIACH TEM PORALNOŚCI MATEMATYKI

Jednym z ważniejszych problem ów dyskutowanych w ram ach współczesnej filozofii nauki jest kwestia jej tem poralności. Z ostało wypracowanych kilka m odeli zm ienności nauki w czasie. Trzeba jednak m ocno podkreślić, że m odele te nie zostały skonstruow ane dla nauki w ogóle, lecz w istocie dla jednej nauki, mianowicie dla fi­ zyki. Oczywiście interesująca pozostaje nadal kwestia tem poralno­ ści innych nauk, między innymi m atem atyki. Problem ten starano się rozwiązać, przenosząc na teren nauk o m atem atyce gotowe m o­ dele wypracowane przede wszystkim dla fizyki. Nie stworzono je d ­ nak dotychczas właściwej dla m atem atyki teorii jej rozwoju.

Rzecz jasna, przenoszenie m odeli zbudowanych dla fizyki na te ­ ren badań nad rozwojem m atem atyki nie m oże być bezdyskusyjne. Klasyczne badania wskazują na zasadniczą odm ienność przedm io­ tową, gnozeologiczną oraz m etodologiczną nauk fizykalnych oraz nauk formalnych, do których zaliczana jest m atem atyka. Tradycyj­ nie klasyfikuje się m atem atykę jako form alną ze względu na przed­ miot, aprioryczną, ze względu na ch arak ter poznawczy oraz dedu k­ cyjną, ze względu na stosow aną m etodę. N atom iast nauki fizykalne, w owym klasycznym ujęciu, byłyby naukam i realnymi, aposteriorycznymi oraz indukcyjnymi1.

Oczywiście, sam a taka klasyfikacja nie jest bezdyskusyjna. Przed­ stawiciele kierunków empirycznych podkreślają raczej aposterio- ryczny charakter m atem atyki, zaś w naukach fizycznych stosuje się współcześnie szeroko m etodę aksjom atyczną. W kontekście odkry­ cia naukowego wielu dyscyplin m atematycznych, na przykład ra ­ chunku całkowego w siedem nastym wieku, m ożna się dopatrzyć stosowania m etody indukcyjnej i powolnego uogólniania uzyska­ nych pojedynczych wyników. Je d n ak pom im o dyskusyjności klasyfi­ kacji m atem atyki i fizyki na ogólnym planie nauk, przyjmuje się w niniejszym opracow aniu zasadniczą ich odm ienność.

1 Por. S. Kamiński, Nauka i metoda. Pojęcie nauki i klasyfikacja nauk, Lublin 19924, 285.

P rzeniesienie na g ru n t b ad ań nad m atem atyką m odeli w ypra­ cowanych w bad an iach n ad rozw ojem fizyki, owocuje p rzeniesie­ niem odnośnych kontrow ersji na płaszczyznę b adań nad rozw o­ jem m atem atyki. I tak dom inuje pogląd, iż m atem atyka rozwija się kum ulatyw nie2. Istnieją je d n a k rów nież prace, w których p o d ­ kreśla się niekum ulatyw ny, nieciągły rozwój m atem atyki. I tak mówi się o rew olucjach w m atem atyce3 czy też o zm ianach p ro g ra ­ mu badawczego w sensie L ak ato sa4. Czasem twierdzi się, że rew o­ lucje zachodziły nie tyle w warstw ie przedm iotow ej, co w filozofii m atem atyki5.

Powstaje pytanie, czy w związku z podtrzymywanym przekona­ niem o zasadniczej odm ienności m atem atyki i fizyki, dozwolone jest przenoszenie wyników badań nad rozwojem fizyki na teren d o ­ ciekań nad zm iennością m atem atyki. O dpow iedź pragm atyczna może brzmieć: skoro nie wypracowano dotychczas m odeli właści­ wych dla rozwoju m atem atyki, to nie pozostaje nic innego jak sto­ sowna transpozycja.

Wydaje się jednak, że nic nie zwalnia z obowiązku przeprow a­ dzenia stosownych badań, które doprowadziłyby ostatecznie do zbudowania jakichś m odeli, właściwych dla opisu rozwoju m atem a­ tyki. Jest rzeczą oczywistą, że takie, proponow ane badania, muszą sięgnąć do historii m atem atyki i, być może, uda się wówczas wypre­ parow ać jakieś kategorie m atem atyczne, pozwalające zbudować postulow ane m odele. W ydaje się też, że szczególną uwagę należy poświęcić tym epizodom z dziejów m atem atyki, w których zm ienia­ ła się ona szczególnie „intensywnie”, a które czasami nazywa się sy­

2 W ujęciach kumulatywnych podkreśla się, że kolejne (dziejowo) teorie mate­ matyczne powiązane są ze sobą relacją korespondencji. Dwie teorie matematycz­ ne uważa się za związane ze sobą relacją korespondencji, gdy pewna poddziedzina dziedziny przedmiotowej, dla której zbudowana została nowa teoria, jest izomor­ ficzna z dziedziną wcześniejszej teorii matematycznej (por. E. Kaluszyńska, W. Mejbaum, Uzasadnianie ja k o dialog, Studia Filozoficzne 28(1984)7,30-31).

3 Por. J. W. Dauben, Conceptual revolutions and the history o f mathematics, w: Transformation and tradition in the sciences. Essays in honor o f I Bernard Cohen, ed. E. M endelsohn, New York 1979,81-103. Autor uważa, że zastosowane przez niego pojęcie rewolucji naukowych odbiega od znaczenia używanego w opracowaniach Kuhnowskich.

4 Por. M. Hallett, Towards a theory o f mathematical research programmes, The British Journal for the Philosophy o f Science 30(1979), 1-25; 135-159.

s Por. M. J. Crowe, Ten „law s” concerning patterns o f change in the history o f m a­ thematics, Historia Mathematica 2(1975), 161-165.

tuacjami kryzysowymi w m atem atyce. W ymienia się tutaj szczegól­ nie odkrycie niewymierności, pow stanie rachunku całkowego i róż­ niczkowego oraz powstanie teorii mnogości wraz z odkryciem anty­ nomii6.

W niniejszym artykule proponuje się „wypreparowanie” z dzie­ jów m atem atyki pewnego pojęcia, które m oże okazać się płodne w opisie tem poralności m atem atyki. Przy pomocy tego pojęcia przeprowadzi się potem opis zm ian zachodzących w m atem atyce w tych okresach, które uważa się za kryzysowe.

Proponow ane pojęcie to pojęcie wielkości. Pojawiło się ono już u początków m atem atyki, w starożytnej Grecji. Należy je traktow ać jako pojęcie pierw otne, które w pewnym m om encie rozwoju staro ­ żytnej m atem atyki otrzym ało swoją uwikłaną definicję aksjoma- tyczną. Nie zostanie ona po d ana już w tym m om encie, ponieważ ważne zmiany w m atem atyce starożytnej zaszły w czasach, kiedy nie posługiwano się jeszcze taką explicite sform ułow aną aksjomatyką. Ważne jest, że do wielkości, w związku z rozwojem arytmetyki i geometrii, w okresie pitagorejskim zaliczano: liczby (naturalne), stosunki liczb naturalnych (liczby wym ierne), jak i wielkości ciągle, odcinki, pola, objętości. D la starożytnych G reków - a także długo jeszcze po okresie greckim - m atem atyka była nauką o wielko­ ściach.

Oczywiście m ożna oponować przeciw traktow aniu pojęcia wiel­ kości jako pewnego kryterium zm ienności m atem atyki. Dzisiaj ra ­ czej nie m a zgody co do tego, że m atem atyka jest nauką o wielko­ ściach. Jest raczej pojm ow ana - jeśli przyjmie się popraw ność redukcji m atem atyki do teorii mnogości, proponow aną przez N. Bourbakiego - jako nauka o jakichkolw iek zbiorach i określonych na nich funkcjach (relacjach).

Przeciwko stanow isku odrzucającem u przydatność pojęcia wielkości w badan iu tem poralności m atem atyki m ożna sform uło­ wać dwa istotne argum enty. Po pierw sze ten , że, ja k to już zazna­ czono, przez wiele wieków rozw oju m atem atyki, praktycznie do dziew iętnastego wieku, traktow ano ją jak o nau kę o wielkościach. Dlatego w b adaniach zm ienności m atem atyki w czasie takie p o ję­ cie nie tylko m oże, ale i pow inno być uw zględniane. Po w tóre,

6 Por. J. Perzanowski, Podstawy matematyki, w: Mala Encyklopedia Logiki, Wro­ cław 19882, 142.

praw dą jest, że m atem atykę współcześnie traktu je się jak o spro- w adzalną do teorii m nogości - a więc jako naukę o jakichkolw iek zbiorach. Je d n ak z pojęciem zbioru bardzo blisko związane jest pojęcie pewnej wielkości, m ianowicie liczby kardynalnej, mocy wyznaczanej przez dany zbiór. Każdy zbiór zatem posiada, czy też przynajm niej określa, pew ną wielkość.

W trakcie rozwoju m atem atyki wyróżniono różne typy wielkości: wymierne, niewymierne, skończone, nieskończenie wielkie, nie­ skończenie m ałe. Nie zawsze wszystkie akceptowano na danym e ta ­ pie rozwoju m atem atyki. Wydaje się, że m ożna przedstawić model zmienności m atem atyki jako dzieje odkrywania i akceptowania, względnie odrzucania (z heterogennych względów) poszczególnych typów wielkości. Zm iany w akceptacji poszczególnych typów wiel­ kości byłyby tu traktow ane jako pew ne zmiany nieciągłe w rozwoju m atematyki.

Pierwszy okres w dziejach m atem atyki, ze względu n a podejście do zagadnienia wielkości, to okres pitagorejski. Pitagorejczycy, acz­ kolwiek byli twórcami system u geom etrycznego7, to główny nacisk kładli na zbudow aną przez siebie arytmetykę. Stworzyli oni arytm e­ tykę liczb naturalnych oraz arytm etykę liczb wymiernych, które de­ finiowali jako stosunki (pary uporządkow ane) liczb naturalnych. Tych ostatnich nie nazywali liczbami, ponieważ głosili pogląd, iż liczby to wielości jednostek.

Pitagorejczycy byli początkow o przek o n ani, iż przy pom ocy stosunku dwu liczb naturaln y ch - a zatem przy pom ocy liczb wy­ m iernych - m ożna wyrazić stosunki dwu dowolnych, należących do tej sam ej „k ateg o rii” wielkości geom etrycznych, a więc sto ­ sunki dwu odcinków lub pól dwu figur płaskich. Z a te m - i to jest istotne dla prow adzonych b a d ań - wielkości geom etryczne cią­ gle, takie jak odcinki, pola, były w ielkościam i wym iernym i, wyra- żalnym i przy pom ocy stosunków liczb naturalnych. To prow adzi­ ło pitagorejczyków do przek o n an ia, iż arytm etyka liczb wym iernych i w konsekw encji arytm etyka liczb naturalnych są dyscyplinami bardziej „podstaw ow ym i” od geom etrii. D o aryt­ m etyki liczb natu raln ych m ożna było sprow adzić arytm etykę

7 Historycy matematyki zastanawiają się nie tylko nad tym, czy system ten byt systemem dedukcyjnym, ale nawet nad tym, czy byt on również systemem aksjo- matycznym.

liczb w ym iernych i - w edług pierw otnej koncepcji pitagorejczy- ków - p o śred n io g eo m etrię8.

Odkrycie niewymierności przez samych pitagorejczyków zm ieni­ ło ich pogląd na możliwość arytmetyzacji całej m atem atyki. Przede wszystkim jed n ak zm iana dotyczyła tego, że trzeba było uznać ist­ nienie w m atem atyce wielkości niewymiernych, których nie daje się wyrazić przy pomocy stosunku dwu liczb naturalnych. Takie wielko­ ści zawierała przede wszystkim geom etria.

Już sami m atematycy pitagorejscy zaczęli szukać dróg wyjścia z powstałego kryzysu. Teoretycznie istniały trzy sposoby wyjścia z sytuacji kryzysowej:

1. rozszerzyć pojęcie liczby tak, aby możliwym stało się - przy p o ­ mocy nowej klasy liczb - ujęcie stosunków wszystkich odcinków;

2. nie próbow ać arytmetyzować geom etrii, ale jako dyscyplinę podstawową m atem atyki wybrać geom etrię i geometryzować aryt­ metykę liczb wymiernych (a zatem i pośrednio arytm etykę liczb na­ turalnych). Z a próbą geometryzacji arytmetyki liczb wymiernych przemawiało to, geom etria okazała się być „bogatsza” (o wielkości niewymierne) od dziedziny liczb wymiernych;

3. posługiwać się w sposób nieścisły niewymiernościami, rezy­ gnując z wypracowanego w szkole pitagorejskiej ideału dedukcyj­ nego budow ania m atem atyki.

Pierwsza i trzecia z wymienionych dróg były w starożytnej Grecji nierealizowalne, z różnych zresztą powodów. Jeśli chodzi o trzecie z możliwych rozwiązań, to było ono dla starożytnych nie do zaak­ ceptowania z powodu przyjętych zasad m etanaukowych. Nie chcie­ li oni bowiem odstąpić od ideału m etody dedukcyjnej. O ile trzecia droga była przez G reków nie do przyjęcia ze względów m

etanauko-8 Pitagorejczycy dokonali pewnego spostrzeżenia z zakresu akustyki, które p o­ zwalało znaleźć arytmetyczną podstawę wysokości dźwięków. Rozszerzyli oni to postrzeżenie na inne dziedziny świata fizycznego i twierdzili, że wszelkie prawi­ dłowości świata można wyrazić przy pomocy liczb naturalnych i ich stosunków. To z kolei dało im podstawy do stwierdzenia, iż liczba jest poszukiwanym przez grec­ kich filozofów arché. M ożliwe są dwie interpretacje tego filozoficznego stanowiska pitagorejczyków: albo traktowali oni liczby jako materie świata zjawiskowego, al­ bo traktowali oni liczby jako formę materii. Oczywiście pitagorejczycy nie posługi­ wali się jeszcze arystotelesowskimi terminami „materia” i „forma”. Sam Arystote­ les, relacjonujący poglądy pitagorejczyków, wahał się pomiędzy jedną a drugą •nterpretacją ich filozofii. Odkrycie niewymierności falsyfikowało przekonania on- tologiczne pitagorejczyków. Od tego odkrycia datuje się upadek filozoficznego kierunku w ramach szkoły pitagorejskiej.

wych, to rozwiązanie pierwsze byio nierealizow alne z powodów przedm iotowych. M atem atyka była jeszcze w zbyt wczesnym sta­ dium rozwoju, aby podołać postaw ionem u zadaniu9.

Pozostała zatem tylko jed n a droga dalszego rozwoju m atem aty­ ki, mianowicie geom etryzacja arytmetyki i algebry. W starożytności rozwiązywano wiele problem ów algebraicznych przy pom ocy ap a­ ratury geometrycznej.

D la prowadzonych tutaj analiz istotne pozostaje to, że odkrycie niewymierności przez pitagorejczyków doprow adziło do zaakcep­ tow ania wielkości niewymiernych na gruncie m atem atyki. S tan o­ wiło to również kres tej m atem atyki pitagorejskiej, któ ra nie p rze ­ widywała miejsca dla wielkości niewymiernych w m atem atyce. W ażne jest jeszcze pytanie: jakie przyczyny doprowadziły do p o ­ w stania nowego typu m atem atyki? Czy byty to tylko przesłanki „w ew nątrzm atem atyczne”, czy też powody zew nętrzne w stosunku do m atem atyki?

Pozornie mogłoby się wydawać, że przyczyny w prowadzenia nie­ wymierności leżały wyłącznie w obrębie samej m atem atyki. Prze­ prow adzono po prostu dowód, który wykazał istnienie wielkości niewymiernych. N ajpraw dopodobniej dowód samych pitagorejczy­ ków zachował się w pracach A rystotelesa. Trzeba jed n ak zwrócić uwagę, że jest to dowód nie wprost. O piera się na zaakceptow anej przez pitagorejczyków logice. O dw ołano się w nim do zasady sprzeczności podanej po raz pierwszy - tyle, że w wersji ontologicz- nej - przez Parm enidesa. Pitagorejczycy byli pod względem akcep­ towanej logiki pod niewątpliwym wpływem Parm enidesa, który jak oni sami, działał na teren ie Wielkiej Grecji.

Należy zatem stwierdzić, że przełom w m atem atyce, zaakcepto­ wanie wielkości niewymiernych, dokonało się również ze względów zewnętrznych w stosunku do m atem atyki, z powodów logicznych i pośrednio ontologicznych. W ten sposób powstała nowa m atem a­ tyka, odm ienna od pitagorejskiego wzorca.

9 Eudoksos w czwartym wieku przed Chrystusem zbudowai ścistą teorię niewy­ mierności, przypominającą teorię przekrojów R. Dedekinda. Teoria niewymierno­ ści Eudoksosa nie byia jednak oparta wyłącznie na pojęciu liczb wymiernych. Ma­ tematyk ten posłużył się wielkościami niewymiernymi „wziętymi” z geometrii. Tak więc praca Eudoksosa nie przyniosła pełnej arytmetyzacji niewymierności. Stało się to dopiero możliwe w dziewiętnastym wieku, dzięki pracom K. Weierstrassa, G. Cantora oraz R. Dedekinda.

Bardzo ważnym osiągnięciem nowego etapu w rozwoju matematyki greckiej było aksjomatyczne opisanie pojęcia wielkości. Dokonał tego Eudoksos, a jego aksjomaty zostały powtórzone w Elementach Eukli­ desa. Aksjomaty zawierające uwikłaną definiqę pojęcia wielkości (które jest w tej aksjomatyce pojęciem domyślnym) są następujące:

1. równe tem u sam em u są równe między sobą;

2. jeśli do równych doda się równe, to w sumie będą równe; 3. jeśli od równych odejm ie się równe, to reszty będą równe; 4. pokrywające się wzajem nie są sobie równe;

5. całość jest większa od części.

Aksjomaty te, jak się okazuje, pozwalały na eliminowanie pew­ nych typów wielkości z m atem atyki czasów Eudoksosa. Uwaga ta dotyczy wielkości aktualnie nieskończenie wielkich.

Już w m atem atyce okresu pitagorejskiego m ożna się było spo­ tkać z pewnymi form am i nieskończoności. Były to na przykład nie­ skończone procesy w geom etrii. Odkrycie niewymierności też m ia­ ło swoje odniesienie w zakresie nieskończoności. Nieskończonym było na przykład dziesiętne rozwinięcie pierw iastka z 2. A le tak n a­ prawdę myśl antyczna m usiała podjąć zagadnienie nieskończoności w związku z aporiam i Z enona. Paradoksy te m ają swój oczywisty aspekt filozoficzny i fizykalny. A le posiadają one również istotny aspekt matematyczny. W łaśnie refleksja nad m atematycznym zn a­ czeniem aporii Z en o na kazała wyeliminować starożytnym pojęcie wielkości aktualnie nieskończenie wielkich z m atematyki.

To, dlaczego elim inowano wielkości aktualnie nieskończenie wielkie z m atem atyki, m ożna pokazać na podstaw ie dyskusji aporii żółwia. Z aporii tej wynika, że Achilles, który w mitologii greckiej uchodził za szybkobiegacza, nigdy nie dogoni żółwia, który jest uosobieniem powolności. Niech bowiem Achilles znajdzie się w o d ­ ległości a za żółwiem i niech biegnie od niego к razy szybciej. W m om encie, kiedy Achilles dojdzie do punktu, z którego wycho­ dził żółw, a zatem przejdzie odcinek a, żółw, który jest к razy wol­ niejszy przejdzie odcinek a/к. N astępnie kiedy Achilles przejdzie odcinek a/к, wówczas żółw zdąży już pokonać odcinek a/к2, itd. Z a ­ wsze pom iędzy Achillesem a żółwiem pozostanie różnica większa od zera.

Niech jed n ak będzie tak, jak w rzeczywistości zjawiskowej: w pewnej chwili t Achilles dogania żółwia. Drogi przebyte przez Achillesa oraz przez żółwia m ożna zapisać następująco:

SA = a 4- а/к + а/к2 +... Sz = а/к + а/к2 + а/к3 +...

Łatwo zauważyć pew ną paradoksalną własność obydwu zbiorów odcinków. Z jednej strony Achilles powinien przebiec do m om entu spotkania żółwia dokładnie tyle sam o odcinków co ten drugi, b o ­ wiem każdem u odcinkowi o długości a/kn przebytem u przez Achil­ lesa odpow iada odcinek a /k '+I drogi żółwia. N atom iast z drugiej strony istnieje funkcja wzajem nie jednoznaczna przyporządkowują­ ca każdem u odcinkowi przebytem u przez żółwia równy co do dłu­ gości odcinek drogi, który musi przebiec Achilles. Zawsze n-tem u odcinkowi drogi żółwia odpow iada równy co do długości n +1 odci­ nek drogi Achillesa. Pierwsza część drogi Achillesa, ta o długości a, nie jest w tym przyporządkow aniu wzięta pod uwagę. Z atem do m om entu spotkania, Achilles musi przebyć o jed en odcinek drogi więcej niż żółw. Jest to odcinek pierwszy, ten o długości a.

Jeśli teraz oznaczy się liczbę odcinków pokonanych przez żółwia literą ß i pam ięta się o tym, że według pierwszego sposobu oblicza­ nia liczba odcinków przebytych przez Achillesa wynosiła ß, zaś we­ dług drugiego 1 +ß, to otrzym a się równość:

ß = 1 + ß

Równość ta stanowi pogwałcenie piątego aksjom atu opisującego własności wielkości. A ksjom at ten stwierdza, że „całość jest więk­ sza od części”. N atom iast równość wynikająca z analizy aporii Achilesa i żółwia prowadzi do wniosku, że w niektórych wypadkach całość nie musi być większa od części.

Starożytni myśliciele analizowali przyczyny tej paradoksalnej własności zbioru odcinków przebytych przez żółwia. Oczywistym jest, że liczba ß jest liczbą nieskończoną. Stąd konkluzja, że to wła­ śnie wielkości nieskończone „zachowują” się odm iennie od wielko­ ści skończonych i inaczej niż wskazują to aksjomaty opisujące wła­ sności wielkości. W niosek był następujący: należy wielkości nieskończone eliminować z m atem atyki. G enerują one bowiem p a­ radoksy, takie jak te, któ re zawierają w sobie aporie Z enona.

Rzecz jasna, elim inacja wielkości nieskończonych z m atematyki starożytnej była pewnym procesem . W związku z trudnościam i ujawnionymi przez paradoksy Z enona, toczyły się zaciekłe dyskusje nie tylko m atematyków, ale i filozofów. Z agadnienie nieskończo­ ności zaliczano bowiem również do tem atyki filozoficznej. O sta­ tecznie to filozof Arystoteles sform ułował stanowisko starożytnych

wobec nieskończoności. O drzucił on istnienie nieskończoności ak­ tualnej. D opuścił natom iast istnienie nieskończoności potencjalnej. Można ją sobie wyobrazić, jako stale rosnącą wielkość, któ ra je d ­ nak w każdej chwili pozostaje skończona.

Można zatem stwierdzić, że zasadniczo odrzucenie wielkości ak­ tualnie nieskończenie wielkich zostało spowodow ane przyczynami „wewnątrzmatematycznymi”. A kceptacja piątego aksjom atu Eu- doksosa nie pozwalała na dopuszczenie w m atem atyce wspom nia­ nych wielkości. Z arazem rozstrzygnięciu tej kwestii towarzyszyły również zażarte dyskusje filozoficzne.

M atem atyka starożytna dysponowała jeszcze innym narzędziem , które pozwalało nie tylko zidentyfikować, ale i wyeliminować nie­ pożądane wielkości. N arzędzie to stw orzone zostało również przez Eudoksosa. Chodzi o aksjom at, który został później nazwany im ie­ niem A rchim edesa. A ksjom at ten orzeka, że jeśli dane są dwie wielkości a i b, to m uszą istnieć liczby całkowite m oraz n, takie, że

ma > b i n b > a.

W istocie aksjom at A rchim edesa m oże służyć do określania wielkości aktualnie nieskończenie wielkich oraz aktualnie nieskoń­ czenie małych. Niech będzie dana jakakolw iek liczba naturalna, na przykład 1. Jeśli dla wielkości φ nie istnieje liczba naturalna n, taka, że «1 > φ, wówczas φ jest wielkością aktualnie nieskończenie wiel­ ką. N atom iast, jeśli dla wielkości η nie istnieje liczba naturalna m , taka, że m η > 1, wówczas η jest wielkością aktualnie nieskończenie małą. W ielkości, które nie spełniają aksjom atu A rchim edesa, nazy­ wa się wielkościami niearchim edesowym i. Pozostałe wielkości to wielkości archim edesowe, skończone. M atem atyka starożytna zaj­ mowała się tylko i wyłącznie wielkościami archimedesowymi.

Jak łatwo zauważyć, aksjom at A rchim edesa eliminował z m ate­ matyki starożytnej wielkości zarów no aktualnie nieskończenie wiel­ kie, jak i m ałe. Z nieskończenie wielkimi m atem atyka starożytna zetknęła się przede wszystkim w aporiach Z enona. A le również wielkości aktualnie nieskończenie m ałe były m atem atykom grec­ kim znane. Zaliczały się do nich kąty rogokształtne. Przykład może stanowić chociażby kąt zawarty pom iędzy lukiem okręgu oraz styczną do okręgu. Kąt taki, powiększany dowolną ilość razy, nie będzie większy od kąta pom iędzy styczną do okręgu, a dowolną Prostą przecinającą styczną w punkcie styczności. Starożytni m ate­ matycy dotknęli również zagadnienia wielkości nieskończenie m a­

łych, wypracowując zalążkowe m etody analizy m atematycznej. W łaśnie w pracach E udoksosa i A rchim edesa opracow ane zostały pierwsze m etody analityczne. I właśnie ci uczeni, form ułując aksjo­ m at A rchim edesa, wyeliminowali wielkości aktualnie nieskończe­ nie m ałe z m atem atyki starożytnej. Wydaje się, że o wyeliminowa­ niu wielkości aktualnie nieskończenie małych zadecydował „lęk przed nieskończonością”, który zapanow ał w środowisku m atem a­ tyków i filozofów starożytnych w związku z ujaw nieniem paradok ­ sów nieskończoności w aporiach Zenona.

G eneralnie m ożna stwierdzić, że ostatecznie w czwartym wieku przed Chrystusem ukształtow ał się nowy, inny od pitagorejskiego, wzorzec upraw iania m atem atyki. Zadecydow ał o tym odm ienny niż w czasach pitagorejskich stosunek do niektórych typów wielkości. Przede wszystkim w tym okresie, w ram ach aksjomatyki E udokso­ sa, opisano podstawowe własności wielkości. O bok wielkości wy­ m iernych zaakceptow ano w m atem atyce istnienie wielkości niewy­ miernych. A ksjom at A rchim edesa pozwolił na wyodrębnienie wielkości aktualnie nieskończenie wielkich oraz aktualnie nieskoń­ czenie małych. Obydwa te typy wielkości ze względu na przyczyny, które ujaw niono powyżej, elim inowano z m atem atyki. Okazuje się też, że akceptacja względnie odrzucenie poszczególnych typów wielkości, miały zarów no swoje przyczyny w obrębie samej m ate­ matyki, jak również przyczyny pozam atem atyczne, które posiadały charakter logiczny względnie ontologiczny.

Nowy wzorzec m atem atyki, który ukształtow ał się w czwartym wieku przed Chrystusem przetrw ał aż do siedem nastego wieku n. e. W tym okresie intensywnie rozwijała się m atem atyka arabska, zna­ ne też są osiągnięcia m atem atyki europejskiej, średniowiecznej. Zasadniczo jed n ak rozwijano w średniowieczu nadal te tematy, k tóre sform ułow ano już w m atem atyce greckiej, popitagorejskiej. D la prowadzonych w niniejszym opracow aniu badań istotne jest jed n ak to, że w zakresie akceptacji, względnie negacji poszczegól­ nych typów wielkości, począwszy od czwartego wieku przed Chry­ stusem nic się nie zm ieniało. N adal akceptow ano, obok wielkości wymiernych, wielkości niewymierne, a także odrzucano wszelkie formy wielkości aktualnie nieskończonych. Wydaje się, że ten okres w dziejach m atem atyki, ten typ jej upraw iania, m ożna nazwać m a­ tem atyką Eudoksosa. To właśnie Eudoksos przyczynił się do opisu aksjomatycznego wielkości oraz do wyodrębnienia niektórych ty­

pów wielkości, a sform ułowany przez niego aksjom at A rchim edesa służył do eliminacji wielkości aktualnie nieskończenie wielkich i nieskończenie małych. M atem atyka E udoksosa panow ała do p o ­ czątku siedem nastego wieku.

D opiero wiek siedem nasty przyniósł istotny przełom związany ze sposobem upraw iania m atem atyki. Jak się okazuje, ten istotny przełom był nieodłącznie związany ze zm ianą postawy upraw iają­ cych m atem atykę wobec jednego z typów wielkości. Po raz kolejny zatem pojęcie wielkości funkcjonuje jak o dobre narzędzie w opisie tem poralności m atematyki.

W wieku siedem nastym, dzięki pracom kilkunastu uczonych, po­ wstawał stosunkowo szybko rachunek różniczkowy i całkowy. Roz­ wój tego rachunku był między innymi spowodowany potrzebam i zastosowań m atem atyki w fizyce, przede wszystkim w m echanice. Ta ostatnia rozwijała się szczególnie burzliwie, w związku z p ostula­ tami Galileusza, który zerwał z jakościową fizyką A rystotelesa i p o ­ stulował m atem atyzację fizyki. R achunek różniczkowy i całkowy do tego stopnia związany był z m echaniką, że badania w ram ach anali­ zy były często prow adzone przy pom ocy języka mechaniki.

Należy uświadomić sobie, że m atem atycy w siedem nastym i osiem nastym wieku nie posługiwali się jeszcze definicjami granic, które ujm ow ane byłyby przy pomocy liczb rzeczywistych. Nie zaryt- metyzowano jeszcze wówczas także teorii liczb rzeczywistych. D la­ tego też w określaniu podstawowych pojęć analitycznych w wieku siedemnastym i osiem nastym trzeba się było odwoływać do pojęcia wielkości nieskończenie małych. Z góry należy zaznaczyć, że w okresie tym panow ało ogrom ne zam ieszanie w określeniu p od ­ staw rachunku różniczkowego. Istota sporów dotyczyła tego, czy rachunek różniczkowy i całkowy oparty jest na wielkościach po ten ­ cjalnie czy też aktualnie nieskończenie małych. W pierwszym wy­ padku posługiwano by się w m atem atyce jeszcze wielkościami ar- chimedesowymi, choć nieustannie malejącymi. N atom iast w drugim przypadku akceptow ano by już jako podstaw ę centralnej dyscypliny matematycznej w siedem nastym i osiem nastym wieku wielkości niearchim edesow e. Z atem zaakceptow ano by w tej m ate­ matyce te wielkości, które były usuwane z m atem atyki Eudoksosa.

W arto w tym miejscu wskazać na niektóre szczegóły dyskusji, do­ tyczące tych wielkości, na których o pierała się analiza w siedem na­ stym i osiem nastym wieku. I tak I. N ew ton, analizując pojęcie

pierwszej pochodnej, mówił o nim jako o stosunku, w którym „zni­ kają” niektóre wielkości. Powstaje pytanie, czym były dla angiel­ skiego filozofa, fizyka i m atem atyka owe „znikające” wielkości. I. New ton twierdził, że są one wyobrażalne jako nieograniczenie m a­ lejące przez cały czas. M oże powstać podejrzenie, że chodzi w tym miejscu o nieskończenie m ałą wielkość zm ienną, w rozum ieniu współczesnej m atem atyki. Być m oże chodziło I. Newtonowi o zaak­ centow anie, że w określeniu pojęcia pochodnej pojawiają się wiel­ kości potencjalnie nieskończenie m ałe, a więc że m a się w tym wy­ padku cały czas do czynienia z wielkościami archimedesowymi.

Natom iast inni twórcy analizy stali raczej na stanowisku, że ana­ liza ufundow ana jest na wielkościach niearchim edesowych, wielko­ ściach aktualnie nieskończenie małych. Głównym propagatorem takiego stanowiska był G. de 1’H ospital. Używał on takich sform u­ łowań, z których wynikało, iż jest przekonany o realności wielkości aktualnie nieskończenie małych, którymi, jego zdaniem , posługiwa­ no się w rachunku różniczkowym i całkowym10.

O statecznie zwyciężyło w siedem nastym i osiem nastym wieku przekonanie prezentow ane przez G. de l’H ospitala. W iększość m a­ tem atyków tego okresu głosiła opinię, że u podstaw rachunku cał­ kowego i różniczkowego leżą wielkości niearchim edesow e, aktual­ nie nieskończenie m ałe. Te opinie pozwalają zasadnie wyodrębnić m atem atykę siedem nastego i osiem nastego wieku jak o odrębny okres w dziejach m atem atyki. M atem atyka wspom nianego okresu jest inną m atem atyką niż ta, której podstawy tworzył Eudoksos. Zaś, co istotne dla prow adzonych w niniejszym opracow aniu b a ­ dań, kryterium pozwalającym wyróżnić nowy okres w dziejach m a­ tem atyki jest właśnie akceptacja na gruncie ówczesnych prac wiel­ kości niearchim edesowych, aktualnie nieskończenie małych. Tych, które w okresie poprzednim były odrzucane na podstaw ie aksjom a­ tu Archim edesa.

10 „Zwyczajna analiza zajmuje się tylko wielkościami skończonymi; ta niniejsza sięga tak daleko jak sama nieskończoność. Porównuje ona nieskończenie male różnice wielkości skończonych, odkrywa relacje pomiędzy tymi różnicami. W ten sposób ujawnia stosunki pom iędzy wielkościami skończonymi, które są jak gdyby nieskończone w porównaniu z nieskończenie małymi wielkościami. Można by na­ wet powiedzieć, że ta analiza wychodzi poza nieskończoność: bowiem nie ograni­ cza się ona do nieskończenie małych różnic, lecz odkrywa relacje między różnica­ mi tych różnic”. G. de l’Hospital, Analyse des infiniment petits p o u r I ’intelligence des lignes courbes, Przedmowa, Paris 1696.

W arto jeszcze w tym miejscu uwypuklić przyczyny zmian, które zaszły w m atem atyce siedem nastego wieku. Akceptacja wielkości niearchimedesowych m iata niewątpliwie swoje podstawy „we- wnątrzm atem atyczne”. W tym właśnie okresie podjęto wątki anali­ tyczne prac starożytnych, przede wszystkim Eudoksosa i A rchim e­ desa. Z e względów przedm iotowych - b raku ściśle arytmetycznych podstaw teorii liczb rzeczywistych - konieczne było posłużenie się, przynajmniej w opinii większości ówczesnych badaczy, wielkościa­ mi niearchim edesowym i w rozwijającej się analizie. Jednak sama analiza, rachunek różniczkowy i całkowy powstały, jak to już wspo­ mniano, nie tylko ze względów „wewnątrzm atematycznych”. Nowe, ilościowe, a nie jakościowe podejście do zagadnień przyrodoznaw­ stwa, m iało również ogromny wpływ n a rozwój tej gałęzi m atem aty­ ki, w której - przynajmniej zdaniem ówczesnych naukowców - po­ jawiły się wielkości niearchim edesow e. M atem atykę tego okresu można by nazwać m atem atyką Leibniza i Newtona. Ci bowiem uczeni najbardziej przyczynili się do rozwoju analizy. Z e względu jednak na stosunek do wielkości niearchim edesowych najbardziej reprezentatywny wydaje się być G. de l’H ospital. D latego m ożna roboczo ów okres m atem atyki nazwać m atem atyką de 1’H ospitala.

Kolejny etap w rozwoju m atem atyki m ożna również wyodrębnić, przyjmując jako kryterium zm ianę w zakresie akceptacji niektórych typów wielkości. To okres m atem atyki dziew iętnastego wieku. C ha­ rakteryzował się on, w przeciwieństwie do poprzedniego, wyelimi­ nowaniem wielkości aktualnie nieskończenie małych z podstaw ra ­ chunku różniczkowego i całkowego i akceptacją na gruncie m atematyki wielkości aktualnie nieskończenie wielkich.

To właśnie w dziewiętnastym wieku, głównie dzięki pracom B. Bolzano, A. Cauchy’ego oraz K. W eierstrassa, udało się przede wszystkim oprzeć analizę m atem atyczną na pojęciu granicy i na p o ­ jęciu zbieżności. Co istotne dla prowadzonych tutaj dociekań, u d a ­ ło się zdefiniować te podstawowe pojęcia analizy w kategoriach liczb rzeczywistych. Był to pierwszy z dwu etapów procesu arytme- tyzacji analizy w dziewiętnastym wieku.

Drugi eta p polegał przede wszystkim na zbudowaniu m odelu liczb rzeczywistych w dziedzinie liczb wymiernych. Pracę te wyko­ nali równolegle K. W eierstrass, G. C an to r i R. D edekind. Dwaj pierwsi posłużyli się zbliżoną do siebie m etodą nieskończonych cią­ gów zbieżnych liczb wymiernych, przy pom ocy których definiowali

liczby rzeczywiste. N atom iast R. D edekind do zdefiniowania liczb rzeczywistych użył tzw. przekrojów liczb wymiernych, które nazwa­ ne zostały jego imieniem . M etoda ta przypom inała sposób określe­ nia niewymierności Eudoksosa, nie odwoływała się jed n a k do nie­ wymiernych wielkości geometrycznych.

Wcześniej udało się w szkole K. W eierstrassa zdefiniować liczby całkowite przy pomocy liczb naturalnych i liczby wymierne przy p o ­ mocy liczb całkowitych. Z atem w wyniku procesu arytmetyzacji m ożna było w dziewiętnastym wieku sprowadzić całą analizę - p o ­ przez pojęcia granicy i zbieżności - do arytmetyki liczb rzeczywi­ stych, te zaś do arytm etyki liczb naturalnych. Tym samym m ożna było zasadnie twierdzić, że analiza m atem atyczna o p arta jest na arytm etyce liczb rzeczywistych, a pośrednio, na arytm etyce liczb naturalnych.

Istotne dla prow adzonych tutaj bad ań jest to, że wyeliminowano w dziewiętnastym wieku z podstaw rachunku różniczkowego i cał­ kowego pojęcie wielkości niearchim edesowych, aktualnie nieskoń­ czenie małych. Pojęcie to okazało się być zbędne dla ufundow ania tak istotnego działu m atem atyki, jakim jest analiza.

Co więcej, niektórzy uczeni, przede wszystkim G. C antor, zaczęli twierdzić, że wielkości aktualnie nieskończenie m ałe są nie tylko niepotrzebne dla ufundow ania podstaw rachunku różniczkowego i całkowego, ale że po prostu takie wielkości nie istnieją. G. C antor usiłował nawet konstruow ać dowody nieistnienia wielkości aktual­ nie nieskończenie małych. Tym samym starał się on wyeliminować wielkości niearchim edesow e, aktualnie nieskończenie m ałe, nie tyl­ ko z podstaw rachunku różniczkowego i całkowego, ale i z całej m atem atyki11.

W każdym razie m atem atyka dziew iętnastego wieku pozbyła się wielkości aktualnie nieskończenie małych z podstaw rachunku róż­ niczkowego i całkowego. N iektórzy zaś m atematycy - jak G. C an ­ tor - negowali w ogóle istnienie wielkości aktualnie nieskończenie małych.

W m atem atyce dziew iętnastego wieku dokonała się jeszcze je d ­ na zm iana orientacji w zakresie akceptacji pewnego typu wielkości.

11 Por. G. Cantor, Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten, 407-409, w: G. Can­ tor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und Philosophischen Inhalts, Hrsg. E. Zerm elo, Berlin 1932.

Zaakceptow ano mianowicie istnienie innych wielkości niearchim e­ desowych, mianowicie wielkości aktualnie nieskończenie wielkich. Owa akceptacja wiążę się z pow staniem teorii mnogości.

G eneza teorii zbiorów nieskończonych, czyli teorii mnogości, związana była z rozwiązaniem przez G. C an to ra pewnego szczegó­ łowego problem u z zakresu analizy. Niem iecki m atem atyk zajął się pytaniem, kiedy dana funkcja jest rozwijalna w sposób jednoznacz­ ny w szereg trygonometryczny. U dow odniono, że jest tak w przy­ padku, kiedy funkcja taka jest ciągła w całej dziedzinie. G. C antor badał, czy takie jednoznaczne rozwinięcie jest możliwe, gdy w dzie­ dzinie funkcji istnieją „punkty wyjątkowe”, czyli takie, w których funkcja nie jest ciągła. U ogólnił wyjściowe twierdzenie na sytuacje, kiedy takich punktów jest skończona, a potem nieskończona ilość. Postawił pytanie, czy punktów wyjątkowych jest więcej niż liczb na­ turalnych. Z zagadnienia ściśle analitycznego wyodrębni! się pro ­ blem porównywania mocy zbiorów, k tó re były nieskończone. G. Cantor przyjął istnienie zbiorów aktualnie nieskończonych i stwier­ dził, że istnieją zbiory nieskończone o różnej mocy. Poda! definicję zbioru nieskończonego jako takiego, w którym podzbiór właściwy jest równoliczny ze zbiorem . Tym samym podważył aksjom at E u ­ doksosa, stwierdzający, że „całość jest większa od części”. N iem iec­ ki m atem atyk twierdził, że zbiory o takich własnościach należy wprowadzić do m atem atyki. U dało m u się przy pomocy pojęcia zbioru zbiorów zdefiniować liczby naturalne oraz pozaskończone: kardynalne i porządkow e. Tym samym wielkości niearchim edeso­ we, aktualnie nieskończenie wielkie, znalazły się w m atem atyce. Zaś sam a teoria mnogości stała się częścią m atem atyki, bowiem jak twierdził G. C antor, arytm etyka liczb naturalnych, a więc i w konse­ kwencji cała m atem atyka dziew iętnastego wieku, była redukow alna do teorii mnogości.

Z przedstaw ionego przeglądu wynika, że zaakceptow anie zbio­ rów aktualnie nieskończonych, i w konsekwencji wielkości aktual­ nie nieskończenie wielkich, w m atem atyce końca dziewiętnastego wieku nastąpiło z powodów „wewnątrzm atem atycznych”. D o pro ­ wadziły do tego b adania szczegółowego problem u z zakresu anali­ zy. Oczywiście taka akceptacja nie była bezproblem ow a. Towarzy­ szyła jej zacięta dyskusja filozoficzna na tem at nieskończoności aktualnej, prow adzona przede wszystkim przez G. C antora i jego przeciwnika, L. K roneckera. Jed nak to przede wszystkim względy

„w ew nątrzm atem atyczne”, przedm iotow e, zadecydowały o akcep­ tacji w owym okresie wielkości aktualnie nieskończenie wielkich.

Tym samym, ze względu na nowe podejście do zagadnienia wiel­ kości, powstał w dziewiętnastym wieku nowy typ upraw iania m ate­ matyki. Z będne dla ufundow ania podstaw rachunku różniczkowe­ go i całkowego okazały się wielkości aktualnie nieskończenie małe. Z aakceptow ano natom iast wielkości aktualnie nieskończenie wiel­ kie. M atem atykę w spom nianego okresu m ożna by zasadnie okre­ ślić m atem atyką Cauchy’ego-W eierstrassa-Cantora.

Należy jeszcze wspomnieć, że na przełomie dziewiętnastego i dwudziestego wieku nastąpił w matematyce, a w zasadzie w podsta­ wach matematyki, krótkotrwały kryzys. Wiązał on się z odloyciem antynomii w przedaksjomatycznej teorii mnogości. Kryzys ten jed ­ nak został bardzo szybko opanowany. Przyczynił się do tego E. Ze- rmelo, aksjomatyzując teorię mnogości, oraz B. Russell i A. N. W hi­ tehead, którzy zbudowali teorię typów, traktowaną współcześnie jako teorię obejm ującą (przynajmniej) fragm ent teorii mnogości.

Okazuje się, że również dla opisania krótkotrwałego kryzysu przy­ datne może być to narzędzie, jakiego dostarcza pojęcie wielkości. Istnieje powszechna zgoda co do tego, że powodem antynomii gene­ rowanych przez przedaksjom atyczną teorię mnogości było dopusz­ czenie w niej zbiorów - a więc i związanych z nimi mocy, liczb kardy­ nalnych, czyli wielkości - zbyt dużych. Eliminacja antynomii polegała w istocie na ograniczeniu mocy, czyli wielkości zbiorów. Zbiory zbyt duże - i w konsekwencji - wielkości zbyt duże, zostały z teorii m no­ gości i z ufundowanej na niej matematyki wyeliminowane.

Dotychczasowy przegląd zmienności m atem atyki w czasie suge­ ruje, że w poszczególnych okresach opow iadano się za jednym, określonym typem m atem atyki. Zasadniczo po okresach kryzyso­ wych i okresach dyskusji zgadzano się na to, jakie wielkości mogą być w m atem atyce akceptow ane, a jakie nie. N atom iast koniec wie­ ku dziew iętnastego i początek wieku dwudziestego przyniósł zm ia­ nę tej sytuacji. Różnice poglądów na tem at podstaw m atematyki doprowadziły w tym czasie do pow stania odm iennych w istocie m a­ tem atyk. Jed na to m atem atyka klasyczna, stosująca logikę klasycz­ ną, akceptująca teorię mnogości tradycji cantorowskiej i zermelow- skiej. N atom iast druga m atem atyka, intuicjonistyczna, nie akceptuje logiki klasycznej, odrzuca między innymi zasadę wyłą­ czonego środka, nie akceptuje też tradycyjnej teorii mnogości. Wy­

daje się, że te dwa typy m atem atyki wyróżnia się właśnie ze wzglę­ du na takie kryteria, jak stosow ana logika i teoria mnogości. Jeśli jednak przyjrzeć się dyskusji G. C an to ra z L. K roneckerem , w cza­

sie której ten drugi ujawni! poglądy praintuicjonistyczne, to okazu­ je się, że m ożna obydwa wspom niane typy m atem atyki wyodrębnić również przy pomocy tego kryterium , jakie stanowi stosowane w tej pracy pojęcie wielkości.

Przede wszystkim praintuicjonizm, i potem intuicjonizm, nie zga­ dza się na dopuszczenie do m atematyki wielkości aktualnie nieskoń­ czenie wielkich. Czasami jedynie czyni się wyjątek dla liczby kardy­ nalnej No. L. K ronecker miał też zdecydowane opory co do wielkości skończonych niewymiernych. To również wiązało się z odrzucaniem przez niego zbiorów aktualnie nieskończenie wielkich. L. Kronecker zauważył, że K. Weierstrass i G. C antor w swoich definicjach liczb rzeczywistych posługiwali się nieskończonymi ciągami podstawowy­ mi liczb wymiernych. Jakaś form a nieskończoności okazała się być niezbędna dla określenia liczb rzeczywistych. Skoro negowało się nieskończone zbiory, należało też konsekwentnie zanegować istnie­ nie liczb niewymiernych, co też L. Kronecker często czynił.

Okazuje się więc, że m atematykę intuicjonistyczną daje się określić nie tylko ze względu na stosowana przez nią logikę czy teorię m nogo­ ści. Można ją również wyodrębnić ze względu na akceptowane w niej wielkości. Rygorystyczny intuicjonizm nie dopuszcza wielkości aktual­ nie nieskończenie wielkich ani też wielkości niewymiernych.

Stosunek do różnego typu wielkości pozwala też wyróżnić ostatni etap rozwoju m atem atyki, który m ożna by określić m atem atyką hil- bertowską. Zazwyczaj, gdy mówi się o program ie D. H ilberta, p o d ­ kreśla się zawarty w tym program ie postulat stworzenia m etam ate- matyki. Aby jed n ak zbudowanie m etam atem atyki było możliwe, konieczne było wpierw zaksjom atyzowanie teorii matematycznych i „przełożenie” ich na język formalny. Te punkty zawiera! również program D. H ilberta. Program form alizm u dopuszcza! zajmowanie się jakimikolwiek przedm iotam i, byle ich podstawowe własności były podane przy pom ocy niesprzecznej aksjomatyki. W istocie za­ tem program ten implicite pozwalał na posługiwanie się w m atem a­ tyce jakimikolwiek wielkościami. M atem atyka hilbertowska dopuszcza, podobnie jak m atem atyka C auchy’ego-W eierstrassa- -Cantora, wielkości skończone, niewymierne i aktualnie nieskoń­ czenie wielkie. Ale zaakceptow ane w niej zostały także - ze wzglę­

dów przedstawionych powyżej - wielkości aktualnie nieskończenie m ale w budow aniu podstaw rachunku różniczkowego i całkowego. Stało się tak wtedy, gdy A. Robinson zbudował - oczywiście przy pomocy stosownej aksjomatyki - analizę niestandardow ą. Analiza ta posługuje się wielkościami aktualnie nieskończenie małymi.

Wydaje się, że akceptacja w tym typie matematyki wszystkich ty­ pów wielkości dokonana została ze względów metamatematycznych. Dopuszcza się w niej po prostu wszelkie pojęcia, których podstawo­ we własności daje się opisać przy pomocy stosownych aksjomatów.

W celu zbudowania właściwego dla m atem atyki m odelu tem po- ralności odw ołano się w niniejszym opracow aniu do wprow adzone­ go w starożytności m atem atycznego pojęcia wielkości. Pokazano, że już w czasach starożytnych pojęcie wielkości opisywano przy p o ­ mocy stosownej aksjom atyki i wyróżniono wówczas różne typy wiel­ kości. Zauw ażono też, że - przynajmniej do dziew iętnastego wieku - m atem atykę pojm ow ano jako naukę o wielkościach. Zaś przy pewnych dodatkowych założeniach m ożna by i współczesną m ate­ matykę traktow ać jako naukę o wielkościach.

N astępnie zdefiniow ano pojęcie nieciągłości w rozwoju m atem a­ tyki. Przyjęto, że zm ienia się ona w sposób nieciągły wówczas, kiedy zm ienia się zakres akceptowanych w niej typów wielkości. Dalszy ciąg badań miał na celu wykazanie, że w prowadzone pojęcie niecią­ głości rozwoju m atem atyki pokrywa się z wielom a wydarzeniami w dziejach tej nauki, k tó re tradycyjnie uważa się za m om enty kryzy­ sowe. M ożna tu wyliczyć: odkrycie niewymierności, powstanie ra ­ chunku całkowego i różniczkowego oraz powstanie teorii mnogości wraz z odkryciem antynom ii. W zasadzie tylko kryzysu związanego z powstaniem geom etrii nieeuklidesowych nie daje się opisać przy pomocy zaproponow anego modelu.

Okresy pom iędzy nieciągłościam i w rozwoju m atem atyki można by nazwać „epokam i” w rozwoju m atem atyki. W yróżniono przy po­ mocy zastosowanego kryterium następujące epoki: pitagorejczy- ków, Eudoksosa, de l’H ospitala, Cauchy’ego-W eierstrassa-Cantora oraz H ilberta. Oczywiście narzuca się w tym miejscu nazewnictwo proponow ane przez T. K uhna, a więc by poszczególne epoki na­ zwać paradygm atam i m atem atyki. To jed n ak sugerowałoby w spo­ sób bezzasadny, że pom iędzy poszczególnymi epokam i zachodziły rewolucje w sensie Kuhnowskim. Takiego uzasadnienia niniejsze opracow anie nie zawiera.

M ożna oczywiście dyskutować nad słusznością otrzymanej w ten sposób periodyzacji m atem atyki. I tak na przykład, czasami twier­ dzi się, że wyodrębniony tutaj jako osobna epoka, okres m atem aty­ ki de 1’H ospitala był tylko czasem p erm anentnego kryzysu, który prowadził do właściwego „ustabilizow anego” okresu m atem atyki Cauchy’ego-W eierstrassa. Wówczas jed n ak cały rozwój m atem atyki - od odkrycia niewymierności do zdefiniow ania liczb rzeczywistych przez niem ieckich m atem atyków w dziewiętnastym wieku - m ożna by uważać za okres perm anentnego kryzysu, wewnątrz którego nie dokonywało by się żadnej periodyzacji.

O kreślenie nieciągłości w rozwoju m atem atyki jako zmiany w za­ kresie akceptacji poszczególnych wielkości pozwala też odpowie­ dzieć na pytanie, dlaczego m atem atyka się zmienia. Przyczynami przem ian są - przy przyjęciu takiego m odelu - powody zmian w za­ kresie akceptacji poszczególnych typów wielkości. W niniejszym a r­ tykule pokazano, że zmiany te są wynikiem splotu heterogennych czynników. Najczęściej dokonują się one ze względów „wewnątrz- matematycznych”, ale bywają też powody natury logicznej, ontolo- gicznej, m etam atem atycznej, a także takie, k tó re wynikają z p o ­ trzeb m atem atyki stosowanej.

Prezentowany m odel nie pozwala stwierdzić, że m atem atyka roz­ wijała się zawsze w sposób kumulatywny, odkrywając i dołączając do zakresu swoich badań nowe typy wielkości. W starożytności zna­ no już bowiem wszystkie podstawowe typy wielkości, ale ze wzglę­ du na „lęk przed nieskończonością” celowo ograniczono badania matematyki do wielkości archimedesowych. Rezygnowano również w niektórych okresach z pewnych wielkości, które wcześniej wyda­ wały się być „dobrze zadom ow ione w m atem atyce”. Tak było z nie- archimedesowymi wielkościami aktualnie nieskończenie małymi, które wyeliminowano z podstaw rachunku różniczkowego w dzie­ więtnastym wieku, dzięki skonstruow aniu definicji granicy.