Scheepshydromechanica Golven

mt513 BEWEGINGEN EN STUREN I H o o f d s t u k GOLVEN R a p p o r t n r . 473-K J u n i 1989 P r o f . i r . J . G e r r i t s m a Tü-Delft F a c u l t e i t d e r Werktuigbouwkunde e n M a r i t i e m e T e c h n i e k Vakgroep H y d r o n a u t i c a

INHOUD _{b l z .} 1 . I n l e i d i n g 1 2. L i n e a i r e t h e o r i e v a n w a t e r g o l v e n 7 2.1 De g o l f p o t e n t i a a l 7 2 . 1 . 1 R a n d v o o r w a a r d e o p d e b o d e m 10 2.1.2 D y n a m i s c h e r a n d v o o r w a a r d e a a n h e t o p p e r v l a k 13 2.1.3 K i n e m a t i s c h e r a n d v o o r w a a r d e a a n h e t o p p e r v l a k 13 2.2 De b a n e n v a n de v l o e i s t o f d e e l t j e s i n e e n g o l f I 7 2.3 De e n e r g i e e n h e t e n e r g i e t r a n s p o r t 23 3. N i e t l i n e a i r e e f f e c t e n ; L i n e a i r e s u p e r p o s i t i e 29 3.1 De t r o c h o ï d e g o l f 29 3.2 S t o k e s g o l v e n 3 1 3.3 S u p e r p o s i t i e v a n e n k e l v o u d i g e g o l v e n 33 4. Z e e g o l v e n 37 4.1 I n l e i d i n g 37 4.2 Z e e g a n g e n d e i n i n g 43 4.3 De g r o e i v a n w i n d g o l v e n 44 4.4 H e t e n e r g i e s p e c t r u m v a n z e e g o l v e n 46 4.5 De v e r d e l i n g v a n m a x i m a e n m i n i m a 59 4.6 De g e m i d d e l d e g o l f p e r i o d e e n g o l f l e n g t e 60 4.7 H e t 2 - d i m e n s i o n a l e g o l f s p e c t r u m 62 4.8 G o l f g e g e v e n s 68 4.9 G o l f s p e c t r a 72 A p p e n d i x 8 4

G o l v e n . 1 . I n l e i d i n g . G o l v e n i n v l o e i s t o f f e n z i j n v a n b e l a n g v o o r d e s c h e e p s b o u w - e n s c h e e p v a a r t k u n d e . Z e e g o l v e n z i j n o o r z a a k v a n s c h e e p s b e w e g i n g e n , d i e o p h u n b e u r t v a n i n v l o e d z i j n o p de v e i l i g h e i d v a n h e t s c h i p ( w a t e r o v e r n e m e n , s c h u i v e n v a n l a d i n g , s t a b i l i t e i t e . d . ) , d e d y n a m i s c h e b e l a s t i n g v a n d e s c h e e p s r o m p e n z i j n o n d e r d e l e n , d e w e e r -s t a n d e n d e b e h o u d e n -s n e l h e i d . D o o r b e w e g i n g e n v a n h e t s c h i p o n t s t a a n g o l v e n i n w a t e r , o l i e -e n b r a n d s t o f t a n k s a l s d i -e g -e d -e -e l t -e l i j k g -e v u l d z i j n . G o l v -e n i n t a n k s k u n n e n g e b r u i k t w o r d e n om d e s l i n g e r b e w e g i n g v a n e e n s c h i p t e s t a b i l i s e r e n m e t b e h u l p v a n d e z o g e n a a m d e a n t i - s l i n g e r t a n k s . M e t " g o l v e n " w o r d t b e d o e l d d e i n s t a t i o n a i r e s t r o m i n g s v e r s c h i j n s e l e n d i e z i c h v o o r d o e n b i j e e n v l o e i s t o f m e t v r i j o p p e r v l a k , w a a r -b i j d i e v l o e i s t o f o n d e r m e e r o n d e r w o r p e n i s a a n d e i n v l o e d v a n h e t z w a a r t e k r a c h t s v e l d . D r u k g o l v e n , z o a l s a c o u s t i s c h e g o l v e n , w o r d e n b i j d e z e b e h a n d e l i n g n i e t b e s c h o u w d . Men o n d e r s c h e i d t g o l v e n n a a r d e w i j z e w a a r o p z i j w o r d e n o p g e w e k t , b i j v o o r b e e l d : g o l v e n o p g e w e k t d o o r e e n s c h i p , o f e e n a n d e r e d r i j v e n d e c o n s t r u c -t i e d i e z i c h m e -t e e n b e p a a l d e s n e l h e i d v o o r -t b e w e e g -t , o f e e n o s c i l l e r e n d e b e w e g i n g u i t v o e r t . - z e e g o l v e n , o n t s t a a n d o o r d e i n t e r a c t i e v a n l u c h t s t r o m i n g e n e n z e e o p p e r v l a k - g o l v e n o n t s t a a n d o o r a s t r o n o m i s c h e o o r z a k e n ( g e t i j d e n ) - g o l v e n o n t s t a a n d o o r s e i s m i s c h e s t o r i n g e n v a n d e a a r d b o d e m ( t s u n a m i ' s ) - g o l v e n i n b e w e g e n d e v l o e i s t o f t a n k s H e t i s d u i d e l i j k d a t één m a t h e m a t i s c h e o p l o s s i n g v o o r a l l e p r o b l e -men v a n g o l v e n i n v l o e i s t o f f e n n i e t b e s t a a t . Z e l f s v o o r e e n v o u d i g e g e v a l l e n m o e t v o l s t a a n w o r d e n m e t v e r e e n v o u d i g e n d e b e n a d e r i n g e n . H e t i s b e l a n g r i j k om de b e p e r k i n g e n v a n d e r g e l i j k e b e n a d e r i n g e n g o e d i n ' t o o g t e h o u d e n , v o o r a l o m d a t soms n i e t l i n e a i r e e f f e c -t e n e e n b e l a n g r i j k e r o l k u n n e n s p e l e n . Aan d e a n d e r e k a n -t b l i j k -t d a t e e n v e r e e n v o u d i g d l i n e a i r m o d e l b i j v e l e p r a c t i s c h e t o e p a s s i n g e n 1

-h e e l g o e d k a n v o l d o e n . Z e e g o l v e n k a n men b i j v o o r b e e l d b e s c h o u w e n a l s h e t r e s u l t a a t v a n e e n s u p e r p o s i t i e v a n v e l e e n k e l v o u d i g e h a r m o n i s c h e g o l f c o m p o n e n t e n m e t u i t e e n l o p e n d e l e n g t e , h o o g t e e n v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g . Een d e r g e l i j k e b e s c h o u w i n g i s v a n b e l a n g v o o r d e a n a l y s e v a n z e e -g a n -g e n v a n d e z e e -g a n -g s e i -g e n s c h a p p e n v a n s c h e p e n . H e t z o -g e n a a m d e s u p e r p o s i t i e p r i n c i p e v o o r z e e g o l v e n i s g e ï l l u s t r e e r d i n f i g u u r 1 . 1 . Ook a n d e r e g o l f v e r s c h i j n s e l e n , b i j v o o r b e e l d z o a l s d o o r e e n v a r e n d s c h i p v e r o o r z a a k t , k u n n e n s a m e n g e s t e l d w o r d e n u i t e n k e l v o u d i g e g o l f c o m p o n e n t e n . V o o r d e a n a l y s e v a n g e c o m p l i c e e r d e g o l f s y s t e m e n i s h e t n o d i g d e e i g e n s c h a p p e n v a n e n k e l v o u d i g e g o l f c o m p o n e n t e n t e k e n n e n . M e t name z i j n v a n b e l a n g : d e d r u k i n h e t g o l f v e l d a l s f u n c t i e v a n p l a a t s e n t i j d , h e t v e r b a n d t u s s e n g o l f l e n g t e e n g o l f p e r i o d e , h e t e n e r g i e -t r a n s p o r -t d o o r g o l v e n . Men o n d e r s c h e i d t b i j e n k e l v o u d i g e g o l v e n d e v e r s c h i j n s e l e n d i e z i c h v o o r d o e n b i j z e e r d i e p w a t e r , b i j e i n d i g e v / a t e r d i e p t e e n b i j zéér g e r i n g e w a t e r d i e p t e . Men s p r e e k t v a n k o r t e g o l v e n a l s d e v e r -h o u d i n g v a n g o l f l e n g t e X e n w a t e r d i e p t e h zó k l e i n i s d a t k a r a k t e r i s i t i e k e g r o o t h e d e n z o a l s d r u k e n v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d p r a c -t i s c h n i e -t v a n d e w a -t e r d i e p -t e a f h a n g e n . I n d e p r a k -t i j k h a n -t e e r -t men w e l d e g r e n s : ^ < 0.5. L a n g e g o l v e n d a a r e n t e g e n z i j n g e k e n m e r k t d o o r e e n g r o t e l e n g t e -w a t e r d i e p t e v e r h o u d i n g , b i j v o o r b e e l d ^ > 0 . 0 5 . I n d i t g e v a l i s de h o r i z o n t a l e s n e l h e i d v a n d e w a t e r d e e l t j e s p r a c t i s c h o n a f h a n k e l i j k v a n d e a f s t a n d t o t h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k . Ook m a a k t men o n d e r s c h e i d t u s s e n l o p e n d e e n s t a a n d e g o l v e n . L o p e n d e g o l v e n z i j n g e k e n m e r k t d o o r d a t h e t g o l f o p p e r v l a k z i c h m e t e e n b e -p a a l d e s n e l h e i d - d e z o g e n a a m d e f a s e s n e l h e i d - v e r -p l a a t s t . De w a t e r d e e l t j e s i n e e n l o p e n d e g o l f b e s c h r i j v e n e c h t e r v r i j w e l g e -s l o t e n b a n e n ( v e r g e l i j k m e t e e n " g o l v e n d " k o r e n v e l d ) . D e z e z o g e n a a m d e o r b i t a a l b e w e g i n g v a n d e w a t e r d e e l t j e s e n d e f a s e s n e l h e i d v a n h e t g o l f o p p e r v l a k z i j n k e n m e r k e n d v o o r d e l o p e n d e g o l f . B i j s t a a n d e g o l v e n , d i e b i j v o o r b e e l d o n t s t a a n d o o r t e r u g -k a a t s i n g v a n e e n l o p e n d e g o l f t e g e n e e n v e r t i c a l e w a n d , o n d e r s c h e i d t men k n o p e n e n b u i k e n ; h e t g o l f p r o f i e l v e r p l a a t s t z i c h n i e t

I I

A sum of many simpli' sine waves makes a seu.

Figuur 1.1 Superpositie van regelmatige golven.

W.J. P i e r s o n , G. Neumann, R.W. James,

U.S. Navy H y d r o g r a p h i c O f f i c e , P u L l . 6 0 3 , 1955.

Figuur 1.2 Lopende golf.

i n h o r i z o n t a l e r i c h t i n g . E n g e l s : l o p e n d e g o l f - p r o g r e s s i v e w a v e s t a a n d e g o l f - s t a n d i n g w a v e . H e t p r o f i e l v a n e e n l o p e n d e e n k e l v o u d i g e g o l f k a n b i j v o o r b e e l d ' v o o r g e s t e l d w o r d e n d o o r : C = ^ c o s k ( x - c t ) ( 1 . 1 . ) d De a m p l i t u d e v a n d e z e e n k e l v o u d i g e g o l f i s r, e n d e a f s t a n d t u s s e n a t w e e o p é ê n v o l g e n d e g o l f t o p p e n i s d e g o l f l e n g t e X. B l i j k b a a r g e l d t : kX = 2 TT o f : k = ^ ( 1 . 2 . ) k h e e t h e t g o l f g e t a l De p e r i o d e T v a n d i t g o l f v e r s c h i j n s e l i s g e d e f i n i e e r d d o o r : k c T 2TT , d u s : c - ^ ( 1 . 3 . ) w a a r i n c d e f a s e s n e l h e i d v a n d e g o l f v o o r s t e l t . O m d a t : k c = oj, w a a r i n OJ d e c i r k e l f r e q u e n t i e v a n d e g o l f -b e w e g i n g i s , s c h r i j f t men ( 1 . 1 . ) óók a l s v o l g t : C = c o s ( k x - w t ) ( 1 . 4 . ) a Een l o p e n d e g o l f w o r d t i n f i g u u r 1.2. w e e r g e g e v e n U i t ( 1 . 1 . ) v o l g t d a t d e m a x i m a e n m i n i m a v a n h e t g o l f p r o f i e l b e -p a a l d z i j n d o o r : k ( x - c t ) = + niT , n = O, 1 , 2, 3, w a a r u i t : , niT , j _ d x X = + + c t e n 3-r = c - K a t 5

-U i t k c = -7^ = to v o l g t : c = I ( 1 . 5 . ) Een f a s e s n e l h e i d w a a r v a n d e r i c h t i n g c o r r e s p o n d e e r t m e t d e n e g a -t i e v e x - a s c o r r e s p o n d e e r -t m e -t d e v e r g e l i j k i n g : = i c o s ( k x + w t ) ( 1 . 6 . ) a Een s t a a n d e g o l f o n t s t a a t d o o r d e s u p e r p o s i t i e v a n t w e e g o l v e n m e t g e l i j k e a m p l i t u d e e n p e r i o d e , d o c h m e t t e g e n g e s t e l d g e r i c h t e f a s e s n e l h e d e n . V o o r b e e l d : ^ = <; c o s ( k x - t o t ) + 5 c o s ( k x + o j t ) = 2r^ c o s k x c o s t o t a a a ( 1 . 7 . ) De a m p l i t u d e v a n d e s t a a n d e g o l f i s t w e e m a a l z o g r o o t a l s d e a m p l i t u d e v a n d e t w e e l o p e n d e g o l f c o m p o n e n t e n . De p l a a t s v a n d e k n o p e n v o l g t u i t : k x = + n-^ n = 1 , 3, 5, .... d u s : X = + | a , + | x , en d e p l a a t s v a n d e b u i k e n v o l g t u i t : k x = + m 7 r m = 0 , l , 2 , 3 , . . . . d u s : = I ± \ ' + '*^' 2 i e f i g u u r 1.3. S t a a n d e g o l v e n i n o n d i e p w a t e r n o e m t men s e i c h e s ( b i j v o o r b e e l d h/A < 0 . 0 5 ) . S e i c h e s k o m e n v o o r i n h a v e n b a s s i n s a l s l a n g p e r i o d i e k e v e r s c h i j n s e l e n . G e m e e r d e s c h e p e n k u n n e n d a a r v a n h i n d e r o n d e r v i n d e n , Een c o m b i n a t i e v a n e e n s t a a n d e e n e e n l o p e n d e g o l f o n t s t a a t a l s d e

a m p l i t u d e n v a n d e t w e e c o m p o n e n t e n m e t g e l i j k e p e r i o d e e n t e g e n g c s t e l d g e r i c h t e f a s e s n e l h e i d n i e t g e l i j k z i j n . Men k a n e e n d e r g e l i j k s y s t e e m óók o p v a t t e n a l s h e t r e s u l t a a t v a n e e n s u p e r p o s i t i e v a n e e n l o p e n d e e n e e n s t a a n d e g o l f . B r e k e n d e g o l v e n z i e t men o p z e e a l s g e v o l g v a n w i n d ( w i t t e k o p p e n ) , b i j e e n s t r a n d a l s b r a n d i n g e n o p r i v i e r e n a l s g e v o l g v a n h e t g e t i j d e z o g e n a a m d e " b o r e " . D e z e l a a t s t e i s één b r e k e n d e g o l f w a a r b i j w a t e r t r a n s p o r t p l a a t s v i n d t i n d e v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g v a n d e g o l f . Men s p r e e k t i n d i t g e v a l o o k v / e l v a n e e n s o l i t a i r e g o l f . B r e k e n v a n g o l v e n v i n d t p l a a t s a l s d e s n e l h e i d v a n d e w a t e r d e e l t j e s i n d e g o l f t o p g r o t e r i s d a n d e g o l f s n e l h e i d , a l s d e d r u k o p h e t v r i j e o p p e r v l a k , v o l g e n d u i t d e v e r g e l i j k i n g v a n B e r n o u i l l i n i e t o v e r e e n k o m t m e t d e a t m o s f e r i s c h e d r u k , e n a l s h e t v r i j e o p p e r v l a k v e r t i c a a l i s . A l s g o l v e n e e n s t r a n d n a d e r e n d a n b l i j f t d e e n e r g i e - f l u x c o n s t a n t , m a a r d o o r d e a f n e m e n d e w a t e r d i e p t e w o r d t d e g o l f l e n g t e k l e i n e r , e v e n a l s d e g o l f s n e l h e i d . De g o l f h o o g t e n e e m t d a a r d o o r t o e , e n d a a r mee d e s t e i l h e i d v a n d e g o l f . A l s d e s t e i l h e i d ( d a t i s d e v e r h o u -d i n g g o l f h o o g t e / g o l f l e n g t e ) e e n b e p a a l -d e w a a r -d e o v e r s c h r i j -d t -d a n b r e e k t d e g o l f . U i t h e t v o o r g a a n d e i s g e b l e k e n d a t d e v o l g e n d e g r o o t h e d e n b i j g o l -v e n i n e e n -v l o e i s t o f e e n r o l s p e l e n : de g o l f l e n g t e X, d e g o l f a m p l i t u d e , d e c i r k e l f r e q u e n t i e co, d e a d i e p t e h v a n d e v l o e i s t o f o f h e t w a t e r , d e f a s e s n e l h e i d c , d e e n e r g i e en h e t e n e r g i e t r a n s p o r t , de b a n e n v a n d e v l o e i s t o f d e e l t j e s V e r v o l g e n s i s d e s u p e r p o s i t i e v a n e n k e l v o u d i g e g o l f c o m p o n e n t e n v a n b e l a n g . V o o r a l i n v e r b a n d m e t z e e g o l v e n en d e d a a r b i j v a n b e l a n g z i j n d e s u p e r p o s i t i e w o r d e n n u i n e e r s t e i n s t a n t i e e n k e l v o u d i g e w a t e r g o l v e n m e t g e r i n g e s t e i l h e i d b e h a n d e l d , d e z o g e n a a m d e l i n e a i r e t h e o r i e v a n w a t e r g o l v e n . 2. L i n e a i r e t h e o r i e v a n w a t e r g o l v e n . 2 . 1 . De g o l f p o t e n t i a a l . V e r o n d e r s t e l d w o r d t d a t d e v l o e i s t o f n i e t v i s c e u s , h o m o g e e n e n o n 7

-TT

r - w = M = o

<!>z

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

s a m e n d r u k b a a r i s . I n d e l i n e a i r e b e s c h o u w i n g w o r d t g e s t e l d d a t d e v e r h o u d i n g g o l f h o o g t e - g o l f l e n g t e , d e s t e i l h e i d , zó k l e i n i s d a t t e r m e n i n d e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n d i e v a n d e z e l f d e o r d e z i j n a l s h e t k w a d r a a t v a n de s t e i l h e i d , v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n z i j n . V o o r e n k e l v o u d i g e c y l i n d r i s c h e g o l v e n i s h e t g o l f p r o f i e l g e s c h e t s t i n f i g u u r 2 . 1 . De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l (}> ( x , z, t ) v a n d e g o l f m o e t v o l d o e n a a n de v e r g e l i j k i n g v a n L a p l a c e : + + | i | = O 3x"^ • dy' • 8z' De w a t e r s n e l h e i d i n x , y e n z r i c h t i n g i s g e d e f i n i e e r d d o o r r e s p e k -t i e v e l i j k : u _9x V = I I = O ( 2 . 1 w = _3z o m d a t : 3 ^ = O, g e l d t : 3 l F + 8 ^ - ° ^ 2 . 2 . ) V o o r e e n e n k e l v o u d i g e g o l f m e t g e r i n g e s t e i l h e i d l i j k t h e t g o l f -p r o f i e l o -p e e n s i n u s o f c o s i n u s . U i t d e e r v a r i n g i s b e k e n d d a t de w a t e r b e w e g i n g i n e e n g o l f óók e e n f u n c t i e v a n d e v e r t i c a l e a f s t a n d t o t h e t w a t e r o p p e r v l a k i s . I n v e r b a n d d a a r m e e w o r d t d e g o l f p o t e n t i a a l a l s v o l g t g e s c h r e v e n : (|)(x, z, t ) = P ( z ) s i n ( k x - t o t ) ( 2 . 3 . ) w a a r i n P e e n n o g o n b e k e n d e f u n c t i e v a n z i s . H e t m i n t e k e n i n d e s i n u s g e e f t a a n d a t e e n v e r p l a a t s i n g v a n h e t g o l f o p p e r v l a k m e t s n e l h e i d c = ^ i n d e r i c h t i n g v a n d e p o s i t i e v e x - a s w o r d t b e s c h o u w d . De k e u z e v a n d e z e v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g i s o v e r i g e n s a r b i t r a i r . 9

-S u b s t i t u t i e v a n ( 2 . 3 . ) i n ( 2 . 2 . ) g e e f t : - k^P = 0, ( 2 . 4 . ) m e t a l s o p l o s s i n g : P ( z ) = e^^ + 026"^^^ ( 2 . 5 . ) De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l w o r d t d u s a l s v o l g t g e s c h r e v e n : (}) = ( C ^ e ^ ^ + C 2 e " ^ ^ ) s i n ( k x - t o t ) ( 2 . 6 . ) I n v e r b a n d m e t d e c o n s t a n t e n C-,^ e n C 2, e n d e v e r h o u d i n g ^ w o r d e n n u d e v o l g e n d e r a n d v o o r w a a r d e n b e s c h o u w d . 2 . 1 . 1 . R a n d v o o r w a a r d e o p d e bodem. De v e r t i c a l e s n e l h e i d o p d e b o d e m i s n u l , z i e f i g u u r 2 . 2 . U i t : = O v o o r z = - h v o l g t m e t ( 2 . 6 . ) : O Z „ , - k h ^ , + k h . C^ke - C 2 k e = O I n d i e n g e s t e l d w o r d t : ^ - k h ^ + k h C . 1 ^ = - 2' d a n i s : C = ^ e ^ h ^ 1 2 C - k h C2 = 2 ^ I z o d a t : P ( z ) = § { e ^ ^ ( ^ + ^ ) + e - ^ ( ^ ^ C c o s h k ( h + z ) De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l w o r d t d a n : (})(x, z, t ) = C c o s h k ( h + z ) s i n ( k x - cot) ( 2 . 7 . ) 2 . 1 . 2 . D y n a m i s c h e r a n d v o o r w a a r d e a a n h e t o p p e r v l a k . De d r u k a a n h e t o p p e r v l a k z = ^ v a n d e v l o e i s t o f i s g e l i j k a a n

d e a t m o s f e r i s c h e d r u k p ^ . De v o o r w a a r d e d i e a a n d e d r u k w o r d t o p g e l e g d i s e e n d y n a m i s c h e r a n d v o o r w a a r d e a a n h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k , z i e f i g u u r 2.3. De v e r g e l i j k i n g v a n B e r n o u i l l i v o o r e e n i n s t a t i o n a i r e s t r o m i n g l u i d t : 1 $ + 4 ( u ^ + v ^ + w2) + E + g z = O ( 2 . 8 . ) O t 2 p w a a r b i j i n h e t g e v a l d a t d e g o l f k a m m e n e v e n w i j d i g z i j n a a n de y - a s g e l d t : v = 0. V o o r g o l v e n m e t g e r i n g e s t e i l h e i d w o r d t d e g e l i n e a r i s e e r d e v e r g e -l i j k i n g v a n B e r n o u i -l -l i : 1 $ + £ + g z = O ( 2 . 9 . ) V o o r h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k g e l d t d a n : U + Po + = O, v o o r z = c ( 2 . 1 0 . ) O t p De c o n s t a n t e ^ 2 k a n o p g e n o m e n w o r d e n i n : d e u i t d e p o t e n t i ¬ a a l a f t e l e i d e n s n e l h e d e n v e r a n d e r e n n i e t a l s g e s t e l d w o r d t ({,• = <j> + E a i . H e t a c c e n t n u v e r d e r w e g l a t e n d v i n d t men: 11 + gc = O v o o r z = c ( 2 . 1 1 . ) De p o t e n t i a a l a a n h e t v r i j e o p p e r v l a k z = ^ k a n o n t w i k k e l d w o r d e n i n e e n r e e k s , w a a r b i j b e d a c h t m o e t w o r d e n d a t d e v e r t i c a l e v e r -p l a a t s i n g c k l e i n i s : ^ ( X , z, t ) = M x , O, t ) + ^ ( ^ l l 2 i i _ 0 ^ ) + '^ Z U 3 z e n : ^ = + O ( 9 t z o d a t i n g e l i n e a r i s e e r d e v o r m d e u i t d r u k k i n g ( 2 . 1 1 . ) l u i d t : + g c = 0 , v o o r z = O ( 2 . 1 2 . ) 9 t 1 1

-p=p^ voor z = ^

Figuur 2.3 Atmosferische druk op het vrije vLoeistofoppervLak.

z

X

H i e r u i t i s b i j b e k e n d e (() h e t g o l f p r o f i e l ? a f t e l e i d e n : C = - ^ 1^ , v o o r z = O ( 2 . 1 3 . ) M e t : (J) = c c o s h k ( h + z ) s i n ( k x - w t ) ( 2 . 7 . ) v i n d e n we d a n : C = c o s h ( k h ) c o s ( k x - w t ) o f : C = ? c o s ( k x - c o t ) , w a a r i n : a ?^ = c o s h ( k h ) a g M e t b e h u l p v a n d e z e u i t d r u k k i n g v o l g t t e n s l o t t e : C g c o s h k ( h + z ) * = • c o s h k h • - ( 2 . 1 4 . ) 2 . 1 . 3 . K i n e m a t i s c h e r a n d v o o r w a a r d e a a n h e t o p p e r v l a k . H e t v e r b a n d t u s s e n h e t g o l f g e t a l k e n d e f r e q u e n t i e co v o l g t u i t d e r a n d v o o r w a a r d e d a t de v e r t i c a l e s n e l h e i d v a n e e n w a t e r d e e l t j e g e l e g e n i n h e t g o l f o p p e r v l a k g e l i j k m o e t z i j n a a n d e v e r t i c a l e s n e l -h e i d v a n d a t g o l f o p p e r v l a k . D i t i s e e n k i n e m a t i s c -h e r a n d v o o r w a a r d e . U i t d e v e r g e l i j k i n g v a n h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k z = c ( x , t ) v o l g t : É ^ . n + M d x ^ n + ^ K (2 1 5 ) d t 9 t ^ 3x d t 3 t 3x (^.1^.) De t w e e d e t e r m i n d e z e u i t d r u k k i n g i s k l e i n v a n d e 2e o r d e , w a n t z o w e l d e s n e l h e i d u , a l s d e h e l l i n g v a n h e t w a t e r o p p e r v l a k z i j n b e i d e k l e i n e g r o o t h e d e n a l s g e v o l g v a n d e aanname d a t d e g o l f s t e i l -h e i d g e r i n g i s , z i e F i g u u r 2 . 4 . Na l i n e a r i s a t i e g e l d t d u s : ^ = a a n h e t g o l f o p p e r v l a k z = ? ( 2 . 1 6 . ) 13

-Nu i s d e v e r t i c a l e s n e l h e i d v a n e e n w a t e r d e e l t j e z o d a t : I f = I f , v o o r z = O ( 2 . 1 7 ) w a a r b i j i n a n a l o g i e m e t ( 2 . 1 2 . ) d e z e v o o r w a a r d e g e l d t v o o r z - O i n p l a a t s v a n z = ï;. D o o r d e d y n a m i s c h e r a n d v o o r w a a r d e : 1 $ + g c = O v o o r z = O ( 2 . 1 2 . ) n a a r t t e d i f f e r e n t i ë r e n , v i n d t men t e n s l o t t e m e t ( 2 . 1 7 . ) : M + i 9 l | = O v o o r z = O ( 2 . 1 8 . ) 9z g d t S u b s t i t u t i e v a n ( 2 . 1 4 . ) i n d e z e r a n d v o o r w a a r d e a a n h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k ( d e C a u c h y P o i s s o n v o o r w a a r d e ) g e e f t d e d i s -p e r s i e r e l a t i e : = k g t g h ( k h ) ( 2 . 1 9 . ) D e z e u i t d r u k k i n g g e e f t h e t v e r b a n d t u s s e n g o l f f r e q u e n t i e , g o l f -g e t a l e n w a t e r d i e p t e . U i t c = ? c o s ( k x - ut.) v o l g t d a t d e f a s e s n e l h e i d c ( d e s n e l h e i d a w a a r m e e h e t g o l f p r o f i e l z i c h v e r p l a a t s t ) g e l i j k i s a a n : ^ ( 2 . 2 0 . ) ^ = k M e t d e u i t d r u k k i n g ( 2 . 1 9 . ) w o r d t d i t : k c = [ 2 t g h ( k h ) ] ' ( 2 . 2 1 . ) H i e r u i t b l i j k t d a t d e f a s e s n e l h e i d i n h e t a l g e m e e n t o e n e e m t m e t d e '2-ïï g o l f l e n g t e ( k = -j^) : w a t e r g o l v e n v e r t o n e n d i s p e r s i e . W a t e r i s r e l a t i e f o n d i e p a l s k h O. I n d a t g e v a l g e l d t t g h ( k h ) -> k h e n : c = Ygh ( 2 . 2 2 . ) I n d a t g e v a l i s d e f a s e s n e l h e i d o n a f h a n k e l i j k v a n d e g o l f l e n g t e e n 14

-z i j n d e w a t e r g o l v e n n i e t d i s p e r s i e f . Men n o e m t d e k r i t i s c h e s n e l h e i d . D e z e i s v a n b e l a n g v o o r h e t v a r e n o p o n d i e p w a t e r . M e e s t a l i s d e s c h e e p s s n e l h e i d o p o n d i e p w a t e r b e p e r k t t o t 8 0 % v a n d e k r i t i s c h e s n e l h e i d , o m d a t a n d e r s d e w e e r s t a n d e n d e s q u a t ( h e t g e c o m b i n e e r d e e f f e c t v a n i n z i n k i n g e n t r i m ) o n a a n v a a r d b a a r g r o o t w o r d e n . V o o r d i e p w a t e r g e l d t : k h >> 1 e n t g h (kh)-> 1 , z o d a t : = k g ( 2 . 2 3 . ) I n h e t g e v a l v a n e e n e n k e l v o u d i g e c o s i n u s g o l f k a n men s c h r i j v e n : ( f ) ( x , z , t ) = Re - iipe"'"'^*^ . = Re - i i p ( x , z ) ( c o s c o t + i s i n o j t ) ] = = ^ ( x , z ) s i n cot m e t : M . = O v o o r z = O ( 2 . 1 8 . ) e n ( 2 . 2 3 ) v i n d t men: - 1 ^ - k^e = 0 v o o r z = O ( 2 . 2 4 . ) O z D e z e v o r m v a n d e r a n d v o o r w a a r d e o p h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k w o r d t v a a k i n d e l i t e r a t u u r o v e r w a t e r g o l v e n g e b r u i k t . H e t v e r b a n d t u s s e n g o l f l e n g t e X, g o l f p e r i o d e T, f a s e s n e l h e i d c e n w a t e r d i e p t e i s a f t e l e i d e n u i t d e d i s p e r s i e r e l a t i e : co^ = k g t g h ( k h ) ( 2 . 1 9 . ) • ^ ^ • 2TT , 2iT S u b s t i t u t i e v a n w = — e n k = — g e e f t : T = f Ü L ^ 1 l ' ^ (2 25 ) ^ l g ' t g h k h ^ (Z.z^.) 15

-0,01 Ooz Qos OJO 0,20

2or

LENGTE, SNELHEID EN PERIODE VAN GOLVEN

/ 2 50 100 200 SCO lOOO

QOI Oor Q/o

w a t e r d i e p t e i n m. i V

sao /ooo

X i s g o l f l e n g t e i n m; c i s g o l f s n e l h e i d i n m/sec.

Figuur 2.5 Verband tussen X , T , c en h

-c = [ S A t g h k h ] ^ ( 2 . 2 1 V o o r d i e p w a t e r ( k h ^ °° ) g e l d t T = [ ^ l ' = 0.8 ] / T (A i n m e t e r s ) ( 2 . 2 6 = 9 ^ ] '

1.25

]/r

(A i n m e t e r s ) ( 2 . 2 7 , I n d a t g e v a l i s d e s n e l h e i d s p o t e n t i a a l ? a g k z s i n ( k x - üJt) ( 2 . 2 8 , o m d a t , z i e ( 2 . 1 4 . ) l i m c o s h k ( h + z ) ^ k z h->" c o s h k h I n F i g u u r 2.5. i s h e t v e r b a n d t u s s e n A, T, c e n h g r a f i s c h w e e r g e -g e v e n . 2.2. De b a n e n v a n de v l o e i s t o f d e e l t j e s i n e e n g o l f . De b a n e n v a n d e v l o e i s t o f d e e l t j e s w o r d e n g e v o n d e n d o o r e e r s t d e s n e l h e i d s c o m p o n e n t e n v a n d i e d e e l t j e s i n x e n z r i c h t i n g t e b e p a -l e n m e t b e h u -l p v a n d e s n e -l h e i d s p o t e n t i a a -l : ''a^ c o s h k ( h + z ) . ,> / a \ 4> = ^^r^u v u k x - tot ( 2 . 1 4 . ) ^ co c o s h k h , tü^ c o s h ( k h ) . m e t : k g = i s n u : s i n h ( k h ) u 3ó d x ^ c o s h k ( h + z ) ^ — ^ = -TT- = C ü) :—V 1 . c o s ( k x - t o t ) 8x d t "a s i n h k h ( 2 . 2 9 . 9* d z ^ s m h k h + z) . „ ^, w = T^ rr: = Z ^ ••—u 1 u s i n ( k x o j t ) -9z d t a s m h k h ( 2 . 3 0 . ) Z i e f i g u u r 2.6. H i e r b i j i s g e b r u i k g e m a a k t v a n d e d i s p e r s i e r e l a t i e ( 2 . 1 9 . ) . I n v e r b a n d m e t d e b e p e r k i n g t o t e e n g e r i n g e g o l f s t e i l h e i d k a n men de X e n z i n d e r e c h t e r l e d e n v a n d e z e v e r g e l i j k i n g v e r v a n g e n 17

-c

i ü

•

>^

\x <> tv. 0 J L 2 Tl 3 K 2 2K ( k x - ü J t ) » Figuur 2.6 SnelheidsveLd van een cylindrische golf ;

beperkte waterdiepte.

O n d i e p w a t e r ( l a n g e g o l f )

Figuur 2.7 Banen van waterdeeltjes ; beperkte waterdiepte.

P. G r o e n en R. D o r r e s t e i n :

d o o r d e c o ö r d i n a t e n e n v a n d e g e m i d d e l d e s t a n d v a n h e t b e s c h o u w d e v l o e i s t o f d e e l t j e . I m m e r s d e a f s t a n d e n x - x^^ , e n z - z^ z i j n k l e i n z o d a t d e s n e l h e i d s v e r s c h i l l e n v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n z i j n . I n t e g r a t i e n a a r t i s d a n m o g e l i j k z o d a t : c o s h k ( h + Zf) . _ X = -C :—ïT—r-r '--^ s m ( k x , - w t ) + C, ^a s m h k h 1 1 s i n h k ( h + z-,) „ .\ , ^ z = + r :—ïT-n: ^ c o s ( k x ^ - w t + C„ ^a s m h k h ' 1 ' 2 H e t w a t e r d e e l t j e v o e r t b l i j k b a a r e e n o s c i l l e r e n d e b e w e g i n g u i t i n X e n z r i c h t i n g t e n o p z i c h t e v a n h e t p u n t ( C ^ , C^)• D i t p u n t z a l w e i n i g a f w i j k e n v a n d e r u s t t o e s t a n d ( x ^ , z ^ ) , z o d a t b i j b e n a d e r i n g g e l d t : = x ^ e n = z^. De b a a n v a n d e w a t e r d e e l t j e s w o r d t g e v o n d e n d o o r e l i m i n a t i e v a n t : - x i ) ^ _ + iz - z i ) ^ _ ^ ^ ( 2 . 3 1 , ) • ^ c o s h k ( h -r z -) ) 1 r c^ s i n h k ( h + z i ) | ^ s i n h k h J 1 s i n h k h De b a n e n v a n d e w a t e r d e e l t j e s z i j n i n ' t a l g e m e n e g e v a l e l l i p s e n , z o a l s i n F i g u u r 2 . 7 . i s w e e r g e g e v e n . A a n h e t o p p e r v l a k : z^ = O i s d e h a l v e v e r t i c a l e a s g e l i j k a a n d e g o l f a m p l i t u d e r, . Op d e bo¬ a dem: z^ = h i s d e z e h a l v e a s g e r e d u c e e r d t o t n u l , i n o v e r e e n -s t e m m i n g m e t : w = O, z i e ( 2 . 3 0 ) , e n m e t d e r a n d v o o r w a a r d e o p d e bodem. De e l l i p s v o r m i g e b a n e n z i j n d a a r g e r e d u c e e r d t o t h o r i z o n -t a l e l i j n s -t u k k e n . A l s h g r o o t i s t e n o p z i c h t e v a n A d a n v o l g t u i t d e g o l f p o t e n t i -a -a l : Cü ^ e'^^ s i n ( k x - cot) ( 2 . 2 8 . ) u = = <; coe^^ c o s ( k x - c j t ) O X a k z c o s (KX - üjr) ( 2 . 3 2 . ) w = 14 = C J Ü O ^ ^ s i n ( k x - cot) De b a n e n v a n d e w a t e r d e e l t j e s z i j n i n d i t g e v a l c i r k e l s d i e v o o r g e s t e l d w o r d e n d o o r : 19

-Figuur 2.8 Banen van waterdeeltjes; diep water (korte golf ). P.Groen e n R . D o r r e s t e i n " Z e e g o l v e n " , R a p p . N o . 1 1 , K . N . M . I . a J L 2 ( k x - w t ) 3Tt 2TI

Figuur 2.9 Snelheidsveld in een c y l i n d r i s c h e golf; diep water.

-- l ü -- ^ ' + = 1 ( 2 . 3 3 . ) a a De o m t r e k s n e l h e i d o f o r b i t a a l s n e l h e i d i s d a a r b i j : - ( u ' + O J M ^ = Ca'^e^^^ ( 2 . 3 4 . ) De b a n e n v a n d e w a t e r d e e l t j e s e n h e t s n e l h e i d s v e l d w o r d e n i n r e s p F i g u u r 2.8. e n 2 . 9 . g e g e v e n . I n v e r b a n d m e t d e n e g a t i e v e e x p o n e n t v a n d e e m a c h t ( z ^ <^ 0) n e e m t d e s t r a a l v a n d e b a n e n s n e l a f m e t t o e n e m e n d e w a t e r d i e p t e . V o o r z, = - 4 i s C e ^ ^ l = C e"'^ = 0.04 C^, e n v o o r z, = - A i s C e ^ ^ l = c e = 0 . 0 0 2 c • 1 a a a Men s p r e e k t v a n k o r t e g o l v e n a l s d e w a t e r d i e p t e r e l a t i e f g r o o t i s I n d e p r a k t i j k w o r d t d a a r v o o r w e l g e h a n t e e r d , ^ < 0 . 5 z o a l s e e r d e r w e r d o p g e m e r k t . De d r u k i n e e n g o l f . De d r u k p i n e e n g o l f v o l g t u i t d e v e r g e l i j k i n g v a n B e r n o u i l l i : I I + ^ (u2 + v 2 +w2) + H + g z = O ( 2 . 8 . ) d t p 9 6 9 d) 9 é w a a r i n : n ^ ^ , ^ = ^ , V o o r h e t g e l i n e a r i s e e r d e g e v a l g e l d t : 1 $ + E + g z = O ( 2 . 3 5 . ) 9 t p w a a r u i t m e t ( 2 . 1 4 . ) v o l g t : P = - p g ^ ^ p g C , c o s ( k x - . t ) ( 2 . 3 6 . ) V o o r k o r t e g o l v e n v i n d t men: k z p = - p g z + pgC e c o s ( k x - t o t ) ( 2 . 3 7 . ) a I n d a t g e v a l i s d e d r u k m e t i n b e g r i p v a n h e t n i e t l i n e a i r e d e e l : 2 1

-2 a cos{kx -(JÜt) Figuur 2.10 fl ^=Ccos(kx-U)t) ^ = ^ a C o s( k x - ( j ü t ) Figuur 2.12

p = - p g z + I p ^üj^e + p gc^ e ^ ^ c o s ( k x - w t ) ( 2 . 3 8 ) I m m e r s : "1 ( u ^ + w2) = i ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ { c o s M k x - ÜJt) + s i n M k x - w t ) ) o f : I n ( 2 . 3 8 ) i s d e 3e t e r m o v e r d e t i j d g e m i d d e l d g e l i j k a a n n u l . V o o r d e n i e t - l i n e a i r e 2e t e r m i s d a t n i e t h e t g e v a l , d a t i s e e n c o n s t a n t d e e l , d e z o g e n a a m d e s t r a l i n g s d r u k . 2.3. De e n e r g i e e n h e t e n e r g i e t r a n s p o r t . De e n e r g i e i n e e n g o l f e n d e s n e l h e i d w a a r m e e d i e e n e r g i e g e t r a n s p o r t e e r d w o r d t i s o . a . v a n b e l a n g v o o r d e g o l f w e e r s t a n d e n d e w e e r -s t a n d d o o r g o l v e n v a n e e n -s c h i p . Men o n d e r s c h e i d t d e k i n e t i s c h e e n d e p o t e n t i ë l e e n e r g i e v a n e e n g o l f . De k i n e t i s c h e e n e r g i e K w o r d t a l s v o l g t b e r e k e n d , z i e F i g u u r 2 . 1 0 . K =

ƒ

i ( u ^ + w2) dm v o l ^ _ q 2 = J J iu^ + W-) d x d z O - h X O A c = \p I ƒ ( u ' + w') d x d z + ƒ / ( u ^ + w 2 ) d x d z O - h O O Nu i s d e t w e e d e t e r m o n g e v e e r g e l i j k a a n : X i p C ƒ ( u ^ + w^) d x 2 O e n d a a r m e e v a n d e 2e o r d e v a n g r o o t t e t e n o p z i c h t e v a n d e e e r s t e t e r m . V o o r h e t g e l i n e a r i s e e r d e g e v a l k r i j g e n we d u s : X O K = Jp J I [u^ +^^) d x d z ( 2 . 3 9 . ) O - h D o o r s u b s t i t u t i e v a n de u i t d r u k k i n g e n v o o r u e n w v o l g e n s ( 2 . 2 9 ) 23

-e n ( 2 . 3 0 . ) v i n d -e n w-e: K -r pgr, , o f p e r o p p e r v l a k t e e e n h e i d : H a K = i p g c ^ 2 ( 2 . 4 0 . ) B i j d e a f l e i d i n g v a n ( 2 . 4 0 ) z i j n d e v o l g e n d e f o r m u l e s g e b r u i k t ; = k g t g h ( k h ) O ƒ s i n h ^ k ( h + z ) d z = ^ s i n h 2 k h - 4 h - h ^ ƒ c o s h 2 k ( h + z ) d z = s i n h 2 k h + h - n r s i n ^ ( k x - w t ) d x =

J

cos^ {kx - w t ) = - i ./ O 2 ^ De p o t e n t i ë l e e n e r g i e w o r d t a l s v o l g t b e r e k e n d , z i e F i g u u r 2 . 1 1 . P = 2" / p g C ^ " 2 P'S^^Jcos^ i]^x - a 3 t ) d x = j P g C ^ ^ A o O w a a r b i j , óók i n d i t g e v a l , e e n s t r o o k m e t b r e e d t e één e n e e n l e n g t e X i s b e s c h o u w d . P e r o p p e r v l a k t e e e n h e i d i s d e p o t e n t i ë l e e n e r g i e : P = J PgC^' ( 2 . 4 1 . ) De t o t a l e e n e r g i e E p e r o p p e r v l a k t e e e n h e i d i s d u s : E - I pgC^^ ( 2 . 4 2 . ) De s n e l h e i d w a a r m e e d e e n e r g i e i n e e n g o l f g e t r a n s p o r t e e r d w o r d t , k a n a l s v o l g t b e r e k e n d w o r d e n , z i e F i g u u r 2 . 1 2 . B e s c h o u w e e n d e n k -b e e l d i g v l a k AA' d a t l o o d r e c h t o p de v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g v a n d e g o l f s t a a t . O v e r d e h o o g t e d z e n e e n b r e e d t e één v a n d i t v l a k w o r d t b i j d o o r g a n g v a n e e n w a t e r s t r o o m m e t s n e l h e i d u i n d e t i j d d t e e n h o e v e e l h e i d a r b e i d g e l e v e r d t e g e n d e d r u k p v a n d e v l o e i s t o f i n . D e z e a r b e i d i s : p u d z d t i m m e r s , p d z i s d e k r a c h t d i e n o d i g i s e n d e "weg" i s u d t . De g e m i d d e l d e a r b e i d o v e r één p e r i o d e T o p d e s t r o o k AA' i s n u , n a l i n e a r i s a t i e :

1 ^ " r - °r A = ^ / / p u d z d t ( 2 . 4 3 . ) ^ t - h V o o r d e d r u k p e n d e h o r i z o n t a l e s n e l h e i d u v o n d e n we: p = - p g z + p g c ^ e o s ( k x - a3t) ( 2 . 3 6 . ) c o s h k ( h + z ) ,„ , ^ ^ ^ a ^ s i n h k h ^ c o s ( k x - c o t ) ( 2 . 2 9 . ) De e e r s t e t e r m v a n h e t p r o d u c t p u i s o v e r één p e r i o d e T g e m i d d e l d g e l i j k a a n n u l . De t w e e d e t e r m b e v a t : T — ƒ c o s ^ ( k x - ÜJt) = , z o d a t :

°

- h o f : ^ - Tnh2 k h 2 k h i h ) ( 2 . 4 4 . ) M e t : üj2 = k g t g h ( k h ) ( 2 . 1 9 . ) e n : c = ^ ( 2 . 2 0 . ) k a n g e s c h r e v e n w o r d e n : c = 2 t g h k h ( 2 . 4 5 . ) M e t d e o v e r w e g i n g d a t d e e n e r g i e p e r o p p e r v l a k t e e e n h e i d i n e e n 1 P^^a^ e n k e l v o u d i g e g o l f g e l i j k i s a a n ^ pgc ^ k a n h i e r v o o r g e s c h r e v e n w o r d e n : A = i p g c , ^ i c. ( 1 ^ ^ i H F - T T h ) ( 2 . 4 6 . ) 25

-Figuur 2.13 0.2 0.3 0.4 0.5 h / X o ^ Figuur 2.14 5 F i g u u r 2.15 Sequence o f p h o t o g r a p h s showing a p l a n e p r o g r e s s i v e wave s y s t e m a d v a n c i n g i n t o c a l m w a t e r . The w a t e r i s d a r k e n e d w i t h dye, and t h e lower h a l f o f t h e w a t e r depth i s n o t shown. The wave e n e r g y i s c o n t a i n e d w i t h i n t h e h e a v y d i a g o n a l l i n e s , and p r o p a g a t e s w i t h t h e group v e l o c i t y . (The b o u n d a r i e s o f t h e wave group d i f f u s e s l o w l y w i t h t i m e , due t o d i s p e r s i o n ) . The p o s i t i o n o f t h e one wave c r e s t i s c o n n e c t e d i n s u c c e s s i v e p h o t o g r a p h s by t h e l i g h t l i n e , w h i c h a d v a n c e s w i t h t h e p h a s e v e l o c i t y . E a c h wave c r e s t moves w i t h t h e p h a s e v e l o c i t y , e q u a l to t w i c e t h e group v e l o -c i t y o f t h e b o u n d a r i e s . Thus e a -c h wave c r e s t v a n i s h e s a t t h e f r o n t end and, a f t e r t h e wavemaker i s t u r n e d o f f , a r i s e s from c a l m w a t e r a t t h e b a c k . The i n t e r v a l between s u c c e s s i v e p h o t o g r a p h s i s 0.25 s and t h e wave p e r i o d i s 0.36 s . The w a v e l e n g t h i s 0.23 m and t h e w a t e r depth i s 0.11 m. J.N.Newman M a r i n e H y d r o d y n a m i c s . M . I . T . - 1977

H i e r u i t i s d u s a f t e l e i d e n d a t d e e n e r g i e i n d e g o l f g e t r a n s p o r t e e r d w o r d t m e t e e n s n e l h e i d : Men n o e m t U d e g r o e p s s n e l h e i d . V o o r d i e p w a t e r i s d e g r o e p s s n e l h e i d d e h e l f t v a n d e f a s e s n e l h e ( 2 . 4 8 . ) I n o n d i e p w a t e r i s d e g r o e p s s n e l h e i d g e l i j k a a n d e f a s e s n e l h e i d ( F i g u u r 2 . 1 3 . ) U = c - Vgh ( 2 . 4 9 . ) De v e r h o u d i n g e n — e n w a a r i n c = { ^ ^ ) ^ d e d i e p w a t e r f a s e O O O 2 TT s n e l h e i d v o o r s t e l t z i j n g e g e v e n i n F i g u u r 2 . 1 4 . I n d i e p w a t e r ( h > . A / 2 ) i s d e f a s e s n e l h e i d t w e e m a a l z o g r o o t a l s d e g r o e p s s n e l h e i d . D i t w o r d t g e ï l l u s t r e e r d i n F i g u u r 2 . 1 5 . H e t b e g r i p g r o e p s s n e l h e i d k a n óók o p d e v o l g e n d e w i j z e v e r -d u i -d e l i j k t w o r -d e n . We b e s c h o u w e n d a a r t o e t w e e l o p e n d e e n k e l v o u d i g e g o l v e n m e t c i r k e !

f r e q u e n t i e to e n t o ' , d i e o n d e r l i n g w e i n i g v e r s c h i l l e n . H e t g o l f o p p e r v l a k d a t d o o r s u p e r p o s i t i e v a n d e z e b e i d e c o m p o n e n t e n o n t s t a a t w o r d t g e g e v e n d o o r : C = C f c o s ( k x - t o t ) + c o s ( k ' x - w ' t ) a H i e r v o o r i s t e s c h r i j v e n : r ( k - k ' ) x ( t o - a ) ' ) t i „ „ „ j ( k + k ' ) x (üj+(ü')t]l C = 2 c ^ [ c o s { - ^ " ^ — 2 j . c o s t 2 2 ^ J ( 2 . 5 0 . ) /a+b , a - b . ,a+b a-b, _ ( P r o m e m o r i : c o s a + c o s b = c o s ( — j - + — 2 ~ ^ + c o s ( — j - - —2~> " a-b a + b ^ = 2 c o s — 2 — c o s — 2 — ) D i t i s e e n g o l f p r o f i e l w a a r v a n d e a m p l i t u d e v a n d e o m h u l l e n d e g e g e v e n w o r d t d o o r . F i g u u r 2 . 1 6 . 2 5 ^ c o s ( ^ - ^ X - ^ ^ 4 ^ t ) ( 2 . 5 1 . ) De g o l f l e n g t e v a n d e o m h u l l e n d e i s g r o o t , immers k ^ k ' . De a m p l i t u d e v a n d e o m h u l l e n d e i s 2 ^ ^ , t e r w i j l d e g o l f l e n g t e v a n h e t g o l f v e r s c h i j n s e l b i n n e n d e o m h u l l e n d e v r i j w e l g e l i j k i s a a n d i e v a n d e t w e e s a m e n s t e l l e n d e g o l f c o m p o n e n t e n . E r i s i n d i t g o l f b e e l d e e n a a n t a l g r o e p e n a a n t e w i j z e n d i e o p g e l i j k e a f s t a n d e n o n d e r b r o k e n w o r d e n d o o r g e b i e d e n m e t b i j n a v l a k w a t e r : e e n b e e l d d a t men soms ó ó k o p z e e k a n w a a r n e m e n . De f a s e s n e l h e i d v a n d e z e g r o e p e n v o l g t n u u i t : ü = !^ ~ f', o f , i n d e l i m i e t : ü k - k ' dto d k M e t d e d i s p e r s i e r e l a t i e : üj2 = k g t g h ( k h ) ( 2 . 1 9 . ) v i n d t men t e n s l o t t e :

ü = i c ( 1 + 2 k h ) ^ s i n h 2 k h h e t g e e n o v e r e e n k o m t m e t h e t e e r d e r g e v o n d e n r e s u l t a a t . V o o r d i e p w a t e r i s d e g r o e p s s n e l h e i d i n d e r d a a d d e h e l f t v a n d e f a s e s n e l h e i d . 3. N i e t l i n e a i r e e f f e c t e n > L i n e a i r e s u p e r p o s i t i e . 3.1 .* De t r o c h o ï d e g o l f . T o t d u s v e r i s a a n g e n o m e n d a t d e g o l f h o o g t e k l e i n i s t e n o p z i c h t e v a n d e g o l f l e n g t e . I n v e r b a n d m e t s t e r k t e b e r e k e n i n g e n i n d e s c h e e p s b o u w k u n d e h e e f t men v r o e g e r v e e l a l e e n t r o c h o ï d e g o l f v o r m a a n g e n o m e n m e t e e n h o o g t e / l e n g t e v e r h o u d i n g ^Ca = ^ _ ^ g j ^ d e r ¬ g e l i j k e s t e i l h e i d i s n i e t m e e r a l s " k l e i n " t e b e s c h o u w e n . De t r o c h o ï d e w o r d t g e v o r m d d o o r d e b a a n v a n e e n p u n t o p d e s t r a a l v a n e e n c i r k e l , a l s d i e c i r k e l l a n g s e e n r e c h t e l i j n r o l t z o n d e r t e s l i p p e n . V o o r h e t g e b r u i k i n d e s c h e e p s b o u w k u n d i g e s t e r k t e b e -r e k e n i n g e n l i e t men d e c i -r k e l o n d e -r l a n g s d e l i j n l o p e n z o a l s i n F i g u u r 3 . 1 . i s a a n g e g e v e n . De p a r a m e t e r v e r g e l i j k i n g e n v a n d e t r o c h o ï d e l u i d e n : X = Re + c s i n ( 9. Z = - ^ C O S ( 3. ( 3 . 1 w a a r i n : c^ - d e a m p l i t u d e v a n d e g o l f R - d e s t r a a l v a n d e c i r k e l d i e o n d e r d e r e c h t e l i j n a f r o l t . B l i j k b a a r i s : X = 27TR T e n o p z i c h t e v a n e e n h a r m o n i s c h e g o l f m e t d e z e l f d e h o o g t e - l e n g t e v e r h o u d i n g z i j n d e t o p p e n v a n d e t r o c h o ï d e s p i t s e r e n d e d a l e n v l a k k e r , z i e F i g u u r 3 . 1 . De t r o c h o ï d e k a n b e n a d e r d w o r d e n d o o r : C = C^cos k x + ^ k c ^ ^ c o s 2 k x - ^ k ^ ^ ^ ( 3 . 2 . ) U i t d e a f l e i d i n g v a n d e t r o c h o ï d e g o l f t h e o r i e v o l g e n s G e r s t n e r i s a f t e l e i d e n d a t : ^ = ( f ^ ^ ^ e n T = ( • ^ ^ ) ^ , h e t g e e n o v e r e e n s t e m t m e t d e * g e e n e x a m e n s t o f 29

-X= 2TIR

r e s u l t a t e n v a n d e p o t e n t i a a l g o l v e n m e t k l e i n e a m p l i t u d e . U i t h y d r o d y n a m i s c h o o g p u n t i s d e t r o c h o ï d e n i e t i n t e r e s s a n t : e r i s g e e n m a s s a t r a n s p o r t b i j e i n d i g e g o l f h o o g t e . H e t s n e l h e i d s v e l d v a n d e t r o c h o ï d e g o l f i s n i e t r o t a t i e v r i j . D a t i s w e l h e t g e v a l b i j d e z g n . " S t o k e s " g o l v e n d i e v o l g e n u i t e e n n i e t l i n e a i r e o n t w i k k e l i n g v a n d e g o l f t h e o r i e , g e l d e n d v o o r k l e i n e g o l f a m p l i t u d e n . I n d e t h e o r e t i s c h e s c h e e p s b o u w k u n d e w o r d t d e t r o c h o ï d e g o l f d a n o o k n i e t m e e r g e b r u i k t . 3 . 2 . * S t o k e s g o l v e n . S t o k e s h e e f t h o g e r e o r d e b e n a d e r i n g e n g e g e v e n v o o r g o l v e n o p d i e p w a t e r . Een b e l a n g r i j k r e s u l t a a t v a n z i j n t h e o r i e i s h e t f e i t d a t d e e e r s t e o r d e g o l f p o t e n t i a a l : v o l d o e t a a n d e t w e e d e o r d e r a n d v o o r w a a r d e o p h e t v r i j e o p p e r v l a k . D a t h o u d t i n d a t d e t w e e d e o r d e c o r r e c t i e o p d e s n e l h e i d s p o t e n t i a a l n u l i s e n d a t s o m m i g e v a n d e g e l i n e a r i s e e r d e r e s u l t a t e n b e -s c h o u w d k u n n e n w o r d e n a l -s z i j n d e n a u w k e u r i g t o t e n m e t d e t w e e d e o r d e . D i t h e e f t b e t r e k k i n g o p d e e i g e n s c h a p p e n v a n d e g o l f b e w e g i n g , d i e d i r e c t , z o n d e r v e r w a a r l o z i n g e n u i t d e s n e l h e i d s p o t e n t i a a l a f -g e l e i d k u n n e n w o r d e n , z o a l s d e d i s p e r s i e r e l a t i e d i e h e t v e r b a n d t u s s e n p e r i o d e , l e n g t e e n f a s e s n e l h e i d b e p a a l t . E c h t e r m o e t d e u i t d r u k k i n g v o o r h e t g o l f p r o f i e l g e c o r r i g e e r d w o r -d e n v o o r 2e o r -d e b i j -d r a g e n . We g a a n d a a r t o e u i t v a n ( 2 . 8 . ) e n v i n d e n v o o r z,: k z s i n ( k x - cot) ( 2 . 2 7 . ) e z ( 3 . 3 . ) w a a r i n : = u ^ + v ^ + M e t e e n T a y l o r o n t w i k k e l i n g v i n d e n we: o f : * g e e n e x a m e n s t o f 3 1

-o f : e n : ^ ' - t

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-

I f f • ^ '

_ „ - 0 „ 3 , , 3 . 4 . , I n d e z e u i t d r u k k i n g z i j n t e r m e n v a n d e 3e o r d e i n ( o f h o g e r ) v e r -w a a r l o o s d . S u b s t i t u t i e v a n d e l i n e a i r e p o t e n t i a a l ( 2 . 2 8 . ) i n ( 3 . 4 . ) g e e f t v o o r z = 0: C = i; c o s ( k x - ÜJt) - ^ kz ^ + kz. ^ c o s ^ ( k x - w t ) 3. Z 3. 3. o f : C = C c o s ( k x - cüt) + A k c ^ c o s 2 ( k x - t o t ) ( 3 . 6 . ) a z a De l a a t s t e t e r m i n d e z e v e r g e l i j k i n g g e e f t d e t w e e d e o r d e c o r r e c t i e o p h e t g o l f p r o f i e l . B i j d e g o l f t o p p e n , w a a r ( k x - w t ) = 0 , 2-n, 4IT e n b i j d e g o l f d a l e n , w a a r ( k x - w t ) = TT, 3TT, 5TT , i s d e c o r r e c t i e p o s i t i e f a l s g e v o l g v a n d e z e n i e t - l i n e a r i t e i t . D a a r o m z i j n d e t o p p e n s p i t s e r e n d e d a l e n v l a k k e r , z o a l s óók b i j d e t r o c h o ï d e h e t g e v a l i s , z i e F i g u u r 3 . 1 . De o v e r e e n s t e m m i n g t u s s e n h e t p r o f i e l v a n d e 2e o r d e b e n a d e r i n g v a n d e t r o c h o ï d e e n d a t v a n d e 2e o r d e S t o k e s g o l f i s g r o o t . De d e r d e o r d e b e n a d e r i n g v a n S t o k e s ( z i e f i g u u r 3.2.) l u i d t : C = C c o s ( k x - t o t ) + i k c ^ c o s 2 ( k x - w t ) + | k ^ c ^ c o s S ( k x - w t ) O. z a O a De l e o r d e p o t e n t i a a l v o l d o e t a a n d e 3e o r d e r a n d v o o r w a a r d e o p h e t v r i j e o p p e r v l a k a l s d e d i s p e r s i e r e l a t i e m e t e e n 2e o r d e t e r m w o r d t g e c o r r i g e e r d : = k g ( l + kHj) + 0 ( k ' C ') ( 3 . 7 . ) M e t ( 2 . 2 7 . ) e n d e z e d i s p e r s i e r e l a t i e v i n d e n we:

c = [ f ( 1 + C ^ k ^ ) 1 ^ ( 3 . 8 . ) k o f ; = ( f ^ ) ' ( 1 + ' ( 3 . 9 . ) De s n e l h e i d s c o r r e c t i e i s b i j e e n g o l f m e t s t e i l h e i d -o n g e v e e r 1 , 2 5 % t e n -o p z i c h t e v a n d e l e e n 2e -o r d e b e n a d e r i n g . De f a s e s n e l h e i d h a n g t d u s i n g e r i n g e m a t e a f v a n d e g o l f a m p l i t u d e n h o g e g o l v e n v e r p l a a t s e n z i c h i e t s s n e l l e r d a n l a g e g o l v e n b i j d e z e l f d e g o l f l e n g t e . D e z e a f h a n k e l i j k h e i d n o e m t men d e a m p l i t u d e d i s p e r s i e . De t h e o r i e v a n S t o k e s g e e f t a a n d a t e r e e n g e m i d d e l d e h o r i z o n t a l e s n e l h e i d v a n d e w a t e r d e e l t j e s b e s t a a t : e e n v e r s c h i j n s e l d a t u i t w a a r n e m i n g o p z e e b e k e n d i s . D e z e z g n . c o n v e c t i e s n e l h e i d o f " S t o k e s d r i f t " i s i n d i e p w a t e r : " c o n - ? a ' ^ ' ^ ^'""'^ (:^-^°-) D e z e c o n v e c t i e s n e l h e i d i s m a x i m a a l a a n h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r -v l a k e n n e e m t e x p o n e n t i e e l m e t d e a f s t a n d o n d e r h e t w a t e r o p p e r -v l a k a f . De b a n e n v a n d e w a t e r d e e l t j e s z i j n g e s c h e t s t i n F i g u u r 3 . 3 . De t o t a l e g e m i d d e l d e f l u x v o l g t u i t e e n i n t e g r a t i e o v e r d e t o t a l e w a t e r d i e p t e : O / c ^ ^ k ^ c e ^ k ' d z = f = i ^ k ? a ' (^-^^-^ — oo s t o k e s v o n d d a t d e m i n i m u m t o p h o e k v a n e e n l o p e n d e g o l f 1 2 0 ° b e -d r a a g t . De v e r s n e l l i n g v a n e e n w a t e r -d e e l t j e i n -d e t o p v a n -d e g o l f i s d a n g. D e z e m i n i m u m t o p h o e k g e l d t óók v o o r l a n g e g o l v e n ( o n d i e p w a t e r ) . M i c h e l l e n H a v e l o c k b e r e k e n d e n d a t d e h i e r m e e c o r r e s p o n d e r e n d e s t e i l h e i d g e l i j k i s a a n —, E e n d e r g e l i j k e s t e i l h e i d i s e x -p e r i m e n t e e l n i e t v a s t t e s t e l l e n . 3.3. S u p e r p o s i t i t e v a n e n k e l v o u d i g e g o l v e n . H e t g o l f p r o f i e l ? = C c o s ( k x - w t ) w o r d t g e h e e l g e k a r a k t e r i s e e r d a d o o r d e g o l f a m p l i t u d e t, , h e t g o l f g e t a l k = ^ e n d e c i r k e l -a A 2 r . 2 ^ 33

f r e q u e n t i e CÜ. De f a s e s n e l h e i d h e e f t d e r i c h t i n g v a n d e p o s i t i e v e x - a s . De f a s e s n e l h e i d h e e f t d e r i c h t i n g v a n d e n e g a t i e v e x - a s a l s : C = C o o s ( k x + cot) 3, I n h e t m e e r a l g e m e n e g e v a l m a a k t d e f a s e s n e l h e i d e e n h o e k y m e t de p o s i t i e v e x - a s , z i e F i g u u r 3.4. U i t : Z = c o s ( k x ' - o j t ) v o l g t d a n : ? = c o s ( k x c o s y + k y s i n y - cot) ( 3 . 1 2 . ) a E v e n z o i s d e p o t e n t i a a l v o o r d i e p w a t e r : ^ a ^ k z (p = e s i n ( k x c o s y + k y s i n y - w t ) ( 3 . 1 3 . ) Omdat w i j e e n g e l i n e a r i s e e r d p r o b l e e m b e s c h o u w e n m o g e n d e o p l o s -s i n g e n g e -s u p e r p o n e e r d w o r d e n , w a a r b i j d i e o p l o -s -s i n g e n v o l d o e n a a n d e r a n d v o o r w a a r d e n o p h e t v r i j e o p p e r v l a k e n a a n d e b o d e m . De s u p e r p o s i t i e v a n t w e e g e l i j k l o p e n d e g o l v e n d i e i n t e g e n g e s t e l d e r i c h t i n g e n l o p e n g e e f t d a n a l s r e s u l t a a t : z, ^ K c o s ( k x - ÜJt) + c..,c;os(kx + w t ) = 2^ c o s k x c o s cot a a a ( 3 . 1 4 . ) m e t b i j b e h o r e n d e p o t e n t i a a l : (|) = - 2gCa c o s k x s i n w t ( 3 . 1 5 . ) Ü3 m e t e e n a n a l o g e u i t d r u k k i n g v o o r h e t g e v a l d a t d e w a t e r d i e p t e e i n d i s . De s t a a n d e g o l f ( 3 . 1 4 . ) i s e e n c o s i n u s f u n c t i e v a n d e t i j d v o o r X = c o n s t a n t . E r i s e e n o s c i l l e r e n d e w a t e r b e w e g i n g , m a a r h e t g o l f p r o f i e l v e r t o o n t g e e n f a s e s n e l h e i d . D i t s o o r t g o l f b e w e g i n g e n k o m t b i j v o o r b e e l d v o o r i n t a n k s , i n h a v e n s e n i n z w e m b a d e n , e n o p z e e a l s g o l v e n t e g e n e e n s t e i l e k u s t r e f l e c t e r e n .

De b a n e n v a n d e w a t e r d e e l t j e s z i j n n u g e e n g e s l o t e n k r o m m e n d o c h l i j n s t u k k e n . U i t ( 3 . 1 5 . ) v o l g t : d<i> d x k z . , u - -T-!- = - 5 — = 2C üje s m k x s m w t O X QL. a d z k z ^ = TT^ = -TT = -2? we c o s k x s m tot dz d t a H i e r u i t v o l g t : k Z n X - X = -2r, e " s i n k x c o s oot 0 a 0 k z z - z = 2c e °cos k x c o s w t 0 a 0 De b a n e n v i n d e n we d o o r d e t i j d t t e e l i m i n e r e n ; = - t g ( k x ^ ) ( 3 . 1 6 . ) 0 D i t z i j n r e c h t e n m e t h e l l i n g - t g ( k x ^ ) . U i t h e t g o l f p r o f i e l ( 3 . 1 4 . ) b l i j k t d a t d e p l a a t s v a n d e k n o o p p u n t e n o n a f h a n k e l i j k i s v a n d e t i j d . Z i j w o r d e n b e p a a l d d o o r d e u i t d r u k k i n g : k x = + ^ m (m = 1,3,5 ) o f X = ± j m V o o r X - O is ^ - O , d a t w i l z e g g e n d e w a t e r b e w e g i n g h e e f t d a a r O X g e e n h o r i z o n t a l e c o m p o n e n t . Z o n d e r d e v l o e i s t o f b e w e g i n g t e s t o r e n k a n men z i c h d a a r e e n v a s t e v e r t i c a l e w a n d d e n k e n , b i j v o o r b e e l d v a n e e n w a t e r t a n k . V o o r e e n t w e e d e w a n d o p a f s t a n d 1 v a n d e o o r s p r o n g g e l d t : X = 1

If

= O ^ ^ s : s i n k l = O H i e r u i t v o l g t : k l = u p ( p = 0,1,2,3, )

- f = f Een a n a l o g e r e d e n e r i n g g e l d t v o o r g o l v e n i n d e b r e e d t e v a n d e t a n k . I n h e t a l g e m e e n k o m e n v e l e c o m p o n e n t e n t e g e l i j k v o o r . H e t o p p e r v l a k k a n d a n v o o r g e s t e l d w o r d e n d o o r e e n d u b b e l e F o u r i e r r e e k s . I n d e z e b e s c h o u w i n g i s v e r o n d e r s t e l d d a t géén b o d e m e f f e c t e n o p t r e d e n . D i t i s v a a k w e l h e t g e v a l , b i j v o o r b e e l d a l s v l o e i s t o f t a n k s g e -d e e l t e l i j k g e v u l -d z i j n . 4. Z e e g o l v e n . 4 , 1 . I n l e i d i n g . H e t z e e o p p e r v l a k t o o n t i n h e t a l g e m e e n e e n s c h i j n b a a r z e e r v e r w a r d b e e l d . E e n v a n d e m e e s t o p v a l l e n d e f e i t e n i s d a a r b i j d a t d i t b e e l d v o o r t d u r e n d m e t d e t i j d w i s s e l t e n z i c h n o o i t s c h i j n t t e h e r h a l e n . N i e t a l l e e n i s d e h o r i z o n t a l e a f s t a n d v a n d e t o p p e n o f v a n d e d a l e n ( d e s c h i j n b a r e g o l f l e n g t e 3^'^) z e e r v e r s c h i l l e n d , m a a r o o k d e v e r t i -c a l e a f s t a n d t u s s e n d a l e n e e n d a a r o p v o l g e n d e t o p ( d e s -c h i j n b a r e g o l f h o o g t e c^) w i s s e l t s t e e d s . I n f i g u u r 4 . 1 . i s e e n g o l f r e g i s t r a t i e g e g e v e n w a a r i n d i e v a r i a t i e s d u i d e l i j k z i c h t b a a r z i j n . De g o l f l e n g t e k a n óók g e d e f i n i e e r d w o r d e n m e t b e h u l p v a n d e n u l d o o r g a n g e n (f^.) • H e t z e l f d e g e l d t v o o r d e g o l f p e r i o d e : h e t t i j d s v e r -l o o p t u s s e n h e t p a s s e r e n v a n t w e e g o -l f t o p p e n i s T^, e n de t i j d d i e n o d i g i s v o o r h e t p a s s e r e n v a n t w e e o p w a a r t s e n u l d o o r g a n g e n i s d e s c h i j n b a r e p e r i o d e . A l d e z e g r o o t h e d e n b l i j k e n t e v a r i ë r e n m e t de t i j d e n d e p l a a t s w a a r d e w a a r n e m i n g p l a a t s v i n d t . De s c h i j n -b a r e p e r i o d e n e n d e s c h i j n -b a r e g o l f h o o g t e n k u n n e n -b e p a a l d w o r d e n a l s e e n r e g i s t r a t i e , z o a l s w e e r g e g e v e n i n f i g u u r 4 . 1 . , v o o r h a n d e n i s . D o o r d e g e m e t e n s c h i j n b a r e g o l f h o o g t e n i n i n t e r v a l l e n i n t e d e l e n , b i j v o o r b e e l d m e t e e n b r e e d t e v a n 0,5 m e t e r , e n h e t a a n t a l g o l f h o o g t e n i n e l k e i n t e r v a l t e t e l l e n k a n men e e n h i s t o g r a m v a n de g o l f h o o g t e n c o n s t r u e r e n , z i e f i g u u r 4 . 2 . e n t a b e l 4 . 1 . De f r e q u e n t i e q u o t i ë n t e n f ( x ) v i n d t men d o o r h e t a a n t a l g e t e l d e g o l f h o o g t e n i n e l k i n t e r v a l t e d e l e n d o o r h e t t o t a l e a a n t a l g o l f -h o o g t e n . 37

-Verdelingsfunktie van de golfhoogte

T a b e l 4 . 1 . F r e q u e n t i e v e r d e l i n g v a n g o l f h o o g t e n . G o l f h o o g t e l,^ i n m A a n t a l g o l v e n f r e q u e n t i e c u m u l a t i e v e q u o t i ë n t f r e q u e n t i e q u o t i ë n t e n 0.25 - 0.75 15 0 .100 0.100 0.75 - 1 .25 30 0. 200 0 . 300 1.25 - 1.75 55 0.367 0.667 1.75 - 2.25 2 1 0 .140 0.807 2.25 - 2.75 14 0 . 0 9 3 0.900 2.75 - 3.25 9 0.060 0.960 3.25 - 3.75 5 0 .033 0.993 3.75 -- 4.25 1 0.007 1.000 1.000 B e p a a l t men d e f u n c t i e f ( x ) d o o r s t e e d s e e n g r o t e r a a n t a l g o l f -h o o g t e n t e b e s c -h o u w e n , d a n b l i j k e n d e o v e r e e n k o m s t i g e f u n c t i e s f ( x ) t e c o n v e r g e r e n . Men s p r e e k t d a n v a n d e v e r d e l i n g s d i c h t h e i d f ( x ) ; d e i n t e g r a a l F ( x ) v a n f ( x ) i s d e v e r d e l i n g s f u n c t i e v a n d e g o l f h o o g t e n . H e t o v e r i g e n s o n r e g e l m a t i g e g o l f b e e l d k a n d o o r z o ' n v e r d e l i n g s -f u n c t i e g e k a r a k t e r i s e e r d w o r d e n , ( i n d i t g e v a l t e n a a n z i e n v a n d e g o l f h o o g t e n ) e n w e l o p s t a t i s t i s c h e w i j z e . V o o r b e e l d : De k a n s d a t d e s c h i j n b a r e g o l f h o o g t e g r o t e r i s d a n " a " w o r d t g e g e v e n i n : oo P C > a ] = / f ( x ) d x ( 4 . 1 . ) a A l s a = 3,25 m, d a n v o l g t u i t F i g u u r 4.2. d a t d e k a n s o p g o l v e n h o g e r d a n 3.25 m e t e r g e g e v e n w o r d t d o o r h e t o p p e r v l a k v a n h e t g e -a r c e e r d e d e e l v -a n d e f u n c t i e f ( x ) . U i t t a b e l 4 . 1 . k a n men a f l e i d e n d a t d e g e m i d d e l d e g o l f h o o g t e H g e l i j k i s a a n : H = 0 . 5 x 0 . 1 + 1 . 0 x 0 . 2 + 1 . 5 x 0 . 3 6 7 + 2 . 0 x 0 , 1 4 + 2 . 5 x 0 . 0 9 3 + 3 . 0 x 0 . 0 6 + + 3 . 5 x 0 . 0 3 3 + 4 x 0 . 0 0 7 = = 1.64 m

De g e m i d d e l d e w a a r d e v a n h e t h o o g s t e d e e l v a n d e g o l f h o o g t e n ^ 1 / 3 ' H i ^ 2 = 3 ( 2 x 0 . 1 4 + 2 . 5 x 0 . 0 9 3 + 3 x 0 . 0 6 + 3 . 5 x 0 . 0 3 3 + 4 x 0 . 0 0 7 ) = 2 . 5 1 m Men n o e m t h e t g e m i d d e l d e v a n h e t h o o g s t e d e r d e d e e l d e s i g n i f i -c a n t e g o l f h o o g t e . D e z e w a a r d e s p e e l t e e n b e l a n g r i j k e r o l b i j v e e l p r a c t i s c h e t o e p a s s i n g e n v a n g o l f s t a t i s t i e k e n : e r i s v a a k e e n r e d e l i j k e c o r r e l a t i e t u s s e n d e s i g n i f i c a n t e g o l f h o o g t e e n v i s u e e l g e -s c h a t t e g o l f h o o g t e n . H e t o n r e g e l m a t i g e k a r a k t e r v a n h e t g o l v e n d e z e e o p p e r v l a k k a n óók a l s v o l g t w o r d e n o m s c h r e v e n . B e s c h o u w d a a r t o e w e e r e e n g o l f r e g i s t r a t i e C ( t ) , z i e F i g u u r 4.3. Men v e r d e e l t d e r e g i s t r a t i e i n e e n g r o o t a a n t a l (N) g e l i j k e s t u k -k e n A t e n v i n d t N v e r t i c a l e v e r p l a a t s i n g e n c t e n o p z i c h t e v a n h e t g e m i d d e l d e n i v e a u . We nemen h i e r a a n d a t h e t v l a k z = O o v e r e e n -k o m t m e t d i t g e m i d d e l d e n i v e a u . De z o g e n a a m d e s t a n d a a r d d e v i a t i e a v a n c v o l g t u i t : U i t g o l f m e t i n g e n i s g e b l e k e n d a t d e v e r d e l i n g s d i c h t h e i d v a n r, g o e d b e n a d e r d k a n w o r d e n d o o r e e n G a u s s i s c h e o f n o r m a l e v e r d e l i n g : f ( x ) = ( 4 . 3 . ) H i e r b i j i s v e r o n d e r s t e l d d a t r. (t) g e m i d d e l d n u l i s . M e t d e z e v e r d e l i n g s d i c h t h e i d i s t e b e r e k e n e n w a n n e e r c e e n b e p a a l d n i v e a u " a " o v e r s c h r i j d t : oo r - ( ^ ) ^ P [ C > a ] = — ^ i e ^ d x ( 4 . 4 . ) ' a I n t a b e l 4.2. z i j n e e n a a n t a l b e l a n g r i j k e w a a r d e n v a n | a | e n d e b i j b e h o r e n d e w a a r s c h i j n l i j k h e d e n P c > | a | s a m e n g e v a t . 4 1

T a b e l 4.2. a P 0.320 2 a 0. 046 3 a 0. 003 De n o r m a a l v e r d e l i n g h e e f t e e n b u i g p u n t b i j : x = z i e F i g u u r 4.2. Z e e g a n g e n d e i n i n g . Z e e g a n g ( E : s e a ) i s h e t g e v o l g v a n d e t e r p l a a t s e h e e r s e n d e w i n d e n v a n d e w i n d d i e i n d e o n m i d d e l l i j k e o m g e v i n g v a n d e b e s c h o u w d e p l a a t s h e e r s t . K e n m e r k e n d e e i g e n s c h a p p e n z i j n : a. k o r t k a m m i g h e i d ; d e l e n g t e v a n de k r o m m e n b e d r a a g t g e m i d d e l d 2 a 3 m a a l de g e m i d d e l d e s c h i j n b a r e g o l f l e n g t e . b . h e t z e e r o n r e g e l m a t i g e k a r a k t e r v a n d e z e e : h o g e g o l v e n w o r d e n a f g e w i s s e l d d o o r l a g e g o l v e n o p e e n w i j z e d i e n i e t t e v o o r s p e l -l e n i s . De i n d i v i d u e l e g o l f k a m m e n s c h i j n e n z i c h i n u i t e e n l o p e n d e r i c h t i n g e n v o o r t t e p l a n t e n d i e w e l 20° a 30° k u n n e n a f w i j k e n v a n d e g e m i d d e l -de v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g . De g o l f t o p p e n z i j n t a m e l i j k s p i t s e n soms z i j n e r k l e i n e g o l v e n o p d e t o p p e n w a a r t e nemen o f z i j n e r d e u k e n i n d e t o p p e n o f d a l e n , z i e F i g u u r 4 . 1 . De s c h i j n b a r e p e r i o d e T w i s s e l t s t e e d s e n i s n i e t o p d e z e l f d e w i j z e a f h a n k e l i j k v a n d e s c h i j n b a r e g o l f l e n g t e z o a l s d a t b i j e n k e l v o u d i g e g o l v e n h e t g e v a l i s . D e i n i n g ( E : s w e l l ) w o r d t g e v o r m d d o o r g o l v e n d i e u i t e e n w i n d v e l d v a n d a a n k o m e n e n d a a r b i j n i e t m e e r o n d e r h e v i g z i j n a a n d e i n h e t w i n d v e l d h e e r s e n d e w i n d . Een z u i v e r e v o r m v a n d e i n i n g k a n v o o r k o -men b i j w i n d s t i l t e . D e i n i n g i s e e n r e g e l m a t i g e r g o l f v e r s c h i j n s e l d a n z e e g a n g . De i n d i v i d u e l e g o l v e n z i j n r e g e l m a t i g e r m e t m e e r a f -g e r o n d e t o p p e n d a n i n h e t -g e v a l v a n z e e -g a n -g . De -g o l f k a m m e n z i j n 6 a 7 m a a l z o l a n g a l s d e g e m i d d e l d e s c h i j n b a r e g o l f l e n g t e . De g o l f h o o g t e i s b e t e r v o o r s p e l b a a r : a l s de g o l v e n h o o g z i j n , z u l l e n e r 5 o f 6 g o l v e n v a n o n g e v e e r d e z e l f d e h o o g t e e e n v a s t p u n t p a s s e r e n . A l s z e l a a g z i j n , d a n k u n n e n z e , o n d a n k s h e t o n r e g e l -m a t i g e k a r a k t e r v a n h e t w a t e r o p p e r v l a k , b i j v o o r b e e l d w e l één o f 4.4. e n f ( o ) = 1 43

-a n d e r h -a l v e m i n u u t l -a -a g b l i j v e n . E e n d e i n i n g i s d e r h -a l v e m i n o f m e e r " v o o r s p e l b a a r " o p k o r t e t e r m i j n . De " g e m i d d e l d e " g o l f l e n g t e X i s m e t e e n a f w i j k i n g v a n 1 0 % a 1 5 % t e b e p a l e n m e t b e h u l p v a n d e " g e m i d d e l d e " p e r i o d e T, a l s we v a n d e f o r m u l e g e l d e n d v o o r e n k e l -v o u d i g e g o l -v e n u i t g a a n . De s c h i j n b a r e p e r i o d e n T z i j n o n d e r l i n g n i e t zo e r g v e r s c h i l l e n d . Z e e g a n g i s e e n t a m e l i j k g o e d g e d e f i n i e e r d e t o e s t a n d v a n h e t z e e -o p p e r v l a k -o m d a t de g -o l v e n t e r p l a a t s e w -o r d e n -o p g e w e k t d -o -o r d e w i n d . D e i n i n g d a a r e n t e g e n h e e f t t i j d n o d i g om t e o n t s t a a n . Een p a a r h o n d e r d m i j l v a n d e p l a a t s v a n h e t w i n d v e l d d a t d e z e e g a n g o p w e k t e k a n d e t o e s t a n d v a n h e t z e e o p p e r v l a k n i e t b e s c h r e v e n w o r d e n d o o r d e e i g e n s c h a p p e n d i e o f b i j d e z e e g a n g öf b i j d e d e i n i n g h o r e n . We h e b b e n d a n t e m a k e n m e t h e t m e e s t v o o r k o m e n d e g e v a l w a a r b i j h e t z e e o p p e r v l a k n i e t z o o n r e g e l m a t i g i s a l s b i j z e e g a n g , m a a r o o k n i e t zo r e g e l m a t i g a l s b i j d e i n i n g . Z e e g o l v e n o n t s t a a n d o o r k r a c h t e n d i e d e w i n d o p h e t w a t e r o p p e r v l a k u i t o e f e n t . A l s d e w i n d o v e r h e t z e e o p p e r v l a k s t r i j k t , d a n w o r d t e n e r g i e v a n d e w i n d o v e r g e d r a g e n o p h e t w a t e r o p p e r v l a k . E r w o r d e n t w e e s o o r t e n v a n e n e r g i e - o v e r d r a c h t o n d e r s c h e i d e n n . 1 . e n e r g i e o v e r d r a c h t d o o r h e t p a s s e r e n v a n h e t t u r b u l e n t e d r u k s y s t e e m d a t z i c h i n d e a t m o s -f e r i s c h e g r e n s l a a g v a n d e w i n d b e v i n d t e n e n e r g i e - o v e r d r a c h t d o o r h e t o p t r e d e n v a n s c h u i f k r a c h t e n v a n v i s c e u z e a a r d i n h e t g r e n s v l a k t u s s e n w a t e r e n l u c h t . E e n v l o e i s t o f b e w e g i n g v e r o o r z a a k t d o o r d r u k v e r a n d e r i n g e n k a n r o t a t i e v r i j z i j n , m a a r t a n g e n t i e l e s c h u i f k r a c h t e n g a a n g e p a a r d m e t e e n r o t a t i e s t r o m i n g . B i j g o l v e n i s d e s t r o m i n g v r i j w e l r o t a t i e v r i j , z o d a t t u r b u l e n t e d r u k s y s t e m e n b l i j k b a a r b e l a n g r i j k z i j n b i j d e o v e r d r a c h t v a n e n e r g i e v a n w i n d n a a r w a t e r . Op h e t m e c h a n i s m e v a n d e e n e r g i e o v e r -d r a c h t z u l l e n w i j h i e r n i e t v e r -d e r i n g a a n . 4.3. De g r o e i v a n w i n d g o l v e n . B e s c h o u w e e n b e p a a l d w a t e r o p p e r v l a k d a t i n e e r s t e i n s t a n t i e i n r u s t i s . O v e r d a t o p p e r v l a k w a a i t e e n w i n d d i e e e n c o n s t a n t e s t e r k t e e n r i c h t i n g h e e f t . E r o n t s t a a t e n e r g i e - o v e r d r a c h t v a n d e w i n d n a a r

Duur t in uren

Figuur A.5