Szeregi zespolone

Szeregi zespolone

Szeregi liczbowe zespolone

Definicja

Szeregiem liczbowym zespolonym (o wyrazach zespolonych) nazywamy wyrażenie

∞

X

n=1

z_n= z₁+ z₂+ . . . + z_n+ . . .

z_n nazywamy n-tym wyrazem szeregu. Sumę n początkowych wyrazów szeregu Sn= z1+ z2+ . . . zn nazywamyn-tą sumą częściową szeregu.

Definicja Szereg

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny ⇔ istnieje granica właściwa ciągu jego sum częściowych, tzn. lim

n→∞Sn= S ∈ C

Liczbę S nazywamy wtedy sumą szeregu. Jeżeli nie istnieje właściwa

n→∞lim Sn, toszereg jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe zespolone

Definicja

Szeregiem liczbowym zespolonym (o wyrazach zespolonych) nazywamy wyrażenie

∞

X

n=1

z_n= z₁+ z₂+ . . . + z_n+ . . .

z_n nazywamy n-tym wyrazem szeregu. Sumę n początkowych wyrazów szeregu Sn= z1+ z2+ . . . zn nazywamyn-tą sumą częściową szeregu.

Definicja Szereg

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny ⇔ istnieje granica właściwa ciągu jego sum

Szeregi liczbowe zespolone

Twierdzenie Szereg

∞

X

n=1

zn jest zbieżny ⇔ szeregi rzeczywiste

∞

X

n=1

xn i

∞

X

n=1

yn są zbieżne, gdzie z_n= x_n+ jy_n dla dowolnego n ∈ N. Zachodzi wtedy równość

∞

X

n=1

z_n=

∞

X

n=1

x_n+ j

∞

X

n=1

y_n

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

3 + 2nj n² .

Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregu) Jeżeli

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny, to lim

n→∞z_n= 0.

Szeregi liczbowe zespolone

Twierdzenie Szereg

∞

X

n=1

zn jest zbieżny ⇔ szeregi rzeczywiste

∞

X

n=1

xn i

∞

X

n=1

yn są zbieżne, gdzie z_n= x_n+ jy_n dla dowolnego n ∈ N. Zachodzi wtedy równość

∞

X

n=1

z_n=

∞

X

n=1

x_n+ j

∞

X

n=1

y_n Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

3 + 2nj n² .

Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregu) Jeżeli

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny, to lim

n→∞z_n= 0.

Szeregi liczbowe zespolone

Twierdzenie Szereg

∞

X

n=1

zn jest zbieżny ⇔ szeregi rzeczywiste

∞

X

n=1

xn i

∞

X

n=1

yn są zbieżne, gdzie z_n= x_n+ jy_n dla dowolnego n ∈ N. Zachodzi wtedy równość

∞

X

n=1

z_n=

∞

X

n=1

x_n+ j

∞

X

n=1

y_n Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

3 + 2nj n² .

Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregu) Jeżeli

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny, to lim

n→∞z_n= 0.

Szeregi liczbowe zespolone

Przykład

∞

X

n=1

e^jn jest rozbieżny, bo lim

n→∞e^jn = lim

n→∞(cos n + j sin n) nie istnieje.

Definicja Szereg

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie⇔

∞

X

n=1

|z_n| jest zbieżny.

Twierdzenie

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Definicja

Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Szeregi liczbowe zespolone

Przykład

∞

X

n=1

e^jn jest rozbieżny, bo lim

n→∞e^jn = lim

n→∞(cos n + j sin n) nie istnieje.

Definicja Szereg

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie⇔

∞

X

n=1

|z_n| jest zbieżny.

Twierdzenie

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Definicja

Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Szeregi liczbowe zespolone

Przykład

∞

X

n=1

e^jn jest rozbieżny, bo lim

n→∞e^jn = lim

n→∞(cos n + j sin n) nie istnieje.

Definicja Szereg

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie⇔

∞

X

n=1

|z_n| jest zbieżny.

Twierdzenie

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Definicja

Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Szeregi liczbowe zespolone

Przykład

∞

X

n=1

e^jn jest rozbieżny, bo lim

n→∞e^jn = lim

n→∞(cos n + j sin n) nie istnieje.

Definicja Szereg

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie⇔

∞

X

n=1

|z_n| jest zbieżny.

Twierdzenie

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Definicja

Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Szeregi liczbowe zespolone

Uwaga Szereg

∞

X

n=1

|z_n| jest szeregiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych

nieujemnych. Można zatem do badania jego zbieżności (a zatem zbieżności bezwzględnej

∞

X

n=1

z_n) stosować np. kryteria: porównawcze, d’Alemberta i Cauchy’ego.

Twierdzenie (kryterium porównawcze) Jeżeli szereg rzeczywisty

∞

X

n=1

a_no wyrazach nieujemnych (a_n> 0 dla n ∈ N) jest zbieżny oraz |zn| 6 andla n > n0, gdzie n0 jest pewną liczbą naturalną, to szereg zespolony

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie.

Szeregi liczbowe zespolone

Uwaga Szereg

∞

X

n=1

|z_n| jest szeregiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych

nieujemnych. Można zatem do badania jego zbieżności (a zatem zbieżności bezwzględnej

∞

X

n=1

z_n) stosować np. kryteria: porównawcze, d’Alemberta i Cauchy’ego.

Twierdzenie (kryterium porównawcze) Jeżeli szereg rzeczywisty

∞

X

n=1

a_n o wyrazach nieujemnych (a_n> 0 dla n ∈ N) jest zbieżny oraz |zn| 6 an dla n > n0, gdzie n0 jest pewną liczbą naturalną, to szereg zespolony

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie.

Szeregi liczbowe zespolone

Twierdzenie (kryterium d’Alemberta) Niech q = lim

n→∞

z_n+1 z_n

    .

Jeżeli q < 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie, a jeżeli q > 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

z_n jest rozbieżny.

Twierdzenie (kryterium Cauchy’ego) Niech q = lim

n→∞

qn

|z_n|.

Jeżeli q < 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

zn jest zbieżny bezwzględnie, a jeżeli q > 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

zn jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe zespolone

Twierdzenie (kryterium d’Alemberta) Niech q = lim

n→∞

z_n+1 z_n

    .

Jeżeli q < 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

z_n jest zbieżny bezwzględnie, a jeżeli q > 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

z_n jest rozbieżny.

Twierdzenie (kryterium Cauchy’ego) Niech q = lim

n→∞

qn

|z_n|.

Jeżeli q < 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

zn jest zbieżny bezwzględnie, a jeżeli q > 1, to szereg zespolony

∞

X

n=1

zn jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe zespolone

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu:

a)

∞

X

n=1

n(3j − 1)ⁿ

5ⁿ b)

∞

X

n=1

nⁿ

n!(e − j )ⁿ c)

∞

X

n=1

cos n n²− j

Szeregi potęgowe zespolone

Definicja

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z0 ∈ C i współczynnikach cn∈ C dla n = 0, 1, 2... nazywamy szereg postaci:

∞

X

n=0

cn(z − z0)ⁿ, gdzie z jest zmienną zespoloną.

Definicja

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy liczbę R = lim

n→∞

1 pn

|c_n|

o ile taka granica istnieje (uwzględniamy też przypadek R = +∞). Promień zbieżności można obliczyć także ze wzoru:

R = lim

n→∞

c_n c_n+1

Szeregi potęgowe zespolone

Definicja

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z0 ∈ C i współczynnikach cn∈ C dla n = 0, 1, 2... nazywamy szereg postaci:

∞

X

n=0

cn(z − z0)ⁿ, gdzie z jest zmienną zespoloną.

Definicja

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy liczbę R = lim

n→∞

1 pn

|c_n|

Szeregi potęgowe zespolone

Twierdzenie (Cauchy’ego–Hadamarda)

Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ. Wtedy szereg ten jest:

1 zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie wnętrza koła |z − z₀| < R, tzn. koła o środku w punkcie z₀ i promieniu R;

2 rozbieżny na zewnątrz koła o środku w punkcie z₀ i promieniu R. Uwaga

W punktach okręgu |z − z₀| = R szereg może być zbieżny albo rozbieżny. Jeżeli R = 0, to szereg jest zbieżny wyłącznie w punkcie z₀= 0. Jeżeli R = ∞, to szereg jest zbieżny bezwzględnie na całej płaszczyźnie zespolonej.

Szeregi potęgowe zespolone

Twierdzenie (Cauchy’ego–Hadamarda)

Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ. Wtedy szereg ten jest:

1 zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie wnętrza koła |z − z₀| < R, tzn. koła o środku w punkcie z₀ i promieniu R;

2 rozbieżny na zewnątrz koła o środku w punkcie z₀ i promieniu R.

Uwaga

W punktach okręgu |z − z₀| = R szereg może być zbieżny albo rozbieżny. Jeżeli R = 0, to szereg jest zbieżny wyłącznie w punkcie z₀= 0. Jeżeli R = ∞, to szereg jest zbieżny bezwzględnie na całej płaszczyźnie zespolonej.

Szeregi potęgowe zespolone

Twierdzenie (Cauchy’ego–Hadamarda)

Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ. Wtedy szereg ten jest:

1 zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie wnętrza koła |z − z₀| < R, tzn. koła o środku w punkcie z₀ i promieniu R;

2 rozbieżny na zewnątrz koła o środku w punkcie z₀ i promieniu R.

Uwaga

W punktach okręgu |z − z₀| = R szereg może być zbieżny albo rozbieżny.

Jeżeli R = 0, to szereg jest zbieżny wyłącznie w punkcie z₀= 0. Jeżeli R = ∞, to szereg jest zbieżny bezwzględnie na całej płaszczyźnie zespolonej.

Szeregi potęgowe zespolone

Definicja

Kołem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy zbiór

{z ∈ C : |z − z0| < R}, gdzie z₀ jest środkiem, a R – promieniem zbieżności tego szeregu.

Przykład

Wyznaczyć koło zbieżności szeregu: a)

∞

X

n=0

3ⁿ(z − 2j )ⁿ

n! ; b)

∞

X

n=0

(z + j )ⁿ (1 − j )ⁿ

Szeregi potęgowe zespolone

Definicja

Kołem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy zbiór

{z ∈ C : |z − z0| < R}, gdzie z₀ jest środkiem, a R – promieniem zbieżności tego szeregu.

Przykład

Wyznaczyć koło zbieżności szeregu:

a)

∞

X

n=0

3ⁿ(z − 2j )ⁿ

n! ; b)

∞

X

n=0

(z + j )ⁿ (1 − j )ⁿ

Szeregi Laurenta

Definicja

Niech dane będą dwa szeregi zespolone:

∞

X

n=0

cn(z − z0)ⁿ i

∞

X

n=1

c−n

(z − z₀)ⁿ, gdzie cn∈ C dla n ∈ Z i z0 ∈ C Szeregiem Laurentao środku w punkcie z0 i współczynnikach cn nazywamy sumę powyższych szeregów. Pierwszy z nich nazywamyczęścią regularną szeregu Laurenta, a drugi z nich częścią osobliwą szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta jest zbieżny w punkcie z₁ ⇔ obie części: regularna i osobliwa są zbieżne w tym punkcie.

Szereg Laurenta jest rozbieżny w punkcie z₁ ⇔ przynajmniej jedna z części: regularna lub osobliwa są rozbieżne w tym punkcie.

Szeregi Laurenta

Definicja

Niech dane będą dwa szeregi zespolone:

∞

X

n=0

cn(z − z0)ⁿ i

∞

X

n=1

c−n

(z − z₀)ⁿ, gdzie cn∈ C dla n ∈ Z i z0 ∈ C Szeregiem Laurentao środku w punkcie z0 i współczynnikach cn nazywamy sumę powyższych szeregów. Pierwszy z nich nazywamyczęścią regularną szeregu Laurenta, a drugi z nich częścią osobliwą szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta jest zbieżny w punkcie z₁ ⇔ obie części: regularna i osobliwa są zbieżne w tym punkcie.

Szereg Laurenta jest rozbieżny w punkcie z₁ ⇔ przynajmniej jedna z części: regularna lub osobliwa są rozbieżne w tym punkcie.

Szeregi Laurenta

Definicja

Niech dane będą dwa szeregi zespolone:

∞

X

n=0

cn(z − z0)ⁿ i

∞

X

n=1

c−n

(z − z₀)ⁿ, gdzie cn∈ C dla n ∈ Z i z0 ∈ C Szeregiem Laurentao środku w punkcie z0 i współczynnikach cn nazywamy sumę powyższych szeregów. Pierwszy z nich nazywamyczęścią regularną szeregu Laurenta, a drugi z nich częścią osobliwą szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta jest zbieżny w punkcie z₁ ⇔ obie części: regularna i osobliwa są zbieżne w tym punkcie.

Szeregi Laurenta

Twierdzenie

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu kołowym o środku w punkcie z₀ i promieniach r i R, tzn. dla takich z ∈ C, że r < |z − z0| < R, gdzie

r = lim

n→∞

qn

|c_−n|, R = lim

n→∞

1 pn

|c_n| o ile r < R.

Szeregi Laurenta

Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Laurenta)

Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w pierścieniu r < |z − z₀| < R, to można ją rozwinąć w nim w szereg Laurenta, tzn.

f (z) =

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ+

∞

X

n=1

c−n

(z − z0)ⁿ przy czym

c_n= 1 2πj

I

C

f (z)

(z − z₀)ⁿ⁺¹ dz dla n ∈ Z

gdzie C jest dodatnio skierowanym okręgiem o środku w punkcie z₀,

Szeregi Laurenta

Przykład

Rozwinąć funkcję f (z) = 2

z²− 1 w pierścieniach:

a) P(0; 1; ∞), b) P(−1; 0; 2), c) P(j ;√ 2; ∞).